环形线性流场地图的运动模式建模

### 环形线性流场地图的运动模式建模 #### 1. 脊线分析与冗余簇修剪 在模型拟合过程中，聚类算法可能会产生冗余簇。为解决这一问题，可采用基于脊线分析的簇修剪方法，具体步骤如下： 1. **计算脊线**： - 为SWGMM中的所有模式计算成对的脊线，公式为： - \(XXX∗_{i,j}(α) = [α^{−1}_i + α^{−1}_j ]^{−1}[α^{−1}_i μμμ_i + α^{−1}_j μμμ_j]\) - 其中，\(α = 1 - α\)，\(α ∈ [0, 1]\) 2. **分析脊线**： - 基本工具是脊线高程图，公式为： - \(h(L(α)) = g(XXX∗_{i,j}(L(α)))\) - 其中，\(L(α)\)是两个模式之间的弧长，\(g(XXX) = π_iN(XXX : μμμ_i, _i) + π_jN(XXX : μμμ_j, _j)\) - 通过分析高程图计算极值数量，检查高程图是否从高到低单调下降，若是，则认为较低峰值冗余可移除。 3. **移除冗余簇**： - 若一对分布中一个被认为冗余，则插入一个新的单一分布。 - 新分布的均值为：\(μ^n_i = \frac{π_iμμμ_i + π_jμμμ_j}{π_i + π_j}\) - 新混合因子为：\(π^n_i = π_i + π_j\) - 新分布的协方差矩阵等于更显著分布的协方差矩阵。 4. **重新计算SWGMM参数**： - 使用上一步得到的参数重启EM，重复该过程直到没有检测到冗余簇。 该方法的局限性在于分别分析每对模式，未考虑其他模式的影响，可能导致不必要的模式移除。 #### 2. 地图致密化 在某些情况下，可用数据可能空间上过于稀疏，无法生成密集地图。此时可通过缺失数据插补来构建密集地图，比较两种插补方法： - **蒙特卡罗（MC）插补**： 1. 选择一个现有的SWGMM（\(ξξξ_i\)），选择的可能性与待估计位置（\(lll_A^1\)）和现有位置（\(lll_M^i\)）之间的距离（\(R_{AM}^i\)）以及观测比率\(q_i\)成正比： - \(R_{AM}^i = |lll_A^1 - lll_M^i|\) - \(p(ξξξ = ξξξ_i|q_i, K(R_{AM}^i)) = q_i K(R_{AM}^i)\) - 其中，\(K(R_{AM}^i) = N(R_{AM}^i|0, σ)\) 2. 从所选的SWGMM中采样虚拟观测，可能是虚拟速度（\(\hat{V}\hat{V}\hat{V} = (θ, ρ)\)）或空观测。 - 采样虚拟速度的概率为：\(p(VVV = \hat{V}\hat{V}\hat{V} |q_i,ξξξ_i) = q_i \sum_{j = 1}^J N_{SW}(\hat{V}\hat{V}\hat{V} |μμμ_j,_j)π_j\) - **Nadaraya Watson（NW）插补**： - 从地图上所有观测位置采样虚拟观测，根据核函数\(K(•)\)加权。 - 计算加权均值\(VVV\)：\(VVV = \frac{\sum_{i = 1}^N K(R_{AM}^i q_i^{−1}) \hat{V}\hat{V}\hat{V}_i}{\sum_{i = 1}^N K(R_{AM}^i q_i^{−1})