加权图、模糊图及模糊结果的推导

# 加权图、模糊图及模糊结果的推导 ## 1. 加权图与模糊图基础 ### 1.1 格与t - 范数、t - 余范数相关性质 在相关理论中，设 \(L_2\) 是 \(L_1\) 的子格，\(h\) 是从 \(L_1\) 到 \(L_2\) 的同态映射。对于 \(t -\) 范数和 \(t -\) 余范数有如下重要性质： - **t - 范数性质**： - 若 \(i_1\) 是 \(L_1\) 上的 \(t -\) 范数，且 \(i_1\) 将 \(L_2\times L_2\) 映射到 \(L_2\)，定义 \(i_2:L_2\times L_2\rightarrow L_2\) 为对于所有 \(x,y\in L_2\)，\(i_2(x,y)=i_1(x,y)\)。当 \(1_1 = 1_2\) 时，\(i_2\) 是 \(L_2\) 上的 \(t -\) 范数。证明过程如下： - 对于 \(x\in L_2\)，\(i_2(x, 1_2) = i_1(x, 1_2) = i_1(x, 1_1) = x\)。 - 设 \(x,y,z\in L_2\)，若 \(x\leq_2 y\)，则 \(x\leq_1 y\)，所以 \(i_2(z, x) = i_1(z, x) \leq_1 i_1(z, y) = i_2(z, y)\)，即 \(i_2(z, x) \leq_2 i_2(z, y)\)。同时，由于 \(i_1\) 具有交换性和结合性，所以 \(i_2\) 也具有这些性质。 - 已知 \(i_1(x, i_1(y, z)) = i_2(h(x), h(i_1(y, z)) = i_2(h(x), h(i_2(h(y), h(z))) = i_2(h(x), i_2(h(y), h(z))) = i_2(i_2(h(x), h(y)), h(z)) = i_2(h(i_2(h(x), h(y)), h(z)) = i_1(i_2(h(x), h(y)), z) = i_1(i_1(x, y), z)\)，这是因为 \(L_2\subseteq L_1\) 且 \(h\) 在 \(L_2\) 上是恒等映射。对于 \(x\in L_1\)，\(i_1(x, 1_1) = i_2(h(x), h(1_1)) = i_2(h(x), 1_2) = h(x)\)，又因为 \(h(x)\in L_2\) 且 \(h(h(x)) = h(x)\)，所以 \(h(x)\approx x\)，进而 \(i_1(x, 1_1)\approx x\)。若 \(x\leq_1 y\)，则 \(h(x)\leq_2 h(y)\)，所以 \(i_1(z, x) = i_2(h(z), h(x)) \leq_2 i_2(h(z), h(y)) = i_1(z, y)\)。 - **t - 余范数性质**： - 若 \(u_2\) 是 \(L_2\) 上的 \(t -\) 余范数，定义 \(u_1:L_1\times L_1\rightarrow L_1\) 为对于所有 \((x,y)\in L_1\times L_1\)，\(u_1(x,y)=u_2(h(x),h(y))\)。当 \(h\) 在 \(L_2\) 上是恒等映射且 \(h\) 保持 \(\leq\) 关系时，\(u_1\) 是 \(L_1\) 上的无穷小 \(t -\) 余范数。 - 若 \(u_1\) 是 \(L_1\) 上的 \(t -\) 余范数，且 \(u_1\) 将 \(L_2\times L_2\) 映射到 \(L_2\)，定义 \(u_2:L_2\times L_2\rightarrow L_2\) 为对于所有 \(x,y\in L_2\)，\(u_2(x,y)=u_1(x,y)\)。当 \(0_1 = 0_2\) 时，\(u_2\) 是 \(L_2\) 上的 \(t -\) 余范数。 ### 1.2 非标准加权图 考虑非标准加权图 \(G=(V, E, w)\)，其中 \(w:E\rightarrow[0, m]^*\)，\([0, m]^*=\{x\in R^*|0\leq x\leq m\}\)。定义 \(g:[0, m]^*\rightarrow[0, 1]^*\) 为对于所有 \(a\in[0, m]^*\)，\(g(a)=\frac{a}{m}\)。 - **映射性质**：\(g\) 是从 \([0, m]^*\) 到 \([0, 1]^*\) 的一一映射，并且是 \(([0, m]^*, \vee, \wedge, 0, m)\) 到 \(([0, 1]^*, \vee, \wedge, 0, 1)\) 的同构映射，即 \(g(a\wedge b)=\frac{a\wedge b}{m}=\frac{a}{m}\wedge\frac{b}{m}=g(a)\wedge g(b)\) 且 \(g(a\vee b)=\frac{a\vee b}{m}=\frac{a}{m}\vee\frac{b}{m}=g(a)\vee g(b)\)。同时，\(g\) 是连续的且保持 \(<\) 关系。 - **标准部分与近似关系**：对于所有 \(x\in[0, m]^*\)，存在 \(r\in R\) 和 \(y\in M\) 使得 \(x = r + y\)，\(r\) 称为 \(x\) 的标准部分，记为 \(st(x) = r\)，且 \(r\in[0, m]\)。同构映射 \(g\) 也保持 \(\approx\) 关系，若 \(a,b\in[0, m]^*\) 使得 \(a\approx b\)，则 \(a - b\in M\)，即 \(a = b + x\) 对于某个 \(x\in M\)，那么 \(g(a)=\frac{a}{m}=\frac{b + x}{m}=g(b + x)\)，且 \(g(b + x)-g(b)=\frac{x}{m}\in M\)，所以 \(g(b + x)\approx g(b)\)，进而 \(g(a)\approx g(b)\)。 ## 2. 从清晰结果推导模糊结果 ### 2.1 基于 Head 工作的推导 设 \(X\) 是一个集合，\(C(X)=\{0, 1\}^X\) 是从 \(X\) 到 \(\{0, 1\}\) 的所有函数的集合，\(J = [0, 1)\)，\(P(X)\) 表示 \(X\) 的幂集，\(FP(X)\) 表示 \(X\) 的模糊幂集。 - **相关定义**： - 定义 \(\chi:P(X)\rightarrow C(X)\) 为对于所有 \(Y\in P(X)\)，\(\chi(Y)(x) = 1\) 若 \(x\in Y\)，否则为 \(0\)。 - 定义 \(Rep:FP(X)\rightarrow C(X)^J\) 为对于所有 \(f\in FP(X)\) 和所有 \(j\in J\)，\(Rep(f)(j)(x) = 0\) 若 \(f(x)\leq j\)，否则为 \(1\)。 - **重要命题**： - **命题 9.1.2**：\(Rep\) 是单射函数。 - **命题 9.1.3**：\(Rep\) 函数的像由所有满足对于所有 \(j\in J\)，\(G(j)=\vee\{G(r)|r > j\}\) 的函数 \(G:J\rightarrow C(X)\) 组成。证明过程如下： - 若 \(G = Rep(f)\) 对于某个 \(f\in FP(X)\)，对于 \(j\in J\) 和 \(x\in X\)，\(G(j)(x) = Rep(f)(j)(x) = 0\) 当且仅当 \(f(x)\leq j\)，而 \(f(x)\leq j\) 当且仅当 \(f(x)\leq r\) 对于所有 \(r > j\)，所以 \(G(j)(x) = 0\) 当且仅当 \(G(r)(x) = 0\) 对于所有 \(r > j\)，即 \(G(j)=\vee\{G(r)|r > j\}\)。 - 若 \(G:J\rightarrow C(X)\) 满足对于所有 \(j\in J\)，\(G(j)=\vee\{G(r)|r > j\}\)，定义 \(f:X\rightarrow[0, 1]\) 为对于所有 \(x\in X\)，\(f(x)=\wedge\{s\in J|G(s)(x) = 0\}\)，可以证明 \(Rep(f) = G\)，因为对于所有 \(j\in J\) 和所有 \(x\in X\)，\(Rep(f)(j)(x) = 0\)、\(f(x)\leq j\)、对于所有 \(r > j\)，\(f(x)\leq r\)、对于所有 \(r > j\)，\(G(r)(x) = 0\)、\(G(j)(x) = 0\) 这五个断言是等价的。 - **命题 9.1.4**：\(Rep\) 与有限模糊子集的下确界和任意模糊子集的上确界可交换。 - **命题 9.1.6**：对于 \(X\) 上的每个 \(n -\) 元运算 \(*\)（\(n\geq1\)），\(C(X)\) 关于卷积扩展到 \(FP(X)\) 的 \(*\) 运算封闭，并且双射 \(\chi:P(X)\rightarrow C(X)\) 与 \(P(X)\) 和 \(C(X)\) 上的 \(*\) 运算可交换。 - **命题 9.1.7**：对于 \(X\) 上的每个 \(n -\) 元运算 \(*\)（\(n\geq1\)），表示函数 \(f:FP(X)\rightarrow C(X)^J\) 与 \(*\) 的卷积扩展可交换。 - **重要定理**： - **子直积定理 9.1.8**：设 \(X\) 是具有 \(n -\) 元运算 \(*_1,\cdots, *_k\)（\(n\geq1\)）的代数，则 \(Rep:FP(X)\rightarrow C(X)^J\) 是将 \((\wedge, \vee, *_1,\cdots, *_k)-\) 代数 \(FP(X)\) 表示为 \((\wedge, \vee, *_1,\cdots, *_k)-\) 代数 \(C(X)\) 的副本的子直积。 - **元定理 9.1.9**：设 \(X\) 是具有 \(n -\) 元运算 \(*_1,\cdots, *_k\)（\(n\geq1\)