פרק 3ב גיאומטריה אנליטית מעגל

‫לנסות‬ ‫חדלת‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ ‫נכשלת‬ ‫לא‬‫תשע"ג‬ ‫לשנת‬ ‫מעודכן‬
‫חלק‬3'‫ב‬-‫אנליטית‬–‫דהן‬ ‫יוסי‬ ‫וערך‬ ‫כתב‬ "‫"מעגל‬
0
0
: ‫שלישית‬ ‫יחידה‬30803
‫חלק‬1'‫א‬:‫פונקציה‬ ‫חקירות‬
‫שורש‬ , ‫איקס‬ ‫חלקי‬ ‫אחד‬ , ‫פולינום‬ ‫מסוג‬ ‫פונקציה‬
‫חלק‬1‫ב‬'‫משיק‬ ‫משוואת‬
‫חלק‬2‫שטח‬ ‫ומציאת‬ ‫קדומה‬ ‫פונקציה‬ : ‫אינטגרל‬
‫בלבד‬ ‫פולינום‬ ‫של‬ ‫פונקציה‬
‫חלק‬0'‫א‬‫גיאו‬‫מקביל‬ ‫מאונך‬ :‫אנליטית‬ ‫מטריה‬
‫חלק‬0'‫ב‬‫מעגל‬ :‫אנליטית‬ ‫גיאומטריה‬
‫חלק‬4: ‫קיצון‬ ‫בעיות‬
‫חלק‬3:‫מילוליות‬ ‫בעיות‬
,‫ומכירה‬ ‫קנייה‬ ,‫תנועה‬
‫דהן‬ ‫יוסי‬ :‫וערך‬ ‫כתב‬

1
1
‫א‬.‫מציאת‬‫המעגל‬ ‫משוואת‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬1:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫קיץ‬ '‫ג‬ ‫מועד‬‫תשס"ז‬
‫בריבוע‬ABCD)10,8(B.
‫האלכסון‬ ‫משוואת‬AC‫היא‬92
1
 xy
‫האלכסון‬ ‫משוואת‬BD‫היא‬62  xy
‫א‬.‫נקוד‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬‫הק‬ ‫שיעורי‬ ‫ואת‬ ‫האלכסונים‬ ‫חיתוך‬ ‫ת‬‫דקוד‬D.
‫ב‬.‫מש‬ ‫את‬ ‫מצא‬‫הריבוע‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫וואת‬ABCD.
:‫פתרון‬
)‫(א‬‫האלכסונים‬ ‫חיתוך‬ ‫נקודת‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬M‫הקדקוד‬ ‫שיעורי‬ ‫ואת‬D.
)‫(ב‬‫הריבוע‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ABCD.
‫תשובה‬‫סופית‬:
)‫(א‬‫חיתוך‬‫האלכסונים‬)6,6(M‫ו‬-)2,4(D
)‫(ב‬20)6()6( 22
 yx
‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫מציאת‬2
R
20
)86()106(
)()(
),(),(
)6,6()10,8(
22
222
2
12
2
12
2
2211



dR
d
yyxxd
yxyx
MB
‫המעגל‬ ‫משוואת‬
20)6()6(
)()(
20)6,6(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
4
812
2
)8(
6
2
2
2
21






D
M
x
x
x
xx
x
2
1012
2
)10(
6
2
2
2
21






D
M
y
y
y
yy
y
)2.4(D
 
11,
)10,8(
yx
),( 22 yx
MM yx ,
)6,6(
DDB
‫נקודה‬D
‫נקודה‬M
6
152
692
962
2
1
2
1
2
1





x
x
xx
xx
yy ACBD
)6,6(
6
6)6(2
6
62
M
y
y
x
xy




)2,4(
)6,6(
  20)6(6 22
 yx
A
C
B
x
M
D
y )10,8(






2
2
‫מספר‬ ‫שאלה‬2:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫תש"ע‬ '‫ב‬ ‫מועד‬
‫שמרכזו‬ ‫מעגל‬)4,2(‫הצירים‬ ‫ראשית‬ ‫דרך‬ ‫עובר‬)0,0(O.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
(‫א‬)( .1).‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫את‬ ‫מצא‬
(2)‫רשום‬‫מ‬ ‫את‬‫המעגל‬ ‫שוואת‬
‫הנקודה‬A‫ה‬ ‫ששיעור‬–y‫הוא‬ ‫שלה‬2
‫ונמצאת‬,‫המעגל‬ ‫על‬.‫השני‬ ‫ברביע‬
(‫ב‬)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬A.
(‫ג‬).‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫המעגל‬–x‫נוספת‬ ‫בנקודה‬B,
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫ואת‬y‫נוספת‬ ‫בנקודה‬C(‫ציור‬ ‫ראה‬).
‫המיתר‬ ‫האם‬AO‫מקביל‬‫למיתר‬BC‫נמק‬ ?
(‫ד‬)‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬AOB.
:‫פתרון‬
(‫א‬)(1)( .‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫את‬ ‫מצא‬2‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )‫המעגל‬
(‫ב‬)‫הנקודה‬A‫ה‬ ‫ששיעור‬–y‫הוא‬ ‫שלה‬2.‫השני‬ ‫ברביע‬ ‫ונמצאת‬ ,
‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬A.
( ‫הנקודה‬2,2-)A‫השני‬ ‫ברביע‬
.
R
47.420
20
)04()02(
)()(
),(),(
)4,2()0,0(
22
222
2
12
2
12
2
2211




R
dR
d
yyxxd
yxyx
MO
20)4()2(
)()(
20)4,2(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
‫נקודה‬A
)2,2(
26
2424
24
162
420)2(
204)2(
20)42()2(
2
20)4()2(
21
2
2
22
22










A
xx
xx
x
x
x
x
x
y
yx
A
B
C
x
M
o
y
)0,(x




)4,2(
)0,0(
),0( y
)2,2(
  20)4(2 22
 yx

3
3
(‫ג‬)‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫המעגל‬–x‫נוספת‬ ‫בנקודה‬B‫ה‬ ‫ציר‬ ‫ואת‬ ,y‫נוספת‬ ‫בנקודה‬C
.‫ציור‬ ‫ראה‬‫המיתר‬ ‫האם‬AO‫למיתר‬ ‫מקביל‬BC‫נמק‬ ?
‫ל‬ ‫זהים‬ ‫לא‬ ‫שיפועים‬‫הישרים‬ ‫כן‬‫מקבילים‬ ‫לא‬
(‫ד‬)‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬AOB.
(‫א‬1)47.420 R‫(א‬2)  20)4(2 22
 yx(‫ב‬)2Ax
(‫ג‬)BCAO mm ‫מקבילים‬ ‫לא‬ ‫הישרים‬ ‫לכן‬ ‫זהים‬ ‫לא‬ ‫שיפועים‬)‫(ד‬4AOBS
‫נקודה‬B
)0,4(
40
2222
22
42
1620)2(
2016)2(
20)40()2(
0
20)4()2(
21
2
2
22
22
B
xx
xx
x
x
x
x
x
y
yx









‫נקודה‬C
)8,0(
80
4444
44
164
420)4(
204)4(
20)4()20(
0
20)4()2(
21
2
2
22
22
C
yy
yy
y
y
y
y
y
x
yx









‫שיפוע‬AO
1
1
2
2
)0()2(
)0()2(
),(),(
)0,0()2,2(
2211








AO
AO
m
m
yxyx
OA
‫שיפוע‬BC
2
4
8
)4()0(
)0()8(
),(),(
)0,0()2,2(
2211







BC
BC
m
m
yxyx
CB
4
2
24
22







AOB
AOB
a
S
S
AHOBha
S
A
B
C
x
M
o
y
)0,4(




)4,2(
)0,0(
)8,0(
)2,2(
  20)4(2 22
 yx
A
B
x
o )0,4(



)0,0(
)2,2(
2d
4d
H

4
4
‫מספר‬ ‫שאלה‬0:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מועד‬‫תשס‬ ‫חורף‬"‫ח‬
‫קדקוד‬C‫המלבן‬ ‫של‬ABCD‫ה‬ ‫ציר‬ ‫על‬ ‫מונח‬–y
‫וקדקוד‬B‫ה‬ ‫ציר‬ ‫על‬ ‫מונח‬ ‫המלבן‬ ‫של‬–x
) ‫ציור‬ ‫ראה‬ (
‫ה‬ ‫שיעור‬-x‫קדקוד‬ ‫של‬A‫הוא‬10.
‫הצלע‬ ‫ומשוואת‬AB‫היא‬82  xy
‫א‬‫ש‬ ‫השיפוע‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫הצלע‬ ‫ל‬BC
.‫ב‬‫הקדקוד‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬B‫הקדקוד‬ ‫שיעורי‬ ‫ואת‬C.
.‫ג‬AC‫את‬ ‫מצא‬ ‫במעגל‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬.‫המעגל‬ ‫משוואת‬
‫את‬ ‫מצא‬ )‫(ד‬‫ה‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫המעגל‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬-x.
:‫פתרון‬
(‫א‬)‫הקדקוד‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬B‫ו‬‫את‬‫המשוואה‬‫הצלע‬ ‫של‬BC
‫המשוואה‬ ‫מצא‬‫הצלע‬ ‫של‬BC
)‫(ב‬‫הקדקוד‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫הקדקוד‬ ‫שיעורי‬ ‫ואת‬C.
‫משוואת‬BC
2
)4(0
)0,4(
)(
2
1
2
1
2
1
11




xy
xy
m
xxmyy
‫שיפוע‬BC
2
1
2  BCAB mm
‫נגדי‬ ‫הופכי‬ ‫שיפוע‬
‫נקודה‬B
)0,4(
4
28
820
0
82
B
x
x
x
y
xy





