灵活规则伴随函数的分析与构建

# 灵活规则伴随函数的分析与构建 ## 1. 灵活规则伴随函数的图形空间分析 ### 1.1 度函数的图形空间 - **单条件规则**：对于单条件规则 \(A \to B\)，由于一致性程度 \(c_A(x)\) 和 \(c_B(y)\) 在数值上等于真值程度 \(t(A(x))\) 和 \(t(B(y))\)，规则的逻辑语义“如果 \(t(A(x)) > 0.5\) 那么 \(t(B(y)) > 0.5\)”在一致性程度层面体现为“如果 \(c_A(x) > 0.5\) 那么 \(c_B(y) > 0.5\)”。因此，对于度函数 \(d_B = f_d(d_A)\)，实际上只需要考虑区间 \((0.5, \beta_A]\) 上的函数段。所以，单条件规则 \(A \to B\) 的度函数图形空间为 \((0.5, \beta_A] \times (0.5, \beta_B]\)，这个空间比原始空间 \([\alpha_A, \beta_A] \times [\alpha_B, \beta_B]\) 小很多。 - **多条件规则**： - **合取型规则 \(A_1 \land A_2 \to B\)**：其前件 \(A_1 \land A_2\) 度的定义域在概念上是 \((\alpha_1, \beta_1] \times (\alpha_2, \beta_2]\)，后件 \(B\) 度的值域是 \((\alpha, \beta]\)。但在粗糙真推理要求“\(c_{A_1 \land A_2}(x_1, x_2) > 0.5\)”和逻辑语义“如果 \(c_{A_1 \land A_2}(x_1, x_2) > 0.5\)，那么 \(c_B(y) > 0.5\)”的约束下，实际只需要考虑子区域 \((0.5, \beta_1] \times (0.5, \beta_2]\) 上的函数段。所以，该规则的度函数图形空间为 \(((0.5, \beta_1] \times (0.5, \beta_2]) \times (0.5, \beta]\)。 - **析取型规则 \(A_1 \lor A_2 \to B\)**：其度函数图形空间为 \(((0.5, \beta_1] \times (\alpha_2, \beta_2]) \cup ((\alpha_1, \beta_1] \times (0.5, \beta_2]) \times (0.5, \beta]\)。需要注意的是，规则 \(A_1 \lor A_2 \to B\) 实际上是 \(A_1 \to B\) 和 \(A_2 \to B\) 的并集，其伴随度函数原本应该是两个离散的二维子空间 \((0.5, \beta_1] \times (0.5, \beta]\) 和 \((0.5, \beta_2] \times (0.5, \beta]\)，而三维子空间 \(((0.5, \beta_1] \times (\alpha_2, \beta_2]) \cup ((\alpha_1, \beta_1] \times (0.5, \beta_2]) \times (0.5, \beta]\) 是这两个子空间在相应三维子空间 \((\alpha_1, \beta_1] \times (\alpha_2, \beta_2] \times (\alpha, \beta]\) 中的扩展。 - **合成型规则 \(A_1 \oplus A_2 \to B\)**：其度函数图形空间为 \(R \times (0.5, \beta]\)，其中 \(R = \{(d_1, d_2)|(d_1, d_2) \in [\alpha_1, \beta_1] \times [\alpha_2, \beta_2]\) 且 \(w_1d_1 + w_2d_2 > 0.5, w_1 + w_2 = 1\}\)。 ### 1.2 测量函数的图形空间 - **单条件规则**：假设 \(A\) 和 \(B\) 是全峰型，其支持集分别为 \((s_A^-, s_A^+)\) 和 \((s_B^-, s_B^+)\)，扩展核分别为 \((m_A^-, m_A^+)\) 和 \((m_B^-, m_B^+)\)。由规则的逻辑语义和粗糙真推理要求可知，规则 \(A \to B\) 的伴随测量函数在概念上的定义域和值域分别为 \((s_A^-, s_A^+)\) 和 \((s_B^-, s_B^+)\)，但实际分别为 \((m_A^-, m_A^+)\) 和 \((m_B^-, m_B^+)\)。因此，该规则的伴随测量函数图形空间为 \((m_A^-, m_A^+) \times (m_B^-, m_B^+)\)，这个空间比概念上的函数空间 \((s_A^-, s_A^+) \times (s_B^-, s_B^+)\) 大大减小。 - **多条件规则**： - **合取型规则 \(A_1 \land A_2 \to B\)**：其伴随测量函数图形空间为 \([(m_{A_1}, \xi_{A_1}] \cap (m_{A_2}, \xi_{A_2})) \times (m_B, \xi_B]\)。 - **析取型规则 \(A_1 \lor A_2 \to B\)**：其伴随测量函数图形空间为 \([((m_{A_1}, \xi_{A_1}) \times (s_{A_2}^-, s_{A_2}^+)) \cup ((m_{A_2}, \xi_{A_2}) \times (s_{A_1}^-, s_{A_1}^+))] \times (m_B^-, m_B^+)\)。 - **合成型规则 \(A_1 \oplus A_2 \to B\)**：其伴随测量函数图形空间为 \(R \times (m_B, \xi_B]\)，其中 \(R = \{(x_1, x_2) | (x_1, x_2) \in (s_{A_1}, \xi_{A_1}] \times (s_{A_2}, \xi_{A_2}]\) 且 \(w_1m_{A_1}(x_1) + w_2m_{A_2}(x_2) > 0.5, w_1 + w_2 = 1\}\)。 ### 1.3 图形空间总结 | 规则类型 | 度函数图形空间 | 测量函数图形空间 | | ---- | ---- | ---- | | 单条件规则 \(A \to B\) | \((0.5, \beta_A] \times (0.5, \beta_B]\) | \((m_A^-, m_A^+) \times (m_B^-, m_B^+)\) | | 合取型规则 \(A_1 \land A_2 \to B\) | \(((0.5, \beta_1] \times (0.5, \beta_2]) \times (0.5, \beta]\) | \([(m_{A_1}, \xi_{A_1}] \cap (m_{A_2}, \xi_{A_2})) \times (m_B, \xi_B]\) | | 析取型规则 \(A_1 \lor A_2 \to B\) | \(((0.5, \beta_1] \times (\alpha_2, \beta_2]) \cup ((\alpha_1, \beta_1] \times (0.5, \beta_2]) \times (0.5, \beta]\) | \([((m_{A_1}, \xi_{A_1}) \times (s_{A_2}^-, s_{A_2}^+)) \cup ((m_{A_2}, \xi_{A_2}) \times (s_{A_1}^-, s_{A_1}^+))] \times (m_B^-, m_B^+)\) | | 合成型规则 \(A_1 \oplus A_2 \to B\) | \(R \times (0.5, \beta]\)，\(R = \{(d_1, d_2)|(d_1, d_2) \in [\alpha_1, \beta_1] \times [\alpha_2, \beta_2]\) 且 \(w_1d_1 + w_2d_2 > 0.5, w_1 + w_2 = 1\}\) | \(R \times (m_B, \xi_B]\)，\(R = \{(x_1, x_2) | (x_1, x_2) \in (s_{A_1}, \xi_{A_1}] \times (s_{A_2}, \xi_{A_2}]\) 且 \(w_1m_{A_1}(x_1) + w_2m_{A_2}(x_2) > 0.5, w_1 + w_2 = 1\}\) | ### 1.4 图形空间分析流程 ```mermaid graph LR A[开始] --> B[分析单条件规则度函数图形空间] B --> C[分析多条件规则度函数图形空间] C --> D[分析单条件规则测量函数图形空间] D --> E[分析多条件规则测量函数图形空间] E --> F[总结图形空间] F --> G[结束] ``` ## 2. 灵活规则伴随函数的构建及参考模型 ### 2.1 伴随度函数的构建 #### 2.1.1 单条件规则 - **相关性情况**：假设在区域 \((0.5, \beta_A] \times (0.5, \beta_B]\) 中一致性程度 \(c_A(x)\) 和 \(c_B(y)\) 具有相关性，作矩形区域的中线，得到函数 \(d_B = \frac{\beta_B - 0.5}{2}\)，\(0.5 < d_A \leq \beta_A\)。该函数与期望值 \(d_B^0\) 的最大误差不超过 \(\frac{1}{2}(\beta_B - 0.5)\)，可作为规则 \(A \to B\) 的伴随度函数。 - **函数关系情况**：假设在区域 \((0.5, \beta_A] \times (0.5, \beta_B]\) 中一致性程度 \(c_A(x)\) 和 \(c_B(y)\) 具有函数关系，作矩形区域的对角线，得到函数 \(d_B = \frac{\beta_B - 0.5}{\beta_A - 0.5}(d_A - 0.5) + 0.5\)，\(0.5 < d_A \leq \beta_A\)。该函数与期望值 \(d_B^0\) 的最大误差不超过 \(\beta_B - 0.5\)，平均误差不超过 \(\frac{1}{2}(\beta_B - 0.5)\)，可作为规则 \(A \to B\) 的伴随度函数。 - **有样本数据情况**：假设存在样本数据 \((d_{Ai}, d_{Bi})\) (\(i = 1, 2, \ldots, n\))，则可构建伴随度函数 \(d_B = \kappa d_A + \lambda\)，\(\kappa \geq 1\)，\(\lambda \geq 0\)，\(0.5 < d_A \leq \beta_A\)，其中 \(\kappa\) 和 \(\lambda\) 是两个可调参数，其值可由样本点