流式贝叶斯学习中保留先验信息的方法研究

### 流式贝叶斯学习中保留先验信息的方法研究 在机器学习领域，流式学习是处理不断涌入数据的重要方法。然而，传统的流式变分贝叶斯（SVB）方法在处理先验信息时存在一定的局限性。本文将介绍一种在流式学习中保留先验信息的框架（KPS），并通过两个案例研究展示其优势。 #### 1. SVB方法的局限性 在流式环境中，数据不断涌入，而SVB方法仅在初始化步骤使用先验信息。随着数据的增加，先验信息会被从数据中学习到的信息所淹没，即$\sum_{i=1}^{b}(\tilde{\xi}_{i}) \gg \eta$（其中$b \gg 1$），这意味着SVB会迅速丢失先验信息。此外，在学习过程的初始阶段，当$b$较小时，少量数据提供的信息不足以支持模型，强调先验信息的影响是提高模型质量的核心问题，但SVB并未解决这一问题。 #### 2. KPS框架的提出 KPS框架的主要思想是让先验信息在每个小批量数据中直接影响模型。具体而言，每个小批量数据都会利用先验信息，从而在整个学习过程中强调先验信息的重要性。 后验概率可以重写为：$p(\Phi_{b}|C_{b}, \Phi_{b - 1}, \eta)$，通过简单的贝叶斯变换可得：$p(\Phi_{b}|C_{b}, \Phi_{b - 1}, \eta) \propto p(C_{b}| \Phi_{b}, \Phi_{b - 1}, \eta)p(\Phi_{b}| \Phi_{b - 1}, \eta) = p(C_{b}| \Phi_{b})p(\Phi_{b}| \Phi_{b - 1}, \eta)$。 我们假设$p(\Phi_{b}| \Phi_{b - 1}, \eta) \approx q(\Phi_{b}| \Phi_{b - 1})q(\Phi_{b}| \eta)$，其中$q(\Phi_{b}| \eta)$表示先验信息对当前小批量数据的影响，$q(\Phi_{b}| \eta) = \exp\{f_{b}(\eta) \cdot T(\Phi)\}$，$f_{b}(\eta)$是描述先验信息如何影响每个小批量数据的函数，本文提出一种简单形式：$f_{b}(\eta) = \rho_{b} \cdot \eta$，其中$\rho_{b} = (1 + b)^{-\kappa}$。 为了在流式学习中持续保持先验信息的影响，我们提出两种设置： - 强保留先验（S - KPS）：设置$\kappa = 0$，此时$f_{b}(\eta) = \eta$。 - 弱保留先验（D - KPS）：$\kappa > 0$，先验信息会随着小批量数据的增加而逐渐减少。 最终，后验概率可以持续更新为：$q_{b} = \exp\{(\tilde{\xi}_{b} + \xi_{b - 1} + f_{b}(\eta)) \cdot T(\Phi)\}$或$\xi_{b} = \tilde{\xi}_{b} + \xi_{b - 1} + f_{b}(\eta)$。与传统的更新公式相比，新增的$f_{b}(\eta)$项描述了先验信息的影响，这意味着下一个小批量数据的参数包含三部分：当前小批量数据的信息、上一步的信息以及先验信息的影响。 #### 3. 案例研究1：LDA的流式学习 LDA是一种用于建模文本数据的生成模型。它假设语料库由$K$个主题$\beta = (\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{K})$组成，每个主题从狄利克雷分布中抽取：$\beta \sim Dirichlet(\eta)$。文档$d$是这些主题的混合$\theta$，其生成过程如下： 1. 抽取主题混合$\theta|\alpha \sim Dirichlet(\alpha)$。 2. 对于文档$d$中的第$i$个单词： - 抽取主题索引$z_{i}|\theta \sim Multinomial(\theta)$。 - 抽取单词$w_{i}|z_{i}, \beta \sim Multinomial(\beta_{z_{i}})$。 $\beta$是每个主题内单词在词汇表上的分布，先验参数$\eta$包含了关于这个分布的信息。通常，由于缺乏先验知识，$\eta$被设置为对称值，但在语言数据中，我们可以利用Zipf定律等信息，使先验信息以非对称向量分布的形式提供更多信息。 ##### 3.1 流式学习算法 我们使用变分贝叶斯作为近似算法，分别应用SVB和KPS框架得到LDA的流式学习算法： - **SVB算法**： ```plaintext Input: Prior η, hyper - parameter α, sequence of minibatches C1, C2, ... Output: λ Initialize : λ0 ← η for each minibatch C in C1, C2, ... do for each document d in C do Φd ← VBInference(d, λ) end for ˜λb ← ∑(d in C) Φdvkndv λb ← λb−1 + ˜λb end for ``` - **KPS算法**： ```plaintext Input: Prior η, hyper - parameter α, sequence of minibatches C1, C2, ... Output: λ Initialize : λ0 ← η for e ```