自适应耦合神经网络的有限时间性能分析

# 自适应耦合神经网络的有限时间性能分析 ## 1. 无向拓扑自适应耦合神经网络的 FTP ### 1.1 相关推导与结论 在 $t \geqslant t^*$ 时，通过一系列推导可得： $\dot{V}_1(t) - 2y^T (t)Wu(t) \leqslant -2\alpha V_1^{\frac{\delta + 1}{2}}(t)$ 进而推出： $y^T (t)Wu(t) \geqslant \dot{\hat{V}}_1(t) + \hat{\alpha} \hat{V}_1^{\frac{\delta + 1}{2}}(t), t \geqslant t^*$ 其中 $\hat{V}_1(t) = \frac{V_1(t)}{2}$，$\hat{\alpha} = 2^{\frac{\delta + 1}{2}} \alpha$。 ### 1.2 相关定理 - **定理 5.7**：若存在 $W \in R^{pN×nN}$ 和 $0 < W_1 \in R^{nN×nN}$ 满足 $W^T (I_N \otimes M_2) + (I_N \otimes M_2^T)W - W_1 > 0$，则网络 (5.3) 在自适应律 (5.2) 和控制器 (5.4) 下实现有限时间输入严格无源 (FTISP)。 - **定理 5.8**：若存在 $W \in R^{pN×nN}$ 和 $0 < W_2 \in R^{pN×pN}$ 满足 $W^T (I_N \otimes M_2) + (I_N \otimes M_2^T)W - (I_N \otimes M_2^T)W_2(I_N \otimes M_2) > 0$，则网络 (5.3) 在自适应律 (5.2) 和控制器 (5.4) 下实现有限时间输出严格无源 (FTOSP)。 ### 1.3 FTS 准则 - **定义 5.9**：当 $u_i(t) = 0, i = 1, 2, \cdots, N$ 时，若存在 $0 < \rho \in R$ 满足 $\lim_{t \to \rho^-} \left\lVert x_i(t) - \frac{1}{N} \sum_{r = 1}^{N} x_r(t) \right\rVert = 0, i = 1, 2, \cdots, N$ 且 $\sum_{i = 1}^{N} \left\lVert x_i(t) - \frac{1}{N} \sum_{r = 1}^{N} x_r(t) \right\rVert \neq 0, 0 \leqslant t < \rho$，则网络 (5.1) 实现有限时间同步 (FTS)。 - **定理 5.10**：设 $V (t) : [0, +\infty) \to [0, +\infty)$ 连续可微，且满足 $\upsilon_1(\left\lVert w(t) \right\rVert) \leqslant V (t)$，其中 $\upsilon_1 : [0, +\infty) \to [0, +\infty)$ 是连续且严格单调递增函数，$\upsilon_1(0) = 0$。若网络 (5.3) 在自适应律 (5.2) 和控制器 (5.4) 下相对于 $V (t)$ 实现 FTP（FTISP、FTOSP），则网络 (5.1) 在自适应律 (5.2) 和控制器 (5.4) 下实现 FTS。 - **推论 5.11**：若存在 $W \in R^{pN×nN}$ 满足 $W^T (I_N \otimes M_2) + (I_N \otimes M_2^T)W > 0$，则网络 (5.1) 在自适应律 (5.2) 和控制器 (5.4) 下实现 FTS。 ### 1.4 流程总结 ```mermaid graph TD; A[t >= t*] --> B[推导dot{V}_1(t) - 2y^T (t)Wu(t)的不等式]; B --> C[得出y^T (t)Wu(t)的不等式]; C --> D[判断是否满足定理5.7条件]; D -->|是| E[网络实现FTISP]; D -->|否| F[判断是否满足定理5.8条件]; F -->|是| G[网络实现FTOSP]; F -->|否| H[判断是否满足推论5.11条件]; H -->|是| I[网络实现FTS]; ``` ## 2. 有向拓扑自适应耦合神经网络的 FTP ### 2.1 网络模型 考虑网络拓扑结构为有向的情况，网络模型为： $\dot{x}_i(t) = -Bx_i(t) + Cg(x_i(t))