‫נקודה‬C
)2,0(
2
2)0(
0
2
2
1
2
1
C
y
y
x
xy




‫נקודה‬A
)12,10(
12
8)10(2
10
82
C
y
y
x
xy




A
B
C
x
M
Dy
)0,(x



 ),10( y
),0( y

A
B
C
x
M
Dy
)0,4(



 ),10( y
),0( y


5
5
(‫ג‬)AC‫את‬ ‫מצא‬ ‫במעגל‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬.‫המעגל‬ ‫משוואת‬
‫את‬ ‫מצא‬ )‫(ד‬‫ה‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫המעגל‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬-x.
)‫(א‬2
1
2  BCAB mm22
1
 xyBC
)‫(ב‬)0,4(B)2,0()12,10( CA
)‫(ג‬50)7()5( 22
 yx)‫(ד‬)0,6()0,4(
R
50
)27()05(
)()(
),(),(
)7,5()2,0(
22
222
2
12
2
12
2
2211



dR
d
yyxxd
yxyx
MA
50)7()5(
)()(
50)4,2(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬-x
50)70()5(
0
50)7()5(
22
22



x
y
yx
)0,4()0,6(
46
51
15
4950)5(
21
2




xx
x
x
x
  50)7(5 22
 yx
A
B
C
x
M
Dy
)0,4(




)12,10(
)2,0(

)7,5(
)0,6(

A
B
C
x
M
Dy
)0,4(



 )12,10(
)2,0(

5
2
)10()0(
2
21





M
M
M
x
x
xx
x
7
2
)12()2(
2
21





M
M
M
y
y
yy
y
)7.5(M
 
yx ,
)2,0(
1
),( MM yx
22 ,
)12,10(
yx
AMC
‫המעגל‬ ‫מרכז‬

6
6
‫מספר‬ ‫שאלה‬4:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫חורף‬ ‫מועד‬‫תשס"ה‬
‫זווית‬ ‫ישר‬ ‫במשולש‬ABC‫זווית‬ (B=0
90)
‫ק‬‫דקוד‬C‫ה‬ ‫ציר‬ ‫על‬ ‫נמצא‬–x)‫ציור‬ ‫(ראה‬
‫נתון‬)2,1()4,5( AB
(‫א‬)‫של‬ ‫המשוואה‬ ‫את‬ ‫מצא‬BC.
.)‫(ב‬‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬C.
(‫ג‬)‫הוא‬ ‫שלו‬ ‫שהקוטר‬ ‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AC.
(‫ד‬)‫הנקודה‬ ‫האם‬B.‫נמק‬ ? '‫ב‬ ‫בסעיף‬ ‫שמצאת‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬
:‫פתרון‬
)‫(א‬‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬C.
(‫ב‬)‫הוא‬ ‫שלו‬ ‫שהקוטר‬ ‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AC.
)‫(ג‬‫הנקודה‬ ‫האם‬B.‫נמק‬ ? '‫ב‬ ‫בסעיף‬ ‫שמצאת‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬
)‫(א‬142  xyBC(‫ב‬))0,7(C
(‫ג‬)10)1()4( 22
 yx.)‫(ד‬‫כן‬
142
4102
)5(24
2)4,5(
)( 11





xy
xy
xy
m
xxmyy
‫שיפוע‬AB.
2
1
4
2
)1()5(
)2()4(
),(),(
)4,5()2,1(
12
12
2211








AB
AB
m
m
xx
yy
m
yxyx
BA
‫שיפוע‬BC
22
1
 BCAB mm
R
10
)21()14(
)()(
),(),(
)1,4()2,1(
22
222
2
12
2
12
2
2211



dR
d
yyxxd
yxyx
MA
10)1()4(
)()(
10)1,4(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
‫נקודה‬C
)0,7(
7
142
1420
0
142
C
x
x
x
y
xy





1010
10)14()45(
)4,5(
10)1()4(
22
22



B
yx
  10)1(4 22
 yx
C
A
x
M
By



)2,1(
)4,5(
)0,7(

)1,4(
4
2
)1()7(
2
21





M
M
M
x
x
xx
x
1
2
)2()0(
2
21





M
M
M
y
y
yy
y
)1.4(M
 
11,
)0,7(
yx
),( MM yx
22 ,
)2,1(
yx
AMC

7
7
‫מספר‬ ‫שאלה‬3:‫בגרות‬ ‫מבחן‬30803‫מועד‬‫קיץ‬ '‫א‬2311‫תש‬‫ע"א‬
‫זווית‬ ‫ישר‬ ‫במשולש‬ABC(0
90∢ABC=)
‫נתון‬:)4,2()8,10( AB
‫ה‬‫קדקוד‬C‫ה‬ ‫ציר‬ ‫על‬ ‫נמצא‬–x)‫ציור‬ ‫(ראה‬
‫הצלע‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .)‫(א‬BC.
‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .)‫(ב‬C.
)‫(ג‬.‫מצא‬‫הוא‬ ‫שלו‬ ‫שהקוטר‬ ‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬AC.
)‫(ד‬.‫הנקודה‬ ‫האם‬B.‫נמק‬ ? '‫ג‬ ‫בסעיף‬ ‫שמצאת‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬
:‫פתרון‬
)‫(א‬‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬C.
(‫ב‬)‫הוא‬ ‫שלו‬ ‫שהקוטר‬ ‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AC.
)‫(ג‬‫הנקודה‬ ‫האם‬B.‫נמק‬ ? '‫ב‬ ‫בסעיף‬ ‫שמצאת‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬
‫תשוב‬‫סופית‬ ‫ה‬:
(‫א‬).282  xyBC)‫(ב‬.)0,14(C
)‫(ג‬.40)2()8( 22
 yx)‫(ד‬‫כן‬
282
8202
)10(28
2)8,10(
)( 11





xy
xy
xy
m
xxmyy
‫שיפוע‬AB.
2
1
8
4
210
48
),(),(
)8,10()4,2(
12
12
2211








AB
AB
m
m
xx
yy
m
yxyx
BA
‫שיפוע‬BC
22
1
 BCAB mm
‫רד‬ ‫מציאת‬‫המעגל‬ ‫יוס‬2
R
40
)42()28(
)()(
),(),(
)2,8()4,2(
22
222
2
12
2
12
2
2211



dR
d
yyxxd
yxyx
MA
40)2()8(
)()(
40)1,4(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
‫נקודה‬C
)0,14(
14
282
2820
0
282
C
x
x
x
y
xy





4040
40)28()810(
)8,10(
40)2()8(
22
22



B
yx
8
2
)2()14(
2
21





M
M
M
x
x
xx
x
2
2
)4()0(
2
21





M
M
M
y
y
yy
y
)2.8(M
 
11,
)0,14(
yx
),( MM yx
22 ,
)4,2(
yx
AMC
  40)2(8 22
 yx
C
A
x
M
By



)4,2(
)8,10(
)0,14(

)2,8(

8
8
‫מספר‬ ‫שאלה‬6:‫מספר‬ ‫שאלה‬6:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ז‬ ‫ברק‬ / ‫חצב‬ ‫מועד‬
‫הקטע‬ ‫קצות‬AB: ‫הם‬)0,9()4,1( AB 
‫הקטע‬ ‫אמצע‬ ‫דרך‬AB. ‫לקטע‬ ‫אנך‬ ‫העבירו‬
.‫א‬(1)‫הקטע‬ ‫אמצע‬ ‫את‬ ‫מצא‬AB.
(2).‫האנך‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
.‫ב‬‫שקוטרו‬ ‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AB.
.‫ג‬‫הישר‬4y‫בנקודה‬ ‫חותך‬C, ‫האנך‬ ‫את‬
‫מצאת‬ ‫משוואתו‬ ‫שאת‬( ‫א‬ ‫סעיף‬ ‫בתת‬2)‫נקודה‬ ‫אם‬ ‫קבע‬C
‫שקוטרו‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬AB‫חישוב‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫נמק‬
:‫פתרון‬
(‫א‬)(1‫הקטע‬ ‫אמצע‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )AB.(2.‫האנך‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )
(‫ב‬)‫שקוטרו‬ ‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AB.
(‫ג‬)‫הישר‬4y‫בנקודה‬ ‫חותך‬C( ‫א‬ ‫סעיף‬ ‫בתת‬ ‫מצאת‬ ‫משוואתו‬ ‫שאת‬ , ‫האנך‬ ‫את‬2)
‫נקודה‬ ‫אם‬ ‫קבע‬C‫שקוטרו‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬AB‫חישוב‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫נמק‬
‫(א‬1))2,5( M‫(א‬2)82  xy‫האנך‬
)‫(ב‬ 20)2()5( 22
 yx )‫(ג‬‫לא‬ 2045 
R
20
)02()95(
)()(
),(),(
)2,5()0,9(
22
222
2
12
2
12
2
2211




dR
d
yyxxd
yxyx
MA
20)2()5(
)()(
20)2,5(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
‫שיפוע‬AB.
2
1
8
4
91
04
),(),(
)4,1()0,9(
12
12
2211











