Discussion :

[LeChameau]

Bonjour,
Qui saurait m'aider ? Je ne trouve pas la solution de probl�me :

N �quipes vont s'affronter en mode "championnat" (chaque �quipe va affronter toutes les autres une fois). Il y aura donc N-1 journ�es. L'ordre des matches est tir� au sort.
Parmi ces �quipes, la moiti� joue en blanc, l'autre joue en noir.
Quelle est la probabilit� qu'au cours du championnat, il y ait une journ�e avec uniquement des matches entre �quipes de la m�me couleur ?

Pour la proba sur la 1ere journ�e, je sais faire, mais si on consid�re tout le championnat je ne trouve pas (les matches d�j� jou�s ne peuvent plus se produire : comment prendre en compte ce param�tre ? )


Merci !

[tbc92]

Probl�me tr�s int�ressant. Et certainement tr�s compliqu�.
D�j�, si on a N=18 ou 22 ou 26 ou 4k+2 en g�n�ral, on est tranquille
Avec N=18, on a 9 �quipes qui jouent en blanc, 9 est impair donc au moins une des 9 jouera contre une �quipe en noir.

Les cas qui nous int�ressent sont les cas o� le nombre total d'�quipe est un multiple de 4.

La question est : Quelle est la probabilit� qu'au cours du championnat, il y ait une journ�e avec uniquement des matches entre �quipes de la m�me couleur ?
Je modifie un tout petit peu la question : Quelle est la probabilit� qu'au cours du championnat, il y ait au moins une journ�e avec uniquement des matches entre �quipes de la m�me couleur ?
Je pense que c'est �a la question que tu te poses.
Et quand il y a <au moins> dans la question, on a souvent int�r�t � calculer la probabilit� contraire :
Quelle est la probabilit� qu'au cours du championnat, � chaque journ�e, il y ait au moins un match entre �quipes de couleurs diff�rentes ?

Bon, jusque l�, on a repos� le probl�me un peu diff�remment... on n'a pas beaucoup avanc�.
Regardons pour des petites valeurs de N, pour voir ?

Si N=4 .. C'est mort. E1 et E2 jouent en blanc. Quand E1 joue contre E2, E3 joue forc�ment contre E4, on a l'obligation d'avoir une journ�e avec que des matches monocolores.

Si N=8, E1 E2 E3 E4 jouent en blanc.
On va supposer que E1 joue contre E2 � la 1�re journ�e , puis contre E3 puis E4 etc ... �a ne change rien � la g�n�ralit�, et �a permet de formuler des phrases simples.
Il y a 3 journ�es � risque (les 3 premi�res journ�es, quand E1 joue contre E2 ou E3 ou E4)
Quand E1 joue contre E2, la proba que E3 joue contre E4 est de 1/5 ... donc proba de 1/5 donc proba d'avoir au moins un match entre 2 �quipes de couleurs diff�rentes = 4/5
Quand E1 joue contre E3, la proba que E4 joue contre E2 est de 1/5 ... donc proba de 1/5 donc proba d'avoir au moins un match entre 2 �quipes de couleurs diff�rentes = 4/5
Et rebelote pour la 3�me journ�e.
Ca nous donne 4/5*4/5*4/5
Mais si on a d�j� �vit� (E3,E4) lors de la 1�re journ�e, �a veut dire qu'on a �vit� les matchs entre �quipes noires lors de la 1�re journ�e, et �a augmente un peu les risques d'avoir E2,E4 lors de cette 2�me journ�e.
Donc ce calcul 4/5*4/5*4/5 est l�g�rement faux.

M�me pour N=8, �a semble compliqu�. A voir si avec plus de temps de r�flexion, une id�e g�niale arrive.