命令式XML程序分析

### 命令式 XML 程序分析 #### 1. 语言语义与示例程序 在分析命令式 XML 程序时，首先需要了解语言的语义规则。以下是一些关键的语义规则： - **VAR**：`N = σ(x)`，`⟨x, σ⟩|= N`，表示变量 `x` 在存储 `σ` 下的值为 `N`。 - **XPATH**：`N = σ(x)`，`N ′ = Xp(N)`，`⟨$x/Xp, σ⟩|= N ′`，用于处理 XPath 表达式。 - **EMPTY**：`⟨∅, σ⟩|= ∅`，表示空集。 - **ASSIGN**：`⟨Expr, σ⟩|= N`，`⟨x = Expr, σ⟩⇓σ[x →N]`，用于变量赋值。 - **ACCUM**：`⟨Expr, σ⟩|= N`，`N ′ = σ(x) ∪N`，`⟨x ⇐Expr, σ⟩⇓σ[x →N ′]`，用于累积操作。 - **IF - THEN**：`⟨Expr, σ⟩|= N, N ̸= ∅`，`⟨S1, σ⟩⇓σ′`，`⟨if(Expr) then S1 else S2, σ⟩⇓σ′`，条件为真时执行 `S1`。 - **IF - ELSE**：`⟨Expr, σ⟩|= ∅`，`⟨S2, σ⟩⇓σ′`，`⟨if(Expr) then S1 else S2, σ⟩⇓σ′`，条件为假时执行 `S2`。 - **FOREACH**：`⟨Expr, σ⟩|= {x1, x2, ..., xk}`，`⟨S, σ[i →{x1}]⟩⇓σ1`，`···`，`⟨S, σk−1[i →{xk}]⟩⇓σk`，`⟨foreach i in Expr S, σ⟩⇓σk\ i`，用于循环操作。 - **COMPOSE**：`⟨S, σ⟩⇓σ′`，`⟨S′, σ′⟩⇓σ′′`，`⟨S; S′, σ⟩⇓σ′′`，用于语句组合。 - **SKIP**：`⟨skip, σ⟩⇓σ`，表示跳过当前语句。 下面是一个示例程序： ```plaintext 1 x = d ; 2 y = ∅; 3 foreach i in $x/ ↓+ /B 4 if ($i/ ↓/C ) then 5 y ⇐i 6 else 7 skip ``` #### 2. 类型系统 类型系统中的类型包括： - “不知道”类型 `ξ`。 - “空”类型 `∅`，表示变量或表达式求值为空集。 - 形式为 `($x, Xp, Ψ)` 的类型，其中 `Ψ` 是一个集合 `{ψ1, ..., ψk}`，每个 `ψi` 为 `τ` 或 `¬τ`。 - 联合类型 `τ1 ∪τ2`。 类型的语法定义如下： ```plaintext τ ::= ξ | ∅| ($x, Xp, Ψ) | τ ∪τ′ Ψ = {ψ1, ..., ψk}, where ψi ::= τ | ¬τ ``` 在类型 `($x, Xp, Ψ)` 中，`x` 可以是文档变量（DocVar）或索引变量（IndexVar），`Xp` 是一个 XPath 表达式。对于这种类型，`x` 被称为上下文变量，`Ψ` 被称为过滤器。 类型的语义定义如下： ```plaintext ξσ = ξ ∅σ = ∅ τ1 ∪τ2σ = τ1σ ∪τ2σ ($x, Xp, Ψ)σ = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Xp(σ(x)) satisfied(Ψ) = true ξ satisfied(Ψ) = ξ ∅ otherwise ``` 其中，`satisfied(Ψ)` 是一个三值逻辑函数： ```plaintext satisfied(Ψ) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ξ ∃τ ∈Ψ ∨¬τ ∈Ψ, τσ ≡ξ. true ∀τ ∈Ψ, τσ ̸≡∅∧∀¬τ ∈Ψ, τσ ≡∅ false otherwise ``` 类型环境 `Γ` 将程序变量映射到类型。如果存储 `σ` 与类型环境 `Γ` 一致，即对于所有 `x : τ ∈Γ`，`τ ≡ξ` 或 `τσ = σ(x)`，则满足语句类型健全性属性： **属性 1（语句类型健全性）**：如果存储 `σ` 与 `Γ` 一致，且 `Γ {S} Γ ′` 且 `⟨S, σ⟩