AB
AB
m
m
xx
yy
m
yxyx
BA
‫שיפוע‬‫האנך‬
22
1
 BCAB mm
‫משוואת‬‫האנך‬
82
2102
)5(22
2)2,5(
)( 11





xy
xy
xy
m
xxmyy
‫נקודה‬C
)4,2(
2
42
824
4
82
C
x
x
x
y
xy





2045
20)24()52(
20)2()5(
)8,10(
22
22


 yx
B
‫לא‬
5
2
)1()9(
2
21





M
M
M
x
x
xx
x
2
2
)0()4(
2
21





M
M
M
y
y
yy
y
)2.5( M
 
11,
)4,1(
yx
 ),( MM yx
22 ,
)0,9(
yx
AMB
  20)2(5 22
 yx
C
AMB 

)4,1( 
)4,2(
)0,9(

)2,5( 

B
C
A




9
9
‫מספר‬ ‫שאלה‬7:‫בגרות‬ ‫מבחן‬30803'‫א‬ ‫מועד‬‫תשס‬‫"ט‬
‫ה‬‫נקודה‬M‫שמשוואתו‬ ‫הישר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬10 xy
‫שמשוואתו‬ ‫הישר‬ ‫על‬ ‫וגם‬5y)‫ציור‬ ‫(ראה‬
.‫א‬‫הנקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬M
‫ה‬‫נקודה‬M‫מ‬ ‫היא‬.‫המעגל‬ ‫רכז‬
‫הנקודה‬)5,1( A)‫ציור‬ ‫ראה‬ ( .‫זה‬ ‫מעגל‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬
‫ב‬.(1.‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )
(2‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫רשום‬ )
.‫ג‬‫הישר‬5y‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬–y‫בנקודה‬C
‫והישר‬10 xy‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬–y‫בנקודה‬D)‫ציור‬ ‫ראה‬ (
‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬DCM
:‫פתרון‬
)‫(א‬‫הנקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬M‫הנקודה‬M.‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫היא‬
‫הנקודה‬)5,1( A)‫ציור‬ ‫ראה‬ ( .‫זה‬ ‫מעגל‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬
(‫ב‬1).‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫את‬ ‫מצא‬
(‫ב‬2)‫רש‬‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫ום‬
‫נקודה‬M
)5,5(
5
105
5
10





M
x
x
y
xy
R
4
16
)55()15(
)()(
),(),(
)5,5()5,1(
22
222
2
12
2
12
2
2211





R
dR
d
yyxxd
yxyx
MA
16)5()5(
)()(
16)5,5(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
)5,5( 
  16)5(5 22
 yx
A 
y x
M
C
D
)5,1( 

10
10
(‫ג‬)‫הישר‬5y‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬–y‫בנקודה‬C‫והישר‬10 xy‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬–y
‫בנקודה‬D‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )‫ציור‬ ‫ראה‬ (DMC
‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬DCM
(‫א‬))5,5( M‫(ב‬1)4R(‫ב‬2)16)5()5( 22
 yx)‫(ג‬5.12DCMS
‫נקודה‬C
)5,0(
0
5



C
x
y
‫נקודה‬D
)10,0(
10
10)0(
0
10





D
y
y
x
xy
5.12
2
55
2





DMCDMC
a
SS
ha
S
)5,5( 
  16)5(5 22
 yx
)5,0( 
)10,0( 
5d

y x
M
C
D
5d

11
11
‫מספר‬ ‫שאלה‬8:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ז‬ ‫חורף‬ ‫מועד‬
‫שמרכזו‬ ‫מעגל‬M‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬–y‫בנקודו‬‫ת‬A‫ו‬–D.
DB‫ו‬–AC‫במעגל‬ ‫קטרים‬ ‫הם‬
‫משוואת‬AC: ‫היא‬13
4
 xy
‫משוואת‬DB: ‫היא‬93
4
 xy
‫א‬.‫הנקודות‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬A,D‫ו‬ ,–M.
‫ב‬..‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫ג‬.‫המיתרים‬ ‫כי‬ ‫הראה‬DC‫ו‬–AB‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקבילים‬x.
‫ד‬.‫המ‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬‫שולש‬DMC.
:‫פתרון‬
)‫(א‬‫הנקודות‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬A,D‫ו‬ ,–M.
)‫(ב‬.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫נקודה‬D
)9,0(
9
9)0(
0
9
3
4
3
4
D
y
y
x
xy




‫נקודה‬A
)1,0(
1
1)0(
0
1
3
4
3
4
A
y
y
x
xy




R
25
)15()03(
)()(
),(),(
)5,3()1,0(
22
222
2
12
2
12
2
2211



dR
d
yyxxd
yxyx
MA
25)5()3(
)()(
25)5,3(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
‫נקודה‬M
3
28
19
19
3
2
3
4
3
4
3
4
3
4





x
x
xx
xx
yy ACBD
)5,3(
5
1)3(
3
1
3
4
3
4
M
y
y
x
xy




C
A
D


 
B
y
x
)5,3(
)1,0(
)9,0(
M

12
12
)‫(ג‬‫המיתרים‬ ‫כי‬ ‫הראה‬DC‫ו‬–AB‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקבילים‬x.
(1‫הנקודות‬ ‫את‬ ‫נחשב‬ )B‫ו‬C‫הקטע‬ ‫אמצע‬ ‫של‬ ‫בנוסחה‬
(2)‫ל‬‫נקודות‬)1,6()1,0( BA‫אותו‬ ‫להם‬ ‫יש‬1=y‫למיתר‬ ‫לכן‬AB= ‫שיפוע‬0
‫ל‬‫נקודות‬)9,6()9,0( CD‫אותו‬ ‫להם‬ ‫יש‬9=y‫למיתר‬ ‫לכן‬DC= ‫שיפוע‬0
‫המיתרים‬ ‫לכן‬‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקבילים‬-x.
)‫(ד‬‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬DMC.
)‫(א‬)5,3()9,0()1,0( MDA)‫(ב‬25)5()3( 22
 yx
)‫(ג‬)9,6()9,0( CD0 ABDC mm‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקבילים‬-x)‫(ד‬12DCMS
12
2
46
2





DMCDMC
a
SS
ha
S
‫נקודה‬D
6
)0(6
2
)0(
3
2
2
2
2
21






x
x
x
xx
xM
1
)9(10
2
)9(
5
2
2
2
2
21






y
y
y
yy
yM
)1.6(B
 
11,
)9,0(
yx
),( 22 yx
MM yx ,
)5,3(
BMD
‫נקודה‬C
6
)0(6
2
)0(
3
2
2
2
2
21






x
x
x
xx
xM
9
)1(10
2
)1(
5
2
2
2
2
21






y
y
y
yy
yM
)9.6(C
 
11,
)1,0(
yx
),( 22 yx
MM yx ,
)5,3(
CMA
C
A
D


 
B
y
x
)5,3(
)1,0(
)9,0(
M
4d
)9,6(
)1,6(
6d
  25)5(3 22
 yx

13
13
‫מספר‬ ‫שאלה‬9:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03803‫מועד‬'‫ב‬‫תשע"ב‬ ‫קיץ‬2312.
‫שמרכזו‬ ‫מעגל‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬M)‫הראשון‬ ‫(ברביע‬
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫המשיק‬ ‫המעגל‬-x‫בנקודה‬B.
AB‫ו‬-AC, ‫לזה‬ ‫זה‬ ‫המאונכים‬ ‫במעגל‬ ‫מיתרים‬ ‫שני‬ ‫הם‬
BC‫המעגל‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬
‫המיתר‬ ‫מונח‬ ‫שעליו‬ ,‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫כי‬ ‫נתון‬ .)‫(א‬AB
‫היא‬42
1
 xy‫כי‬ ‫גם‬ ‫ונתון‬10BC.
(1‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )B.
(2‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )C.
(3.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )
( )‫(ב‬1‫המיתר‬ ‫מונח‬ ‫שעליו‬ ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )AC.
(2‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )A.
(3‫המ‬ ‫השטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ )‫שולש‬AMC.
:‫פתרון‬
(‫א‬1‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )B
(‫א‬2‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )C.
1.‫ה‬ ‫לציר‬ ‫משיק‬ ‫המעגל‬x‫בנקודה‬B‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מאונך‬ ‫המשיק‬x‫הישר‬ ‫כל‬ ‫לאורך‬ ‫לכן‬BC‫יש‬8=x
2‫אורך‬ .BC=10‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫לכן‬y‫נקודה‬ ‫של‬C‫הוא‬13.
(‫א‬0.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )
‫(ב‬1‫המיתר‬ ‫מונח‬ ‫שעליו‬ ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )AC.
‫נקודה‬B
)0,8(
8
4
40
0
4
2
1
2
1
2
1
B
x
x
x
y
xy





