量子计算中的单比特和双比特门

### 量子计算中的单比特和双比特门 #### 1. 单比特门 在量子计算里，单比特门是基础操作，能对单个量子比特进行变换。下面我们来深入探究几种重要的单比特门。 ##### 1.1 哈达玛门（Hadamard Gate） 哈达玛门是众多量子算法中常用的基本门之一。它的定义为： \[ |0\rangle \to \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} \] \[ |1\rangle \to \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}} \] 这意味着哈达玛门能构建两个逻辑基态的线性叠加态。在逻辑基下，它由 2×2 的哈达玛矩阵表示： \[ \hat{H} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \] 在量子电路模型中，哈达玛门用标记为 “H” 的元素表示。 从几何角度看，哈达玛门相当于在布洛赫球上绕轴 (1, 0, 1) 旋转角度 $\pi$（最多有一个全局相位因子），即： \[ \hat{H} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{X} + \hat{Z}) = i \exp\left(-i \frac{\pi}{2} (\hat{X} + \hat{Z})\right) \] 哈达玛门的一个显著特性是，它能对逻辑基中的所有状态进行线性叠加。对于由 $n$ 个量子比特组成的量子寄存器，当对处于 $|0\rangle$ 态的每个量子比特应用哈达玛门时，会生成逻辑基中所有状态的线性叠加： \[ \hat{H}^{\otimes n} |0\rangle^{\otimes n} = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} \otimes \cdots \otimes \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{n/2}} \sum_{x = 0}^{2^n - 1} |x\rangle \] 更一般地，对于逻辑基中的任意态 $|y\rangle$，有： \[ \hat{H}^{\otimes n} |y\rangle = \frac{1}{2^{n/2}} \sum_{x = 0}^{2^n - 1} |x\rangle (-1)^{x \cdot y} \] 其中 $x \cdot y := x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n \pmod{2}$。 下面通过代码示例展示哈达玛门的操作： ``` In[ ]:= op = HoldForm@Multiply[S[1, 6], S[2, 6], S[3, 6]] Out[ ]= S1H S2H S3H In[ ]:= qc = QuantumCircuit[S[{1, 2, 3}, 6], Null] Out[ ]= H H H In[ ]:= out = ReleaseHold[op] ** Ket[]; out // LogicalForm Out[ ]= 0S10S20S3 / 2 + 0S10S21S3 / 2 + 0S11S20S3 / 2 + 0S11S21S3 / 2 + 1S10S20S3 / 2 + 1S10S21S3 / 2 + 1S11S20S3 / 2 + 1S11S21S3 / 2 ``` ##### 1.2 旋转门 任何幺正算符 $\hat{U}$ 都可以写成 $\hat{U} = \exp(-i \hat{H})$ 的形式，其中 $\hat{H}$ 是厄米算符。在与量子比特相关的二维向量空间 $S$ 中，任何厄米算符 $\hat{H}$ 都可以用泡利算符 $\hat{S}_{\mu}$ 展开： \[ \hat{H} = \varphi_0 + \hat{S}_x B_x + \hat{S}_y B_y + \hat{S}_z B_z \] 其中 $\varphi_0, B_x, B_y, B_z$ 是实参数。将 $\mathbf{B} := (B_x, B_y, B_z)$ 视为三维向量，考虑与 $\mathbf{B}$ 同向的单位向量 $\mathbf{n}$ 以及另一个实参数 $\varphi := 2|\mathbf{B}|$，则 $\hat{H}$ 可表示为： \[ \hat{H} = \varphi_0 + \hat{\mathbf{S}} \cdot \mathbf{n} \frac{\varphi}{2} \] 其中 $\hat{\mathbf{S}} := (\hat{S}_x, \hat{S}_y, \hat{S}_z)$。因此，$S$ 上的任何幺正算符都具有 $\hat{U} = e^{-i\varphi_0} \hat{U}_{\mathbf{n}}(\varphi)$ 的形式，其中： \[ \hat{U}_{\mathbf{n}}(\varphi) := \exp(-i \hat{\mathbf{S}} \cdot \mathbf{n} \frac{\varphi}{2}) \] 这里 $e^{-i\varphi_0}$ 改变全局相位因子，在物理上无关紧要，重要的是 $\hat{U}_{\mathbf{n}}(\varphi)$，它描述了在布洛赫球上绕轴 $\mathbf{n}$ 旋转角度 $\varphi$ 的操作。 在 $R^3$ 中，任何 3×3 旋转矩阵都可以分解为三个因子： \[ R = R_z(\alpha) R_y(\beta) R_z(\gamma) \] 其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 是所谓的欧拉角，这种旋转组合称为欧拉旋转。同样，$S$ 上的任何幺正算符也可以写成： \[ \hat{U} = e^{-i\varphi_0} \hat{U}_z(\alpha) \hat{U}_y(\beta) \hat{U}_z(\gamma) \] 下面通过代码示例展示旋转门的相关操作： ``` In[ ]:= mat = { {3 - I Sqrt[3], I - Sqrt[3]}, {I + Sqrt[3], 3 + I Sqrt[3]} } / 4; mat // MatrixForm Out[ ]//MatrixForm= (3 - Sqrt[3] I) / 4 (I - Sqrt[3]) / 4 (I + Sqrt[3]) / 4 (3 + Sqrt[3] I) / 4 In[ ]:= op = Elaborate@ExpressionFor[mat, S] Out[ ]= 3 / 4 + Sx / 4 - Sqrt[3] Sy / 4 - Sqrt[3] Sz / 4 In[ ]:= Dagger[op] ** op Out[ ]= 1 In[ ]:= angs = TheEulerAngles[mat] Out[ ]= {Pi / 3, Pi / 3, 0} In[ ]:= new = EulerRotation[angs, S] // Elaborate op - new Out[ ]= 3 / 4 + Sx / 4 - Sqrt[3] Sy / 4 - Sqrt[3] Sz / 4 Out[ ]= 0 ``` ##### 1.3 相位门 绕布洛赫空间中 $z$ 轴的旋转 $\hat{U}_z(\varphi)$ 会在两个逻辑基态 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 之间引入相对相位差 $\varphi$，这种旋转被称为（相对）相位门。两个常见的相位门是角度为 $2\pi/4$ 和 $2\pi/8$ 的 $\hat{Q}$ 和 $\hat{O}$ 门，分别称为象限相位门和八分之一相位门。在逻辑基下，它们由以下对角矩阵表示： \[ \hat{Q} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} \] \[ \hat{O} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{bmatrix} \] 显然，$\hat{O}^2 = \hat{Q}$ 且 $\hat{Q}^2 = \hat{Z}$。 #### 2. 双比特门 接下来我们探讨作用于两个量子比特的量子逻辑门操作，这类操作由 4×4 幺正矩阵表示。任何双比特门操作都可以分解为受控幺正门，而受控幺正门又可以进一步分解为只包含 CNOT 门和单比特旋转门的因子，因此 CNOT 门对于任何双比特门来说是足够的。 ##### 2.1 CNOT 门 CNOT 或受控非门是作用于两个量子比特的量子逻辑门，它将逻辑基态映射为： \[ |c\rangle \otimes |t\rangle \to |c\rangle \otimes |c \oplus t\rangle \] 其中 $c, t \in \{0, 1\}$，第一个量子比特通常称为控制比特，第二个量子比特称为目标比特。在逻辑基下，它的矩阵表示为： \[ \text{CNOT} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \] 用控制和目标比特上的泡利算符表示为： \[