Download to read offline
![Teorema Nilai Antara
Jika fungsi f kontinu pada [a,b] dan m ≤ k ≤ M, min ( )
a x b
m f x
≤ ≤
= dan
maks ( )
a x b
M f x
≤ ≤
= , maka ∃ d ∈ [a,b] ∋f(d) = k. Aki-bat teorema ini adalah:
Jika fungsi f kontinu pada [a,b] dan f (a) f(b) < 0, maka ∃ s ∈ (a,b) ∋f (s)
= 0. (kurva f memotong sumbu x di s)](https://image.slidesharecdn.com/2-limitdankekontinuan-250922040020-c90fff70/75/2-limit-dan-kekontinuan-Kalkulus-Dasar-Kuliah-pdf-36-2048.jpg)
2 - limit dan kekontinuan Kalkulus Dasar Kuliah.pdf
- 1.
- 2. LIMIT LIMIT • Apa itulimit ? Kapan limit ada ? • Limit kiri dan limit kanan • Definisi Limit • Definisi Limit • Ilustrasi epsilon-delta • Teorema Limit Limit
- 3. Tali mengangkat beban Talimengangkat beban Berat terangkat Berat tidak terangkat 9.9 kg 10.1 kg 9.7 kg 10.5 kg 9.5 kg 10.8 kg 9 kg 11 kg 9 kg 11 kg 8 kg 12 kg 7 kg 13 kg 6 kg 14 kg Tidak terangkat Terangkat 7 9 9.5 9.7 10.5 6 8 9.9 10.8 11 12 13 14 10.1 Limit
- 4.
- 5. Definisi Limit Definisi Limit () L x f c x = → lim Limit Untuk setiap 0 terdapat 0 sehingga untuk 0 | | maka | ( ) | x c f x L ε δ δ ε > > < − < − <
- 6. Limit Kanan Limit Kanan Misalkandiberikan suatu fungsi f(x) yang terdefinisi sepotong Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) yang terdefinisi sepotong Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) yang terdefinisi sepotong Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) yang terdefinisi sepotong- - - -sepotong, sepotong, sepotong, sepotong, perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kanan akan perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kanan akan perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kanan akan perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kanan akan membawa f(x) menuju ke M atau dinotasikan dengan membawa f(x) menuju ke M atau dinotasikan dengan membawa f(x) menuju ke M atau dinotasikan dengan membawa f(x) menuju ke M atau dinotasikan dengan limit x menuju c dari arah kanan adalah M, tanda positif di sini limit x menuju c dari arah kanan adalah M, tanda positif di sini limit x menuju c dari arah kanan adalah M, tanda positif di sini limit x menuju c dari arah kanan adalah M, tanda positif di sini menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x positif. menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x positif. menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x positif. menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x positif. Limit
- 7. Limit Kiri Limit Kiri Perhatikanbahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kiri Perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kiri Perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kiri Perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kiri akan membawa f(x) menuju ke L atau dinotasikan dengan akan membawa f(x) menuju ke L atau dinotasikan dengan akan membawa f(x) menuju ke L atau dinotasikan dengan akan membawa f(x) menuju ke L atau dinotasikan dengan limit x menuju c dari arah kiri adalah L, tanda negatif di sini limit x menuju c dari arah kiri adalah L, tanda negatif di sini limit x menuju c dari arah kiri adalah L, tanda negatif di sini limit x menuju c dari arah kiri adalah L, tanda negatif di sini menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x negatif. menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x negatif. menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x negatif. menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x negatif. Limit