‫נקודה‬C
)10,8(
8
10
C
x
y


25)5()8(
)()(
255)5,8(
22
222
22



yx
Rbyax
RM
‫שיפוע‬AC
22
1
 ACAB mm
‫משוואת‬AC
62
10162
)8(210
2)10,8(
)( 11





xy
xy
xy
m
xxmyy
‫נקודה‬M
)5,8(
8
5
C
x
y


)5,8(
C
A




B
y
x
M
5R
)0,8(
)10,8(
  25)5(8 22
 yx

14
14
‫(ב‬2‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )A.
‫(ב‬0‫המשולש‬ ‫השטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ )AMC.
‫(א‬1))0,8(B‫(א‬2))0,8(C‫(א‬0)25)5()8( 22
 yx
‫(ב‬1)62  xyAC‫(ב‬2))2,4(A‫(ב‬0)10AMCS
‫נקודה‬A
4
210
264
624
2
1
2
1
2
1





x
x
xx
xx
yy ACAB
)2,4(
2
6)4(2
4
62
A
y
y
x
xy




)5,8(
C
A




B
y
x
M
5R
)0,8(
)10,8(
  25)5(8 22
 yx
)2,4( 448 
‫המשולש‬ ‫שטח‬AMC.
10
2
45
2





AMCS
ha
S

15
15
‫מספר‬ ‫שאלה‬13:‫בגרות‬ ‫מבחן‬30803‫קיץ‬ '‫ב‬ ‫מועד‬‫תשס‬‫"ט‬
‫הנקודות‬A‫ו‬–M‫הישר‬ ‫על‬ ‫מונחות‬xy ) ‫ציור‬ ‫ראה‬ ( ‫הרביעי‬ ‫ברביע‬
‫ה‬ ‫שיעור‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬A‫הוא‬10.
‫א‬.(1)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬–y‫הנקודה‬ ‫של‬A.
(2)‫הנקודה‬ ‫המרחק‬ ‫את‬ ‫מצא‬A. ‫הצירים‬ ‫מראשית‬
‫ב‬.‫הנקודה‬ ‫מרחק‬M‫הוא‬ ‫הצירים‬ ‫מראשית‬50,‫הנקודה‬ ‫שיערי‬ ‫את‬ ‫מצא‬M.
‫ג‬.‫שמרכזו‬ ‫מעגל‬M‫ה‬ ‫לציר‬ ‫משיק‬–x‫ה‬ ‫ולציר‬–y) ‫ציור‬ ‫ראה‬ (
(1)‫שמרכזו‬ ‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫את‬ ‫מצא‬M.
(2).‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫רשום‬
‫ד‬‫הנקודה‬ ‫מרחק‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .A‫מהמרכז‬M.
:‫פתרון‬
‫(א‬1)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬–y‫הנקודה‬ ‫של‬A.
(‫א‬2‫הנקודה‬ ‫המרחק‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )A‫מראשית‬. ‫הצירים‬
(‫ב‬)‫הנקודה‬ ‫מרחק‬M‫הוא‬ ‫הצירים‬ ‫מראשית‬50
‫הנקודה‬ ‫שיערי‬ ‫את‬ ‫מצא‬M.
‫נקודה‬A
)10,10(
)10(
10




A
y
x
xy
‫הנקודה‬ ‫המרחק‬A(‫מ‬3,3)
14.14200
)100()100(
)()(
),(),(
)0,0()10,10(
222
2
12
2
12
2
2211




d
d
yyxxd
yxyx
OA
‫הנקודה‬M
222
2
12
2
12
2
)0()0()50(
)()(
50),()0,0(
xx
yyxxd
dxxMO



)5,5(
525
50
250
22
2




M
x
xx
x
)10,10( 
x
y
M
A

),( xx 

16
16
(‫ג‬1)‫שמרכזו‬ ‫מעגל‬M‫ה‬ ‫לציר‬ ‫משיק‬–x‫ה‬ ‫ולציר‬–y‫שמרכזו‬ ‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫את‬ ‫מצא‬M.
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫משיק‬ ‫המעגל‬–x‫משמעו‬‫ת‬‫ה‬ ‫לציר‬ ‫אנך‬ ‫הרדיוס‬-x‫ו‬‫ה‬ ‫בציר‬ ‫הנקודה‬x( ‫היא‬5,0)
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫משיק‬ ‫המעגל‬–y‫משמעות‬‫ה‬ ‫לציר‬ ‫אנך‬ ‫הרדיוס‬-y‫ו‬‫ה‬ ‫בציר‬ ‫הנקודה‬y( ‫היא‬-5,0)
(‫ג‬2.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫רשום‬ )
(‫ד‬)‫הנקודה‬ ‫מרחק‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫מהמרכז‬M.
:‫סופית‬ ‫תשובה‬
‫(א‬1)10y‫(א‬2)14.14200 d)‫(ב‬)5,5( M
)‫(ג‬25)5()5( 22
 yx‫(ד‬)50d
R
5
25
)05()55(
)()(
),(),(
)5,5()0,5(
22
222
2
12
2
12
2
2211





R
dR
d
yyxxd
yxyx
M
25)5()5(
)()(
25)5,5(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
‫הנקודה‬ ‫המרחק‬A‫ל‬M
071.750
)105()105(
)()(
),(),(
)5,5()10,10(
222
2
12
2
12
2
2211




d
d
yyxxd
yxyx
MA
x
y
 M
A

  25)5(5 22
 yx
)5,0( 
)0,5(
)5,5( 
)10,10( 

17
17
‫מספר‬ ‫שאלה‬11:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫חצב‬ ‫מועד‬/‫ברק‬2339‫תשס‬‫"ט‬
‫בנקודה‬ ‫שמרכזו‬ ‫מעגל‬M
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫משיק‬–x‫בנקודה‬)0,8(A,
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫וחותך‬–y‫בנקודה‬)16,0(B
(. ) ‫ציור‬ ‫ראה‬
( .‫א‬1)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬M.
(2)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬–y‫הנקודה‬ ‫של‬M.
.‫ב‬‫משוו‬ ‫את‬ ‫מצא‬. ‫המעגל‬ ‫את‬
.‫ג‬‫הנקודה‬ ‫דרך‬ ‫עובר‬ ,‫ב‬ ‫בסעיף‬ ‫מצאת‬ ‫משוואתו‬ ‫שאת‬ ‫המעגל‬)10,2(C
‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬AMC.
:‫פתרון‬
( .‫א‬1)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬-x‫הנקודה‬ ‫של‬M.
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫משיק‬ ‫המעגל‬–x‫הישר‬ ‫משמעות‬AM‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מאונך‬–x
‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫לכן‬x‫נקודה‬ ‫של‬A‫ה‬ ‫לשיעור‬ ‫זהה‬–x‫נקודה‬ ‫של‬M‫ו‬‫הוא‬),8( yM
(2)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬–y‫הנקודה‬ ‫של‬M.
(‫ב‬).. ‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫מרחק‬MA
.
22
222
2
12
2
12
2
2211
)(
)0()88(
)()(
),(),(
),8()0,8(
M
M
MA
M
yd
yd
yyxxd
d
yxyx
yMA



‫מרחק‬MB
.
22
222
2
12
2
12
2
2211
)16(64
)16()08(
)()(
),(),(
),8()16,0(



M
M
MB
M
yd
yd
yyxxd
d
yxyx
yMB
.
)10,8(
10
32032
2563264
)25632(64
)16(64
22
22
22
M
y
y
yyy
yyy
yy
dd MBMA






‫מציאת‬R2
.
10010
)(
22
222


R
ydR M
100)10()8(
)()(
100)6,8(
22
222
2



yx
Rbyax
RM

B
C
M
A



x
y

18
18
(‫ג‬).( ‫הנקודה‬ ‫דרך‬ ‫עובר‬ '‫ב‬ ‫בסעיף‬ ‫מצאת‬ ‫משוואתו‬ ‫שאת‬ ‫המעגל‬13,2-)C
‫חשב‬‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬AMC.
‫(א‬1)8x‫(א‬2)10y.)‫(ב‬100)10()8( 22
 yx.)‫(ג‬50AMCS
50
2
1010
22







AMC
AMC
a
S
ACAM
S
ha
S
)0,8(
x
y
M
A

  100)10(8 22
 yx
)16,0( B
C 

)10,2(
)10,8(
10R
10R

19
19
‫מספר‬ ‫שאלה‬12:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מועד‬‫נובמבר‬2337‫תשס"ז‬
‫מעגל‬ ‫נתון‬‫שמרכזו‬M‫ו‬‫רדיוסו‬5.
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫משיק‬ ‫המעגל‬–x‫בנקודה‬()0,3(A
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫וחותך‬–y‫בנקודות‬)1,0(B‫ו‬–C)‫ציור‬ ‫(ראה‬
.‫א‬.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
.‫ב‬‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫חשב‬BC.
.‫ג‬D‫ש‬ ‫כך‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬–CD‫המעגל‬ ‫על‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬
‫נקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬D.
.‫ד‬‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ABD.
:‫פתרון‬
.)‫(א‬.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫משיק‬ ‫המעגל‬–x‫הישר‬ ‫משמעות‬AM‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מאונך‬–x
‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫לכן‬x‫נקודה‬ ‫של‬A‫ה‬ ‫לשיעור‬ ‫זהה‬–x‫נקודה‬ ‫של‬M‫והוא‬),3( yM
‫הרדיוס‬ ‫אורך‬5‫נקודה‬ ‫לכן‬
(‫ב‬)‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫חשב‬ .BC.
‫ה‬ ‫שיעור‬–y‫הנקודה‬ ‫של‬M
.
)5,3(
5
25
)0()33(5
),(),(
5),3()0,3(
)()(
2
222
2211
2
12
2
12
2
M
y
y
y
yxyx
RyMA
yyxxd
dMB





25)5()3(
)()(
25)5,3(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
‫נקודה‬C
)9,0(
154
954
45
16)5(
25)5()9(
25)5()30(
0
25)5()3(
2
1
2
2
22
22
C
y
y
y
y
y
y
x
yx








‫מרחק‬BC
819 BCd
)0,3(
x
y

M
A

C
B

)1,0( D

5R

20
20
. )‫(ג‬D‫ש‬ ‫כך‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬–CD‫נקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬D.
‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ .)‫(ד‬ABD.
)‫(א‬25)5()3( 22
 yx)‫(ב‬)9,0(C8BCd)‫(ג‬)1,6(D)‫(ד‬3ABDS
3
2
16
22







