混沌系统函数投影同步、参数识别与多权威属性加密方案解析

### 混沌系统函数投影同步、参数识别与多权威属性加密方案解析 在当今的科技领域，混沌系统的同步与参数识别以及属性加密方案都是备受关注的研究方向。混沌系统的同步在通信、信息安全等领域有着重要的应用，而属性加密方案则为数据的安全共享提供了有效的手段。下面我们将深入探讨混沌系统的函数投影同步和参数识别，以及多权威属性加密方案的相关内容。 #### 混沌系统函数投影同步与参数识别 在混沌系统的研究中，函数投影同步是一个重要的概念。假设 $u(t,x,y)$ 为非线性控制器，$\alpha(t)$ 是时间的比例函数，它连续且可微，并且在 $t\in(0,+\infty)$ 时，$\alpha(t)\neq0$。两个系统的误差定义为 $e(t)=\alpha(t)x(t)-y(t)$。若比例函数 $\alpha(t)$ 满足 $\lim_{t\rightarrow+\infty}[\alpha(t)x(t)-y(t)] = 0$，则系统 (3) 和系统 (4) 实现函数投影同步。 以 Lorenz 超混沌系统 (1) 作为驱动系统，Cai 等人提出的新型混沌系统 (2) 作为受控后的响应系统，其表达式如下： \[ \begin{cases} \frac{dy_1}{dt}=u_1 + a_1y_2 - x_1y_3\\ \frac{dy_2}{dt}=u_2 + b_1y_1 - c_1y_2y_3 + y_1y_2\\ \frac{dy_3}{dt}=u_3 + h_1y_2 - x_2x_3\\ \frac{dy_4}{dt}=u_4 + d_1x_4 \end{cases} \] 其中，$u_i$（$i = 1,2,3,4$）为控制器。设系统 (1) 和系统 (5) 的同步误差为 $e_i(t)=\alpha(t)x_i(t)-y_i(t)$（$i = 1,2,3,4$），当 $y(4)=0$ 时，系统 (5) 与系统 (2) 相同。由此可得误差系统： \[ \begin{cases} \dot{e}_1=\dot{\alpha}x_1 + \alpha\dot{x}_1 - \dot{y}_1\\ \dot{e}_2=\dot{\alpha}x_2 + \alpha\dot{x}_2 - \dot{y}_2\\ \dot{e}_3=\dot{\alpha}x_3 + \alpha\dot{x}_3 - \dot{y}_3\\ \dot{e}_4=\dot{\alpha}x_4 + \alpha\dot{x}_4 - \dot{y}_4 \end{cases} \] 为实现系统 (1) 和系统 (5) 的函数投影同步，需设计合适的控制器 $u_i$（$i = 1,2,3,4$），使 $\lim_{t\rightarrow+\infty}[\alpha(t)x(t)-y(t)] = 0$。所设计的自适应控制器如下： \[ \begin{cases} u_1 = \lambda_1e_1 + \alpha\dot{x}_1 - \dot{\alpha}x_1 + \hat{a}_1y_2 - \hat{y}_1y_3\\ u_2 = \lambda_2e_2 + \alpha\dot{x}_2 - \dot{\alpha}x_2 + \hat{b}_1y_1 - \hat{c}_1y_2y_3 + \hat{y}_1y_2\\ u_3 = \lambda_3e_3 + \alpha\dot{x}_3 - \dot{\alpha}x_3 + \hat{h}_1y_2 - \hat{x}_2x_3\\ u_4 = \lambda_4e_4 + \alpha\dot{x}_4 - \dot{\alpha}x_4 + \hat{d}_1x_4 \end{cases} \] 设系统的参数估计误差为 $\tilde{\theta}=\hat{\theta}-\theta$，将上述控制器代入误差系统，可得： \[ \begin{cases} \dot{e}_1=-\lambda_1e_1 - \tilde{a}_1y_2 + \tilde{y}_1y_3\\ \dot{e}_2=-\lambda_2e_2 - \tilde{b}_1y_1 + \tilde{c}_1y_2y_3 - \tilde{y}_1y_2\\ \dot{e}_3=-\lambda_3e_3 - \tilde{h}_1y_2 + \tilde{x}_2x_3\\ \dot{e}_4=-\lambda_4e_4 - \tilde{d}_1x_4 \end{cases} \] 在自适应控制器的作用下，同步误差 $e_1,e_2,e_3,e_4$ 会逐渐减小，同时不确定参数 $\hat{a}_1,\hat{b}_1,\hat{c}_1,\hat{h}_1$ 会按照以下规律变化： \[ \begin{cases} \dot{\hat{a}}_1=-\lambda_5e_1y_2\\ \dot{\hat{b}}_1=-\lambda_6e_2y_1\\ \dot{\hat{c}}_1=-\lambda_7e_2y_2y_3\\ \dot{\hat{h}}_1=-\lambda_8e_3y_2 \end{cases} \] 其中，$\lambda_i$（$i = 1,2,\cdots,8$）为大于零的变量。通过上述控制器和参数自适应律，响应系统 (5) 与驱动系统 (1) 的同步误