二进制编码输出支持向量机：原理、实验与性能分析

### 二进制编码输出支持向量机：原理、实验与性能分析 在机器学习领域，多类别分类问题一直是研究的重点和难点。为了解决大规模数据集的多类别分类问题，研究人员提出了编码输出支持向量机（COSVM），下面将详细介绍其原理、算法以及实验结果。 #### 1. 支持向量机（SVM）概述 支持向量机（SVM）是在统计学习理论（SLT）框架下发展起来的一种机器学习方法。为了提高泛化能力（GC），SVM采用了结构风险最小化（SRM）归纳原则，而非经验风险最小化（ERM）归纳原则。 早在20世纪60年代中期，Vapnik和Chervonenkis就开始了对SLT的基础研究，并发明了Vapnik - Chervonenkis（VC）维度来评估一组函数的复杂度表达能力。基于VC维度，他们提出了SRM原则，并指出在有限样本集（特别是小样本集）上，SRM原则优于ERM原则。 1992年，Boser、Guyon和Vapnik发表了重要论文，创造性地应用SRM原则、凸二次规划（CQP）对偶理论和核函数（KF）理论构建了SVM。此后，研究人员开发了一系列SVM算法，包括硬间隔支持向量分类器（SVC）、软间隔SVC、硬 - ε管支持向量回归（SVR）和软 - ε管SVR机器等。 为了提高大规模学习问题的训练效率，研究人员还设计了多种算法，如Cortes和Vapnik的分块算法、Osuna等人的分解算法，Platt在此基础上设计了顺序最小优化（SMO）算法，Joachims则利用最陡梯度下降法为分解算法选择工作集。 #### 2. 软ε - SVR机器与SMO算法 大多数实际分类问题都是多类别分类问题。为了解决这类问题，Platt在1998年提出了SMO分类算法，Smola将其思想推广到回归算法。本文提出的COSVM算法就是基于SVR机器，并且由于SMO算法具有较高的训练效率，因此将其应用于实现 - ε SVR机器。 SMO算法是分解算法的一个特殊情况，其工作集只包含2个样本。该算法包括两个阶段：选择工作集和解决二维CQP问题。对于正常的回归对偶问题，可以用αi 替换 (αi - αi*) ，得到另一个版本的回归对偶问题： \[ \begin{align*} &\text{maximize} \quad \sum_{i = 1}^{\ell} y_i \alpha_i - \varepsilon \sum_{i = 1}^{\ell} \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{\ell} \sum_{j = 1}^{\ell} \alpha_i \alpha_j K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)\\ &\text{subject to} \quad \sum_{i = 1}^{\ell} \alpha_i = 0; \quad -C \leq \alpha_i \leq C, \quad i = 1, \cdots, \ell \end{align*} \] 其回归函数为 \( f(\mathbf{x}) = \sum_{i = 1}^{\ell} \alpha_i K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}) + b \)。 SMO算法从上述问题推导而来。首先，启发式地选择一对对偶变量 (αs1, αs2) ，在保持其他对偶变量固定并考虑等式约束 \(\sum_{i = 1}^{\ell} \alpha_i = 0\) 的情况下，解决二维CQP问题，得到αs2 的未裁剪解： \[ \alpha_{s2}^{new,unc} = \alpha_{s2}^{old} + \frac{1}{\kappa} \left\{ (E_1 - E_2) - [\text{sgn}(\alpha_{s1}^{new}) - \text{sgn}(\alpha_{s2}^{old})] \varepsilon \right\} \] 其中，\(\kappa = K_{11} + K_{22} - 2K_{12}\) ，\(K_{ij} = K(\mathbf{x}_{s_i}, \mathbf{x}_{s_j})\) ，\(E_i = f(\mathbf{x}_{s_i}) - y_{s_i}\) 。 考虑不等式约束