形式散射理论：原理与应用

# 形式散射理论：原理与应用 ## 1. 束缚态与散射态 粒子的状态通常根据其在空间和时间中的行为分为束缚态和散射态。束缚态子空间 \(H_{bound}(H)\) 定义为哈密顿量 \(H\) 的本征态线性组合所张成的希尔伯特空间。一般来说，束缚态并非定态，因为本征态的线性组合会以非平凡的方式随时间变化。从几何角度看，束缚态的特点是粒子基本上局限在一个足够大的球内。更精确地说，如果通过选择足够大的半径 \(R\)，能使粒子在所有时刻处于半径为 \(R\) 的球外的概率任意小，那么该粒子处于束缚态，用公式表示为： \[ \lim_{R \to \infty} \sup_{t \in \mathbb{R}} \int_{|x| > R} |\psi(x, t)|^2 d^3x = 0 \quad \text{(束缚态)} \] 散射态则不同，随着时间趋于无穷，粒子会向无穷远处逃逸。无论半径 \(R\) 多大，在大时间 \(|t|\) 时，在半径为 \(R\) 的球内找到散射粒子的概率会变得任意小。若波函数 \(\psi(t, x)\) 满足对于所有 \(R > 0\) 有： \[ \lim_{|t| \to \infty} \int_{|x| \leq R} |\psi(x, t)|^2 d^3x = 0 \quad \text{(散射态)} \] 则它描述的是一个散射态。 在大多数物理相关的情况下，散射态子空间由与所有束缚态正交的态组成，并且有 \(H = H_{bound}(H) \oplus H_{scatt}(H)\)。假设哈密顿算符 \(H\) 具有形式 \(H = H_0 + V\)，其中 \(H_0\) 是自由时间演化的生成元，描述粒子的动能，例如在希尔伯特空间 \(H = L^2(\mathbb{R}^n)\) 中的薛定谔算符 \((-1/2m)\Delta\) 或在 \(H = L^2(\mathbb{R}^3)^4\) 中的狄拉克算符 \(c\alpha\cdot p + \beta mc^2\)。对于自由粒子哈密顿量 \(H_0\)，有 \(H_{bound}(H_0) = \varnothing\)，\(H_{scatt}(H_0) = H\)。算符 \(V\) 通常是一个与位置函数 \(V(x)\) 相乘的算符，描述粒子的势能，且当 \(|x| \to \infty\) 时，\(V(x) \to 0\)。因此，在大时间时，任何散射态都会离开受外力影响的区域，其时间演化渐近地类似于自由时间演化。 下面用表格总结束缚态和散射态的特点： | 状态类型 | 空间行为 | 时间行为 | 数学描述 | | ---- | ---- | ---- | ---- | | 束缚态 | 局限在足够大的球内 | 非定态，线性组合随时间非平凡变化 | \(\lim_{R \to \infty} \sup_{t \in \mathbb{R}} \int_{|x| > R} |\psi(x, t)|^2 d^3x = 0\) | | 散射态 | 向无穷远处逃逸 | 大时间时在有限球内概率趋于零 | \(\lim_{|t| \to \infty} \int_{|x| \leq R} |\psi(x, t)|^2 d^3x = 0\) | ## 2. 渐近完备性 散射理论有两个主要要求，这些要求只有在势能随 \(|x|\) 趋于无穷时足够快地趋于零才能满足。 ### 2.1 存在性 对于希尔伯特空间 \(H\) 中的每个向量 \(\varphi\)，存在散射态 \(\psi_{\pm} \in H_{scatt}(H)\)，使得当 \(t \to \pm \infty\) 时，有： \[ e^{-iH_0t}\varphi - e^{-iHt}\psi_{\pm} \to 0 \] ### 2.2 完备性 对于每个散射态 \(\psi \in H_{scatt}(H)\)，在 \(H\) 中存在向量 \(\varphi_{in}\) 和 \(\varphi_{out}\)，使得当 \(t \to \pm \infty\) 时，有： \[ e^{-iHt}\psi - e^{-iH_0t}\varphi_{out/in} \to 0 \] 其中，\(\varphi_{in}\) 和 \(\varphi_{out}\) 分别称为散射态 \(\psi\) 的入射和出射渐近态。存在性意味着系统希尔伯特空间中的每个态都是一个散射态的渐近态，而完备性意味着每个散射态都有渐近态。 ### 2.3 渐近完备性 如果一个散射系统同时满足存在性和完备性，则称其为渐近完备的。 下面用 mermaid 流程图表示渐近完备性的关系： ```mermaid graph LR A[存在性] --> C[渐近完备性] B[完备性] --> C[渐近完备性] ``` ## 3. 