ABD
ABD
a
S
AHBD
S
ha
S
  25)5(3 22
 yx
)0,3(
x
y

M
A

)9,0( C
B

)1,0(
D

5R
)5,3(
)1,6(
‫נקודה‬D
6
06
2
0
3
2
2
2
2
21






x
x
x
xx
xM
1
910
2
9
5
2
2
2
2
21






y
y
y
yy
yM
)1.6(D
 
11,
)9,0(
yx
),( 22 yx
MM yx ,
)5,3(
DMC
  25)5(3 22
 yx
)0,3(
x
y

M
A

)9,0( C
B

)1,0( D

5R
)5,3(

21
21
‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫נתונה‬ .‫ב‬
‫מספר‬ ‫שאלה‬1:‫בגרות‬ ‫מבחן‬30303‫מו‬‫עד‬‫מרץ‬‫תשס‬‫"ט‬2339
‫נתון‬‫שמשוואתו‬ ‫מעגל‬169)5()5( 22
 yx,
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫המעגל‬–x‫בנקודות‬A‫ו‬-C.
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫ואת‬–y‫בנקודות‬B‫ו‬–D.)‫ציור‬ ‫ראה‬ (
(‫א‬)‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A,BC,D.
(‫ב‬)‫כי‬ ‫הראה‬(1)‫מקבילים‬ ‫הקווים‬ADBC
(2)‫המרחקים‬DCAB 
:‫פתרון‬
(‫א‬)‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A,BC,D.
(‫ב‬1)‫מקבילים‬ ‫קווים‬ ‫כי‬ ‫הראה‬ADBC
‫נקודות‬B,D
)17,0()7,0(
7512
17512
512
1445
25169)5(
169)5()50(
0
169)5()5(
2
1
2
22
22
DB
y
y
y
y
y
y
x
yx









‫נקודות‬C,A
)0,17()0,7(
7512
17512
512
1445
25169)5(
169)50()5(
0
169)5()5(
2
1
2
22
22
AC
x
x
x
x
x
x
y
yx









‫שיפוע‬DA.
1
17
17
170
017
),(),(
)17,0()0,17(
12
12
2211









AD
AD
m
m
xx
yy
m
yxyx
DA
‫שיפוע‬BC.
1
7
7
07
70
),(),(
)0,7()7,0(
12
12
2211










BC
BC
m
m
xx
yy
m
yxyx
CB
  169)5(5 22
 yx
x
y
A

C
B

D
)0,17(
)17,0(
)0,7(
)7,0( 
B
AC
D
x
y

22
22
(‫ב‬2)‫כי‬ ‫הראה‬‫המרחקים‬DCAB 
)‫(א‬)17,0()0,7()7,0()0,17( DCBA 
‫(ב‬1).1 ADBC mm(‫ב‬2)338 DCAB md
‫המרחק‬A‫ל‬-B
38.18
338
)07()170(
)()(
),(),(
)7,0()0,17(
222
2
12
2
12
2
2211





AB
AB
d
d
d
yyxxd
yxyx
BA
‫המרחק‬D‫ל‬-C
38.18
338
)170()07(
)()(
),(),(
)0,7()17,0(
222
2
12
2
12
2
2211





DC
DC
d
d
d
yyxxd
yxyx
CD
  169)5(5 22
 yx
x
y
A

C
B

D
)0,17(
)17,0(
)0,7(
)7,0( 

23
23
‫מספר‬ ‫שאלה‬2:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ז‬ '‫ב‬ ‫מועד‬
‫המעגל‬ ‫נתון‬25)3()4( 22
 yx‫שמרכזו‬M.
‫בנקודות‬ ‫הצירים‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫המעגל‬A,B‫ו‬-O
‫ציור‬ ‫(ראה‬)
.‫א‬‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫ו‬–B.
.‫ב‬(1)‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ABO.
(2)‫ה‬ ‫לציר‬ ‫במאונך‬ ‫המעגל‬ ‫קוטר‬–x.
‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬C‫ציור‬ ‫(ראה‬)
‫המרובע‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ABCO.
:‫פתרון‬
(‫א‬)‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫ו‬–B.
(‫ב‬1)‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ABO.
‫נקודה‬A
)0,0()6,0(
033
633
33
93
1625)3(
25)3()40(
0
25)3()4(
2
1
2
22
22
A
y
y
y
y
y
y
x
yx








‫נקודה‬B
)0,0()0,8(
844
044
44
164
925)4(
25)30()4(
0
25)3()4(
2
1
2
22
22









B
x
x
x
x
x
x
y
yx
24
2
86
22







ABOABO
a
SS
AOBOha
S
  25)3(4 22
 yx
x
y
 A

C
B

M

O
  25)3(4 22
 yx
x
y
 A

C
B

M

O
)6,0(
)0,8(

24
24
(2)‫ה‬ ‫לציר‬ ‫במאונך‬ ‫המעגל‬ ‫קוטר‬–x.‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬C
) ‫ציור‬ ‫(ראה‬‫המרובע‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ABCO.
‫המשולשים‬ ‫שני‬ ‫את‬ ‫נחבר‬
ABO‫הקודם‬ ‫בסעיף‬ ‫שמצאנו‬
‫המשולש‬ ‫עם‬BCO
‫ונקבל‬‫המר‬ ‫את‬‫ובע‬ABCO.
.‫א‬‫המעגל‬ ‫ממשוואת‬ ‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מאונך‬ ‫הקוטר‬ .‫ב‬x‫בנקודה‬ ‫משמעות‬C‫ה‬4=x
)‫(א‬)0,8()6,0( BA‫(ב‬1)24ABOS‫(ב‬2)32ABCOS
5)3,4(
25)3()4( 22


RM
yx
‫נקודה‬C
)8,0()2,0(
835
235
35
253
025)3(
25)3()44(
4
25)3()4(
2
1
2
22
22









C
y
y
y
y
y
y
x
yx
8
2
28
2




 BCOBCO
a
SS
ha
S
328240  ABOBCOABC SSS
  25)3(4 22
 yx
x
y
 A

C
B

M

O
)6,0(
)0,8(
  25)3(4 22
 yx
x
y
 A

C
B

M

O
)6,0(
)0,8(
)2,4( 
)3,4(
2d

25
25
‫מספר‬ ‫שאלה‬0:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מועד‬‫אוקטובר‬‫תשס‬‫"ט‬2339
‫הנקודה‬M‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫היא‬
‫שמשוואתו‬20)4()2( 22
 yx
‫נקודה‬ ‫דרך‬ ‫עובר‬ ‫המעגל‬O, ‫הצירים‬ ‫ראשית‬ ‫שהיא‬
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫וחותך‬–x‫בנקודה‬A‫ה‬ ‫ציר‬ ‫ואת‬–y‫בנקודה‬B. ) ‫ציור‬ ‫ראה‬ (
.‫א‬‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫ו‬–B
.‫ב‬‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AB.
.‫ג‬‫הקטע‬ ‫האם‬AB‫המעגל‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬‫נמק‬ ?
.‫ד‬‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫גדול‬ ‫כמה‬ ‫פי‬ ‫מצא‬ABO‫המשולש‬ ‫משטח‬BMO.
:‫פתרון‬
)‫(א‬‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫ו‬-B
(‫ב‬)‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AB
(‫ג‬)‫הקטע‬ ‫האם‬AB‫הוא‬‫נמק‬ ?‫המעגל‬ ‫קוטר‬
‫נקודה‬B
)0,0()8,0(
044
844
44
164
420)4(
20)4()20(
0
20)4()2(
2
1
2
22
22
B
y
y
y
y
y
y
x
yx








‫נקודה‬A
)0,0()0,4(
022
422
22
42
1620)2(
20)40()2(
0
20)4()2(
2
1
2
22
22
A
x
x
x
x
x
x
y
yx








‫שיפוע‬AB
2
4
8
)0()4(
)8()0(
),(),(
)0,4()8,0(
12
12
2211









AB
AB
m
m
xx
yy
m
yxyx
AB
‫משוואת‬AB
82
)4(20
2)0,4(
)( 11




xy
xy
m
xxmyy
20)4,2(
20)4()2( 22


RM
yx
‫משוואת‬AB
44
8)2(24
)4,2(
82



M
xy
‫כן‬‫קוטר‬

M
  20)4(2 22
 yx
x
y

A
B
 O

B
O
M
A



y
x

26
26
(‫ד‬‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫גדול‬ ‫כמה‬ ‫פי‬ ‫מצא‬ )ABO‫המשולש‬ ‫משטח‬BMO.
‫סופית‬ ‫תשובה‬:
(‫א‬))8,0()0,4( BA)‫(ב‬82  xy)‫(ג‬‫כן‬)‫(הוכחה‬
)‫(ד‬‫פי‬2‫המשולש‬ ‫שטח‬ABO)‫גדול‬‫פי‬2‫המשולש‬ ‫משטח‬BMO.
‫המשולש‬ ‫שטח‬ABO
16
2
84
2





ABOABO
a
SS
ha
S
‫המשולש‬ ‫שטח‬BMO
8
2
44
2





BMOBMO
a
SS
ha
S
2
8
16

BMO
ABO
S
S
P

M
  20)4(2 22
 yx
x
y

A
B
 O
 8,0
 0,4
 4,2

M
  20)4(2 22
 yx
x
y

A
B
 O
 8,0
 0,4
 4,2

27
27
‫מספר‬ ‫שאלה‬4:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מרץ‬ ‫מועד‬2336‫תשס"ו‬
‫הישר‬4y‫שמשוואתו‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬17)8()6( 22
 yx
‫הנקודות‬ ‫בשתי‬A‫ו‬–B) ‫ציור‬ ‫ראה‬ (
‫א‬.‫ה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬–x‫הנקודות‬ ‫של‬A‫ו‬–B.
‫ב‬.‫נקודה‬C‫נמצ‬‫ה‬ ‫ציר‬ ‫על‬ ‫את‬–x
‫שמתקיים‬ ‫כך‬BC=AC‫הנקודה‬ ‫שיערי‬ ‫את‬ ‫מצא‬C
‫ג‬.‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ABC.
:‫פתרון‬
(‫א‬)‫ה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬–x‫הנקודות‬ ‫של‬A‫ו‬–B.
(‫ב‬)‫נקודה‬C‫ה‬ ‫ציר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬–x
‫שמתקיים‬ ‫כך‬BC=AC
‫הנקודה‬ ‫שיערי‬ ‫את‬ ‫מצא‬C
‫נק‬‫ודה‬C‫הנקודות‬ ‫באמצע‬ ‫להיות‬ ‫צריכה‬AB
‫שוקיים‬ ‫שווה‬ ‫משולש‬ ‫ליצור‬ ‫כדי‬
‫נקודה‬ ‫לכן‬)0,6(C
(‫ג‬)‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ABC.
)‫(א‬)4,7()4,5( BA)‫(ב‬)0,6(C)‫(ג‬4ABCS
‫נקודות‬BA
)4,7()4,5(
561
761
61
16
1617)6(
17)84()6(
4
17)8()6(
2
1
2
22
22
BA
x
x
x
x
x
x
y
yx








