三维潜在边界值问题中的优化算法与计算机安全计算

### 三维潜在边界值问题中的优化算法与计算机安全计算 #### 1. 三维潜在边界值问题的求解新方法 在解决技术问题时，常常会遇到边界值问题。目前，有限元法（FEM）和边界元法（BEM）是解决这类问题常用的数值方法。FEM将问题的整个区域离散为有限元，而BEM仅对边界进行离散。然而，这种离散方式会导致需要大量的输入数据，并求解大量的代数方程，这在解决三维边界值问题时是一个显著的缺点。 为了解决这些问题，提出了一种新的方法，即使用Coons线性曲面和三次非线性Bezier曲面来定义边界几何形状。这种方法应用于参数积分方程系统（PIES）中，用于解决三维边界值问题。PIES是传统边界积分方程（BIE）的一种解析改进，其主要优点是在数值求解过程中，所需的用于定义边界几何形状的输入数据比BIE少。边界几何形状的描述仅需使用曲面的角点集合，并且求解的方程系统也更小。 PIES的数值解不需要对边界进行离散，仅需对边界函数进行近似。将边界近似与边界函数分离，使得边界几何形状的修改更加容易，也能够使用更有效的方法来近似边界函数。在求解PIES时，使用了配点法，并结合Chebyshev多项式作为基函数。同时，为了找到最优的配点排列，应用了遗传算法。 #### 2. 三维边界的建模与修改 在PIES中，使用Coons曲面和Bezier曲面来定义三维边界几何形状。Coons曲面用于构建三维边界几何形状的线性部分，每个Coons曲面仅由4个角点定义，其公式如下： \[ P(w,v) = [1 - w,v] \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12} \\ P_{21} & P_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 - v \\ v \end{bmatrix} \] 经过乘法运算后，得到： \[ P(w,v) = \varphi_1(w,v)P_1 + \varphi_2(w,v)P_2 \] 其中，\(\varphi_1 = (1 - w)(1 - v)\)，\(\varphi_2 = w(1 - v)\)，\(\varphi_3 = wv\)，\(\varphi_4 = (1 - w)v\)，\(\varphi_i\)（\(i = 1,2,3,4\)）是基函数。 Bezier曲面补丁用于定义PIES中边界几何形状的非线性部分。每个Bezier曲面由16个控制点的网格定义，公式如下： \[ P(v,w)=vM_{Bezier} \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12} & P_{13} & P_{14} \\ P_{21} & P_{22} & P_{23} & P_{24} \\ P_{31} & P_{32} & P_{33} & P_{34} \\ P_{41} & P_{42} & P_{43} & P_{44} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 - w \\ w \end{bmatrix}^3 \] 其中， \[ M_{Bezier} = \begin{bmatrix} -1 & 3 & -3 & 1 \\ 3 & -6 & 3 & 0 \\ -3 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \] 使用零次Bezier曲面时，仅通过角点就可以轻松建模任何域；使用三次Bezier曲面时，借助少量的Bezier控制点，能够以连续解的方式对边界几何形状进行建模，并具有\(C^2\)连续性。这不仅减少了定义域所需的输入数据，还减少了需要求解的代数方程系统。 #### 3. 参数积分方程系统（PIES） 可以使用PIES来有效地寻找Laplace方程在边界上的解。PIES是BIE的解析改进结果，其在二维边界值问题中的方法经过推广后，用于三维边界值问题的公式如下： \[ 0.5u_i(v,w) = \sum_{j=1}^{N} \iint_{S_j} [P_{ij}^*(v_1,w_1,v,w)p_j(v_1,w_1) - U_{ij}^*(v_1,w_1,v,w)u_j(v_1,w_1)] \lambda_j(v_1,w_1) dv_1 dw_1 \] 关于三维边界（Coons曲面或Bezier曲面）的信息包含在核函数\(U_{ij}^*(s_1, s)\)和\(P_{ij}^*(s_1, s)\)中，其形式如下： \[ U_{ij}^*(s_1, s) = \frac{1}{4\pi} \frac{1}{|\eta|} \] \[ P_{ij}^*(s_1, s) = \frac{1}{4\pi} \frac{\eta \cdot n}{|\eta|^3} \] 其中，\(\eta_1 = P_{i}^{(1)}(v_1, w_1) - P_{i}^{(1)}(v, w)\)，\(\eta_2 = P_{i}^{(2)}(v_1, w_1) - P_{i}^{(2)}(v, w)\)，\(\eta_3 = P_{i}^{(3)}(v_1, w_1) - P_{i}^{(3)}(v, w)\)。 函数\(U_{ij}^*(s_1, s)\)被称为基本边界解，\(P_{ij}^*(s_1, s)\)被称为奇异边界解。这些解构成了PIES中的核函数，与传统核函数不同的是，它们考虑了通过参数线性函数定义的边界几何形状。 #### 4. 借助遗传算法的PIES数值求解 将边界近似与边界函数分离，使得可以使用各种更有效的方法来数值求解PIES。为了解决PIES，使用了配点法，这是谱方法的一种特定变体，它非常有效，因为只需要进行一次积分。 PIES的解通过公式表示，其求解归结为在考虑问题的每个边界段上找到未知函数\(u_j(v, w)\)或\(p_j(v, w)\)。边界函数通过以下近似表达式进行近似： \[ u_j(v, w) \approx \sum_{p=0}^{N-1} \sum_{r=0}^{M-1} u_{jpr} T_p^{(N)}(v) T_r^{(M)}(w) \] \[ p_j(v, w) \approx \sum_{p=0}^{N-1} \sum_{r=0}^{M-1} p_{jpr} T_p^{(N)}(v) T_r^{(M)}(w) \] 其中，\(u_{jpr}\)和\(p_{jpr}\)是未知系数，\(n = N \times M\)是每个段上的系数数量，而\(T_p^{(N)}(v)\)和\(T_r^{(M)}(w)\)是全局基函数——Chebyshev多项式，由以下递推公式描述： \[ T_0(x) = 1 \] \[ T_1(x) = x \] \[ T_{k+1}(x) = 2xT_k(x) - T_{k-1}(x) \] 将上述近似表达式代入积分方程系统中，得到方程的形式。对于所有配点写出该方程，得到矩阵形式。未知系数\(u_{j