通信编码与误码率分析

# 通信编码与误码率分析 ## 1. 误码率与编码、信道的关系 误码率（Bit - error probability，$P_b$）与编码器和信道相关。在特定示例中，已知$k_0 = 1$，$T(I, D)=\frac{ID^5}{1 - 2ID}$，可求得$\frac{\partial T}{\partial I}=\frac{D^5}{(1 - 2ID)^2}$，进而得到$P_b\leq\frac{z^5}{(1 - 2z)^2}$。这里，$T(I, D)/k_0$体现了编码器的作用，$z$则反映了信道的影响。对于二进制输入离散无记忆信道，$z$可通过Bhattacharyya界确定，即$z = \sum_y\sqrt{P(y|a)P(y|b)}$，其中$a$和$b$是输入字母表的两个字母，$y$遍历输出字母表的所有元素。该上界在$0\leq z\leq\frac{1}{2}$时有效，若使用更紧的Bhattacharyya界，可保证此条件成立。 ## 2. 编码与未编码情况对比 ### 2.1 信号形式 在编码和未编码两种情况下，传输信号对观察者而言形式相同，均为$w(t)=\sum_{i = 1}^{2l}s_i\psi(t - iT)$，其中$l$为正整数，$\psi(t)$是单位范数脉冲，且与自身的$T$ - 空间平移正交。符号取值为$\{\pm\sqrt{E_s}\}$，但符号的获取方式不同。编码情况下，符号来自卷积编码器的输出；未编码情况下，符号是源比特（取值为$\{\pm1\}$）经$\sqrt{E_s}$缩放得到。 ### 2.2 性能参数对比 |情况|比特率$R_b$|符号率$R_s$|每比特能量$E_b$|误码率$P_b$| | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | |编码|$R_b=\frac{R_s}{2}=\frac{1}{2T}$ [比特/符号]|$R_s = \frac{1}{T}$ [符号/秒]|$E_b = 2E_s$|$P_b\leq\frac{z^5}{(1 - 2z)^2}$，$z = e^{-\frac{E_s}{2\sigma^2}}$| |未编码|$R_b=R_s=\frac{1}{T}$ [比特/符号]|$R_s = \frac{1}{T}$ [符号/秒]|$E_b = E_s$|$P_b = Q(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma^2}})\leq e^{-\frac{E_s}{2\sigma^2}} = z$| 从误码率曲线（图6.8）可以看出，对于目标误码率$P_b$，不同编码方式所需的$\frac{E_s}{\sigma^2}$不同。例如，当$P_b = 10^{-2}$时，未编码系统约需7.3 dB，卷积码约需2.3 dB，LDPC码约需0.75 dB。随着目标$P_b$降低，差距更显著。若比较$\frac{E_b}{\sigma^2}$，未编码系统$\frac{E_b}{\sigma^2}=\frac{E_s}{\sigma^2}$，编码系统$\frac{E_b}{\sigma^2}=2\frac{E_s}{\sigma^2}$。 ### 2.3 非平凡编码的影响 从高层次看，非平凡编码是使用选定序列构成码本。在固定信道输入字母表为$\{\pm\sqrt{E_s}\}$的情况下，引入非平凡编码可通过增加码字长度（从$n = k$到$n>k$）实现。对于固定比特率，增加$n$意味着增加符号率，需对脉冲$\psi(t)$进行时间压缩，带宽也会相应扩展；若固定带宽，符号率不变，比特率则需降低。但并非所有非平凡编码都需降低比特率或增加带宽，例如使用4 - PAM，可使比特率、符号率和带宽保持不变。 ## 3. 信息理论的启示 信息理论表明，通过编码可使误码率任意小，前提是每符号传输的比特数小于信道容量$C$。对于离散时间加性高斯白噪声（AWGN）信道，$C=\frac{1}{2}\log_2(1+\frac{E_s}{\sigma^2})$比特/符号。在示例中，要传输$\frac{1}{2}$比特/符号，需$\frac{E_s}{\sigma^2}=1$（即0 dB）。LDPC码性能良好，即使信道输入字母表受限，其在$\frac{E_s}{\sigma^2}$比理论极限高不到1 dB的情况下，也能实现应用中所需的误码率。 ## 4. 卷积码与其他编码的发展 卷积码由Elias在1955年发明，已广泛应用于卫星通信、移动通信等系统。1993年，Berrou、Glavieux和Thitimajshima引入了Turbo码，通过级联两个由交织器分隔的卷积码实现了性能突破，其性能与LDPC码相近。如今，编码技术在现代通信系统中无处不在。 ## 5. Viterbi算法的形式化定义 ### 5.1 状态空间与边度量 设状态空间$\Gamma=\{(1, 1),(1, - 1),(-1, 1),(-1, - 1)\}$，边度量$\mu_{j - 1,j}(\alpha,\beta)$定义如下：若存在从深度$j - 1$的状态$\alpha\in\Gamma$到深度$j$的状态$\beta\in\Gamma$的边，则$\mu_{j - 1,j}(\alpha,\beta)=x_{2j - 1}y_{2j - 1}+x_{2j}y_{2j}$，其中$x_{2j - 1},x_{2j}$是对应边的编码器输出；若不存在这样的边，则$\mu_{j - 1,j}(\alpha,\beta)=-\infty$。 ### 5.2 路径度量与最长路径 路径度量是路径上各边度量之和。从深度$j = 0$的状态$(1, 1)$到深度$j$的状态$\alpha$的最长路径是具有最大路径度量的路径之一。Viterbi算法通过为每个$j$构建到深度$j$的状态的最长路径列表来工作。关键在于，若路径$path*\alpha_{j - 1}*\beta_j$是到深度$j$的状态$\beta$的最长路径，则$path*\alpha_{j - 1}$必须是到深度$j - 1$的状态$\alpha$的最长路径。 ### 5.3 算法步骤 1. 初始化：$\mu_0(1, 1)=0$，$\mu_0(\alpha)=-\infty$（$\alpha\neq(1, 1)$），$B_0(1, 1)=\varnothing$，$j = 1$。 2. 对于每个$\alpha\in\Gamma$，找到使$\mu_{j - 1}(\beta)+\mu_{j - 1,j}(\beta,\alpha)$最大的$\beta$，然后设置$\m