量子计算：从理论到算法实践

### 量子计算：从理论到算法实践 #### 1. 量子计算机的工作机制 量子计算机的运行涉及诸多复杂的概念和操作。首先，我们来看光标（cursor）的反向移动情况： - \(a_0 a_1 : Pos (1) \to Pos (0)\) - \(a_1 a_2 : Pos (2) \to Pos (1)\) - \(a_2 a_3 : Pos (3) \to Pos (2)\) - \(a_3 a_4 : Pos (4) \to Pos (3)\) 对于这种情况，其哈密顿量（Hamiltonian）可表示为： \(H = a_1 a_0 A_1 + a_2 a_1 A_2 + a_3 a_2 A_3 + a_4 a_3 A_4 + a_0 a_1 A_1^* + a_1 a_2 A_2^* + a_2 a_3 A_3^* + a_3 a_4 A_4^*\) 当系统处于给定状态\(\Psi_x\)时，\(i = x\)，系统状态可以向前（\(\to\)）或向后（\(\leftarrow\)）演化。以下是不同状态下的具体情况： |状态|可能的动作|详细信息| | ---- | ---- | ---- | |\(\Psi_0\)|\(i = 0\)，一个向前的动作|\(\Psi_1 = A_1\Psi_0\)，\(a_1 a_0: Pos (0) \to Pos (1)\)| |\(\Psi_1\)|\(i = 1\)，两个可能的动作|向前：\(\Psi_1 \to \Psi_2\)，\(\Psi_2 = A_2\Psi_1 = A_2A_1\Psi_0\)，\(a_2 a_1: Pos (1) \to Pos (2)\)；向后：\(\Psi_0 \leftarrow \Psi_1\)，\(\Psi_0 = A_1^*\Psi_1 = A_1^*A_1\Psi_0\)，\(a_0 a_1: Pos (1) \to Pos (0)\)| |\(\Psi_2\)|\(i = 2\)，两个可能的动作|向前：\(\Psi_2 \to \Psi_3\)，\(\Psi_3 = A_3\Psi_2 = A_3A_2\Psi_1 = A_3A_2A_1\Psi_0\)，\(a_3 a_2: Pos (2) \to Pos (3)\)；向后：\(\Psi_1 \leftarrow \Psi_2\)，\(\Psi_1 = A_2^*\Psi_2 = A_2^*A_2\Psi_1 = A_2^*A_2A_1\Psi_0\)，\(a_1 a_2: Pos (2) \to Pos (1)\)| |\(\Psi_3\)|\(i = 3\)，两个可能的动作|向前：\(\Psi_3 \to \Psi_4\)，\(\Psi_4 = A_4\Psi_3 = A_4A_3\Psi_2 = A_4A_3A_2\Psi_1 = A_4A_3A_2A_1\Psi_0\)，\(a_4 a_3: Pos (3) \to Pos (4)\)；向后：\(\Psi_2 \leftarrow \Psi_3\)，\(\Psi_2 = A_3^*\Psi_3 = A_3^*A_3\Psi_2 = A_3^*A_3A_2\Psi_1 = A_3^*A_3A_2A_1\Psi_0\)，\(a_2 a_3: Pos (3) \to Pos (2)\)| |\(\Psi_4\)|\(i = 4\)，一个向后的动作|\(\Psi_3 = A_4^*\Psi_4 = A_4^*A_4\Psi_3 = A_4^*A_4A_3\Psi_2 = A_4^*A_4A_3A_2\Psi_1 = A_4^*A_4A_3A_2A_1\Psi_0\)，\(a_3 a_4: Pos (4) \to Pos (3)\)| #### 2. 量子计算机的设置 要设置量子计算机，可以遵循以下协议： 1. 在\(n\)个原子的寄存器中配置输入。 2. 将光标置于位置\(0\)：\(\vert Pos (0) \rangle = \vert 1 \rangle\)。 3. 让系统自行演化。 4. 持续检查光标的位置。 5. 当\(\vert Pos (Final) \rangle = \vert 1 \rangle\)时，将其设为\(\vert Pos (Final) \rangle = \vert 0 \rangle\)。 6. 测量寄存器。 为了便于量子计算机的设置和停止，除了用于计算的内部位置，我们创建了新的输入和输出位置。