- 8. Limit Limit Limit suatu fungsiitu ada bila Limit suatu fungsi itu ada bila Limit suatu fungsi itu ada bila Limit suatu fungsi itu ada bila limit kiri sama dengan limit kanan. limit kiri sama dengan limit kanan. limit kiri sama dengan limit kanan. limit kiri sama dengan limit kanan. Limit
- 9. Cara Cara- -c cara ara p perhitungan erhitungan l limit imit •Membuktikan dengan definisi • Substitusi Langsung. • Faktorisasi, yaitu memfaktorkan pembilang atau penyebut dari fungsi pembilang atau penyebut dari fungsi yang akan kita cari limitnya . • Mengalikan dengan sekawannya. Limit
- 10. Suatu Contoh PembuktianLimit dengan ε δ − 2 lim (2 3) 7 x x → + = 2 2 lim 4 x x → = Buktikan (a) dan (b) (a) Diberikan , akan ditentukan suatu sehingga yang setara dengan 0 ε > 0 δ > 0 | 2 | | 2 3 7 | x x δ ε < − < ⇒ + − < . yang setara dengan 0 | 2 | 2 | 2 | , x x δ ε < − < ⇒ − < atau | 2 | , 2 x ε − < Ambillah 1 2 δ ε ≤ , maka 1 0 | 2 | | 2 2 6 | 2 | 2 | 2 2 2 x x x δ δ ε ε < − < ⇒ + − = − < ≤ = i i
- 11. (b) Diberikan ,akan ditentukan suatu sehingga 0 ε > 0 δ > 2 0 | 2 | | 4 | x x δ ε < − < ⇒ − < | 2 || 2 | x x ε + − < atau Jika faktor | x + 2 | dapat dibatasi oleh suatu konstanta positif, maka masalahnya dapat diselesaikan seperti soal (a). Untuk ini, andaikan , maka 0 1 δ < < 0 | 2 | 1 | 2 | | 2 4 | | 2 | 4 1 4 5 x x x x δ < − < < ⇒ + = − + ≤ − + < + = Akibatnya, kita harus menentukan suatu sehingga 0 δ > 0 | 2 | 5| 2 | x x δ ε < − < ⇒ − < { } 1 5 min 1, δ ε = 1 5 δ ε ≤ Ambillah , maka dan Dari sini diperoleh 0 1 δ < < 2 0 | 2 | | 4 | | 2 || 2 | 5| 2 | 5 x x x x x δ δ ε < − < ⇒ − = + − ≤ − < < i
- 12. Kasus Fungsi yangTak Mempunyai Limit
- 13. TEOREMA LIMIT TEOREMA LIMIT Andaikan n adalahbilangan bulat positif, k adalah konstanta f dan g adalah fungsi yang memiliki nilai limit di c ( ) ( ) x c x c x c x c 1.lim ; 2.lim ; 3.lim lim ; k k x c kf x k f x → → → → = = = TEOREMA LIMIT TEOREMA LIMIT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c 4.lim lim lim ; 5.lim lim lim ; 6.lim . lim .lim ; f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x → → → → → → → → → → → + = + − = − = Limit
- 14. TEOREMA LIMIT TEOREMA LIMIT Andaikan n adalahbilangan bulat positif, k adalah konstanta f dan g adalah fungsi yang memiliki nilai limit di c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x c x c x c x c x c x c lim 7.lim ,lim 0 lim 8.lim lim ; n n f x f x g x g x g x f x f x → → → → → → = ≠ = TEOREMA LIMIT TEOREMA LIMIT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x c x c n x c x c x c 9.lim lim ,lim 0, genap. n f x f x f x n → → → → → = > Limit Jika lim ( ) x c f x → = ℓ , maka lim | ( )| | | x c f x → = ℓ . Jika lim | ( )| 0 x c f x → = , maka lim ( ) 0 x c f x → = .
- 15. 4 4 2 42 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 lim lim x x x x x x x x x x → → − + − − + + − − − − − + = ⋅ ⋅ 4 4 ( 4)( 2 4 2) ( 4)( 2 4 2) (2 4 4)( 2) 2( 4)( 2) 2 4 2 4 2 2 2 4 1 lim lim lim . x x x x x x x x x x x → → − − + − − + − − + − + − + + + = = = = = = = Contoh 4 2 4 2 4 2 2 2 4 1 2 4 8 2 2( 2) 2( 4 2) lim . x x x → − + + + ⋅ + + = = = = =
- 16. Prinsip Apit Misalkan fungsif, g, dan h terdefinisi pada suatu selang terbuka I yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. Jika di sekitar c berlaku h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) dengan lim ( ) lim ( ) x c x c h x g x → → = = ℓ , maka lim ( ) x c f x → = ℓ .
- 17. Contoh Hitunglah 0 1 limsin x x x → 1 1 0 sin | | sin | | x x x x x ≤ = ≤ 1 0 sin | | x x x ≤ ≤ 0 lim 0 0 x → = 0 lim | | 0 x x → = 0 1 lim sin 0 x x x → = Karena fungsi sinus terbatas oleh 1, maka diperoleh ketaksamaan , atau Berdasarkan prinsip apit, karena dan maka 0 1 lim sin 0 x x x → = Berdasarkan sifat limit nilai mutlak, dari sini diperoleh .
- 18. Limit Trigonometri Teorema Dasar: 0 sin lim1 x x x → = 1 1 2 2 2 1 sin 1 1 tan 2 x x x π π ⋅ ⋅ < ⋅ ⋅ < ⋅ ⋅ sin cos sin x x x x < < 1 x < < Bukti Untuk sudut x dengan 0 ≤ x ≤ π/2 Berlaku luas ∆OQR < luas sektor OQR < luas ∆ OQT sin 1 1 cos x x x < < sin cos 1 x x x < < Berdasarkan prinsip apit, karena dan , maka 0 sin lim 1 x x x → = 0 lim cos 1 x x → = 0 lim 1 1 x → = Sifat lain : 0 sin lim 1 x x x → = 0 tan lim 1 x x x → = 0 tan lim 1 x x x → =
- 19. Contoh Soal Contoh Soal 2 x2 4 A. lim 2 B. lim x x x → − − 2 x 3 2 D. lim 2 5 6 E. lim x x x → − + + x 0 x 1 B. lim 1 C. lim 1 x x x → → − − 2 x 3 x 0 6 E. lim 6 F. lim sin( ) x x x x → → + − Limit
- 20. • A • B ()( ) 4 2 lim 2 2 2 lim 2 4 lim 2 x 2 x 2 2 x = + = − − + = − − → → → x x x x x x = → x x 0 x lim Perhatikan bahwa ≥ = . 0 , x x x ( )( ) 4 2 lim 2 2 2 lim 2 4 lim 2 x 2 x 2 2 x = + = − − + = − − → → → x x x x x x = → x x 0 x lim Perhatikan bahwa ≥ = . 0 , x x x Solusi (1) Solusi (1) 1 lim 0 x = + → x x 1 lim 0 x − = − − → x x Perhatikan bahwa < − = . 0 , x x x akibatnya Dengan demikian x x x x − ≠ − + → → 0 x 0 x lim lim Jadi x x 0 x lim → tidak ada. dan 1 lim 0 x = + → x x 1 lim 0 x − = − − → x x Perhatikan bahwa < − = . 0 , x x x akibatnya Dengan demikian x x x x − ≠ − + → → 0 x 0 x lim lim Jadi x x 0 x lim → tidak ada. dan Limit
- 21. • C • D ()( ) 2 1 lim 1 1 1 lim 1 1 lim 1 x 1 x 1 x = + = − − + = − − → → → x x x x x x 8 5 2 lim 2 = + − x x Solusi (2) Solusi (2) • D • E 8 5 2 lim 3 x = + − → x x 5 3 15 6 6 lim 2 2 3 x = = − + → x x Limit
- 22. Solusi (3) Solusi (3) x0 lim sin( ) x x → Perhatikan bahwa x x x x x ≤ ≤ − ≤ ≤ − ) sin( 1 ) sin( 1 F. 0 lim 0 lim 0 x 0 x = = − → → x x 0 ) sin( lim 0 x = → x x Dengan menggunakan prinsip apit diperoleh sehingga Limit
- 23.