4
2
42
2





ABCABC
a
SS
ha
S
 M
  17)8(6 22
 yx
x
y
4y
A B
 
 4,5
 M
  17)8(6 22
 yx
x
y
4y
A B
 
 4,7
 4,6

 0,6
C


28
28
‫שאלה‬‫מספר‬3:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫מועד‬‫תש"ע‬ ‫חורף‬
‫שמשוואתו‬ ‫מעגל‬ ‫נתון‬45)6()3( 22
 yx.
‫הצירים‬ ‫ראשית‬ ‫דרך‬ ‫עובר‬ ‫המעגל‬)0,0(O.
‫וחו‬‫בנקודות‬ ‫גם‬ ‫הצירים‬ ‫את‬ ‫תך‬A‫ו‬-B.)‫ציור‬ ‫ראה‬ (
(‫א‬)‫הנקודות‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .A‫ו‬-B.
(‫ב‬)‫דרך‬ .O‫ל‬ ‫אנך‬ ‫מעבירים‬‫קוטר‬–AB.
‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫האנך‬C.
(1)‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬OC.
(2)‫הנקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬C.
(0)‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬OCB.
:‫פתרון‬
(‫א‬)‫הנקודות‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫ו‬B.
(‫ב‬1‫דרך‬ )O‫מ‬‫ל‬ ‫אנך‬ ‫עבירים‬–AB‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫האנך‬ .C.
‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬OC.
‫נקודה‬A
)0,0()12,0(
066
1266
66
366
945)6(
45)6()30(
0
45)6()3(
2
1
2
22
22
A
y
y
y
y
y
y
x
yx








‫נקודה‬B
)0,0()0,6(
033
633
33
93
3645)3(
45)60()3(
0
45)6()3(
2
1
2
22
22
B
x
x
x
x
x
x
y
yx








‫שיפוע‬AB
2
6
12
)0()6(
)12()0(
),(),(
)0,6()12,0(
12
12
2211









AB
AB
m
m
xx
yy
m
yxyx
BA
‫שיפוע‬OC
2
1
2  OCAB mm
‫משוואת‬OC
xy
xy
m
xxmyy
2
1
2
1
2
1
11
)0(0
)0,0(
)(





 0,0
 M
  45)6(3 22
 yx
x
y
O B
 
A

C
 12,0
 0,6

 0,0
 M
  45)6(3 22
 yx
x
y
O B
 
A

C

29
29
(2‫הנקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )C.
(0‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )OCB.
)‫(א‬)0,6()12,0( BA‫(ב‬1)xyOC 2
1
‫(ג‬2))8.4,6.9(C‫(ב‬0)4.14OCBS
‫נקודה‬C
06.9
)1225.1(
01225.1
4536625.096
45)6()3(
45)6()3(
2
2
22
2
2
12
2
1
22







xx
xx
xx
xxxx
xx
xy
yx
C
‫נקודה‬C
)8.4,6.9(
8.46.9
6.9
2
1
2
1
C
y
x
xy



4.14
2
8.46
2





OBCOBC
a
SS
ha
S
 12,0
 0,6

 0,0
 M
  45)6(3 22
 yx
x
y
O B
 
A

C  8.4,6.9

30
30
‫שאלה‬‫מספר‬6:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תשס"ה‬ '‫ב‬ ‫מועד‬
‫מעגל‬20)4()2( 22
 yx
‫בנקודות‬ ‫הצירים‬ ‫את‬ ‫חותך‬A,B,C,.‫בציור‬ ‫כמתואר‬
‫דרך‬ ‫העובר‬ ‫ישר‬A‫ל‬ ‫ומאונך‬–BC
‫נוספת‬ ‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬D.
‫א‬.‫הנקודות‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬A,B,C,
.‫ב‬‫של‬ ‫המשוואה‬ ‫את‬ ‫מצא‬AD.
.‫ג‬‫נקודה‬ ‫דרך‬D‫ל‬ ‫המקביל‬ ‫ישר‬ ‫העבירו‬–BC
.‫המקביל‬ ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
:‫פתרון‬
(‫א‬)‫הנקודות‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬A,B,C,
(‫ב‬)‫דרך‬ ‫העובר‬ ‫ישר‬A‫ל‬ ‫ומאונך‬–BC‫נוספת‬ ‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬D.
‫של‬ ‫המשוואה‬ ‫את‬ ‫מצא‬AD.
‫נקודות‬AB
20)4()20(
0
20)4()2(
22
22



y
x
yx
)8,0()0,0(
044
844
44
164
420)4(
2,1
1
2,1
2
BA
y
y
y
y
y





‫נקודות‬AC
20)40()2(
0
20)4()2(
22
22



x
y
yx
)0,4()0,0(
022
422
22
42
1620)2(
2
1
2,1
2
CA
x
x
x
x
x





‫שיפוע‬‫משיק‬
2
1
2  ADBC mm
‫משוואת‬AD
xy
xy
m
xxmyy
2
1
2
1
2
1
11
)0(0
)0,0(
)(




‫שיפוע‬BC
2
4
8
)0()4(
)8()0(
),(),(
)0,4()0,8(
12
12
2211









BC
BC
m
m
xx
yy
m
yxyx
CB

 M
  20)4(2 22
 yx
x
y
D
B
 
A

C
 8,0
 0,4

 0,0
 M
  20)4(2 22
 yx
x
y
D
B
 
A

C

31
31
(‫ג‬)‫נקודה‬ ‫דרך‬D‫ל‬ ‫המקביל‬ ‫ישר‬ ‫העבירו‬–BC
(‫ג‬1‫נקודה‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )D
(‫ג‬2).‫המקביל‬ ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
)‫(א‬)0,4()8,0()0,0( CBA)‫(ב‬xyAD 2
1
)‫(ג‬162  xy‫המקביל‬
.
‫נקודה‬D
4.6
)825.1(
0825.1
02016425.044
20)45.0()2(
5.0
20)4()2(
2
22
22
22







Dx
xx
xx
xxxx
xx
xy
yx
‫נקודה‬D
)2.3,4.6(
2.3
)4.6(5.0
4.6
5.0
D
y
y
x
xy
D




‫משוואת‬‫ל‬ ‫המקביל‬BC
162
2.38.122
)4.6(22.3
2)2.3,4.6(
)( 11





xy
xy
xy
m
xxmyy
 2.3,4.6
 8,0
 0,4

 0,0
 M
  20)4(2 22
 yx
x
y
D
B
 
A

C

32
32
‫שאלה‬‫מספר‬7:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מועד‬‫חורף‬‫תשס‬‫"ט‬
‫מעגל‬ ‫נתון‬‫ש‬‫ה‬‫משווא‬‫היא‬ ‫שלו‬ ‫ה‬25)10( 22
 yx
‫הנקודה‬M‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫היא‬) ‫ציור‬ ‫ראה‬ (
‫הישר‬4y‫א‬ ‫חותך‬‫נקודות‬ ‫בשתי‬ ‫המעגל‬ ‫ת‬A‫ו‬–B
(B‫ל‬ ‫מימין‬–A)
‫א‬.‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬‫הנקודות‬A‫ו‬–B
‫ב‬.‫הנקודה‬ ‫דרך‬B. ‫במעגל‬ ‫קוטר‬ ‫העבירו‬
‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫הקוטר‬C) ‫ציור‬ ‫ראה‬ (
(1)‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬C.
(2)‫המרובע‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬OCMA(O–)‫הצירים‬ ‫ראשית‬
‫פתרון‬:
(‫א‬)‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬‫הנקודות‬A‫ו‬B.
(‫ב‬)‫הנקודה‬ ‫דרך‬B‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫הקוטר‬ . ‫במעגל‬ ‫קוטר‬ ‫העבירו‬C) ‫ציור‬ ‫ראה‬ (
(1‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )C.
)4,13()4,7(
7103
13103
103
910
1625)10(
25)4()10(
4
25)10(
2
22
22









BA
x
x
x
x
x
x
y
yx
5)0,10(
25)10( 22


RM
yx
‫נקודה‬C
7
1320
2
13
10
2
2
2
2
21






x
x
x
xx
xM
4
40
2
4
0
2
2
2
2
21






y
y
y
yy
yM
)4.7(C
 
)4,13(  ),( 22 yx)0,10(
CMB

M
  25)(10 22
 yx
x
y
B
 
A

C
O
 
M
  25)(10 22
 yx
x
y
B
 
A

C
O
 4,7
 4,7   4,13 
 0,10

33
33
(2‫המרובע‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )OCMA(O–)‫הצירים‬ ‫ראשית‬
‫משני‬ ‫מורכב‬ ‫השטח‬‫משולש‬ : ‫משולשים‬OCM‫ומשולש‬OAM
)‫(א‬)4,7()4,13(  AB‫(ב‬1))4,7(C‫(ב‬2)40OCMAS
‫משולש‬ ‫שטח‬OCM
20
2
410
2