具体配置如下表所示： |输入位置|处理位置|输出位置| | ---- | ---- | ---- | | \(\lt i \)：\(-z,-y,-x,-t,\cdots\) | \(0,1,2,\cdots,k\) | \(k + 1,k + 2,k + 3,k + 4,\cdots\) | |操作：\(-1,-1,-1,-1,-1\) | \(A_1,A_2,A_3,\cdots,A_{k + 1}\) | \(-1,-1,-1,-1,-1\) | 在计算前（\(i \lt 0\)），计算机处于等待状态，\(\vert \Psi_i \rangle = \vert \Psi_{In} \rangle\)；计算后（\(i \gt k\)），计算机也处于等待状态，\(\vert \Psi_i \rangle = \vert \Psi_{Out} \rangle\)；而计算过程在\(i \in [0, k]\)区间内进行。 #### 3. 重要量子算法概述 量子算法利用量子力学原理执行特定的计算任务。以下是一些重要的量子算法： - **Deutsch算法**：用于验证函数\(\alpha\)是常量还是平衡的。 - **Deutsch - Jozsa算法**：是Deutsch算法的推广，能更高效且无误差地解决黑盒问题。 - **量子傅里叶变换**：可作为其他复杂算法的量子子程序。 - **Shor算法**：能将整数\(N\)分解为质因数，若在量子计算机上实现，将使RSA等公钥密码系统过时。 - **Simon算法**：相比经典算法有指数级的加速。 - **Grover算法**：用于在无序集合中搜索满足特定条件的元素。 - **量子隐形传态算法**：展示了量子纠缠的奇特概念。 #### 4. Deutsch算法详解 Deutsch算法的目标是验证函数\(\alpha : \{0, 1\} \to \{0, 1\}\)是常量还是平衡的。从经典角度看，有四个可能的函数满足问题要求： - \(\alpha_1\)：\(x = 0, y = 1\)，\(\alpha_1(x) = 0, \alpha_1(y) = 0\)，\(\alpha_1\)是常量。 - \(\alpha_2\)：\(x = 0, y = 1\)，\(\alpha_2(x) = 0, \alpha_2(y) = 1\)，\(\alpha_2\)是平衡的。 - \(\alpha_3\)：\(x = 0, y = 1\)，\(\alpha_3(x) = 1, \alpha_3(y) = 0\)，\(\alpha_3\)是平衡的。 - \(\alpha_4\)：\(x = 0, y = 1\)，\(\alpha_4(x) = 1, \alpha_4(y) = 1\)，\(\alpha_4\)是常量。 经典方法需要对函数\(\alpha\)进行两次评估，而量子计算范式尝试用单次评估解决问题。 ##### 4.1 简化版Deutsch算法 在简化版中，我们忽略归一化因子，输入配置为\(\vert x \rangle = \vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle\)，\(\vert y \rangle = \vert 0 \rangle - \vert 1 \rangle\)，不使用规范基\([\vert 0 \rangle, \vert 1 \rangle]\)，而是使用\([\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle, \vert 0 \rangle - \vert 1 \rangle]\)。 输入状态为： \(\vert \varphi_{input} \rangle = \vert x \rangle \otimes \vert y \rangle = (\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle - \vert 1 \rangle) = \vert 0, 0 \rangle - \vert 0, 1 \rangle + \vert 1, 0 \rangle - \vert 1, 1 \rangle\) 应用Deutsch算法的酉变换\(U_D\)后，输出状态为： \(\vert \varphi_{output} \rangle = U_D \vert \varphi_{input} \rangle = \vert 0, \alpha(0) \rangle - \vert 0, \text{NOT}