图论算法详解：邻接矩阵与链表、最小生成树与最短路径

本资源主要讲解图论在计算机科学中的基础知识和算法，由石门中学的江涛教授于2009年10月5日分享，适合用于算法竞赛的学习。主要内容包括： 1. **图的表示方法**： - **邻接矩阵**：这是一种用二维数组表示图的方法，通过行和列代表顶点，矩阵中的元素值表示顶点间是否有边及其权重。其空间复杂度为O(|V|^2)，适用于稠密图，但对稀疏图效率较低。 - **邻接链表**：以链表形式存储图，每个顶点都有一个链表存储与其相连的所有顶点，对于无向图，每条边需在两端的链表中分别表示。这种方法空间复杂度为O(|E|)，更适合表示稀疏图，节省空间。 2. **图的遍历**： - **深度优先遍历（Depth-First Search, DFS）**：利用邻接链表实现，遍历过程先访问一个顶点，然后尽可能深地访问其邻居，直到无法继续再回溯到其他未访问过的节点。C++代码展示了如何初始化遍历状态和进行深度优先搜索。 3. **核心算法**： - **最小生成树算法**：介绍了Prim算法和Kruskal算法，Prim算法从一个顶点开始，逐步添加与现有树相连且权重最小的边，构建生成树；Kruskal算法则是从小到大顺序选取边，确保每条边都不形成环。 - **最短路径算法**： - **Dijkstra算法**：用于求解单源最短路径问题，从起点开始，逐步更新与已知路径更优的节点距离。 - **Bellman-Ford算法**：可以处理带负权边的情况，重复搜索直到找到最短路径，或者发现负权环。 - **SPFA算法**（Shortest Path Faster Algorithm）：是Dijkstra算法的改进版，对稠密图效率更高。 - **Floyd算法（Warshall-Floyd算法）**：求解所有顶点对之间的最短路径，适用于求解完全图中的最短路径问题。 4. **基础数据结构**： - 用C或C++定义了图的数据结构，如`graph_node`表示图节点，包含顶点信息；`AdjList`表示邻接链表节点，包含顶点ID和指向下一个节点的指针。 这个资源提供了一套全面的图论基础概念和算法实现，包括图的表示、基本操作以及经典的最优化问题解决方案，对于准备参加NOIP或其他算法竞赛的学生来说，具有很高的实用价值。