花图及其扩展的久期多项式与一般图久期多项式的可约性

# 花图及其扩展的久期多项式与一般图久期多项式的可约性 ## 1. 花图及其扩展的久期多项式 ### 1.1 花图久期多项式的因式分解 花图是一种特殊的图结构，其久期多项式具有独特的性质。对于由 $d$ 条边在单个顶点处相连的花图 $\mathbf{F}_d$，其久期多项式 $P_{\mathbf{F}_d}$ 可表示为： \[P_{\mathbf{F}_d} = (z_1 - 1) \cdots (z_d - 1)P_{\mathbf{F}_d}^*(z)\] 其中，$P_{\mathbf{F}_d}^*$ 是一个不可约多项式，且在每个变量中均为一次。 每条由 $E_j$ 给出的环在久期多项式中确定了线性因子 $(z_j - 1)$，这证明了上述因式分解的一部分。为了证明 $P^*$ 是不可约的，我们采用反证法。假设 $P^*$ 可分解为两个因子，一个包含 $z_1$，另一个包含 $z_2$。考虑约化图 $G_{1,2}$，它实际上是一个数字 8 字形的图。其对应的久期多项式为： \[P_{(2.4)} = (z_1 - 1)(z_2 - 1)(z_1z_2 - 1)\] 多项式 $P_{G_{(2.4)}}^*$ 是不可约的，这导致了矛盾，从而证明了 $P^*$ 的不可约性。 ### 1.2 花图扩展的久期多项式 设 $G$ 是花图 $\mathbf{F}_d$ 的任意扩展，且 $G$ 不包含二度顶点。则久期多项式 $P_G$ 可因式分解为： \[P_G(z) = P^1(z_1), P^2(z), z_1 = (z_1, z_2, \cdots, z_d)\] 其中，$P^1$ 依赖于所有变量 $z_1, z_2, \cdots, z_d$，当且仅当边 $E_j$（$j = 1, 2, \cdots, d$）在 $G$ 中形成环。在这种情况下，多项式 $P^1(z_1)$ 是一次因子的乘积： \[P^1(z_1) = (z_1 - 1)(z_2 - 1) \cdots (z_d - 1)\] 如果在扩展过程中环被保留，那么上述表示成立，且多项式由与环相关的一次多项式 $(z_j - 1)$ 的乘积给出。接下来，我们研究环在扩展过程中被破坏的情况。在扩展过程中，图中的每个循环要么被保留，要么获得额外的边，因此总是可以将原始循环追溯到图的任何扩展。 在图 $G$ 中，考虑源自花图 $\mathbf{F}_d$ 中环的循环。每个这样的循环包含一条边 $E_j$，可能还有一些额外的边。如果没有循环包含额外的边，那么所有边 $E_j$（$j = 1, \cdots, d$）都形成环，这种情况我们已经考虑过了。 假设包含 $E_1$ 的循环也包含额外的边 $E_{d + 1}$，我们需要研究两种情况： - **情况 1**：边 $E_{d + 1}$ 不属于源自 $E_2, \cdots, E_d$ 的任何循环。考虑收缩图 $G_{1, \cdots, d + 1}$，它包含一个连接 $E_1$ 和 $E_{d + 1}$ 的二度顶点。根据相关论证，在 $G_{1, \cdots, d + 1}$ 的兼容扩展中，存在一个通过在该顶点附加悬边或环而得到的图。考虑三条边的图 $G_{1, d + 1, d + 2}$（与 $G_{(3.5)}$ 或 $G_{(3.10)}$ 重合），我们得出其久期多项式的因式分解与上述公式矛盾。 - **情况 2**：边 $E_{d + 1}$ 属于源自花图 $\mathbf{F}_d$ 中另一个环的循环，例如 $E_2$。检查边 $E_{d + 1}$ 是否属于源自 $E_3, \cdots, E_d$ 的任何其他循环。设这些边为 $E_3, \cdots, E_{d_1}$，其中 $d_1 \leq d$。则收缩图 $G_{1, \cdots, d_1, d + 1}$ 与 $d_1 + 1$ 条边的西瓜图重合。其久期多项式是两个依赖于所有变量 $z_1, \cdots, z_{d_1}, z_{d + 1}$ 的一阶不可约多项式的乘积，这也与上述公式矛盾。 ### 1.3 花图扩展过程的流程图 ```mermaid graph LR A[花图 Fd] --> B{环是否保留} B -- 是 --> C[P_G 按公式分解] B -- 否 --> D[考虑循环情况] D --> E{是否有循环含额外边} E -- 否 --> F[所有边形成环] E -- 是 --> G{额外边 E_d+1 情况} G -- 情况 1 --> H[收缩图 G_1...d+1 分析] G -- 情况 2 --> I[收缩图 G_1...d1,d+1 分析] H --> J[与公式矛盾] I --> K[与公式矛盾] ``` ## 2. 一般图久期多项式的可约性 ### 2.1 一般图久期多项式因式分解的性质 如果久期多项式可以表示为两个因子的乘积： \[P_G(z) = Q(z) R(z)\] 那么至少有一个因子依赖于所有变量 $z_n$。 我们采用反证法来证明这一点。假设存在两个变量，例如 $z_1$ 和 $z_2$，使得 $Q$ 依赖于 $z_1$ 但独立于 $z_2$，而 $R$ 依赖于 $z_2$ 但独立于 $z_1$。考虑根据特定规则定义的收缩图 $G_{1,2}$ 及其对应的久期多项式 $P_{G_{1,2}}$，它可以表示为两个单变量多项式的乘积。检查所有两条边的图，我们发现这种情况是不可能的。 ### 2.2 一般图久期多项式可约性的定理 设 $G$ 是一个无二度顶点的连通有限图。$G$ 的久期多项式可约，当且仅当对应的度量图对于任何边长度的选择都允许一个非平凡的对称群。换句话说，当且仅当 $G$ 包含环或 $G$ 是由 $N$ 条平行边形成的西瓜图 $\mathbf{W}_N$。 如果久期多项式可约，则有以下公式成立： - 如果 $G$ 包含环，则：