素子模与对称代数相关理论及计算

### 素子模与对称代数相关理论及计算 #### 1. 基本定义 - **素子模与准素子模**：若 \(P\) 是 \(N\) 的子模，当 \((P : N)\) 是 \(R\) 的素（准素）理想时，有不同的定义。若 \(P\) 是 \(N\) 的准素子模，\((P : N)\) 的根 \(\sqrt{(P : N)}\) 是 \(R\) 中由 \(N/P\) 上所有幂零位似构成的素理想，即 \(\sqrt{(P : N)} = \{a \in R / a^nN \subseteq P\) 对某个 \(n > 0\}\)。若 \(P\) 是 \(N\) 的素子模且 \(p = (P : N)\)，称 \(P\) 为 \(p\) - 素子模；若 \(P\) 是 \(N\) 的准素子模且 \(p = \sqrt{(P : N)}\)，称 \(P\) 为 \(p\) - 准素子模。当且仅当 \((P : N) = p \in SpecR\) 时，\(N\) 的 \(p\) - 准素子模 \(P\) 是 \(p\) - 素子模。 - **\(p(L)\) 子模**：设 \(L\) 是 \(R\) - 模 \(N\) 的真子模，给定 \(R\) 的素理想 \(p\)，\(p(L) = \{n \in N : an \in L + pN\)，对某个 \(a \in R - p\}\)。要么 \(p(L) = N\)，要么 \(p(L)\) 是 \(N\) 的 \(p\) - 素子模，且包含于 \(N\) 中包含 \(L\) 的每个 \(p\) - 素子模。 - **\(0\) - 素子模**：设 \(R\) 是诺特整环，\(N\) 是有限 \(R\) - 模，子模 \(M\) 是 \(0\) - 素子模当且仅当 \(N/M\) 是无挠 \(R\) - 模，等价于零是 \(N/M\) 上唯一的非单射位似。 - **子模的根**：设 \(R\) 是（交换且含幺）环，\(N\) 是 \(R\) - 模，包含子模 \(M \subset N\) 的 \(N\) 的所有素子模的交称为 \(M\) 的根，记为 \(rad_N(M)\)。 - **子模的扩张**：设 \(N\) 是有限生成 \(R\) - 模，\(M\) 是 \(N\) 的素子模，\(M\) 的扩张 \(E_M\) 是 \(S(N)\) 中所有满足存在 \(a \in R\)，\(a \notin p_M\) 使得 \(a \cdot b \in (p_M, M) \cdot S(N)\) 的元素 \(b\) 的集合。 #### 2. 扩张 \(E_M\) 的性质 - \(E_M\) 是 \(S(N)\) 的素理想。 - \(E_M \cap R = p_M\)，\(E_M \cap N = M\)。 - \(E_M\) 是齐次理想，即 \(E_M = \oplus_{i \geq 0}E^i_M\)，\(E^i_M = E_M \cap S^i(N)\)。 - 映射 \(M \to E_M\) 是从 \(N\) 的素子模集合到 \(SpecS(N)\) 的单射。 #### 3. 子模根的计算 - **理论基础**： - 若 \(R\) 是主理想整环，\(N\) 是有限生成 \(R\) - 模，子模 \(M \subseteq N\) 的根 \(rad_N(M)\) 与由其包络生成的子模重合，即 \(rad_N(M) = \langle E(M) \rangle\)，其中 \(E(M)\) 是 \(N\) 中所有满足存在 \(a \in R\)，\(y \in N\) 使得 \(x = a \cdot y\) 且 \(a^ny \in M\) 对某个 \(n \in Z^+\) 的元素 \(x\) 的集合，此时称 \(N\) 满足根公式（简记为 \(N\) s.t.r.f）。该结果已推广到任意戴德金整环 \(R\) 和任意 \(R\) - 模。 - 定理：设 \(R\) 是环，\(N\) 是有限生成 \(R\) - 模，\(Q \subseteq N\) 是子模，元素 \(x \in N\) 属于 \(rad_N(Q)\) 当且仅当 \(x \in \sqrt{Q \cdot S(N)}\)，等价于 \(x^n \in Q \cdot S(N)\) 对某个 \(n \in Z^+\)。 - **计算步骤**： - 设 \(A = R[x_1, \ldots, x_n] = \oplus_{i \geq 0}A(i)\) 是 \(R\) 上所有多项式的正分次环，对于 \(R\) - 模 \(N\)，有正合序列 \(0 \to K \to F \xrightarrow{\pi} N \to 0\)，其中 \(F\) 是自由 \(R\) - 模。给定 \(N\) 的真子模 \(M\)，设 \(L = \pi^{-1}(M)\)。若 \(\{e_1, \ldots, e_n\}\) 是 \(F\) 的基，有同构 \(\phi : F \to A(1)\)，\(\phi(e_i) = x_i\)，\(1 \leq i \leq n\)。记 \(I = \phi(K) \cdot A\)，\(J = \phi(L) \cdot A\)，则 \(I \subseteq J\)，且有正合序列 \