分布式控制系统的超采样周期、延迟模型及稳定性分析

### 分布式控制系统的超采样周期、延迟模型及稳定性分析 #### 1. 超采样周期与诱导数学模型 在分布式控制系统（DCES）中，诱导延迟主要取决于网络调度策略、各节点处理器上计算任务的调度策略以及它们各自的资源容量。从节点处理器的计算模型来看，诱导延迟还与处理器上每个任务的优先级和调度策略有关。 对于DCES，其单变量转移矩阵 $\Phi(\beta)$ 定义为： $\Phi(\beta) = e^{A\beta} + \int_{0}^{\beta} e^{A\theta} d\theta BK$ (9.12) 由 (9.1) 和 (9.8) 推导得到的DCES的离散时间表达式为： $x((k + 1)T) = \Phi(T)x(kT)$ (9.13) 为简便起见，用 $\Phi$ 表示DCES的转移矩阵函数。当它有两个参数（诱导延迟和采样周期）时，其定义参考 (9.10)；当只有一个对应采样周期的参数时，定义参考 (9.12)。 以一个简单的DCES模型为例，其硬件/软件架构由 $p$ 个任务和 $q$ 个处理器组成。假设任务 $\upsilon_1$、$\upsilon_2$ 和 $\upsilon_3$ 在处理器1上执行，部分控制任务在每个超周期内可能会执行多次。例如，任务 $\upsilon_1$ 在每个超周期内执行两次，它有两个子采样周期 $T_1$ 和 $T_2$。 任务执行的通信过程也会引入延迟，这些延迟同样依赖于调度策略和消息优先级处理。一般来说，通信延迟取决于DCES节点之间的通信模型。假设对应子采样周期 $T_1$ 和 $T_2$ 的诱导延迟分别为 $\tau_1$ 和 $\tau_2$，且 $\tau_1, \tau_2 < \min\{T_1, T_2\}$。 定义 $z(k) = [x'(s_k) u'(a_{k - 1})]'$，则有： $z(k + 2) = \Psi (\tau_1, \tau_2, T_1, T_2)z(k)$ (9.14) 其中 $\Psi (\tau_1, \tau_2, T_1, T_2) = \begin{cases} \Phi(\tau_1, T_1)\Phi(\tau_2, T_2), & k \text{ 为奇数}\\ \Phi(\tau_2, T_2)\Phi(\tau_1, T_1), & k \text{ 为偶数} \end{cases}$ $\Phi(\tau_i, T_i), i \in \{1, 2\}$ 定义在 (9.10) 中。 一个超采样周期通常由 $n \in N^+$ 个子采样周期 $T_i \in R^+$（$i = 1, \cdots, n$）组成。当 $n = 1$ 时，超采样模式退化为标准单采样模式，因此可以将标准单采样模式视为超采样模式的特殊情况。 超采样模式下，采样时刻遵循以下规则： $T(k) = s_k - s_{k - 1} = \begin{cases} T_{k \bmod n}, & k \bmod n \neq 0, k \in N^+\\ T_n, & k \bmod n = 0, k \in N^+ \end{cases}$ (9.15) 一旦设计好超采样序列（即确定了子采样周期 $T_1, \cdots, T_n$），就可以通过 (9.15) 周期性地触发采样时刻。 下面用表格总结超采样模式的相关信息： | 项目 | 详情 | | ---- | ---- | | 单变量转移矩阵 | $\Phi(\beta) = e^{A\beta} + \int_{0}^{\beta} e^{A\theta} d\theta BK$ | | 离散时间表达式 | $x((k + 1)T) = \Phi(T)x(kT)$ | | 超采样周期组成 | 由 $n$ 个子采样周期 $T_i$ 组成 | | 采样时刻规则 | $T(k) = s_k - s_{k - 1}$，根据 $k \b