量子计算与量子操作：原理、映射及噪声信道解析

# 量子计算与量子操作：原理、映射及噪声信道解析 ## 1. 量子操作基础定义 在量子计算和量子信息研究中，有限维复希尔伯特空间 $H$ 是主要研究对象。我们用 $B(H)$ 表示 $H$ 上有界线性算子的集合，并定义以下几个重要集合： - $B(H)^+ = \{A \in B(H): A \geq 0\}$ - $E(H) = \{A \in B(H): 0 \leq A \leq I\}$ - $D(H) = \{\rho \in B(H)^+: tr(\rho) = 1\}$ 其中，$E(H)$ 中的元素称为效应，$D(H)$ 中的元素称为状态（或密度算子），且有 $D(H) \subseteq E(H) \subseteq B(H)^+$。效应对应可能不精确的量子是 - 否测量。若量子系统处于状态 $\rho$，则效应 $A$ 发生（答案为是）的概率为 $P_{\rho}(A) = tr(\rho A)$。 $D(H)$ 构成 $B(H)$ 的一个凸子集，其极值点称为纯态，纯态具有 $P_{\psi}$ 的形式，其中 $P_{\psi}$ 表示到单位向量 $\psi \in H$ 上的一维投影。若 $\rho = P_{\psi}$ 是纯态，则 $P_{\rho}(A) = tr(P_{\psi}A) = \langle A\psi, \psi \rangle$。 设 $A_i \in B(H)$，$i = 1, \ldots, n$，令 $A = \{A_i, A_i^*: i = 1, \ldots, n\}$，则称映射 $\varphi_A: B(H) \to B(H)$，$\varphi_A(B) = \sum A_iBA_i^*$ 为量子操作，$A_i$ 称为 $\varphi_A$ 的操作元素。$\varphi_A$ 具有以下性质： - 保持正性：$\varphi_A: B(H)^+ \to B(H)^+$ - 线性：$A \leq B$ 意味着 $\varphi_A(A) \leq \varphi_A(B)$ 根据不同条件，量子操作可分为以下几类： | 类型 | 条件 | 等价条件 | | ---- | ---- | ---- | | 幺正 | $\sum A_iA_i^* = I$ | $\varphi_A(I) = I$ | | 保迹 | $\sum A_i^*A_i = I$ | $tr(\varphi_A(B)) = tr(B)$，对任意 $B \in B(H)$ | | 亚保迹 | $\sum A_i^*A_i \leq I$ | $tr(\varphi_A(B)) \leq tr(B)$，对任意 $B \in B(H)^+$ | | 自伴 | $A_i = A_i^*$，$i = 1, \ldots, n$ | - | 在量子测量理论中，一种重要的自伴量子操作是 Lüders 映射，形式为 $L(B) = \sum A_i^{1/2}BA_i^{1/2}$，其中 $A_i \in E(H)$ 且 $\sum A_i = I$，$i = 1, \ldots, n$。此时，$L$ 是幺正且保迹的，$\{A_i: i = 1, \ldots, n\}$ 称为有限 POV（正算子值）测度。 量子操作在量子测量、计算和信息理论中有多种解释： - 若 $\varphi_A$ 是保迹的，则 $\varphi_A: D(H) \to D(H)$ 可视为具有可能结果 $1, 2, \ldots, n$ 的量子测量。 - 量子操作还可解释为量子系统与环境相互作用后的幺正演化、噪声量子信道或量子纠错映射。 ### 量子操作的组合性质 若 $\varphi_A$ 和 $\varphi_B$ 是 $B(H)$ 上的量子操作，$A = \{A_i, A_i^*: i = 1, \ldots, n\}$，$B = \{B_j, B_j^*: j = 1, \ldots, m\}$，则它们的组合 $\varphi_A \circ \varphi_B$ 是 $B(H)$ 上的量子操作，操作元素为 $A_iB_j$，$i = 1, \ldots, n$，$j = 1, \ldots, m$。 以下是两个关于量子操作组合性质的引理： - **引理 1**：若 $\varphi_A$ 和 $\varphi_B$ 都是幺正、保迹或亚保迹的，则 $\varphi_A \circ \varphi_B$ 分别是幺正、保迹或亚保迹的。 - **引理 2**：若 $\varphi_A$ 是亚保迹的，且其操作元素是自伴投影算子，则 $\varphi_A$ 是幂等的。 下面是量子操作组合性质的 mermaid 流程图： ```mermaid graph LR classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px A([开始]):::startend --> B{φA和φB的性质}:::process B -->|幺正| C(φA ∘ φB是幺正的):::process B -->|保迹| D(φA ∘ φB是保迹的):::process B -->|亚保迹| E(φA ∘ φB是亚保迹的):::process C --> F([结束]):::startend D --> F E --> F ``` ## 2. 完全正映射 在前面我们将量子操作定义为 $\varphi: B(H) \to B(H)$，形式为 $\varphi(B) =