关系数据库中的一阶类型与冗余关系

### 关系数据库中的一阶类型与冗余关系 在数据库领域，数据的高效存储和查询是至关重要的问题。冗余数据的存在不仅会占用大量的存储空间，还会在数据更新、插入和删除操作时引发各种问题。本文将探讨如何利用模型理论中的类型概念来研究数据库中的冗余关系，以及如何通过消除冗余关系来优化数据库的性能。 #### 研究背景与动机 从概念上讲，查询计算模型应具有表示独立性，即对于表示“相同”现实的数据库，查询应得到“相同”的结果。在数学上，Chandra和Harel通过要求对同构数据库的查询得到相同结果来体现这一概念。这一原则在单个数据库中体现为自同构的保持，即具有相同“结构”属性的元素或元组应被视为不可区分的。为了形式化这一概念，我们引入了模型理论中的类型概念。 传统上，数据库中的冗余问题通常通过考虑函数依赖来研究。而本文采用了一种不同的方法，利用类型概念来研究冗余关系。我们将冗余关系定义为：存在一个一阶查询，在简化后的数据库实例中计算该查询可以得到该关系，并且在消除该关系时，数据库中所有k - 元组的一阶类型的等价类不发生改变。 #### 相关定义与概念 - **数据库模式与实例**：关系数据库模式是一组带有关联元数的关系符号集合，不允许包含约束和常量符号。数据库实例是在该模式上的一个结构，包含一个有限的元素集合和一组对应于模式中关系符号的关系。 - **可计算查询**：可计算查询是一个全递归函数，它保持同构性，并且对于每个数据库实例，查询结果的定义域是原数据库定义域的子集。 - **逻辑与类型**：我们将逻辑视为一组公式的集合，只考虑纯关系的签名。对于给定的数据库和k - 元组，其L类型是该数据库中满足特定条件的L公式的集合。在有限模型理论中，已经证明了对于给定数据库中的元组，存在与FOk（一阶逻辑的一个片段）和Ck（在FOk基础上添加计数量词的逻辑）类型等价的单个公式。 #### 冗余关系的定义与判定 - **冗余关系的定义**：设σ是一个关系模式，A是该模式下的数据库，Ri是σ中的一个关系符号。如果对于数据库A中所有的k - 元组¯u和¯v，在消除关系RAi后，它们在原数据库和简化后数据库中的一阶类型的等价类相同，则称Ri是数据库A中的冗余关系。 - **判定问题**：在固定的数据库实例中，判定一个给定关系是否为冗余关系是可判定的，但计算复杂度是难解的。为了使问题变得可处理，我们研究了具有受限等价概念的冗余关系。 #### 示例分析 考虑两个完全二叉树G1和G2，它们可以看作是具有特定模式的数据库。在G1中，某个关系（如表示黑色节点的关系）是冗余的，因为所有相同深度的节点具有相同的一阶类型，消除该关系不会改变节点的一阶类型等价类。而在G2中，由于该关系允许区分