使用链表实现O(M²N)时间复杂度的多项式乘法

"该资源是一道关于数据结构与算法分析的练习题目，要求编写一个以O(M²N)时间复杂度执行的多项式乘法程序，其中M是具有较少项数的多项式的项数。使用链表作为数据结构来实现这个功能。" 在这个题目中，我们首先要理解的是如何表示多项式。这里采用链表结构来存储多项式的每一项，每个链表节点包含系数（Coefficient）和指数（Exponent）两个字段，以及指向下一个节点的指针（Next）。`PtrToNode`和`Polynomial`是类型定义，分别代表链表节点的指针和降序排列的多项式链表。 为了实现多项式乘法，我们需要遵循以下步骤： 1. **多项式表示**：按照指数降序的方式存储多项式，这意味着最高次项在链表的头部，最低次项在尾部。这样可以方便地进行乘法操作。 2. **计算项数**：`NumberOfPolynomialTerms`函数用于计算给定多项式`Py`的项数。通过遍历链表直到末尾，累加项数。 3. **插入新项**：`Insert`函数用于在链表中插入新的项，它接收系数、指数和插入位置作为参数。在给定的位置后创建新的节点，并更新指针。 4. **多项式合并**：`UnionOfLinkList`函数是核心的多项式乘法实现。首先分配一个新的链表头节点`TmpPoly`，然后遍历两个多项式的所有项，对每一对项进行乘法运算，将结果插入新链表。由于链表是以指数降序排列的，因此在插入时需要检查新项的指数是否已经存在，如果存在则需要合并系数。 5. **多项式乘法**：对于每个多项式L1的项，遍历另一个多项式L2的所有项，计算两者的乘积，然后将这些乘积项插入到结果链表中。由于L1的项数较少，所以乘法的时间复杂度是O(M²N)，其中M是L1的项数，N是L2的项数。 6. **时间复杂度**：在上述算法中，我们遍历了较小多项式的每个项，并对较大多项式的每个项进行操作，因此总的时间复杂度是O(M²N)。 7. **空间复杂度**：新链表的长度等于两个输入多项式项数之积，因此空间复杂度是O(MN)。 这个实现是基于链表的数据结构，对于大型多项式，可能需要考虑更优化的算法，例如Karatsuba算法或FFT（快速傅里叶变换），它们可以提供更快的多项式乘法速度，尤其是在N非常大时。不过，对于本题的要求，链表实现的O(M²N)方法已经足够。