逻辑回归算法详解：从基本思路到损失函数

"这篇讲义主要探讨了逻辑回归算法，包括其基本思路、数学原理以及推导过程。" 逻辑回归算法是一种广泛应用的分类算法，尤其适用于处理二分类问题，即输出结果只有两种情况，如是/否、真/假、0/1等。算法的核心在于构建一个能够预测输入数据所属类别的函数，并通过优化这个函数来最小化预测误差。 基本思路分为三个主要步骤： 1. 构造预测函数：预测函数h是模型的基础，它将输入x映射到一个预测值。在逻辑回归中，通常假设预测函数为线性，即hθ(x) = θ0 + θ1x1 + ... + θnxn，其中θ是权重参数，x1, x2, ..., xn是特征。 2. 构建损失函数与代价函数：损失函数衡量模型预测值与真实值之间的差距。在逻辑回归中，常用的是交叉熵损失函数，因为它对异常值不敏感且更适合概率预测。代价函数J(θ)是所有样本损失函数的平均值。 3. 寻找最优参数：通过优化算法，如梯度下降法，寻找使代价函数J(θ)最小化的参数θ。梯度下降法通过迭代更新θ的值，使其朝着J(θ)下降最快的方向移动。 推导过程涉及逻辑函数，也就是Sigmoid函数，其公式为f(z) = 1 / (1 + e^(-z))。Sigmoid函数将任何实数值映射到(0,1)区间，使得hθ(x)可以解释为事件发生的概率。将线性函数的输出z=θTx代入Sigmoid函数，得到逻辑回归的预测概率。 代价函数通常选用交叉熵损失函数，即J(θ) = -[y log(hθ(x)) + (1 - y) log(1 - hθ(x))]，这里的y是真实标签，当y=1时，第一项主导损失；当y=0时，第二项主导损失。这种设计使得损失函数在正确分类时接近于0，而在错误分类时增加，从而鼓励模型更好地拟合数据。 在实际应用中，逻辑回归不仅限于线性边界，还可以通过添加多项式特征来处理非线性关系。此外，正则化技术可以用于防止过拟合，通过添加正则项λ*||θ||²到代价函数中，其中λ是正则化参数。 总结来说，逻辑回归算法通过线性预测函数结合Sigmoid转换，实现了概率输出，然后通过优化损失函数来调整权重，达到最佳分类效果。它简单易用，解释性强，广泛应用于各种领域，如医学诊断、市场预测和文本分类等。