图像变形参数化与功能认知图谱构建方法

### 图像变形参数化与功能认知图谱构建方法 在图像分析领域，图像变形的参数化以及功能认知图谱的构建是重要的研究方向。下面将详细介绍相关的方法和实验结果。 #### 图像变形参数化方法 - **梯度线性化方程**：有两个方程，第一个方程由两项组成，第一项是控制点处常见图像力的卷积，第二项是估计动量的正则化项，可看作动量上的低通滤波器；第二个方程是控制点位置的更新规则，第一项表明控制点会被图像梯度大的体素（即轮廓）吸引，前提是动量 $\alpha_i$ 朝着图像力的“正确”方向推动，第二项是排斥项，可使携带相同方向动量的两个控制点相互远离，从而限制核 $\sigma$ 尺度下参数化的冗余性。 - **模板图像与变形的联合优化** - 给定一组 $N_s$ 个图像，目标是找到模板图像 $I_0$、图像域中的最优控制点集 $c_0$ 以及 $N_s$ 个时变向量 $\alpha_s(t)$，以驱动模板与每个图像的配准。要最小化的准则为： \[E(I_0, c_0, \alpha_1(t), \ldots, \alpha_{N_s}(t)) = \sum_{s = 1}^{N_s} \left( A_s(y_s(0)) + \gamma \int_{0}^{1} L(c_s(t), \alpha_s(t)) dt \right)\] - 约束条件如下： \[\begin{cases} \dot{c}_s(t) = f(c_s(t), \alpha_s(t)) \\ c_s(0) = c_0 \\ \dot{y}_s(t) = g(y_s(t), c_s(t), \alpha_s(t)) \\ y_s(1) = y \\ A_s(y_s(0)) = \|I_0(y_s(0)) - I_s\|^2 \end{cases}\] - 关于 $c_0$ 和 $\alpha_s(t)$ 的梯度计算如下： \[\begin{cases} \nabla_{\alpha_s(t)} E = \nabla_{\alpha_s(t)} E_s \\ \nabla_{c_0} E = \sum_{s = 1}^{N_s} \nabla_{c_0} E_s \end{cases}\] - 这意味着通过对 (5) 中的常微分方程进行积分，为 $N_s$ 个并行配准计算加权向量。经过来回积分后，对辅助变量 $\eta_{c_s}(0)$ 进行平均，以更新变形的公共参数化 $c_0$。 - 关于模板图像 $I_0$ 的梯度是 $\nabla_{I_0} A_s(y_s(0))$ 的总和。$I_0(y_k(0))$ 的值计算为 $\sum_{p \in N(y_k(0))} \rho_p(y_k(0)) I_0(\pi_p(y_k(0)))$，其中 $N(y)$ 表示位置 $y$ 的 8 个相邻体素 $\pi_p(y)$ 的集合，$\rho_p(y)$ 是对应于三线性插值的权重。 - **通过 log - L1 惩罚项强制稀疏性**