医学影像中的稀疏正则化与多尺度核束方法

### 医学影像中的稀疏正则化与多尺度核束方法 在医学影像领域，数据处理和分析对于疾病诊断、治疗规划等方面起着至关重要的作用。本文将介绍两种重要的方法：广义稀疏正则化（GSR）和用于大变形微分同胚度量映射（LDDMM）的多尺度核束（LDDKBM）方法。 #### 广义稀疏正则化（GSR） GSR是一种通用方法，旨在将稀疏性之外的属性纳入稀疏模型学习的整体部分。通过利用欧几里得范数的基本性质，GSR可以直接应用于许多广泛使用的稀疏线性模型，而无需改变其各自优化问题的函数形式。 - **优点**： - **建模灵活性**：GSR无需设计新的复杂优化例程，就能促进更大的建模灵活性。 - **提高预测准确性**：在大规模分类问题上验证了GSR的有效性，并证明了联合建模人类大脑的模块化性质和大脑活动的内在时空结构，相比标准技术（如LDA和SVM）可以显著提高预测准确性。 #### 大变形微分同胚度量映射（LDDMM）及相关问题 LDDMM框架是医学影像配准中广泛使用且数学基础良好的方法。其核心是正则化核的概念，核的选择对配准结果有很大影响。 - **存在的问题**：由于变形通常发生在不同的尺度上，选择合适的核尺度会在正则性和配准质量之间产生折衷。此外，为了降低计算复杂度并提供有意义的统计信息，引入稀疏性会进一步使核的选择变得复杂。 #### 多尺度核束（LDDKBM）方法 LDDKBM是LDDMM框架的扩展，允许在每次配准中纳入多个尺度的多个核，同时保留标准LDDMM的许多数学性质。 - **核心优势**： - **自动融合多尺度优势**：在肺部CT图像的地标数据集上，LDDKBM自动融合了每个尺度的优势，达到了与标准方法在最佳尺度调整下相同的精度。 - **去除经典尺度选择**：该框架不限于地标数据，因此无需进行经典的尺度选择。 - **其他优势**：通过解耦跨尺度的动量，LDDKBM有望提供更好的插值特性，允许对总变形进行稀疏描述，消除匹配质量和正则性之间的权衡，并允许使用尺度信息进行基于动量的统计。 #### LDDMM框架概述 LDDMM框架为微分同胚空间提供了定义明确的度量结构，并提供了方便的参数化这些空间的方法。 **配准问题的数学表达**：为了配准几何对象，通常定义微分同胚对对象的作用，然后搜索通过该作用匹配对象的微分同胚。对于地标配准，搜索使能量函数最小化的微分同胚： \[E(\phi) = E_1(\phi) + \lambda U(\phi)\] 其中，\(E_1(\phi)\)是正则化度量，\(U(\phi)\)是匹配质量的度量，\(\lambda > 0\)是权重。在LDDMM框架中，\(E_1(\phi)\)定义为将恒等映射\(Id_{\Omega}\)变换到\(\phi\)的微分同胚路径的最小能量。 **切线空间与核**：切线空间\(V\)上的范数通常选择为确保\(V\)是再生核希尔伯特空间。存在一个核\(K : \Omega \times \Omega \to R^{d\times d}\)，满足特定的再生性质。与范数和核紧密相关的是动量，动量算子\(L\)将\(V\)上的内积与\(L^2(\Omega)\)中的内积联系起来。 - **EPDiff方程**：对于最优路径的动量演化，有EPDiff方程。对于地标，动量集中在\(\phi_t(x_i)\)处，形成有限维的常微分方程组： \[ \begin{cases} v_t = \sum_{l = 1}^{N} K(\cdot, \phi_t(x_l)) a_{l,t} \\ \frac{d}{dt} \phi_t(x_i) = v_t(\phi_t(x_i)) \\ \frac{d}{dt} a_{i,t} = - \sum_{l = 1