波算符 条件 \(e^{-iH_0t}\varphi - e^{-iHt}\psi_{\pm} \to 0\) 等价于 \(\lim_{t \to \pm \infty} \|e^{-iH_0t}\varphi - e^{-iHt}\psi_{\pm}\| = \lim_{t \to \pm \infty} \|e^{iHt}e^{-iH_0t}\varphi - \psi_{\pm}\| = 0\)。存在性条件要求对于每个 \(\varphi \in H\)，能找到向量 \(\psi_{\pm}\) 使上述极限存在，从而引入了 Møller 波算符 \(\Omega_{in}\) 和 \(\Omega_{out}\)： \[ \Omega_{out/in}\varphi = \lim_{t \to \pm \infty} e^{iHt} e^{-iH_0t} \varphi \quad \text{对于所有 } \varphi \in H \] Møller 算符在整个希尔伯特空间上有定义当且仅当存在性性质成立，它们是幺正算符 \(U(t) = e^{iHt}e^{-iH_0t}\) 的强极限。 有如下数学定理：若 \(\Omega\) 是幺正算符的（强）极限，即 \(\Omega\psi = \lim_{t \to \infty} U(t) \psi\) 对于所有 \(\psi \in H\)，则 \(\Omega\) 是等距的，即 \(\langle \Omega\psi, \Omega\varphi \rangle = \langle \psi, \varphi \rangle\) 对于所有 \(\psi\) 和 \(\varphi \in H\)。\(\Omega\) 的值域是 \(H\) 的一个闭子空间，由正交投影算符 \(P\) 表征，即 \(\Omega: H \to \text{Ran} \Omega = PH\)，且有 \(\Omega^{\dagger}\Omega = 1\)，\(\Omega\Omega^{\dagger} = P\)，\(\Omega^{\dagger}\psi = \lim_{t \to \infty} U(t)^{\dagger} P \psi\) 对于所有 \(\psi \in H\)。 完备性性质意味着对于所有 \(\psi \in H_{scatt}(H)\)，\(\psi\) 都在 Møller 算符的值域内，即 \(\text{Ran} \Omega_{out/in} = H_{scatt}(H)\)。散射系统渐近完备当且仅当 Møller 算符的定义域为 \(H\)，值域为 \(H_{scatt}(H)\)。 ## 4. 散射算符 对于渐近完备的散射系统，Møller 算符是等距的，有 \(\Omega_{out}^{\dagger}\Omega_{out} = 1\)，\(\Omega_{out}\Omega_{out}^{\dagger} = P_{scatt}(H)\)（对于 \(\Omega_{in}\) 类似），其中 \(P_{scatt}(H)\) 是到散射态子空间的正交投影算符。定义散射算符 \(S = \Omega_{out}^{\dagger} \Omega_{in}\)。在渐近完备的情况下，\(\Omega_{in}\) 将 \(H\) 等距地映射到 \(H_{scatt}(H)\)，\(\Omega_{out}^{\dagger}\) 将 \(H_{scatt}(H)\) 等距地映射到 \(H\)，因此 \(S\) 是一个幺正算符，其定义域和值域均为 \(H\)。 散射算符 \(S\) 是幺正的当且仅当散射系统是渐近完备的，它将入射渐近态映射到相应的出射渐近态。需要注意的是，上述形式的渐近完备性对于库仑势不成立，库仑势是一种长程势，即使在渐近情况下也会持续影响粒子，需要特殊处理。只有短程势（当 \(|x| \to \infty\) 时比库仑势更快地趋于零）才能满足上述渐近完备性。有定理表明，若 \(H = H_0 + V(x)\) 在 \(D(H_0)\) 上是自伴的，其中 \(H_0 = -(1/2m) \Delta\) 是自由粒子薛定谔算符，且 \(V(x)\) 是短程势（存在 \(R > 0\) 使得对于某个 \(\delta > 0\) 和所有 \(|x| > R\) 有 \(|V(x)| \leq \frac{1}{|x|^{1 + \delta}}\)），则散射系统是渐近完备的。 下面用列表总结散射算符的相关性质： 1. **定义**：\(S = \Omega_{out}^{\dagger} \Omega_{in}\) 2. **幺正性**：散射系统渐近完备当且仅当 \(S\) 是幺正算符 3. **作用**：将入射渐近态映射到出射渐近态 4. **适用势**：短程势满足渐近完备性，库仑势需特殊处理 ## 5. 波算符和散射算符的性质 每个自伴算符 \(H\) 都会生成一个单参数幺正群 \(e^{-iHt}\)。利用 \(e^{-iHt}\) 的连续性和群性质，可以得到波算符的“对易