积分方程与逆问题理论详解

### 积分方程与逆问题理论详解 #### 1. 积分方程基础 积分方程的数值求解并非如很多人认为的那样神秘。它与有限维向量空间中的线性方程有紧密对应关系。积分方程主要分为Fredholm方程和Volterra方程。 - **Fredholm方程** - **第一类非齐次Fredholm方程**：形式为\(g(t) = \int_{a}^{b} K(t, s)f(s) ds\)，类似于矩阵方程\(K · f = g\)。这类方程常是病态的，因为核函数的平滑操作会丢失信息，逆运算难以恢复。 - **第二类Fredholm方程**：一般形式为\(f(t) = \lambda \int_{a}^{b} K(t, s)f(s) ds + g(t)\)。当\(g\)非零时，除\(\lambda\)为特征值外可解，这就是Fredholm择一定理。第二类非齐次Fredholm方程通常病态程度较低，若\(\sigma\)（\(\sigma = 1/\lambda\)）足够大，方程是对角占优的，条件良好。 - **Volterra方程**：是Fredholm方程的特殊情况，当\(s > t\)时\(K(t, s) = 0\)。 - **第一类Volterra方程**：\(g(t) = \int_{a}^{t} K(t, s)f(s) ds\)，对应下三角矩阵方程，可通过前向替换轻松求解，在实验测量噪声不占主导时通常不是病态的。 - **第二类Volterra方程**：\(f(t) = \int_{a}^{t} K(t, s)f(s) ds + g(t)\)。 #### 2. 第二类Fredholm方程的数值解法 对于方程\(f(t) = \lambda \int_{a}^{b} K(t, s)f(s) ds + g(t)\)，常用Nystrom方法。 - **选择求积规则**：高效方法倾向使用高阶求积规则，如Gauss - Legendre求积。 - **应用求积规则**：将求积规则\(\int_{a}^{b} y(s) ds = \sum_{j = 1}^{N} w_jy(s_j)\)应用到方程中，得到\(f(t) = \lambda \sum_{j = 1}^{N} w_jK(t, s_j)f(s_j) + g(t)\)，在求积点处求值后转化为矩阵方程\((1 - \lambda\tilde{K}) · f = g\)，可通过标准三角分解技术求解。 - **获取其他点的解**：不能用多项式插值，应使用\(f(t) = \lambda \sum_{j = 1}^{N} w_jK(t, s_j)f(s_j) + g(t)\)作为插值公式。 以下是相关代码： ```c #include "nrutil.h" void fred2(int n, float a, float b, float t[], float f[], float w[], float (*g)(float), float (*ak)(float, float)) { void gauleg(float x1, float x2, float x[], float w[], int n); void lubksb(float **a, int n, int *indx, float b[]); void ludcmp(float **a, int n, int *indx, float *d); int i,j,*indx; float d,**omk; indx=ivector(1,n); omk=matrix(1,n,1,n); gauleg(a,b,t,w,n); for (i=1;i<=n;i++) { for (j=1;j<=n;j++) omk[i][j]=(float)(i == j)-(*ak)(t[i],t[j])*w[j]; f[i]=(*g)(t[i]); } ludcmp(omk,n,indx,&d); lubksb(omk,n,indx,f); free_matrix(omk,1,n,1,n); free_ivector(indx,1,n); } float fredin(float x, int n, float a, float b, float t[], float f[], float w[], float (*g)(float), float (*ak)(float, float)) { int i; float sum=0.0; for (i=1;i<=n;i++) sum += (*ak)(x,t[i])*w[i]*f[i]; return (*g)(x)+sum; } ``` #### 3. Volterra方程的求解 以第二类Volterra方程\(f(t) = \int_{a}^{t} K(t, s)f(s) ds + g(t)\)为例。 - **均匀网格求解**：在均匀网格\(t_i = a + ih\)上，使用梯形求积规则，方程可转化为\(f_0 = g_0\)，\((1 - \frac{1}{2}hK_{ii})f_i = h(\frac{1}{2}K_{i0}f_0 + \sum_{j = 1}^{i - 1} K_{ij}f_j) + g_i\)，\(i = 1, \cdots, N\)，可在\(O(N^2)\)操作内求解。 - **向量方程情况**：若将方程视为\(m\)个函数\(f(t)\)的向量方程，核函数\(K(t, s)\)是\(m × m\)矩阵，每个\(i\)都要通过高斯消元法求解\(m × m\)的线性代数方程组。 以下是实现代码： ```c #include "nrutil.h" void voltra(int n, int m, float t0, float h, float *t, float **f, float (*g)(int, float), float (*ak)(int, int, float, float)) { void lubksb(float **a, int n, int *indx, float b[]); void ludcmp(float **a, int n, int *indx, float *d); int i,j,k,l,*indx; float d,sum,**a,*b; indx=ivector(1,m); a=matrix(1,m,1,m); b=vector(1,m); t[1]=t0; for (k=1;k<=m;k++) f[k][1]=(*g)(k,t[1]); for (i=2;i<=n;i++) { t[i]=t[i-1]+h; for (k=1;k<=m;k++) { sum=(*g)(k,t[i]); for (l=1;l<=m;l++) { sum += 0.5*h*(*ak)(k,l,t[i],t[1])*f[l][1]; for (j=2;j<i;j++) sum += h*(*ak)(k,l,t[i],t[j])*f[l][j]; a[k][l]=(k == l)-0.5*h*(*ak)(k,l,t[i],t[i]); } b[k]=sum; } ludcmp(a,m,indx,&d); lubksb(a,m,indx,b); for (k=1;k<=m;k++) f[k][i]=b[k]; } free_vector(b,1,m); free_matrix(a,1,m,1,m); free ```