诺特定理与非诺特对称性及守恒定律

### 诺特定理与非诺特对称性及守恒定律 在研究物理系统时，确定系统的守恒量是非常重要的，这有助于我们理解系统的动力学行为。本文将探讨如何利用诺特定理和其他方法来寻找耗散系统中的守恒量。 #### 1. 基础理论与诺特定理 在耗散系统的拉格朗日表述中，我们可以借助诺特定理来确定系统的守恒量。对于一个具有 $N$ 个自由度的系统，考虑如下变换： - 广义坐标变换：$X_i = X_i(x_j, \dot{x}_j, t; \epsilon)$，其中 $i, j = 1, 2, \cdots, N$。 - 时间变换：$T = T(x_j, \dot{x}_j, t; \epsilon)$。 这些变换具有当 $\epsilon \to 0$ 时，$X_i \to x_i$ 且 $T \to t$ 的性质。系统的拉格朗日量为 $L(x_i, \dot{x}_i, t)$，通过欧拉 - 拉格朗日方程可以导出系统的运动方程。 当我们将拉格朗日量中的 $x_i, \dot{x}_i$ 和 $t$ 替换为 $X_i, \frac{dX_i}{dT}$ 和 $T$ 时，得到新的拉格朗日量 $L(X_i, \frac{dX_i}{dT}, T; \epsilon)$。计算 $\frac{d}{d\epsilon} \left[ L(X_i, \frac{dX_i}{dT}, T; \epsilon) \right]_{\epsilon = 0}$，若将其写为 $\frac{dF(x_i, \dot{x}_i, t)}{dt}$ 的形式，诺特定理指出，以下量是系统的一个守恒量： \[ \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial L(x_j, \dot{x}_j, t)}{\partial \dot{x}_j} (\lambda_j - \dot{x}_j \lambda) - F \] 其中： - $\lambda = \left[\frac{dT(x_i, \dot{x}_i, t; \epsilon)}{d\epsilon}\right]_{\epsilon = 0}$ - $\lambda_j = \left[\frac{dX_j(x_i, \dot{x}_i, t; \epsilon)}{d\epsilon}\right]_{\epsilon = 0}$ 为了证明这个量是守恒的，我们对相关表达式进行一系列推导。首先，将 $T$ 和 $X_j$ 按 $\epsilon$ 的幂次展开： - $T = t + \lambda \epsilon + \cdots$ - $X_j = x_j + \lambda_j \epsilon + \cdots$ 通过这些展开式和极限运算，我们可以得到一些重要的关系式，最终证明上述守恒量的表达式是成立的。 #### 2. 诺特定理的具体应用示例 ##### 2.1 拉格朗日量不显含时间的情况 当拉格朗日量 $L$ 不显含时间，即 $\frac{\partial L}{\partial t} = 0$ 时，系统具有时间平移不变性。我们选择变换： - $X_j = x_j$，$j = 1, 2, \cdots, N$ - $T = t + \epsilon$ 此时，$\frac{dX_j}{dT} = \dot{x}_j$，$\lambda = 1$，$\lambda_j = 0$，且 $\frac{dF}{dt} = 0$ 即 $F$ 为常数。代入诺特定理的表达式，我们得到： \[ L - \sum_{j = 1}^{N} \dot{x}_j \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_j} = \text{常数} = -H \] 其中 $H$ 是系统的哈密顿量。需要注意的是，对于耗散运动，哈密顿量 $H$ 并不一定代表系统的能量。 ##### 2.2 拉格朗日量不依赖于特定坐标的情况 若拉格朗日量不依赖于某个特定坐标 $X_k$，则与该坐标共轭的动量 $p_k$ 是守恒的。我们选择变换： - $T = t$ - $X_k = x_k + \epsilon$，$X_j = x_j$（$j \neq k$） 由此可得 $\lambda = 0$，$\lambda_k = 1$，$\lambda_j = 0$（$j \neq k$），且 $F = 0$。根据诺特定理，有： \[ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_k} = p_k = \text{常数} \] 例如，对于在粘性介质中做一维运动的粒子，其拉格朗日量为 $L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 e^{-\lambda t}$。通过上述变换，我们可以得出 $p(t) = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x} e^{-\lambda t} = p_0$ 为常数。 此外，对于这个一维运动，虽然原拉格朗日量不具有时间平移不变性，但我们可以通过变换时间变量 $t$ 到 $t^*$，使得作用量 $S$ 保持不变。具体来说，我们对无穷小作用量 $Ldt$ 进行分析，通过一系列推导得到新的时间变换关系： \[ t^* = \frac{1}{\lambda} \ln \left( \frac{1}{1 - \lambda e^{\lambda t}} \right) \] 在新的时间变量下，拉格朗日量具有时间平移不变性。 #### 3. 一般线性变换下的不变性研究 对于涉及耗散力的许多问题，直接研究系统在一般线性变换下的不变性是一种更简单的方法。考虑一维运动，坐标 $x$ 和时间 $t$ 按以下方式变换： - $X = ax + \beta t + x_0$ - $T = \delta x + vt + t_0$ 其中 $a, \beta, \delta, v, x_0$ 和 $t_0$ 为常数，且 $av - \beta \delta \neq 0$。 将运动方程 $m\ddot{x} = f(x, \dot{x}, t)$ 用新变量 $X$ 和 $T$ 表示，并要求变换后的运动方程形式不变，即 $mX'' = f(X, X', T)$，我们可以得到一些重要的关系。 若拉格朗日量 $L(x, \dot{x}, t)$ 在这种变换下保持不变，则可以得到一些关于 $f(x, \dot{x}, t)$ 和 $L$ 的方程。例如，当 $\delta = 0$ 时，有 $f(x, \dot{x}, t) = \frac{1}{a} f(X, X', T)$。 对于一些特定的变换，我们可以研究系统的不同不变性： | 变换类型 | 参数条件 | | ---- | ---- | | 时间平移不变性 | $a = v = 1$，$\beta = x_0 = 0$，$t_0$ 任意 | | 坐标平移 | $a = v = 1$，$\beta = t_0 = 0$，$x_0$ 任意 | | 时间尺度变换 | $a = 1$，$\beta = x_0 = t_0 = 0$，$v$ 任意 | | 坐标尺度变换 | $\beta = x_0 = t_0 = 0$，$a$ 任意 | | 伽利略变换 | $a = v = 1$，$x_0 = t_0 = 0$，$\beta$ 任意 | 以阻尼谐振子为例，其受力 $f(x, \dot{x}) = -m\lambda \dot{x} - m\omega_0^2 x$ 是 $x$ 和 $\dot{x}$ 的一次齐次函数。当我们寻找在特定变换下不变的拉格朗日量时，设其为 $z = \frac{\dot{x}}{x}$ 和 $t$ 的函数。通过将相关方程用 $z$