- 24. 2 2 2 4 4 (2)( 3) 6 ( ) x x x x x x x x f x − − + − − − = = 3 lim ( ) x f x + → 3 lim ( ) x f x − → 2 lim ( ) x f x + → − Contoh Jika hitunglah 2 lim ( ) x f x + → − 2 lim ( ) x f x − → −
- 25. Limit di TakHingga 1 lim 0, n x x n → ∞ = ∈ℕ 1 lim 0, n x x n → −∞ = ∈ℕ Teorema (1) (2) Contoh ( ) 2 2 3 3 2 2 2 1 1 1 6 2 2 lim 2 2 3 2 0 1 0 6 0 6 1 lim 6 lim 1 lim lim 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞ →∞ →∞ → ∞ → ∞ − − − − − − ⋅ − − − − − − = = = =
- 26. Kekontinuan Kekontinuan • Definisi informaliKontinu • Jenis-Jenis Ketidakkontinuan Suatu Fungsi • Definisi formal • Definisi formal • Contoh soal • Teorema Nilai Antara (TNA) • Ketidakberlakuan TNA Kekontinuan
- 27. Definisi informal Definisi informal 2 1 y 2 1 y 2 1 y •Manakah diantara gambar Manakah diantara gambar Manakah diantara gambar Manakah diantara gambar- - - -gambar fungsi di gambar fungsi di gambar fungsi di gambar fungsi di atas yang disebut kontinu ? atas yang disebut kontinu ? atas yang disebut kontinu ? atas yang disebut kontinu ? x a 1 x a 1 x a 1 Kekontinuan
- 28. Fungsi Kontinu Fungsi Kontinu Fungsikontinu dapat diilustrasikan sebagai berikut: Dalam menggambarkannya kita tidak perlu mengangkat pena dari kertas Kekontinuan
- 29. Jenis Jenis- -jenis jenis k ketidakkontinuan etidakkontinuan s suatu uatu f fungsi ungsi •Ketidakkontinuan pada satu titik • Ketidakkontinuan pada satu garis • Adanya suatu lompatan • Adanya suatu lompatan Kekontinuan
- 30. KETIDAKKONTINUAN PADA SATUTITIK KETIDAKKONTINUAN PADA SATU TITIK Kekontinuan
- 31. KETIDAKKONTINUAN PADA SATUGARIS KETIDAKKONTINUAN PADA SATU GARIS Kekontinuan
- 32. KETIDAKKONTINUAN AKIBAT KETIDAKKONTINUAN AKIBATADANYA ADANYA SUATU LOMPATAN SUATU LOMPATAN Kekontinuan
- 33. Kekontinuan fungsi Kekontinuan fungsi •Suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu titik a jika dan hanya jika memenuhi 3 syarat: ( ) ( ) a f si terdefini Fungsi terdefinisi di titik x=a; Limit f(x) ada; artinya limit kiri ( ) ( ) ( ) a f x f x f = → → a x a x lim ada lim Limit f(x) ada; artinya limit kiri dan limit kanannya sama; Kemudian nilai dari limit fungsi sama dengan nilai fungsi di titik tersebut. Kekontinuan
- 34. Apakah kontinu di0 ? Apakah kontinu di 0 ? ( ) ( ) , 0 0 , 0 , 0 , 2 h x x x x x h = ≤ − > = ( ) , 0 , 0 , 2 ≤ − > = x x x x x h terdefinisi ( ) ( ) ( ) 0 0 lim 0 lim 0 lim , 0 0 0 0 2 0 h x h x x h x x x = = = − = = → → → − + Kekontinuan Jadi h kontinu di 0.
- 35. Apakah kontinu di0 ? Apakah kontinu di 0 ? ( ) ( ) ( ) 0 0 lim 0 lim 0 lim 0 0 , 0 f x x x f x x f x = = = − = = = → + ( ) x x f = ( ) 0 0 lim 0 lim 0 0 0 f x x x x x = = = − → → → − Jadi f kontinu di 0. Kekontinuan
- 36. Teorema Nilai Antara Jikafungsi f kontinu pada [a,b] dan m ≤ k ≤ M, min ( ) a x b m f x ≤ ≤ = dan maks ( ) a x b M f x ≤ ≤ = , maka ∃ d ∈ [a,b] ∋f(d) = k. Aki-bat teorema ini adalah: Jika fungsi f kontinu pada [a,b] dan f (a) f(b) < 0, maka ∃ s ∈ (a,b) ∋f (s) = 0. (kurva f memotong sumbu x di s)
- 37. Contoh 2 ( ) ,1 ( ) 1 , 1 x a x f x ax x − ≤ = − > ℝ 1. Tentukan konstanta a agar fungsi kontinu pada . . 2. Tunjukkan fungsi kontinu untuk setiap c di 2 ( ) 1 cos f x x = + ℝ
- 38. SEKIAN SEKIAN & & TERIMA KASIH TERIMA KASIH & & TERIMAKASIH TERIMA KASIH Kekontinuan