冷原子系统中的拓扑相：从规范场到拓扑态

# 冷原子系统中的拓扑相：从规范场到拓扑态 ## 1. 引言 在冷原子系统中，光诱导规范场的实现是一个重要的研究方向。通过原子与位置相关的激光场相互作用，原子的参数会依赖于其位置。下面将介绍光诱导规范场背后的主要思想，以及冷原子系统中拓扑态的实现。 ## 2. 几何规范势 ### 2.1 基本概念 当原子的质心运动与其内部自由度耦合时，几何规范势会自然地出现在冷原子系统中。考虑一个处于位置和时间相关激光场中的原子，其位置由质心位置矢量 $\mathbf{r}$ 表示，相应的动量算符为 $\mathbf{p} = -i\hbar\nabla$。原子内部自由度的动力学由原子哈密顿量 $H_0$ 描述，原子 - 光耦合由位置和时间相关项 $H_1(\mathbf{r}, t)$ 给出。假设原子在一个（与状态无关）的捕获势 $V(\mathbf{r}, t)$ 中运动，总哈密顿量为： \[H_{tot} = -\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m} + V(\mathbf{r}, t) + H_0 + H_1(\mathbf{r}, t)\] ### 2.2 幺正变换与有效哈密顿量 令 $|\alpha\rangle$ 为 $H_0$ 的本征态，即原子的裸态。在激光场存在的情况下对原子哈密顿量 $H_0 + H_1$ 进行对角化，会得到一组本征态，称为原子的缀饰态 $|\phi_{\alpha}\rangle = |\phi_{\alpha}(\mathbf{r}, t)\rangle$。位置和时间相关算符 $U(\mathbf{r}, t) = \sum_{\alpha}|\phi_{\alpha}\rangle\langle\alpha|$ 是一个幺正变换，它连接了裸态和缀饰态的基，即 $U|\alpha\rangle = |\phi_{\alpha}\rangle$。 如果 $|\psi\rangle$ 是由总哈密顿量 $H_{tot}$ 定义的含时薛定谔方程的解，那么变换后的态 $|\psi'\rangle = U^{\dagger}|\psi\rangle$ 将是由变换后的哈密顿量 $H_{tot}' = U^{\dagger}H_{tot}U - i\hbar U^{\dagger}\partial_t U$ 定义的含时薛定谔方程的解。具体来说： \[H_{tot}' = \frac{[\mathbf{p} - \mathbf{A}(\mathbf{r}, t)]^2}{2m} + V(\mathbf{r}, t) + \Lambda(\mathbf{r}, t) + \Phi(\mathbf{r}, t)\] 其中 $\mathbf{A} = i\hbar U^{\dagger}\nabla U$ 和 $\Phi = -i\hbar U^{\dagger}\partial_t U$。 假设原子缀饰态的一个子集 $q$ 在能量上与其他缀饰态很好地分离，并且被捕获的原子在 $q$ 态张成的子空间内绝热演化。描述系统绝热演化的有效哈密顿量为 $\tilde{P}_qH_{tot}\tilde{P}_q$，其中 $\tilde{P}_q = \sum_{\alpha\in q}|\phi_{\alpha}\rangle\langle\phi_{\alpha}|$ 是投影到缀饰 $q$ 态子空间的投影算符。在绝热近似下，描述系统动力学的有效（变换后）哈密顿量为： \[H_{eff} = P_qH_{tot}'P_q = \frac{[\mathbf{p} - \mathbf{A}^{(q)}]^2}{2m} + V + \Lambda^{(q)} + \Phi^{(q)} + W^{(q)}\] 其中 $\mathbf{A}^{(q)}$、$\Lambda^{(q)}$ 和 $\Phi^{(q)}$ 是相应算符在 $q$ 子空间上的投影，额外项 $W^{(q)}$ 的形式为： \[W^{(q)} = \frac{1}{2m}\left[P_q\mathbf{A}^2P_q - (\mathbf{A}^{(q)})^2\right] = \frac{1}{2m}P_q\mathbf{A}(1 - P_q)\mathbf{A}P_q\] ### 2.3 矩阵表示 在原子裸态下，与几何矢量势 $\mathbf{A}^{(q)}$ 和标量势 $W^{(q)}$、$\Phi^{(q)}$ 相关的算符为： \[\mathbf{A}^{(q)} = \sum_{\alpha,\beta\in q}|\alpha\rangle A_{\alpha\beta}\langle\beta|, \quad A_{\alpha\beta} = i\hbar\langle\phi_{\alpha}|\nabla|\phi_{\beta}\rangle\] \[\Phi^{(q)} = \sum_{\alpha,\beta\in q}|\alpha\rangle\Phi_{\alpha\beta}\langle\beta|, \quad \Phi_{\alpha\beta} = -i\hbar\langle\phi_{\alpha}|\frac{\partial}{\partial t}|\phi_{\beta}\rangle\] \[W^{(q)} = \sum_{\alpha,\beta\in q}|\alpha\rangle W_{\alpha\beta}\langle\beta|, \quad W_{\alpha\beta} = \frac{1}{2m}\sum_{\lambda\notin q}A_{\alpha\lambda}\cdot A_{\lambda\beta}\] 如果 $q$ 子空间是一维的，或者矩阵 $A_{\alpha\beta}$、$\Phi_{\alpha\beta}$ 和 $W_{\alpha\beta}$ 是对角的，它们代表阿贝尔几何势；否则，它们代表非阿贝尔势。 ## 3. 阿贝尔规范势：$\Lambda$ 方案 ### 3.1 原子结构与哈密顿量 考虑一个简化的原子结构，由三个原子态 $|g_1\rangle$、$|g_2\rangle$ 和 $|e\rangle$ 组成，通常前两个是近简并的基态，第三个是激发态。两个激光束将 $|g_1\rangle$ 和 $|g_2\rangle$ 态耦合到激发态，形成所谓的 $\Lambda$ 方案，如图 1 所示。假设激光的失谐分别为 $\delta_1 = -\delta$ 和 $\delta_2 = \delta$。在旋转波近似下，有效的原子 - 光哈密顿量是时间无关的，具体形式为： \[H_0 = \frac{\hbar\delta}{2}[|g_2\rangle\langle g_2| - |g_1\rangle\langle g_1|] + \frac{\hbar}{2}[\Omega_1(\mathbf{r})|e\rangle\langle g_1| + \Omega_2(\mathbf{r})|e\rangle\langle g_2| + h.c.]\] 其中 $\Omega_1$ 和 $\Omega_2$ 是表征两个跃迁的拉比频率。 ### 3.2 本征态与几何矢量势 $H_0$ 的三个本征态代表具有 $\Lambda$ 型能级结构的原子 - 光系统的缀饰原子态。假设精确共振，即 $\delta = 0$，有： \[|D\rangle = \frac{|g_1\rangle - \zeta|g_2\rangle}{\sqrt{1 + |\zeta|^2}}, \quad |B_{\pm}\rangle = \frac{|g_1\rangle + \zeta^*|g_2\rangle}{\sqrt{2(1 + |\zeta|^2)}} \pm \frac{|e\rangle}{\sqrt{2}}\] 其中 $\zeta \equiv \Omega_1/\Omega_2 = |\zeta|e^{iS}$ 给出了两个拉比频率的相对大小和相位。态 $|D\rangle$ 称为暗态，不包含激发态 $|e\rangle$ 的贡献，这意味着处于 $|D\rangle$ 态的系统不会使激发能级布居，从而抑制了自发衰变。 如果 $| \epsilon_{B_{\pm}}|$ 超过原子运动的特征动能，原子将在暗态子空间 $q = D$