平面四边形图上的离散复分析

### 平面四边形图上的离散复分析 #### 1. 离散全纯性的基础概念 - **离散基本循环**：对于 $v \in V(\Lambda)$ 和 $Q \in F(\Lambda)$，$P_v$ 和 $P_Q$ 分别是在 $X$ 上按逆时针方向连接与 $v$ 和 $Q$ 相关的 $\Lambda$ 边中点的闭路径，称它们为离散基本循环。 - **离散全纯性的定义**：设 $Q \in V(\diamond) \cong F(\Lambda)$，$f$ 是四边形 $Q$ 的顶点 $b^-$、$w^-$、$b^+$、$w^+$ 上的复函数。若离散柯西 - 黎曼方程 $\frac{f(b^+) - f(b^-)}{b^+ - b^-} = \frac{f(w^+) - f(w^-)}{w^+ - w^-}$ 成立，则称 $f$ 在 $Q$ 处是离散全纯的。若 $f$ 在所有 $Q \in V(\diamond_0)$ 处都是离散全纯的，则称 $f: V(\Lambda_0) \to \mathbb{C}$ 是离散全纯的。 - **双常数函数**：若函数 $f: V(\Lambda_0) \to \mathbb{C}$ 在 $V(\Gamma_0)$ 和 $V(\Gamma^*_0)$ 上分别为常数，则称 $f$ 为双常数函数。 #### 2. $\Lambda$ 顶点上函数的离散导数 - **离散导数的定义**：设 $Q \in V(\diamond) \cong F(\Lambda)$，$f$ 是其顶点 $b^-$、$w^-$、$b^+$、$w^+$ 上的复函数。离散导数 $\partial_{\Lambda} f$ 和 $\overline{\partial}_{\Lambda} f$ 定义如下： - $\partial_{\Lambda} f(Q) := \lambda_Q \frac{f(b^+) - f(b^-)}{b^+ - b^-} + \overline{\lambda}_Q \frac{f(w^+) - f(w^-)}{w^+ - w^-}$ - $\overline{\partial}_{\Lambda} f(Q) := \overline{\lambda}_Q \frac{f(b^+) - f(b^-)}{b^+ - b^-} + \lambda_Q \frac{f(w^+) - f(w^-)}{w^+ - w^-}$ 其中 $2\lambda_Q := \exp\left(-i\left(\phi_Q - \frac{\pi}{2}\right)\right) / \sin(\phi_Q)$。 - **相关命题**： - **命题 2.1**：设 $Q$ 是四边形图 $\Lambda$ 的一个面，$f$ 是其顶点 $b^-$、$w^-$、$b^+$、$w^+$ 上的复函数。 - $f$ 在 $Q$ 处离散全纯当且仅当 $\overline{\partial}_{\Lambda} f(Q) = 0$。 - 对于函数 $f(v) = v$，$\overline{\partial}_{\Lambda} f(Q) = 0$ 且 $\partial_{\Lambda} f(Q) = 1$。 - 若 $Q$ 是平行四边形且 $f(v) = v^2$，则 $\overline{\partial}_{\Lambda} f(Q) = 0$，$\partial_{\Lambda} f(Q) = 2 \hat{Q}$。 - 若 $Q$ 是平行四边形且 $f(v) = |v|^2$，则 $\overline{\partial}_{\Lambda} f(Q) = \partial_{\Lambda} f(Q) = \hat{Q}$。这里 $\hat{Q}$ 表示平行四边形 $Q$ 的中心。 - **命题 2.2**：设 $f: V(\Lambda_0) \to \mathbb{C}$ 是离散全纯的。 - 若 $f$ 是纯虚数或纯实数，则 $f$ 是双常数的。 - 若 $\partial_{\Lambda} f \equiv 0$，则 $f$ 是双常数的。 #### 3. 离散微分形式 - **离散一形式**：离散一形式 $\omega$ 是中值图 $X_0$ 有向边上的复函数，满足 $\omega(-e) = \omega(e)$，其中 $-e$ 表示边 $e$ 的反向边。离散积分定义为：若 $P$ 是 $X_0$ 中由有向边 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 组成的有向路径，则 $\int_P \omega = \sum_{k = 1}^{n} \int_{e_k} \omega$；对于闭路径 $P$，记为 $\oint_P \omega$。 - 离散一形式 $dz$ 和 $d\overline{z}$ 定义为：对于 $X$ 的任何有向边 $e$，$\int_e dz = e$ 且 $\int_e d\overline{z} = \overline{e}$。 - 若对于任何 $Q \in V(\diamond_0)$，存在复数 $p$、$q$ 使得 $\omega = pdz + qd\overline{z}$ 在所有与 $Q$ 相关的边 $e = [Q, v]$（$v \in V(\Lambda_0)$）上成立，则称 $\omega$ 为 $\diamond$ 型离散一形式；若对于任何 $v \in V(\Lambda_0)$，存在复数 $p$、$q$ 使得 $\omega = pdz + qd\overline{z}$ 在所有与 $v$ 相关的边 $e = [Q, v]$（$Q \in V(\diamond_0)$）上成立，则称 $\omega$ 为 $\Lambda$ 型离散一形式。 - **离散二形式**：离散二形式 $\Omega$ 是 $X_0$ 面上的复函数。若 $S$ 是 $X_0$ 的面 $F_1, F_2, \cdots, F_n$ 的集合，则 $\iint_S \Omega = \sum_{k = 1}^{n} \iint_{F_k} \Omega$。 - 若离散二形式 $\Omega$ 在所有对应于 $V(\diamond_0)$ 的 $X_0$ 面上取值为零，则称 $\Omega$ 为 $\Lambda$