OCMOCM
a
SS
ha
S
‫משולש‬ ‫שטח‬OAM
20
2
410
2





OAMOAM
a
SS
ha
S
‫המרובע‬ ‫שטח‬OCMA
402020 

OCMA
OAMOCMOCMA
S
SSS
 
M
  25)(10 22
 yx
x
y
B
 
A

C
O
 4,7
 4,7   4,13 
 0,10

34
34
‫מספר‬ ‫שאלה‬8:‫בגרות‬ ‫מבחן‬30803‫מועד‬‫חורף‬‫תשס‬‫"ט‬
‫שמשווא‬ ‫מעגל‬ ‫נתון‬‫תו‬169)5()5( 22
 yx'‫ומרכזו‬M.
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫המעגל‬–x‫בנקודות‬C‫ו‬–D‫ציור‬ ‫(ראה‬)
.‫א‬‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬C‫ו‬–D.
.‫ב‬‫מלבן‬ ‫חסום‬ ‫במעגל‬ABCD‫ציור‬ ‫(ראה‬)
‫הק‬ ‫את‬ ‫מצא‬‫דקודים‬A‫ו‬–B.
.‫ג‬‫המשולש‬ ‫היקף‬ ‫את‬ ‫חשב‬AMD.
:‫פתרון‬
(‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )‫א‬‫הנקודות‬C‫ו‬D.
(‫ב‬)‫מלבן‬ ‫חסום‬ ‫במעגל‬ABCD‫הקדקודים‬ ‫את‬ ‫)מצא‬ ‫ציור‬ ‫ראה‬ (A‫ו‬–B.
‫המשולש‬ ‫היקף‬ ‫את‬ ‫חשב‬ )‫(ג‬AMD.
)‫(א‬)0,17()0,7( CD )‫(ב‬)10,7()10,17( AB(‫ג‬)36P
‫נקודות‬CD
)0,17()0,7(
17512
7512
512
1445
25169)5(
169)50()5(
0
169)5()5(
2
1
2
22
22
CD
x
x
x
x
x
x
y
yx









13)5,5(
169)5()5( 22


RM
yx
36131310 

AMD
AMD
P
AMDMADP
‫נקודה‬B
17
710
2
7
5
2
2
2
2
21






x
x
x
xx
xM
10
010
2
0
5
2
2
2
2
21






y
y
y
yy
yM
)10.17(B
 
)0,7( ),( 22 yx)5,5(
BMD
‫נקודה‬A
7
1710
2
17
5
2
2
2
2
21






x
x
x
xx
xM
10
010
2
0
5
2
2
2
2
21






y
y
y
yy
yM
)10.7(A
 
)0,17( ),( 22 yx)5,5(
AMC

M
  169)5(5 22
 yx
x
y
B

A 
CD

 0,7
 5,5
 0,17
 10,7

M
x
y
B

A 
CD

 0,7
 5,5
 0,17
 10,17
13R

35
35
‫שאלה‬‫מספר‬9:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫תש"ע‬ ‫ברק‬ /‫חצב‬ ‫מועד‬
‫הריבוע‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬ABCD‫במעגל‬ ‫חסום‬
‫שמשוואתו‬  222
)5(2 Ryx 
‫הקדקוד‬ ‫שיעורי‬ : ‫נתון‬D‫הם‬)1,0(D.
(‫א‬).‫את‬ ‫חשב‬2
R
.)‫(ב‬‫את‬ ‫מצא‬‫הקדקוד‬ ‫שיעורי‬B.
)‫(ג‬.‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AC.
)‫(ד‬‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬BDC.
:‫פתרון‬
(‫א‬. ‫את‬ ‫חשב‬ )2
R
‫הקדקוד‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )‫(ב‬B.
(‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )‫ג‬AC.
2
R
20)51()20(
20
)51()20(
)1,0(
)5()2(
22
2
222
222




R
R
D
Ryx
20)5,2(
20)5()2( 22


RM
yx
‫שיפוע‬DB
2
4
8
)0()4(
)1()9(
),(),(
)9,4()1,0(
12
12
2211








DB
DB
m
m
xx
yy
m
yxyx
BD
‫שיפוע‬AC
2
1
2  ACDB mm
6
51
)2(5
)5,2(
)(
2
1
2
1
2
1
2
1
11





xY
xy
xy
m
xxmyy

M
x
y B


A 
C
D  1,0
‫נקודה‬B
4
04
2
0
2
2
2
2
2
21






x
x
x
xx
xM
9
110
2
1
5
2
2
2
2
21






y
y
y
yy
yM
)9.4(B
 
)1,0( ),( 22 yx)5,2(
BMD

M
x
y B


A 
C
D  1,0
 9,4
 5,2
  20)5(2 22
 yx

36
36
)‫(ד‬‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬BDC.
(‫א‬)202
R)‫(ב‬)9,4(B)‫(ג‬62
1
 xyAC
)‫(ד‬20BDCS
20
2
20202
2





BDCBDC
a
SS
ha
S

M
x
y B


A 
C
D  1,0
 9,4
 5,2
  20)5(2 22
 yx

37
37
‫שאלה‬‫מספר‬13:‫בגרות‬ ‫מבחן‬30303‫מועד‬‫מיו‬‫חורף‬ ‫חד‬‫תשס‬‫"ט‬
‫משולש‬ABC‫שמשוואתו‬ ‫במעגל‬ ‫חסום‬50)2()3( 22
 yx,
‫הישר‬ ‫משוואת‬AB‫היא‬12  xy(‫ציור‬ ‫ראה‬).
.‫א‬‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫ו‬-B.
.‫ב‬‫הנקודה‬,),( yOD‫הצלע‬ ‫אמצע‬ ‫היא‬AC(‫ציור‬ ‫ראה‬).
(1)‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬‫ה‬–x‫ה‬ ‫של‬‫נקודה‬C.
(2)‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬‫ה‬–y‫הנקודה‬ ‫של‬C
‫מ‬ ‫גדול‬ ‫זה‬ ‫שיעור‬ ‫כי‬ ‫ידוע‬ ‫אם‬–2.
.‫א‬)3,2()9,4( BA(.‫ב‬1)4Cx(‫ב‬2.)3Cy
:‫פתרון‬
.‫א‬‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫ו‬B.
(‫ב‬1).‫הנקוד‬‫ה‬),( yOD‫הצלע‬ ‫אמצע‬ ‫היא‬AC
‫ה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬C.
24
10
3010
52
)40)(5(4100)10(
040105
5014496
50)12()3(
50)212()3(
12
50)2()3(
2,1
2,1
2
22
22
22
22












BA xx
x
x
xx
xxxx
xx
xx
xy
yx ‫נקודות‬AB
)3,2(
31)2(2
)9,4(
91)4(2
24
12





B
y
A
y
xx
xy
BA
  50)2(3 22
 yx
D
x
y
B

A
C

  50)2(3 22
 yx
D
x
y
B

A
C

 9,4
 3,2 
‫נקודה‬C
4
40
2
4
0
2
2
2
21






C
M
x
x
x
xx
x
).4( yC 
 
)9,4( ),( 22 yx),0( y
CDA
B
A
C
D
x
y

38
38
(‫ב‬2)‫ה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬–y‫הנקודה‬ ‫של‬C‫מ‬ ‫גדול‬ ‫זה‬ ‫שיעור‬ ‫כי‬ ‫ידוע‬ ‫אם‬–2.
.‫א‬)3,2()9,4( BA(‫ב‬1)4Cx(‫ב‬2.)3Cy
‫נקודה‬C
)3,4(
321
121
21
12
4950)2(
50)2()34(
4
50)2()3(
2
1
2
22
22









C
y
y
y
y
y
y
x
yx
  50)2(3 22
 yx
D
x
y
B

A
C

 9,4
 3,2 

39
39
‫שאלה‬‫מספר‬11:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫חורף‬ ‫מועד‬2312
‫שמשוואתו‬ ‫מעגל‬ ‫נתון‬50)5()1( 22
 yx‫בנקודה‬ ‫ומרכזו‬M.
A,B‫ה‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫המעגל‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫הן‬-x.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
( .‫א‬1)‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A,B,M.
(2)‫מהקטעים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬AC‫ו‬–BD‫קוטר‬ ‫הוא‬‫ב‬‫מעגל‬
‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬C‫ו‬-D.
( .‫ב‬1)‫לצלע‬ ‫התיכון‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AC‫במשולש‬ADC.
(2)‫ב‬ ‫סמן‬–E‫התיכון‬ ‫המשך‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬ ‫את‬DM
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫עם‬–y‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .AEB.
‫פתרו‬:‫ן‬
(‫א‬1‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )A,B,M.
(‫א‬2)‫מהקטעים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬AC‫ו‬–BD‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ ‫המעגל‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬C‫ו‬-D.
50)5,1(
50)5()1( 22


RM
yx
)0,4()0,6(
415
615
15
251
2550)1(
50)50()1(
0
50)5()1(
2
1
2
22
22
BA
x
x
x
x
x
x
y
yx










