MATLAB有限元法估算气溶胶分布演变代码介绍

### 高斯求积代码matlab-GDE-FEM #### 知识点概述 本文档提供了关于如何使用MATLAB代码来模拟气溶胶数量分布随时间变化的详细介绍。该代码是基于有限元方法（Finite Element Method, FEM）来估算气溶胶动力学方程（General Dynamic Equation, GDE）的解决方案。代码中使用了高斯求积（Gaussian Quadrature）作为数值积分的一种方法，以解决模拟过程中遇到的积分问题。 #### 高斯求积（Gaussian Quadrature） 高斯求积是一种在数值积分中采用的数值分析技术，通过选取适当的积分点和权重，能够以相对较少的计算量得到多项式函数积分的高精度估计值。在有限元分析中，高斯求积通常用于计算单元内的积分，从而获得系统刚度矩阵和载荷向量。 在本代码中，高斯求积通过以下两种方式被应用于有限元矩阵的创建： 1. **Coagulation_FEM_matrix_creator**：此函数通过梯形规则方法创建凝血有限元矩阵。梯形规则是一种简单的数值积分方法，适用于将积分区间离散化，然后用矩形或梯形的面积近似积分值。对于凝血过程的模拟，可能需要考虑函数的不连续或奇异特性，梯形规则因其简便性和适用性，成为一种实用的选择。 2. **Coagulation_quadrature_matrix_creator**：该函数用于创建具有3点或5点高斯正交的凝固有限元矩阵。高斯正交方法基于高斯求积原理，通过在积分区间选取特定的点（高斯点）和相应的权重，对函数进行积分，其计算精度高于一般的等距点选取法。在模拟气溶胶凝固过程时，可能涉及复杂的函数形式，高斯求积能够提供更准确的结果。 #### 有限元方法（Finite Element Method, FEM） 有限元方法是一种通过将连续的域离散化为有限个简单形状的小域（称为元素），并使用变分原理求解边界值问题的数值技术。FEM 在求解复杂几何形状、边界条件和材料特性的问题中表现出优越性，广泛应用于工程学、物理学和应用数学等领域的数值分析。 在本代码中，FEM 被用于估算气溶胶动力学方程的数值解，其中涉及了以下步骤： - **离散化**：将整个气溶胶空间离散化成有限个小的元素，每个元素内部的气溶胶特性（例如数量分布）可以通过插值函数来近似。 - **单元矩阵和向量的形成**：对于每个单元，通过变分原理推导出局部刚度矩阵和载荷向量。 - **组装全局矩阵**：将所有单元的局部刚度矩阵和载荷向量组合成全局刚度矩阵和全局载荷向量。 - **施加边界条件和求解**：在全局矩阵上施加边界条件，然后求解线性或非线性代数方程组，以获得气溶胶分布随时间变化的数值解。 #### 气溶胶动力学方程（General Dynamic Equation, GDE） 气溶胶动力学方程是一类用来描述气溶胶粒子数、质量、动量、能量随时间变化的方程组。在本代码中，重点关注的是气溶胶的数量分布随时间的演变。GDE 包含了气溶胶的成核、凝结、凝血和沉降等物理过程。 #### 示例代码和功能说明 本代码库提供了多个示例和功能文件，方便用户理解和运用。例如： - **example_size_dist_evolution.m**：演示了如何使用GDE-FEM的库文件来模拟气溶胶数量分布随时间的变化，通过调用封装好的函数进行模拟。 - **GDE_FEM_MAIN.m**：用户可以通过运行该主文件，再现论文“将有限元方法应用于气溶胶通用动力学方程（GDE-FEM 1.0）-与经典数值逼近进行比较”中的计算结果。 #### 气溶胶数量分配的功能 在子文件夹GDE_functions中，存储了实现气溶胶数量分配功能的所有函数。这些函数对于模拟气溶胶粒子在凝结、凝血过程中的动态行为至关重要。 #### 文件名称列表 - **GDE-FEM-main**：作为压缩包的主文件名，意味着这是整个代码库的入口。 #### 系统开源 该代码库标明了“系统开源”标签，意味着该软件是免费提供给公众使用的，并且用户可以自由地使用、修改、分发和研究该代码，这对科学社区和工程实践具有重要意义。