掌握层次分析法AHP：Matlab求解判断矩阵及一致性检验

层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）是一种常用的决策分析方法，由美国运筹学家托马斯·L·萨蒂（Thomas L. Saaty）于20世纪70年代提出。AHP方法通过将复杂的决策问题分解为多个层次和因素，构建判断矩阵，对每一层的因素进行两两比较，然后通过数学计算得到各因素的权重，进而分析和解决决策问题。 在AHP方法中，判断矩阵是用来表示同一层次中各因素两两比较的重要性程度。判断矩阵通常是基于专家或决策者的经验判断而建立的，每个元素aij代表因素i相对于因素j的重要性程度，通常采用1-9的标度法进行评分。 Matlab（Matrix Laboratory的简称）是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级编程语言和交互式环境。在层次分析法AHP中，Matlab可以用来进行判断矩阵的权向量计算以及一致性检验。 ### 判断矩阵的权向量计算 权向量计算是层次分析法中非常关键的步骤，其主要目的是从判断矩阵中获得各个因素的权重。以下是利用Matlab计算权向量的基本步骤： 1. 构建判断矩阵 判断矩阵是由专家根据问题的具体内容和自身经验给出的。例如，如果有一个由三个因素组成的判断矩阵A，其形式可能如下： ``` A = [1 a b; 1/a 1 c; 1/b 1/c 1] ``` 其中a、b、c是专家根据1-9的标度法给出的因素i相对于因素j的重要性评分。 2. 计算判断矩阵每行元素的乘积Mi ``` Mi = prod(A, 2); ``` 此处使用了Matlab的prod函数计算矩阵A每行的乘积。 3. 计算Mi的n次方根（n为矩阵的阶数） ``` n = size(A, 1); Wi = nthroot(Mi, n); ``` 使用Matlab的nthroot函数计算Mi的n次方根，得到近似的权向量Wi。 4. 权向量的归一化处理 ``` Wi = Wi / sum(Wi); ``` 通过归一化处理使得Wi的元素和为1。 5. 计算判断矩阵的最大特征值λmax ``` lambda = max(eig(A)); ``` 利用Matlab的eig函数计算判断矩阵A的特征值，取其中最大的特征值作为λmax。 ### 一致性检验 一致性检验是判断判断矩阵合理性的关键步骤，用来检查专家评分的逻辑一致性。如果判断矩阵的一致性比率CR（Consistency Ratio）小于0.1，则认为判断矩阵的一致性是可以接受的；否则，需要重新调整判断矩阵。 1. 计算一致性指标CI（Consistency Index） ``` CI = (lambda - n) / (n - 1); ``` 通过判断矩阵的特征值λmax和阶数n计算一致性指标CI。 2. 查找相应的平均随机一致性指数RI（Random Index） RI是根据随机生成的正互反矩阵计算得到的平均一致性指数，对于1到10阶的判断矩阵，通常有事先确定好的RI值。 3. 计算一致性比率CR ``` CR = CI / RI; ``` 将CI和RI代入公式计算CR，进行一致性检验。 通过上述步骤，利用Matlab可以有效地求解层次分析法中的判断矩阵权向量，并进行一致性检验，为决策提供支持。在实际操作中，需要借助Matlab的矩阵操作、函数计算等功能，快速准确地完成复杂的计算过程。这种方法广泛应用于企业管理决策、项目评估、资源分配等多个领域。