2021年度春学期 統計学 第13回 不確かな測定の不確かさを測るー不偏分散とt分布 (2021. 7. 1)
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This document appears to be lecture slides for a statistics class discussing interval estimation when measurements are uncertain. It covers calculating variance and standard deviation from a sample, which are used to determine a confidence interval for the true population mean when the population is assumed to be normally distributed. The slides provide an example of determining a 95% confidence interval for a population mean based on a sample. They discuss using the sample variance as an estimate for the unknown population variance in such calculations.
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2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃
t分布を用いた区間推定
32
例題では
標本平均=50
不偏分散=25 標本サイズ=10
P
X̄ − t0.025(n − 1)
s2
n
µ X̄ + t0.025(n − 1)
s2
n
= 0.95
t0.025(10–1)=2.262
計算すると，例題の答は
「46.4以上53.6以下」（ [46.4, 53.6] ）
μの95%
信頼区間の下限
μの95%
信頼区間の上限](https://image.slidesharecdn.com/2021sstat13slide-210623095350/85/2021-13-t-2021-7-1-138-320.jpg)
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前回の例題と比較
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不偏分散は，母分散の推定量なので，不確か
どちらも 標本平均=50
不偏分散=25 のとき
標本サイズ=10
母分散=25 のとき
母平均の95%信頼区間は
[46.9, 53.1]
[46.4, 53.6]
→信頼区間が広い](https://image.slidesharecdn.com/2021sstat13slide-210623095350/85/2021-13-t-2021-7-1-139-320.jpg)
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- 5. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 3 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわかっているものとする （説明の都合です） 標本平均 X
- 9. 不偏分散💡💡
- 10. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 8 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 標本平均 X̄
- 11. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 8 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわかっているものとする σ2 標本平均 X̄
- 12. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 8 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわかっているものとする σ2 （説明の都合です） 標本平均 X̄
- 13. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 母分散は，ふつうはわからない 9 母集団全体は調べていないし，母平均もわからない （わからないから，いま推定しようとしている）
- 21. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均） データ： 標本 , ... X1 Xn データの平均：
- 22. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均） データ： 標本 , ... X1 Xn データの平均： 本当は母平均だが，
- 23. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均） データ： 標本 , ... X1 Xn わからないので標本平均 で代用 X̄ データの平均： 本当は母平均だが，
- 24. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本を使って分散を計算 11 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − X̄)2 + (X2 − X̄)2 + · · · + (Xn − X̄)2
- 25. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本を使って分散を計算 11 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − X̄)2 + (X2 − X̄)2 + · · · + (Xn − X̄)2
- 26. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本を使って分散を計算 11 標本サイズで割る 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − X̄)2 + (X2 − X̄)2 + · · · + (Xn − X̄)2
- 27. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本を使って分散を計算 11 標本サイズで割る 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − X̄)2 + (X2 − X̄)2 + · · · + (Xn − X̄)2 分散＝(偏差)2の平均 だから当然だけど…
- 28. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本を使って分散を計算 11 標本サイズで割る 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − X̄)2 + (X2 − X̄)2 + · · · + (Xn − X̄)2 分散＝(偏差)2の平均 だから当然だけど… 本当にこれでいいの？
- 31. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1
- 32. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1 X2
- 33. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1 X2 母平均
- 34. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1 X2 母平均
- 35. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1 母平均との隔たり（偏差） X2 母平均
- 36. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 母平均との隔たり（偏差） X2 母平均
- 37. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 母平均との隔たり（偏差） X2 母平均
- 38. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 母平均との隔たり（偏差） X2 標本平均との隔たり 母平均
- 39. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 母平均との隔たり（偏差） X2 標本平均との隔たり 母平均
- 40. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 標本平均との隔たり 母平均
- 41. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 標本平均との隔たり 母平均
- 42. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 標本平均との隔たり 母平均
- 43. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり 母平均
- 44. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり 母平均
- 45. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり 母平均
- 46. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり X1 母平均
- 47. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり X2 X1 母平均
- 48. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり X2 X1 母平均
- 49. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり X2 X1 X 母平均
- 50. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり X2 X1 X 母平均
- 51. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X X1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり X2 X1 X 標本平均との隔たりのほうが たいてい小さい 母平均
- 55. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない X
- 56. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない X
- 62. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − X̄)2 + (X2 − X̄)2 + · · · + (Xn − X̄)2
- 63. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − X̄)2 + (X2 − X̄)2 + · · · + (Xn − X̄)2
- 64. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − X̄)2 + (X2 − X̄)2 + · · · + (Xn − X̄)2 （標本サイズ － 1)で割る
- 65. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − X̄)2 + (X2 − X̄)2 + · · · + (Xn − X̄)2 （標本サイズ － 1)で割る これを不偏分散（不偏標本分散）といい， 母分散の代用に用いる
- 66. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − X̄)2 + (X2 − X̄)2 + · · · + (Xn − X̄)2 （標本サイズ － 1)で割る これを不偏分散（不偏標本分散）といい， 母分散の代用に用いる 「不偏」とは？
- 70. 不偏分散を用いた区間推定💡💡
- 72. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 19 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわかっているものとする σ2 （説明の都合です） 標本平均 X̄
- 74. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 21 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n) ［性質２］ 正規分布の［性質１］により X Z = X̄ − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
- 75. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 21 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n) ［性質２］ 正規分布の［性質１］により X Z = X̄ − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
- 76. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 21 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n) ［性質２］ 正規分布の［性質１］により X Z = X̄ − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
- 77. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 21 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n) ［性質２］ 正規分布の［性質１］により X Z = X̄ − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
- 78. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = X̄ − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
- 79. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = X̄ − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
- 80. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = X̄ − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない
- 81. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = X̄ − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する
