投资组合多目标优化：模拟投资基金行为

### 投资组合多目标优化：模拟投资基金行为 在金融投资领域，投资者总是希望在降低风险的同时实现收益最大化。传统上，许多投资者会选择将资产交由投资基金管理，因为这些基金由专业人士制定投资策略。然而，是否存在其他投资组合，能够在表现上超越现有的投资基金，同时展现出相似的行为呢？本文将探讨一种基于多目标进化算法的投资组合优化方法，以解决这一问题。 #### 问题背景与目标 在投资决策中，投资者通常会考虑多个标准，如投资回报和风险度量。为了实现收益最大化和风险最小化的目标，他们会考虑各种投资工具，其中之一就是投资基金。投资基金通过构建股票、债券、商品、货币等资产组合来实现投资目标。 本文的目标是找到一种投资组合，该组合在回报和风险方面都优于给定的投资基金，同时与该基金的行为相似。这一方法的基本原理是，共同基金的投资策略由专家制定，因此在回报和风险方面应该是比较合理的。我们希望在投资基金策略的“邻域”内寻找能够获得更好结果的其他策略。 #### 投资组合的表示与优化标准 假设我们有多个投资工具类别 $C_j$（$j = 1, \ldots, N(c)$），如股票、债券、货币等。每个投资工具 $I_i$（$i = 1, \ldots, N(i)$）恰好属于一个类别 $C_j$，因此 $N(i) = \sum_{j = 1}^{N(c)} |C_j|$。我们用 $q_i(t)$ 表示投资工具 $I_i$ 的报价。 投资组合用向量 $w \in R^{N(i)}$ 表示，其中每个坐标 $w_i$ 是投资工具 $I_i$ 的“权重”（即投资时购买该工具的单位数量）。投资组合 $w$ 的报价 $p(t)$ 计算公式如下： \[p(t) = \sum_{i = 1}^{N(i)} w_i q_i(t)\] 本文优化的三个标准如下： 1. **回报度量**：回报 $R$ 定义为最后报价与第一报价的比率。对于投资基金，$R_f = f(t_{max}) / f(t_{min})$；对于投资工具，$R_{I_i} = q_i(t_{max}) / q_i(t_{min})$；对于投资组合，$R_w = p(t_{max}) / p(t_{min})$。由于这本质上是一种买入持有策略的回报计算，交易成本对所有投资组合的回报影响相似，因此在本研究中不考虑交易成本。 2. **风险度量**：投资基金（$V_f$）、投资工具（$V_{I_i}$）和投资组合（$V_w$）的风险使用经典的风险价值（Value at Risk，VaR）度量，计算整个时间段 $[t_{min}, t_{max}]$ 的风险。 3. **与给定投资基金的差异度量**：投资组合 $w$ 的报价 $p(t)$ 与投资基金报价 $f(t)$ 之间的差异使用均方误差（Mean Squared Error，MSE）度量，计算整个时间段 $[t_{min}, t_{max}]$ 的差异。 我们的目标是找到能够最大化回报 $R_w$，同时最小化风险 $V_w$ 和差异 $D_{w,f}$ 的投资组合。 #### 提出的方法 为了实现上述目标，我们提出了一种基于多目标进化算法的方法。该算法维护每个投资工具类别 $C_j$ 的子种群 $P_{C_j}$ 和一个全局种群 $P_{all}$。全局种群除了自身进化外，还通过从其他子种群导入样本进行更新。对于给定的 $j$，子种群 $P_{C_j}$ 中的样本仅对属于类别 $C_j$ 的投资工具分配非零权重。 算法的参数如下： - $N(gen)$：进化代数 - $N(pop)$：每个子种群（全局和类别特定）的初始大小 - $N(cross)$：每代的交叉操作数量 - $P(mut)$：使用突变产生后代的个体百分比 - $P(weight mut)$：一个样本中突变的权重百分比 - $P(div mut)$：使用专用“除法突变”算子产生后代的个体百分比 以下是投资组合优化的进化算法： ```plaintext Algorithm 1. Evolutionary algorithm with subpopulations for optimization of portfolios. Pall(1) = InitPopulation(N(pop)) for j = 1 → N(c) do PCj(1) = InitPopulation(N(pop)) end for for g = 1 → N(gen) do for j = 1 → N(c) do PCj(g) = PCj(g) ∪ Crossover(PCj(g)) PCj(g) = PCj(g) ∪ Mutate(PCj(g)) PCj(g) = PCj(g) ∪ DivMutate(PCj(g)) PCj(g) = PCj(g) ∪ LocalSearch(PCj(g)) end for for j = 1 → N(c) do Pall(g) = Pall(g) ∪ PCj(g) end for Pall(g) = Pall(g) ∪ Crossover(PCj(g)) Pall(g) = Pall(g) ∪ Mutate(PCj(g)) Pall(g) = Pall(g) ∪ DivMutate(PCj(g)) Pall(g) = Pall(g) ∪ LocalSearch(PCj(g)) Pall(g + 1) = Select(Pall(g)) for j = 1 → N(c) do PCj(g + 1) = Select(PCj(g)) end for end for ``` 算法使用的程序和算子如下： 1. **InitPopulation**：创建一个包含指定数量样本的新种群。每个样本是一个向量 $w \in R^{N(i)}$，其中每个坐标 $w_i$ 从范围 $[0, w_{i}^{(max)}]$ 中均匀随机抽取，其中： \[w_{i}^{(max)} = \frac{\max_{t \in [t_{min}, t_{max}]} f(t)}{\min_{t \in [t_{min}, t_{max}]} I_i(t)}\] 2. **Crossover**：标准的单点交叉算子。从现有种群中随机选择两个父样本，在随机选择的点拼接染色体，生成 $2N(cross)$ 个新样本，并将这些新样本添加到现有种群中。 3. **Mutate**：创建 $[P(mut) \cdot 种群大小 / 100]$ 个新样本。每个新样本通过从现有种群中随机选择一个样本，对其中 $P(weight mut)$ 百分比的权重进行突变得到。单个权重的突变方法是：从范围 $[-6, 6]$ 中均匀随机选择一个整数指数 $\eta$，从范围 $[-5, 5]$ 中均匀随机选择一个实数增量 $\delta$，然后将 $\eta \cdot \delta$ 加到权重上。新值被裁剪到范围 $[0, w_{i}^{(max)}]$ 内。 4. **DivMutate**：专用的突变算子，具体描述如下。 5. **LocalSearch**：局部搜索程序，具体描述如下。 6.