图的运算与能量：理论与实例

本文主要探讨了图的能量及其在图形理论中的运算。首先，图的能量被定义为有限无向简单图G的邻接矩阵A(G)的特征值的和，其中λ1, λ2, ..., λn是A(G)的特征值，能量记为\( \varepsilon(G) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\lambda_i \)。这是衡量图结构复杂性的一个重要指标。 论文集中在两个核心主题上：一元运算和二元运算对图能量的影响。一元运算包括重复图(DmG)，它是由原图G进行复制操作得到的新图；折线图(L(G))，它是通过将图G的边替换为线段来构造的；细分图(S(G))，通过在图G的每条边上增加一个新顶点连接原顶点，形成新的图；以及总图(T(G))，它是图G的所有子图的并集。这些一元运算下的能量计算公式展示了不同构造方法下图能量的独特性质。 另一方面，二元运算关注的是图的乘积图。乘积图G1×G2由两个图G1和G2通过将每个顶点连接对应顶点形成的图。作者证明了乘积图的能量等于其组成图的能量的乘积，即\( \varepsilon(G_1 \times G_2) = \varepsilon(G_1) \cdot \varepsilon(G_2) \)。这一结果对于理解复合图结构的能源特性具有重要意义。 此外，论文还涉及了Corona图的能量计算。Corona图G^H是由两个正则图G和H组成的，其中每个顶点G的每个顶点都与其在H中的所有邻居相连。作者给出了Corona图G^H的能量公式，这进一步揭示了正则图组合对能量值的影响。 这篇论文通过深入研究一元和二元运算对图能量的影响，不仅提供了新的图构造方法，还揭示了图的结构与能量之间的数学关系，这对于理论计算机科学和图论的研究者来说是一篇富有成果的贡献。通过这些公式，研究者可以分析和比较各种图形结构的能量，从而探索它们在实际应用中的性能和性质。