- 82. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = X̄ − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する t = X̄ − µ s2/n
- 83. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = X̄ − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する t = X̄ − µ s2/n
- 84. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = X̄ − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する t = X̄ − µ s2/n 不偏分散
- 85. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = X̄ − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する t = X̄ − µ s2/n 不偏分散 t は何分布にしたがう？
- 86. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布 23 は t = X̄ − µ s2/n t統計量
- 87. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布 23 は t = X̄ − µ s2/n 自由度(n–1)のt分布にしたがう t統計量
- 88. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布 23 は t(n–1) t = X̄ − µ s2/n 自由度(n–1)のt分布にしたがう t統計量
- 89. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布 23 は t(n–1) t = X̄ − µ s2/n 自由度(n–1)のt分布にしたがう t統計量 （「スチューデントのt分布」という）
- 90. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布 23 は t(n–1) t = X̄ − µ s2/n 自由度(n–1)のt分布にしたがう t統計量 （「スチューデントのt分布」という）
- 91. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布 23 は t(n–1) t = X̄ − µ s2/n 自由度(n–1)のt分布にしたがう t統計量 （「スチューデントのt分布」という） 発見者ウィリアム・ゴセットのペンネーム ※ゴセットはギネスビールのエンジニアで，会社との契約のために論文を発表 できなかったので， ペンネームで論文を発表した。
- 95. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 25 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわか σ2 標本平均 X̄
- 96. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 25 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわか σ2 標本平均 X̄ らないので，
- 97. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 正規分布の場合の区間推定 25 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたい μ 正規分布 と仮定する 母分散 がわか σ2 標本平均 X̄ らないので， 不偏分散 で代用 s2
- 98. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布を用いた区間推定 26 は自由度(n–1)のt分布にしたがう t(n–1)の 確率密度関数 t = X̄ − µ s2/n t(n–1)
- 99. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布を用いた区間推定 26 は自由度(n–1)のt分布にしたがう t(n–1)の 確率密度関数 t = X̄ − µ s2/n t(n–1)
- 100. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布を用いた区間推定 26 この区間に入っている確率=95%とすると は自由度(n–1)のt分布にしたがう t(n–1)の 確率密度関数 が t = X̄ − µ s2/n t = X̄ − µ s2/n t(n–1)
- 101. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布を用いた区間推定 26 この区間に入っている確率=95%とすると は自由度(n–1)のt分布にしたがう t(n–1)の 確率密度関数 が 面積=95% t = X̄ − µ s2/n t = X̄ − µ s2/n t(n–1)
- 102. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布を用いた区間推定 26 この区間に入っている確率=95%とすると は自由度(n–1)のt分布にしたがう t(n–1)の 確率密度関数 が 面積=95% 境界の値はいくら？ t = X̄ − µ s2/n t = X̄ − µ s2/n t(n–1)
- 104. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 27 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%） 境界の値は自由度によってちがうので
- 107. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布を用いた区間推定 28 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% t = X̄ − µ s2/n t(n–1)
- 108. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布を用いた区間推定 28 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% t = X̄ − µ s2/n t(n–1)
- 109. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布を用いた区間推定 28 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% t = X̄ − µ s2/n t0.025(n–1) t(n–1)
- 110. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布を用いた区間推定 28 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% t = X̄ − µ s2/n t0.025(n–1) –t0.025(n–1) t(n–1)
- 111. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 29 が –t0.025(n–1) と t0.025(n–1) の間に入っている確率が95% t = X̄ − µ s2/n
- 112. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 29 式で書くと が –t0.025(n–1) と t0.025(n–1) の間に入っている確率が95% t = X̄ − µ s2/n
- 113. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 29 式で書くと が –t0.025(n–1) と t0.025(n–1) の間に入っている確率が95% t = X̄ − µ s2/n P −t0.025(n − 1) X̄ − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95
- 114. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 29 式で書くと が –t0.025(n–1) と t0.025(n–1) の間に入っている確率が95% μの式に直すと t = X̄ − µ s2/n P −t0.025(n − 1) X̄ − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95
- 115. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 29 式で書くと が –t0.025(n–1) と t0.025(n–1) の間に入っている確率が95% μの式に直すと t = X̄ − µ s2/n P −t0.025(n − 1) X̄ − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 116. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 30 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 117. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 118. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 119. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限 例題では P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 120. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限 例題では 標本平均=50 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 121. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 122. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 123. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 上側2.5%点 t0.025(n–1) は？ P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 125. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布表 31 面積=2.5% t0.025(n–1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498
- 126. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布表 31 面積=2.5% t0.025(n–1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
- 127. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布表 31 面積=2.5% パーセントの値 t0.025(n–1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
- 128. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布表 31 面積=2.5% パーセントの値 例題では n–1 = 9 t0.025(n–1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
- 129. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布表 31 面積=2.5% パーセントの値 例題では n–1 = 9 0.025 t0.025(n–1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
- 130. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t 0 t分布表 31 面積=2.5% パーセントの値 例題では n–1 = 9 0.025 t0.025(9)=2.262 t0.025(n–1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
- 131. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 32 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 132. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 32 例題では P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 133. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 32 例題では 標本平均=50 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 134. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 32 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 135. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 32 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 136. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 32 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 137. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 32 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 t0.025(10–1)=2.262
- 138. 33 2021年度春学期 統計学 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 t分布を用いた区間推定 32 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P X̄ − t0.025(n − 1) s2 n µ X̄ + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 t0.025(10–1)=2.262 計算すると，例題の答は 「46.4以上53.6以下」（ [46.4, 53.6] ） μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限