可内接多面体的六个主题

### 可内接多面体的六个主题 #### 1. 高维特征刻画 对于高维可内接多面体，不太可能有像Rivin那样简洁优美的特征刻画。4维多面体已经体现出Mnëv意义下的普遍性，这使得判定给定面格是否对应一个4 - 多面体变得非常困难。对于高维可内接多面体，同样存在普遍性特征，因此难以轻松快速地判定其可内接性。 一个更现实的目标是寻找高维可内接性的强必要条件和良好（即弱）充分条件。Steinitz的证明可直接推广到高维，得到如下必要条件： - **定理2.1**：设$P$是具有图$G$的$d$ - 多面体。如果$G$有一个独立集，其包含的顶点数超过所有顶点数的一半，或者当$G$不是二分图时包含恰好一半的顶点，那么$P$不可内接。 证明思路是证明其对偶命题。假设$P^{\circ}$是外接的，通过对多面体的面和脊的相关角度进行分析，利用面的黑白染色，得出黑面的数量不能超过白面的数量等结论。 目前，Dillencourt更一般的必要条件（如1 - 韧性）以及Dillencourt和Smith的充分条件尚未推广到高维。由此引出问题： - **问题2.2**：寻找高维多面体可内接性的强必要和充分条件。 Firsching对10个顶点的单纯4 - 多面体进行了完整枚举，发现其中大多数是可内接的，且不可内接的多面体的面和边较少，这似乎表明可能存在仅基于$f$ - 向量的可内接性组合充分条件。进而提出问题： - **问题2.3**：当$n \to \infty$时，$n$个顶点的大多数单纯4 - 多面体是否可内接？ Smith证明了对于$n$个顶点的大多数单纯3 - 多面体既不可内接也不可外接，但顶点较少的单纯3 - 多面体情况不同。有审稿人建议在高维使用类似3 - 多面体的策略，即证明大的随机单纯$d$ - 多面体可能包含固定的不可内接子复形。 #### 2. 邻接多面体 在组合多面体理论中，一个基本问题是$n$个顶点的$d$ - 多面体最多能有多少个面。答案是$n$个顶点的循环$d$ - 多面体在所有$n$个顶点的$d$ - 多面体中具有最多的$k$ - 面（对所有$k$）。循环多面体得名于Gale，实际上Constantin Carathéodory在1911年就已有所研究。 循环多面体在偶数维是可内接的，且已找到多种内接实现方式，从而为内接多面体建立了上界定理。具有最多面数的多面体被McMullen刻画为单纯邻接多面体，即具有完整$\binom{d}{2}$ - 骨架的单纯多面体。 虽然Motzkin曾声称循环多面体是唯一的邻接多面体，但实际上有很多邻接多面体。对于固定的$d$，$n$个顶点的邻接$d$ - 多面体的数量至少为$n^{\lfloor d/2 \rfloor}n^{(1 - o(1))}$。并且，当$d \geq 4$时，用于提供这个下界的每个邻接多面体都是可内接的，甚至可以内接于任何严格凸体，由此引出以下问题： - **问题3.1**：每个（偶数维）邻接多面体是否可内接？ - **问题3.2**：每个（单纯）2 - 邻接多面体是否可内接？ 对于邻接多面体的外接性，结果与内接性相反。Chen和Padrol证明了对于任何$d \geq 4$，顶点足够多的循环$d$ - 多面体不可外接，他们甚至猜想这对于邻接多面体更普遍成立。这意味着可能存在凸多面体的$f$ - 向量不属于任何可内接多面体，由此引出问题： - **问题3.3**：是否存在不可内接的$f$ - 向量？ #### 3. 普遍可内接性 许多邻接多面体（包括所有循环多面体）是普遍可内接的，即可以内接于任何光滑严格凸体（如Oded Schramm所称的“蛋”）。其他普遍可内接的多面体例子包括由路径和$(d - 2)$ - 单纯形的并得到的堆叠$d$ - 多面体以及Lawrence多面体。由此引出问题： - **问题4.1**：哪些多面体可以内接于每个（光滑）严格凸体的边界？ Karim Adiprasito的观察表明，在球上可内接并不足以保证普遍可内接。同时提出相反问题： - **问题4.2**：是否存在除椭球外可内接于每个“蛋”的多面体？ 著名的Koebe–Andreev–Thurston定理表明每个3 - 多面体都有一个实现，其所有边都与球相切。Schramm进一步证明了每个3 - 多面体都有一个实现，其所