具有多重时滞和不确定参数的CRDNNs的无源性与同步性研究

# 具有多重时滞和不确定参数的 CRDNNs 的无源性与同步性研究 ## 1. 引言 在神经网络的研究领域中，具有多重时滞和不确定参数的连续反应扩散神经网络（CRDNNs）的无源性和同步性是重要的研究课题。无源性能够保证系统的稳定性和能量特性，而同步性则在信息处理、通信等领域有着广泛的应用。本文将深入探讨 CRDNNs 的无源性和同步性相关问题，包括理论分析和数值验证。 ## 2. 无源性判据 ### 2.1 输出严格无源性条件 当满足以下矩阵不等式时，网络（9.17）具有输出严格无源性： \[ \begin{bmatrix} W_6 & \Xi_2 \\ \Xi_2^T & W_7 \end{bmatrix} \leq 0 \] 其中： - \(W_6 = \delta \otimes \left(-\sum_{k=1}^{\sigma} \frac{2}{l_k^2} C - 2D + \varsigma I_n + \epsilon\right) + a\eta \left((\delta A) \otimes \Gamma\right) \left((A^T \delta) \otimes \Gamma\right) + a\eta I_{nN} + a \left(\hat{S} + G\right) \otimes \Gamma + (I_N \otimes E^T) F_2 (I_N \otimes E)\) - \(W_7 = (I_N \otimes F^T) F_2 (I_N \otimes F) - P^T (I_N \otimes F) - (I_N \otimes F^T) P\) - \(\Xi_2 = \delta \otimes B - (I_N \otimes E^T) P + (I_N \otimes E^T) F_2 (I_N \otimes F)\) - \(G = (G_{ij})_{N\times N}\)，\(\hat{S}_{ii} = -\sum_{j=1,j\neq i}^{N} \hat{S}_{ij}\)，\(\hat{S}_{ij} = \hat{S}_{ji}(i\neq j)\)为非负实数，且\(\hat{S}_{ij} = 0(i\neq j)\)等价于\(A_{ij} \times A_{ji} = 0\) ### 2.2 无源性与同步性的关系 当定理 9.11 的条件满足且\(E^T E > 0\)时，网络（9.1）不仅具有输出严格无源性，还能实现同步。这表明无源性和同步性之间存在着紧密的联系，通过设计合适的自适应控制器，可以同时满足这两个特性。 ## 3. 同步性分析 ### 3.1 同步性定义 网络模型（9.23）同步的定义为： \[ \lim_{t \to +\infty} \left\lVert w_i(\cdot, t) - \sum_{l=1}^{N} \delta_l w_l(\cdot, t) \right\rVert_2 = 0, \quad i = 1, 2, \cdots, N \] 即随着时间的推移，每个节点的状态与所有节点状态加权平均的误差趋近于零。 ### 3.2 同步性判据 若存在矩阵\(0 < Q_s \in R^{nN\times nN}, s = 1, 2, \cdots, \eta\)，使得： \[ U + a \sum_{s=1}^{\eta} Q_s < 0 \] 其中\(U = \delta \otimes \left(-\sum_{k=1}^{\sigma} \frac{2}{l_k^2} C - 2D + \varsigma I_n + \epsilon\right) + a \sum_{s=1}^{\eta} \left((\delta A) \otimes \Gamma\right) Q_s^{-1} \left((A^T \delta) \otimes \Gamma\right)\)，则网络（9.23）实现同步。 ### 3.3 证明过程 选取李雅普诺夫泛函： \[ V_1(t) = a \sum_{s=1}^{\eta} \int_{t - \tau_s}^{t} \int_{\Omega} \vartheta^T(x, h) Q_s \vartheta(x, h) dx dh + \sum_{i=1}^{N} \delta_i \int_{\Omega} \vartheta_i^T(x, t) \vartheta_i(x, t) dx \] 通过对\(V_1(t)\)求导，并利用相关不等式进行放缩，得到： \[ \dot{V}_1(t) \leq \varrho \left\lVert \vartheta(\cdot, t) \right\rVert_2^2 \] 其中\(\varrho = \lambda_M \left(U + a \sum_{s=1}^{\eta} Q_s\right)\)。由此可以推断出\(V_1(t)\)有界且非增，进而证明网络（9.23）实现同步。 以下是同步性分析的流程图： ```mermaid graph TD; A[定义网络模型] --> B[选取李雅普诺夫泛函]; B --> C[对李雅普诺夫泛函求导]; C --> D[利用不等式放缩]; D --> E[判断导数的性质]; E --> F[得出同步性结论]; ``` ## 4. 自适应控制同步 ### 4.1 自适应状态反馈控制器设计 为了确保网络（9.23）实现同步，设计如下自适应状态反馈控制器： \[ v_i(x, t) = a \sum_