狄拉克方程中的正负能量、非相对论极限及相对论修正

### 狄拉克方程中的正负能量、非相对论极限及相对论修正 #### 1. 克莱因悖论 克莱因悖论出现在一维高静电势阶跃的情况中。这种势阶将空间划分为两个区域，对粒子和反粒子有不同的解释。 对于具有恒定势 \(V (x) = V_0 1\) 的狄拉克算子，其能谱由正电子部分 \((−∞, −m c^2 + V_0]\) 和电子部分 \([m c^2+V_0, ∞)\) 组成。对应的平面波解为 \(\omega→(E−V_0; x)\) 和 \(\omega←−(E −V_0; x)\)。 考虑具有一维阶跃势 \(V (x) = φ_{el}(x) 1\) 的狄拉克算子，其中： \[ φ_{el}(x) = \begin{cases} 0, & \text{for } x ≤0 \\ V_0, & \text{for } x > 0 \end{cases} \] 当 \(V_0 > 2mc^2\) 时，自由粒子狄拉克算子的电子能量范围与恒定势狄拉克算子的正电子能量范围重叠。能量在 \((mc^2, −mc^2+V_0)\) 内的粒子可以在势阶两侧传播，在左侧表现为电子，在右侧表现为正电子。 狄拉克方程的平面波解为： \[ u(E; x) = \begin{cases} \omega→(E; x) + R←−(E) \omega←−(E; x), & \text{for } x ≤0 \\ T→(E) \omega→(E −V_0; x), & \text{for } x > 0 \end{cases} \] 通过 \(x = 0\) 处的连续性条件可确定反射系数 \(R←−(E)\) 和透射系数 \(T→(E)\)： \[ R←−(E) = \frac{\eta_0^2 - \eta^2}{\eta_0^2 + \eta^2}, \quad T→(E) = \frac{2 \eta_0 \eta}{\eta_0^2 + \eta^2} \] 其中，\(\eta = n(E) b+(E)\)，\(\eta_0 = n(E - V_0) b+(E - V_0)\)。 对于 \(V_0 > 2mc^2\)，在 \(mc^2 < E < -mc^2 + V_0\) 范围内，透射系数 \(T→(E)\) 为正实数，且 \(|R←−(E)|^2 + |T→(E)|^2 = 1\)。 用平面波解可形成能量在 \(mc^2 < E < -mc^2 + V_0\) 范围内的波包： \[ \psi(x, t) = \int_{mc^2}^{-mc^2+V_0} g(E) u(E; x) e^{-iEt} dE \] 该波包最初位于势阶左侧，具有正速度。在势阶处，波包分裂为反射部分和透射部分。反射部分具有正能量，表现为自由粒子狄拉克方程的电子解；透射部分属于恒定势狄拉克方程的正电子能量区域，表现为正电子。这种解违反了电荷守恒原理。 克莱因悖论在单粒子理论框架下尚未解决，它揭示了该理论的局限性。在现实中，高势阶的场能量可能导致电子 - 正电子对的产生，这涉及到量子电动力学，但目前量子电动力学在数学上仍不完善。 #### 2. 物理希尔伯特空间和相对论可观测量 希尔伯特空间 \(H = L^2(R)^4\) 包含正、负能量态的叠加态。但单个量子系统很难被想象为粒子和反粒子的叠加态，因此通常假设物理允许的状态应限制在正能子空间或负能子空间。 对于自由粒子，时间演化使正、负能子空间保持不变。然而，在克莱因悖论的情况下，能量符号无法区分电子和正电子行为，电子态和正电子态之间的跃迁不能被排除。特别是当势随时间变化时，能量不守恒，初始的正能态可能转变为电子态和正电子态的叠加态。 幸运的是，这些效应只有在势能非常高（约为 \(2mc^2\)）时才会变得重要，在原子和分子物理中不太可能出现。对于足够弱的与时间无关且在 \(|x| →∞\) 时消失的势，仍可区分粒子和反粒子解。 在许多物理感兴趣的情况下，希尔伯特空间 \(H = L^2(R^3)^4\) 包含电子态子空间 \(H_{electron}\) 作为“物理”子空间。正电子态希尔伯特空间 \(H_{positron}\) 可通过电荷共轭从 \(H\) 中 \(H_{electron}\) 的正交补构造得到。在自由粒子或弱（静态）外场的情况下，\(H_{electron}\) 与正能子空间 \(H_{pos}\) 重合，\(H_{positron}\) 由 \(CH_{neg}\) 给出。电子态和正电子态的叠加应被视为非物理的。 在实际应用中，应将正能子空间 \(H_{pos}\) 视为电子的物理希尔伯特空间，所有计算都应在该空间内进行。特别是能量最小化时，需约束 \(\psi\) 与 \(H_{neg}\) 近似正交，否则会导致“变分崩溃”。 相对论可观测量应使正能子空间保持不变，标准位置算子（乘以 \(x\)）不符合这一要求，因为它与能量符号不 commute。正能子空间中不存在严格局域化的旋量，所有正能波包本质上都分布在整个空间。 #### 3. 相对论束缚 狄拉克方程对于吸引和排斥电势都可能有束缚态。例如，吸引静电势阱 \(eV (x) < 0\) 可能支持能量 \(E_n\) 在 \((−mc^2, mc^2)\) 内的束缚态。通过电荷共轭可知，具有排斥势阱 \(-eV (x)\) 的狄拉克算子在能量 \(-E_n\) 处有本征值。 只要势阱不太深，电子态和正电子态能很好地分离。但如果基态的束缚能大于