并行计算中的全局通信渐近时间分析

### 并行计算中全局通信的渐近时间分析 在并行计算中，全局通信操作的时间复杂度是衡量系统性能的重要指标。本文将详细探讨对称网格和超立方体上的几种通信操作的渐近时间复杂度。 #### 1. 对称网格上的全交换操作 对于 $d$ 维对称网格，全交换操作的时间复杂度可以通过归纳法从低维网格的全交换操作中推导得出。 - **一维情况**：当 $d = 1$ 时，网格等同于线性阵列，全交换操作的时间复杂度为 $O(p^2)$。 - **归纳假设**：假设在 $(d - 1)$ 维对称网格上的全交换操作时间复杂度为 $O(p^{\frac{d}{d - 1}})$。 - **$d$ 维情况**：$d$ 维对称网格的全交换操作分两个阶段执行： - **第一阶段**：将 $d$ 维对称网格划分为 $d\sqrt{p}$ 个不相交的 $(d - 1)$ 维网格，对这些 $(d - 1)$ 维网格并行执行全交换操作。每个 $(d - 1)$ 维网格有 $p^{\frac{d - 1}{d}}$ 个节点，需要进行 $p^{\frac{1}{d}}$ 次全交换操作。根据归纳假设，每次全交换操作的时间复杂度为 $O(p)$，因此第一阶段的总时间复杂度为 $O(p^{\frac{d + 1}{d}})$。 - **第二阶段**：交换不同子网格之间的消息。$d$ 维网格由 $p^{\frac{d - 1}{d}}$ 个一维网格组成，每个一维网格有 $d\sqrt{p}$ 个节点。每个节点在第一阶段已经接收了 $p^{\frac{d - 1}{d}}$ 条消息，这些消息需要与其他节点进行交换。每个节点的一条消息交换时间复杂度为 $O((d\sqrt{p})^2)$，总时间复杂度为 $p^{\frac{2}{d}}p^{\frac{d - 1}{d}} = p^{\frac{d + 1}{d}}$。 综上所述，$d$ 维对称网格上全交换操作的时间复杂度为 $\Theta(p^{\frac{d + 1}{d}})$。 #### 2. 超立方体上的通信操作 对于 $d$ 维超立方体，使用 $p = 2^d$ 个节点的 $d$ 位二进制表示 $\alpha = \alpha_1 \cdots \alpha_d \in \{0, 1\}^d$。 ##### 2.1 单播操作 单播操作可以使用以广播操作的根节点 $\alpha$ 为根的生成树来实现。 - **生成树构造**：首先构造以 $\alpha = 00 \cdots 0 = 0^d$ 为根的生成树，然后通过异或操作推导出其他根节点的生成树。以 $\alpha = 00 \cdots 0 = 0^d$ 为根的生成树的子节点通过反转最右边的 1 位右边的一个 0 位来选择。 - **生成树性质**： - 边连接的两个节点的位名恰好有一位不同，即生成树的边对应超立方体的链接。 - 生成树包含超立方体的所有节点。 - 所有叶节点以 1 结尾。 - 节点的最大度为 $d$。 - 生成树的深度为 $d$。 - **时间复杂度**：使用生成树可以在 $d$ 个时间步内实现单播操作。由于 $d$ 维超立方体的直径为 $d$，单播操作的时间复杂度为 $\Theta(d) = \Theta(\log(p))$。 ##### 2.2 多播操作 在多播操作中，每个节点需要从其他 $p - 1$ 个节点接收消息。由于节点有 $d = \log p$ 条入边，可以同时接收消息，因此多播操作的实现至少需要 $\lceil\frac{p - 1}{\log p}\rceil$ 个时间步。 - **算法思路**：将多播操作视为一组单播操作，为每个节点构造生成树，并使这些单播操作可以同时进行。关键在于确保不同生成树在同一时间步使用的链接不相交。 - **生成树构造**： - 以 $\alpha = 00 \cdots 0 = 0^d