M
  50)5(1 22
 yx
x
y
B


A
 CD

 0,6
 5,1
 0,4

M
  50)5(1 22
 yx
x
y
B


A
 CD

‫נקודה‬D
6
42
2
4
1
2
2
2
2
21






x
x
x
xx
xM
10
010
2
0
5
2
2
2
2
21






y
y
y
yy
yM
)10.6(D
 
21,
)0,4(
yx
),( 22 yx
MM yx ,
)5,1(
DMB
‫נקודה‬C
4
62
2
6
1
2
2
2
2
21






x
x
x
xx
xM
10
010
2
0
5
2
2
2
2
21






y
y
y
yy
yM
)10.4(C
 
11,
)0,6(
yx
 ),( 22 yx
MM yx ,
)5,1(
CMA

40
40
(‫ב‬1‫לצלע‬ ‫התיכון‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )AC‫במשולש‬ADC.
‫לצלע‬ ‫התיכון‬AC‫הישר‬ ‫הוא‬DM
(‫ב‬2)‫ב‬ ‫סמן‬–E‫התיכון‬ ‫המשך‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬ ‫את‬DM‫ה‬ ‫ציר‬ ‫עם‬–y.
‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬AEB.
‫(א‬1))0,4()0,6()5,1( BAM ‫(א‬2))10.6(D)10.4(C
‫(ב‬1)41  xyDM‫(ב‬2)20AEBS
‫שיפוע‬‫התיכון‬
1
5
5
61
105
),(),(
)5,1()10,6(
12
12
2211











DM
DM
m
m
xx
yy
m
yxyx
MD
‫משוואת‬DM
41
511
)1(15
1)5,1(
)( 11





xy
xy
xy
m
xxmyy
‫נקודה‬E
)04(
44)0(1
0
41
E
y
x
xy



20
2
410
2





AEBAEB
a
SS
ha
S
 0,6
 5,1
 0,4

M
  50)5(1 22
 yx
x
y
B


A
 CD

 0,6
 5,1
 0,4

M
  50)5(1 22
 yx
x
y
B


A
 CD

E
  4,0

41
41
‫מספר‬ ‫שאלה‬12:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מועד‬‫גנוז‬2311‫תשע"א‬
‫הנקודה‬)2,8(K‫שמרכזו‬ ‫מעגל‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬M.
‫היא‬ ‫ומשוואתו‬222
)()2( aayx 
( .‫א‬1)‫של‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬a.
(2).‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫רשום‬
(0)‫נקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫רשום‬M.
.‫ב‬‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫המעגל‬ ‫כי‬ ‫הראה‬–x. ‫אחת‬ ‫בנקודה‬ ‫רק‬
.‫ג‬‫ריבוע‬ ‫חסמו‬ABCD‫(א‬ ‫סעיף‬ ‫בתת‬ ‫רשמת‬ ‫משוואתו‬ ‫שאת‬ , ‫במעגל‬2)
‫ב‬ ‫ונפגשים‬ , ‫לצירים‬ ‫מקבילים‬ ‫הריבוע‬ ‫אלכסוני‬‫נקודה‬M) ‫ציור‬ ‫(ראה‬
(1)‫נקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬B,C,D
(2‫הריבוע‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )ABCD.
:‫פתרון‬
(‫א‬1)‫של‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬a.
(‫א‬2).‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫רשום‬
(‫א‬0)‫נקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫רשום‬M.
.)‫(ב‬‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫המעגל‬ ‫כי‬ ‫הראה‬–x. ‫אחת‬ ‫בנקודה‬ ‫רק‬
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬–x‫אחת‬ ‫בנקודה‬
)0,2(
2
02
0)2(
100100)2(
100)100()2(
0
100)10()2(
2
2
22
22
A
x
x
x
x
x
y
yx








M
  100)10(2 22
 yx
x
y
B

A

C
D

K
‫פרמטר‬a
10
404
4436
)2()28(
)2,8(
)()2(
22
222
222





a
a
aaa
aa
k
aayx
100)102()28(
10
)()2(
22
222



a
aayx
‫נקודה‬M
)10,2(
100)102()28( 22
M


42
42
‫(ג‬1)‫נקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬B,C,D
(‫ג‬2)‫הריבוע‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ABCD.
‫ב‬ ‫ונכפיל‬ ‫אחד‬ ‫משולש‬ ‫שטח‬ ‫נחשב‬4
‫(א‬1.)10a(‫א‬2.)100)10()2( 22
 yx(‫א‬0.))10,2(M
(‫ב‬.))0,2(A(‫ג‬1.))10,8()20,2()10,12( DCB(‫ג‬.)200ABCDS
‫נקודות‬B,C,D
‫לצירים‬ ‫מקבילים‬ ‫האלכסונים‬
)10,8)(10,8102(
)20,2)(201010,2(
)10,12)(10,12210(
10)10,2(




D
C
B
RM
50
2
1010
22







BMC
BMC
a
S
MCBM
S
ha
S
2004504  BMCABCD SS

M
  100)10(2 22
 yx
x
y
B

A

C
D

 10,8
 10,2
 0,2
 10,12
 20,2

43
43
‫מספר‬ ‫שאלה‬10:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מועד‬‫פברואר‬‫תשס"ז‬2337
‫המעגל‬100)6( 22
 yx
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬–x‫בנקודות‬A‫ו‬–B,
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫ואת‬–y‫בנקודה‬ ‫החיובי‬ ‫בחלקו‬E.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬E , B , A.
‫מהנקודה‬E‫ה‬ ‫לציר‬ ‫המקביל‬ , ‫ישר‬ ‫העבירו‬–x
‫נוספת‬ ‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫וחותך‬D.
‫מהנקודה‬D‫הישר‬ ‫את‬ ‫האריכו‬ED‫נקודה‬ ‫עד‬C,
‫ש‬ ‫כך‬–DC3=ED.
‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫חשב‬ .‫ב‬D‫ו‬–C.
.‫ג‬‫הטרפז‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ABCD.
‫פתרון‬
‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬E , B , A.
‫מהנקודה‬E‫ה‬ ‫לציר‬ ‫המקביל‬ , ‫ישר‬ ‫העבירו‬–x‫נוספת‬ ‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫וחותך‬D.
‫מהנקודה‬D‫הישר‬ ‫את‬ ‫האריכו‬ED‫נקודה‬ ‫עד‬C‫ש‬ ‫כך‬ ,–DC3=ED.
‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫חשב‬ .‫ב‬D‫ו‬–C.
‫הטרפז‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ .‫ג‬ABCD.
)‫(א‬)8,0()0,16()0,4( EBA )‫(ב‬)8,16()8,12( CD)‫(ג‬96ABCDS
)0,16()0,4(
4610
16610
610
100)6(
100)0()6(
0
100)6(
2
1
2,1
2
22
22
BA
x
x
x
x
x
y
yx








‫נקודות‬E
)8,0(
8
8
864
36100
100)60(
0
100)6(
2
1
2,1
2
22
22
E
x
x
x
y
y
x
yx







‫נקודות‬D
)8,0()8,12(
012
66
6366
10064)6(
100)8()6(
8
100)6(
21
2,1
2
22
22
ED
xx
x
x
x
x
y
yx







‫הטרפז‬ ‫שטח‬ABCD
96
2
8)420(
2
)(





ABCD
ABCD
S
hba
S
‫נקודה‬C
DC3=ED
)8,16(
4
312
12
C
x
x
x




44
44
‫מספר‬ ‫שאלה‬14:‫בגרות‬ ‫מבחן‬30303‫מועד‬‫תשע"ב‬ ‫נובמבר‬
‫שמשוואתו‬ ‫מעגל‬ ‫נתון‬25)2( 22
 yx
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫המעגל‬–x‫בנקודות‬A‫ו‬–B.‫בציור‬ ‫,כמתואר‬
‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .)‫(א‬A‫ו‬-B.
‫נקודה‬ .)‫(ב‬E.‫הראשון‬ ‫ברביע‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬
‫המשולש‬ ‫שטח‬ABE‫הוא‬20.
(1‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )–y‫הנקודה‬ ‫של‬E.
(2‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )–x‫הנקודה‬ ‫של‬E.
‫מהנקודה‬ .)‫(ג‬E‫ה‬ ‫לציר‬ ‫המקביל‬ ‫ישר‬ ‫העבירו‬–y‫חותך‬ ‫והוא‬
‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬F‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫.מצא‬F.‫נמק‬
)‫(א‬)0,3()0,7( AB‫(ב‬1.)4Ey‫(ב‬2.))4,5(E.)‫(ג‬)4,5( F

45
45
‫ה‬.‫למעגל‬ ‫משיק‬
‫במעגל‬ ‫משפטים‬:‫של‬ ‫זווית‬ ‫הרדיוס‬ ‫עם‬ ‫יוצר‬ ‫למעגל‬ ‫המשיק‬ ‫ישר‬93‫מעלות‬
‫שאלה‬‫מספר‬1:‫בגרות‬ ‫מבחן‬30803‫מועד‬‫חורף‬‫תשע"א‬
‫הנקודה‬M‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫היא‬25)3()1( 22
 yx
‫הנקודה‬A‫הישר‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודת‬ ‫היא‬7y.
)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ‫המעגל‬ ‫עם‬
‫שהנקודה‬ ‫ידוע‬A‫הראשון‬ ‫ברביע‬ ‫נמצאת‬
(‫א‬).‫הנקודה‬ ‫של‬ ‫השעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬A.
(‫ב‬).‫הישר‬ ‫שיפוע‬ ‫את‬ ‫מצא‬MA.
(‫ג‬).‫בנקודה‬ ‫המשיק‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬A.
(‫ד‬).‫הנקודה‬ ‫דרך‬M‫לישר‬ ‫אנך‬ ‫העבירו‬7=y
‫בנקודה‬ ‫הישר‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫האנך‬B‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬AMB.
:‫פתרון‬
(‫א‬)‫את‬ ‫מצא‬‫הנקוד‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬‫ה‬A
(‫ב‬)‫השיפוע‬ ‫את‬ ