高效并行算法设计与矩阵乘法

### 高效并行算法设计与矩阵乘法 在并行计算领域，高效算法的设计对于提升计算效率至关重要。本文将详细介绍在 n - 星型网络上的排序算法以及在超立方体网络上的矩阵乘法算法。 #### 1. n - 星型网络上的排序算法 在 n - 星型网络中，每个处理器持有一个数据，总共有 n! 个数据，需要将这些数据按非递减顺序排序。算法的核心思想是将 n - 星型网络的处理器映射到一个 (n - 1) 维数组上，然后应用特定的排序算法。 ##### 1.1 处理器排序 为了正确定义排序问题，需要对处理器进行排序。对于给定的排列 v = v(1)v(2) ... v(n)，定义如下两个值： - \(v_{max}(n) = \max\{v(k) | v(k) < v(n), 1 \leq k \leq n - 1\}\)，如果存在这样的 v(k)；否则，\(v_{max}(n) = \max\{v(k) | 1 \leq k \leq n - 1\}\)。 - \(v_{min}(n) = \min\{v(k) | v(k) > v(n), 1 \leq k \leq n - 1\}\)，如果存在这样的 v(k)；否则，\(v_{min}(n) = \min\{v(k) | 1 \leq k \leq n - 1\}\)。 从处理器标签 v = 12 ... n 开始，其余 n! - 1 个标签按照以下的 LABELS(n, j) 算法生成的顺序排列： ```plaintext Algorithm LABELS(n,j) Step 1: i = 1 Step 2: while i <= n do (2.1) if n > 2 then LABELS(n - 1, i) end if (2.2) if i < n then if j is odd then v(n) <-> vmax(n) else v(n) <-> vmin(n) end if end if (2.3) i = i + 1 end while ``` 该算法生成的顺序满足以下性质： 1. 对于每个 \(l\) 和 \(l'\)，满足 \(1 \leq l' < l \leq n\)，所有 \(v(n) = l\) 的 (n - 1)! 个排列都在所有 \(v(n) = l'\) 的排列之前。 2. 考虑第 j 组 (m - 1)! 个连续排列，其中符号 \(v(m)v(m + 1) ... v(n)\) 是固定的，其中 \(1 \leq j \leq n!/(m - 1)!\) 且 \(2 \leq m \leq n - 1\)。在这一组中，集合 \(\{1, 2, ..., n\} - \{v(m), v(m + 1), ..., v(n)\}\) 的 m - 1 个元素轮流作为 \(v(m - 1)\) 出现，每个元素连续重复 (m - 2)! 次。如果 j 是奇数，它们按降序出现；如果 j 是偶数，它们按升序出现。 例如，当 n = 4 时，4! 个标签（即 {1, 2, 3, 4} 的 24 个排列）按照 LABELS 算法排序如下： |序号|排列|序号|排列|序号|排列|序号|排列| |----|----|----|----|----|----|----|----| |1|1234|7|4213|13|1342|19|4321| |2|2134|8|2413|14|3142|20|3421| |3|3124|9|1423|15|4132|21|2431| |4|1324|10|4123|16|1432|22|4231| |5|2314|11|2143|17|3412|23|3241| |6|3214|12|1243|18|4312|24|2341| ##### 1.2 数据重排 数据重排在排序算法中是一个重要操作，它指的是成对的处理器交换它们的数据。在 \(S_n\) 中，每个处理器 \(P_v\) 有 n - 1 个邻居 \(P_u\)，第 k 个邻居的标签 u 是通过交换 v(1) 和 v(k + 1) 得到的（k = 1, 2, ..., n - 1）。连接 \(P_v\) 与其邻居的边被称为连接 2, 3, ..., n。 “通过连接 i 重排数据” 意味着所有通过连接 i 直接相连的处理器交换它们的数据。具体来说，处理器 \(P_v\)（其中 v = v(1)v(2) ... v(i - 1)v(i)v(i + 1) ... v(n)）将其数据发送到处理器 \(P_u\)（其中 u = v(i)v(2) ... v(i - 1)v(1)v(i + 1) ... v(n)）。 ##### 1.3 将星型网络视为多维数组 \(S_n\) 的 n! 个处理器被视为组织在一个虚拟的 (n - 1) 维 2 x 3 x ... x n 正交数组中。这个组织过程分两步完成： 1. 首先，根据 LABELS 算法得到的顺序列出处理器。 2. 然后，按照维度的蛇形顺序将处理器放置在 (n - 1) 维数组中。 例如，当 n = 4 时，24 个处理器标签在 2 x 3 x 4 数组中的排列如下（箭头表示维度的蛇形顺序）： ```plaintext 1234 -> 2134 1243 -> 2143 1342 -> 3142 2341 -> 3241 ... ``` 处理器 \(P_v\)（其中 v = v(1)v(2) ... v(n)）在 (n - 1) 维数组中的坐标 \(l(1), l(2), ..., l(n - 1)\) 由 \(l(k) = k + 1 - \sum_{j = 1}^{k}[v(k + 1) > v(j)]\) 给出，其中 \([v(k + 1) > v(j)]\) 如果 \(v(k + 1) > v(j)\) 则等于 1，否则等于 0。 需要注意的是，在 (n - 1) 维数组中相邻位置的两个处理器在 n - 星型网络中不一定直接相连。但可以证明，在维度 k 上，一组 k + 1 个连续位置的处理器通过连接 k + 1 重排数据后，这些数据将存储在一组形成线性数组的 k + 1 个处理器中。 以下是 mermaid 格式的流程图，展示了数据重排后形成线性数组的过程： ```mermaid graph LR A[k + 1 个连续处理器] --> B[通过连接 k + 1 重排数据] B --> C[新的 k + 1 个处理器形成线性数组] ``` ##### 1.4 排序算法 为了在 n - 星型网络上对序列 \((x_0, x_1, ..., x_{N - 1})\)（其中 \(N = n!\)）进行排序，将 n - 星型网络的处理器视为 (n - 1) 维 2 x 3 x ... x n 虚拟数组，然后应用特定的排序算法。 由于在维度 k 上，每组 k + 1 个处理器在 n - 星型网络中不一定形成线性数组，因此在执行线性数组操作（如应用 LINEAR ARRAY SORT 算法）时，需要将 k + 1 个处理器的内容复制到另一组在 n - 星型网络中形成线性数组的 k + 1 个处理器中。具体操作如下： 1. 通过连接 k + 1 重排要排序的数字，将内容复制到线性数组的处理器中。 2. 执行线性数组操作。 3. 将数字带回原始处理器。 使用 MULTIDIMENSIONAL ARRAY SIMPLE SORT 算法的运行时间为 \(O(n^3 \log n)\)，使用 MULTIDIMENSIONAL ARRAY FAST SORT 算法的运行时间为 \(O(n^2)\)。然而，使用一个处理器对 n! 个数字进行最优排序的时间为 \(O(n! \log n!)\)，因此使用 n! 个处理器的并行算法的时间复杂度应为 \(O(\log n!)\)，即 \(O(n \log n)\) 才能达到时间最优。目前尚不清楚在 n - 星型网络上是否能实现 \(O(n \log n)\) 的排序时间。 此外，还存在一个相关的开放问题：当处理器按顺序形成哈密顿循环时，是否存在一种高效的 n - 星型网络排序算法？虽然 n - 星型网络可以被证明是哈密顿图，但 LABELS 算法定义的处理器顺序在 n > 3 时不会产生哈密顿循环。 #### 2. 超立方体网络上的矩阵乘法算法 矩阵乘法是许多领域中的基本计算问题，在并行算法中也具有重要地位。许多计算可以通过将其表示为矩阵乘法来高效地并行执行。 ##### 2.1 矩阵乘法问题定义 设 A 和 B 是两个 n x n 的实数矩阵，需要计算一个第三 n x n 矩阵 C，使得 \(C = A \times B\)。矩阵 C 的元素由下式计算： \(C_{jk} = \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{ji} \times b_{ik}\)，其中 \(0 \leq j, k \leq n - 1\)。 计算该矩阵乘法所需操作数的下界为 \(\Omega(n^2)\)，因为结果矩阵 C 由 \(n^2\) 个元素组成，仅生成这些元素作为输出就需要这么多步骤。目前已知的该问题的最高下界就是 \(\Omega(n^2)\)，尽管经过了大量努力，仍没有人能够证明计算 C 需要超过 \(n^2\) 步。 另一方面，由于 C 有 \(n^2\) 个元素，每个元素是 n 个乘积的和，一个直接的顺序算法需要 \(O(n^3)\) 时间。目前已知的渐近最快顺序算法的时间复杂度为 \(O(n^{\omega})\)，其中 \(2 < \omega < 2.38\)。由于 \(\Omega(n^2)\) 下界和 \(O(n^{\omega})\) 上界之间存在明显差距，因此不清楚该算法是否是时间最优的，也不清楚是否存在更快的算法。 ##### 2.2 超立方体模型 超立方体是一种常见的互连网络。设 \(N = 2^d\) 个处理器 \(P_0, P_1, ..., P_{N - 1}\) 可用（\(d \geq 1\)）。对于两个整数 i 和 i(b)（\(0 \leq i, i(b) \leq N - 1\)），它们的二进制表示仅在位置 b（\(0 \leq b < d\)）不同。具体来说，如果 i 的二进制表示为 \(i_{d - 1}i_{d - 2} ... i_{b + 1}i_bi_{b - 1} ... i_1i_0\)，则 i(b) 的二进制表示为 \(i'_{d - 1}i'_{d - 2} ... i'_{b + 1}i'_bi'_{b - 1} ... i'_1i'_0\)，其中 \(i'_b\) 是 \(i_b\) 的二进制补码。 一个 d 维超立方体互连网络通过将每个处理器 \(P_i\)（\(0 \leq i \leq N - 1\)）与 \(P_{i(b)}\) 通过双向链路连接而成，因此每个处理器有 d 个邻居。从图中可以看出，d 维超立方体的直径恰好为 d。 ##### 2.3 超立方体上的矩阵乘法算法 超立方体上的矩阵乘法算法本质上是直接顺序算法的实现。为了计算两个 n x n 矩阵 A 和 B 的乘积（其中 \(n = 2^q\)），使用一个具有 \(N = n^3 = 2^{3q}\) 个处理器的超立方体。可以将处理器视为排列在一个 n x n x n 数组中，处理器 \(P_r\) 占据位置 (i, j, k)，其中 \(r = in^2 + jn + k\) 且 \(0 \leq i, j, k \leq n - 1\)。 假设每个处理器 \(P_r\) 有三个寄存器 \(A_r\)、\(B_r\) 和 \(C_r\)，也分别表示为 \(A(i, j, k)\)、\(B(i, j, k)\) 和 \(C(i, j, k)\)。初始时，位置为 (0, j, k) 的处理器 \(P_s\) 包含矩阵 A 的元素 \(a_{jk}\) 和矩阵 B 的元素 \(b_{jk}\)，其他处理器的寄存器初始化为 0。计算结束时，处理器 \(P_s\) 的寄存器 \(C_s\) 应包含乘积矩阵 C 的元素 \(C_{jk}\)。 算法步骤如下： ```plaintext Algorithm HYPERCUBE MATRIX MULTIPLICATION Step 1: 将矩阵 A 和 B 的元素分布到 n^3 个处理器上，使得位置为 (i, j, k) 的处理器包含 aji 和 bik。具体做法如下： (1.1) 将初始在 A(0, j, k) 和 B(0, j, k) 中的数据副本发送到位置为 (i, j, k) 的处理器（1 ≤ i ≤ n - 1）。结果是，A(i, j, k) = ajk 且 B(i, j, k) = bjk，对于 0 ≤ i ≤ n - 1。形式上， for m = 3q - 1 downto 2q do for all r such that rm = 0 do in parallel (i) Ar(m) ← Ar (ii) Br(m) ← Br end for end for (1.2) 将 A(i, j, i) 中的数据副本发送到位置为 (i, j, k) 的处理器（0 ≤ k ≤ n - 1）。结果是，A(i, j, k) = aji 对于 0 ≤ k ≤ n - 1。形式上， for m = q - 1 downto 0 do for all r such that rm = r2q+m do in parallel Ar(m) ← Ar end for end for (1.3) 将 B(i, i, k) 中的数据副本发送到位置为 (i, j, k) 的处理器（0 ≤ j ≤ n - 1）。结果是，B(i, j, k) = bik 对于 0 ≤ j ≤ n - 1。形式上， for m = 2q - 1 downto q do for all r such that rm = rq+m do in parallel Br(m) ← Br end for end for Step 2: 每个位置为 (i, j, k) 的处理器计算乘积 C(i, j, k) ← A(i, j, k) × B(i, j, k)。 因此，C(i, j, k) = aji × bik 对于 0 ≤ i, j, k ≤ n - 1。形式上， for r = 0 to N - 1 do in parallel Cr ← Ar × Br end for Step 3: 计算和 C(0, j, k) ← ∑(i = 0 to n - 1) C(i, j, k) 对于 0 ≤ j, k ≤ n - 1。形式上， ... ``` 超立方体上的矩阵乘法算法通过合理的数据分布和并行计算，有效地实现了矩阵乘法。该算法的设计充分利用了超立方体网络的特性，使得矩阵乘法能够高效地并行执行。 综上所述，n - 星型网络上的排序算法和超立方体网络上的矩阵乘法算法都展示了并行计算在解决复杂问题时的优势。然而，在这两个领域中仍存在一些未解决的问题，如 n - 星型网络上的最优排序时间和矩阵乘法的最优算法，这些问题为未来的研究提供了方向。 ### 高效并行算法设计与矩阵乘法 #### 2. 超立方体网络上的矩阵乘法算法（续） ##### 2.3 超立方体上的矩阵乘法算法（续） 下面继续详细介绍超立方体上矩阵乘法算法的最后一步。 ```plaintext Algorithm HYPERCUBE MATRIX MULTIPLICATION Step 1: 将矩阵 A 和 B 的元素分布到 n^3 个处理器上，使得位置为 (i, j, k) 的处理器包含 aji 和 bik。具体做法如下： (1.1) 将初始在 A(0, j, k) 和 B(0, j, k) 中的数据副本发送到位置为 (i, j, k) 的处理器（1 ≤ i ≤ n - 1）。结果是，A(i, j, k) = ajk 且 B(i, j, k) = bjk，对于 0 ≤ i ≤ n - 1。形式上， for m = 3q - 1 downto 2q do for all r such that rm = 0 do in parallel (i) Ar(m) ← Ar (ii) Br(m) ← Br end for end for (1.2) 将 A(i, j, i) 中的数据副本发送到位置为 (i, j, k) 的处理器（0 ≤ k ≤ n - 1）。结果是，A(i, j, k) = aji 对于 0 ≤ k ≤ n - 1。形式上， for m = q - 1 downto 0 do for all r such that rm = r2q+m do in parallel Ar(m) ← Ar end for end for (1.3) 将 B(i, i, k) 中的数据副本发送到位置为 (i, j, k) 的处理器（0 ≤ j ≤ n - 1）。结果是，B(i, j, k) = bik 对于 0 ≤ j ≤ n - 1。形式上， for m = 2q - 1 downto q do for all r such that rm = rq+m do in parallel Br(m) ← Br end for end for Step 2: 每个位置为 (i, j, k) 的处理器计算乘积 C(i, j, k) ← A(i, j, k) × B(i, j, k)。 因此，C(i, j, k) = aji × bik 对于 0 ≤ i, j, k ≤ n - 1。形式上， for r = 0 to N - 1 do in parallel Cr ← Ar × Br end for Step 3: 计算和 C(0, j, k) ← ∑(i = 0 to n - 1) C(i, j, k) 对于 0 ≤ j, k ≤ n - 1。形式上， for m = 0 to q - 1 do for all r such that rm = 0 do in parallel Cr ← Cr + Cr(2q + m) end for end for ``` 这一步通过循环和并行操作，将各个处理器上计算得到的中间结果累加起来，最终得到矩阵 C 中每个元素的值。 以下是该算法步骤的 mermaid 格式流程图： ```mermaid graph LR A[开始] --> B[Step 1: 数据分布] B --> C[Step 2: 计算乘积] C --> D[Step 3: 求和计算] D --> E[结束] ``` ##### 2.4 算法复杂度分析 该超立方体矩阵乘法算法的复杂度主要取决于数据分布、乘积计算和求和计算这三个步骤。 - **数据分布**：在 Step 1 中，数据分布涉及多个嵌套循环和并行操作，其时间复杂度为 \(O(n)\)。 - **乘积计算**：Step 2 中，每个处理器并行计算乘积，时间复杂度为 \(O(1)\)。 - **求和计算**：Step 3 的求和计算通过循环和并行操作完成，时间复杂度为 \(O(\log n)\)。 综合考虑，整个算法的时间复杂度为 \(O(n + \log n)\)。由于 \(n\) 通常远大于 \(\log n\)，所以该算法的时间复杂度近似为 \(O(n)\)。 #### 3. 总结与展望 ##### 3.1 算法总结 - **n - 星型网络排序算法**：通过将处理器映射到多维数组，并利用数据重排和特定排序算法，实现了对 n! 个数据的排序。虽然目前的算法在时间复杂度上未达到最优，但为后续研究提供了基础。 - **超立方体网络矩阵乘法算法**：基于直接顺序算法，利用超立方体网络的特性，通过合理的数据分布和并行计算，高效地实现了矩阵乘法，时间复杂度近似为 \(O(n)\)。 以下是两种算法的对比表格： |算法类型|问题|核心思想|时间复杂度|是否最优| |----|----|----|----|----| |n - 星型网络排序算法|对 n! 个数据排序|映射到多维数组，应用排序算法| \(O(n^2)\) 或 \(O(n^3 \log n)\) |否| |超立方体网络矩阵乘法算法|矩阵乘法|实现顺序算法，利用网络特性| \(O(n)\) |未知| ##### 3.2 未来研究方向 - **n - 星型网络排序算法**：探索是否能实现 \(O(n \log n)\) 的排序时间，以及当处理器按顺序形成哈密顿循环时的高效排序算法。 - **矩阵乘法算法**：继续寻找矩阵乘法的最优算法，缩小 \(\Omega(n^2)\) 下界和 \(O(n^{\omega})\) 上界之间的差距，以确定现有算法是否为时间最优。 通过不断研究和改进这些并行算法，有望在更多领域中实现更高效的计算，推动并行计算技术的发展。