多智能体系统中的共同知识与道德风险解决之道

### 多智能体系统中的共同知识与道德风险解决之道 #### 1. 引言 在多智能体系统中，共同知识与达成共识之间的关系是一个重要的研究领域。当智能体变得更加自主和类人时，它们做出道德决策的能力也成为了一个关键问题。本文将探讨两个主要方面：一是如何从认知角度捕捉智能体对某一事件达成共识的事实；二是如何利用共同知识解决委托 - 代理模型中的道德风险问题。 #### 2. 道德风险 在委托 - 代理模型中，存在一个委托人 \(P\) 和 \(n\) 个代理人 \(\{1, 2, \cdots, k, \cdots, n\}\)（\(n \geq 1\)）。委托人通过销售代理人生产的产品获利，并与每个代理人 \(k\) 签订合同，根据代理人对公司的贡献按比例退还利润。 设 \(e_k\) 表示代理人 \(k\) 的管理努力，其可能的努力集合为 \(E_k \subseteq R\)。\(I_k(\cdot)\) 是 \(E_k\) 上的实值连续可微函数，表示代理人 \(k\) 生产产品并扣除成本 \(c(e_k)\) 后的利润。假设 \(I_k'(\cdot) \geq 0\)，成本函数 \(c(\cdot)\) 是 \(E = \cup_{k = 1}^{n}E_k\) 上的实值连续可微函数。 委托人的总研究资助金额为 \(I_P = \sum_{k = 1}^{n}I_k(e_k)\)。委托人无法观察到代理人的努力 \(e_k\)，将其视为概率空间 \((\Omega, \mu)\) 上的随机变量。委托人的最优计划是解决以下问题： \[ \max_{e = (e_1, e_2, \cdots, e_k, \cdots, e_n)}\{Exp[I_P(e)] - \sum_{k = 1}^{n}c_k(e_k)\} \] 代理人 \(k\) 的退款总额为 \(W_k(e_k) = r_kI_P(e)\)，其中 \(\sum_{k = 1}^{n}r_k = 1\)，\(0 \leq r_k \leq 1\)，\(r_k\) 表示代理人 \(k\) 对公司的贡献比例。每个代理人的最优计划是解决以下问题： \[ \max_{e_k}\{Exp[W_k(e_k)] - c(e_k)\} \] 约束条件为 \(\sum_{k = 1}^{n}r_k = 1\)，\(0 \leq r_k \leq 1\)。 假设 \(r_k\) 与 \(e_k\) 无关，对于每个代理人 \(k\)，得到的临界点必要条件相互矛盾： \[ \frac{\partial}{\partial e_k}Exp[I_k(e_k)] - c'(e_k) = 0 \] \[ r_k\frac{\partial}{\partial e_k}Exp[I_k(e_k)] - c'(e_k) = 0 \] 这种矛盾情况被称为委托 - 代理模型中的道德风险。 #### 3. 共同知识 ##### 3.1 信息与知识 RT - 信息结构 \(\langle\Omega, (\Pi_i)_{i \in N}\rangle\) 中，\(\Pi_i : \Omega \to 2^{\Omega}\) 满足两个假设： - **自反性（Ref）**：\(\omega \in \Pi_i(\omega)\) - **传递性（Trn）**：若 \(\xi \in \Pi_i(\omega)\)，则 \(\Pi_i(\xi) \subseteq \Pi_i(\omega)\) 这种结构等价于多模态逻辑 \(S4n\) 的克里普克语义。\(\Pi_i(\omega)\) 被解释为智能体 \(i\) 在状态 \(\omega\) 下认为可能的所有自然状态的集合，或智能体 \(i\) 无法与 \(\omega\) 区分的状态集合，称为智能体 \(i\) 在 \(\omega\) 处的信息集。 分区信息结构是满足额外假设的 RT - 信息结构： - **对称性（Sym）**：若 \(\xi \in \Pi_i(\omega)\)，则 \(\omega \in \Pi_i(\xi)\) 知识的形式模型定义如下： 定义 1：\(S4n\) 知识结构（或简称为知识结构）是一个元组 \(\langle\Omega, (\Pi_i)_{i \in N}, (K_i)_{i \in N}\rangle\)，由 RT - 信息结构 \(\langle\Omega, (\Pi_i)_{i \in N}\rangle\) 和 \(2^{\Omega}\) 上的智能体 \(i\) 的知识算子 \(K_i\) 组成，定义为 \(K_iE = \{\omega | \Pi_i(\omega) \subseteq E\}\)。事件 \(K_iE\) 被解释为智能体 \(i\) 知道 \(E\) 可能发生的自然状态集合。 智能体 \(i\) 的知识算子具有以下性质： |性质|描述| | ---- | ---- | | \(N\) | \(K_i\Omega = \Omega\) | | \(K\) | \(K_i(E \cap F) = K_iE \cap K_iF\) | | \(T\) | \(K_iE \subseteq E\) | | \(4\) | \(K_iE \subseteq K_i(K_iE)\) | 如果 \((\Pi)_{i \in N}\) 是分区信息结构，算子 \(K_i\) 还满足额外性质： |性质|描述| | ---- | ---- | | \(5\) | \(\Omega \setminus K_iE \subseteq K_i(\Omega \setminus K_iE)\) | ##### 3.2 共同知识与公共信息 相互知识算子 \(K_E : 2^{\Omega} \to 2^{\Omega}\) 是所有个体知识算子的交集：\(K_EF = \cap_{i \in N}K_iF\)，表示每个人都知道 \(E\)。 定义 2：共同知识算子 \(K_C : 2^{\Omega} \to 2^{\Omega}\) 定义为 \(K_CF = \cap_{n \in N}(K_E)^nF\)。事件 \(E\) 在状态 \(\omega \in \Omega\) 是共同知识，如果 \(\omega \in K_CE\)。 设 \(M : 2^{\Omega} \to 2^{\Omega}\) 是共同知识算子 \(K_C\) 的对偶：\(ME := \Omega \setminus K_C(\Omega \setminus E)\)。公共信息函数 \(M : \Omega \to 2^{\Omega}\) 定义为 \(M(\omega) = M(\{\omega\})\)，具有以下性质： 命题 1：\(\omega \in K_CE\) 当且仅当 \(M(\omega) \subseteq E\) #### 4. 决策函数与隶属度值 设 \(Z\) 是所有智能体共同的决策集合。决策函数是一个从 \(2^{\Omega} \times 2^{\Omega}\) 到决