无隐喻多目标Rao算法设计及其在工字梁设计优化中的应用

### 无隐喻多目标Rao算法设计及其在工字梁设计优化中的应用 在解决复杂的现实优化问题时，元启发式算法变得越来越重要。然而，许多传统算法需要设置和调整特定参数，这不仅耗时费力，还可能导致算法无法找到最优解。为了解决这些问题，研究人员提出了一系列无隐喻的Rao算法。本文将介绍如何使用非支配排序和拥挤距离机制将单目标Rao算法扩展到多目标优化，并将其应用于工字梁设计优化问题。 #### 1. 研究背景 元启发式算法在解决复杂的现实优化问题中发挥了重要作用。然而，传统算法通常需要设置和调整特定参数，这不仅耗时费力，还可能导致算法无法找到最优解。为了解决这些问题，Rao在2012年提出了基于教学学习的优化算法（TLBO），该算法无需设置任何参数。此后，研究人员对TLBO进行了改进，并将其应用于不同的优化问题。 2020年初，Rao提出了一组新的无隐喻简单算法，用于解决单目标优化问题。这些算法通过基于种群中最佳和最差解的方程来计算目标函数值，在无约束基准测试函数上取得了令人鼓舞的结果。 #### 2. 多目标优化问题的解决方法 通常，解决多目标优化问题有两种标准方法：先验方法和后验方法。先验方法通过某种标量化将多目标优化问题转化为单目标优化问题，而后验方法则同时优化所有目标，并生成一组Pareto最优解，由决策者根据需求选择。在现实世界的多目标问题中，基于Pareto的方法更为重要，其中非支配排序是最常用的后验方法之一。 #### 3. 非支配排序的Rao算法 本文提出了一种非支配排序和拥挤距离机制，用于设计多目标版本的Rao算法。具体来说，我们提出了三种变体：非支配排序Rao1算法（NSRao1）、非支配排序Rao2算法（NSRao2）和非支配排序Rao3算法（NSRao3）。 这些算法的核心是找到种群中的最佳和最差解。由于这是一个多目标算法，无法通过单一目标函数值来确定最佳和最差解。因此，我们使用非支配排序方法对种群中的所有个体进行排名，排名最高（排名 = 1）的个体被认为是最佳解，排名最低的个体被认为是最差解。如果两个或多个个体具有相同的排名，则通过拥挤距离计算来决定解的优劣。 在每次迭代中，根据不同的方程更新新值。如果新值支配先前或当前值，则将其更新到种群中；否则，将其丢弃。如果两者都不支配对方，则将新值添加到现有种群中。随后，再次应用非支配排序机制，以获得与算法开始时定义的原始种群大小相等的最佳个体。这个过程重复直到满足终止条件。 以下是NSRao1、NSRao2和NSRao3算法中用于生成更新位置的主要方程： - NSRao1: \(X'_{j,k} = X_{j,k} + r_{1j}(X_{j,Best} - X_{j,Worst})\) - NSRao2: \(X'_{j,k} = X_{j,k} + r_{1j}(X_{j,Best} - X_{j,Worst}) + r_{2j}(|X_{j,k} \text{ or } X_{j,l}| - |X_{j,l} \text{ or } X_{j,k}|)\) - NSRao3: \(X'_{j,k} = X_{j,k} + r_{1j}(X_{j,Best} - X_{j,Worst}) + r_{2j}(|X_{j,k} \text{ or } X_{j,l}| - (X_{j,l} \text{ or } X_{j,k}))\) 其中，\(r_{1j}\)和\(r_{2j}\)是第\(j\)个变量在第\(C_i\)次迭代中的随机数，范围为[0, 1]。\(X_{j,Best}\)和\(X_{j,Worst}\)分别表示第\(j\)个变量在第\(C_i\)次迭代中的最佳和最差值。 下面是NSRao算法的流程图： ```mermaid graph TD; A[初始化种群] --> B[非支配排序和拥挤距离计算]; B --> C[选择最佳和最差解]; C --> D[根据方程更新新值]; D --> E{新值是否支配旧值}; E -- 是 --> F[更新种群]; E -- 否 --> G{两者是否相互不支配}; G -- 是 --> H[添加新值到种群]; G -- 否 --> I[丢弃新值]; F --> J[再次应用非支配排序]; H --> J; I --> J; J --> K{是否满足终止条件}; K -- 否 --> B; K -- 是 --> L[输出非支配解集]; ``` #### 4. 工字梁设计优化问题 工字梁设计优化问题是土木工程中的一个重要多目标优化问题。该问题的目标是在满足强度和几何约束的前提下，最小化工字梁的横截面积和静态挠度。 具体来说，我们需要优化以下两个冲突的目标： - 最小化工字梁的横截面积，其体积由长度反映。 - 最小化工字梁在力\(P\)作用下的静态挠度。 该问题的约束条件包括强度约束和几何约束： - 强度约束：\(\frac{M_y}{W_y} + \frac{M_z}{W_z} \leq K_g\) - 几何约束：\(10 < x_1 \leq 80\)，\(10 \leq x_2 \leq 50\)，\(0.9 \leq x_3, x_4 \leq 5\) 其中，\(M_y\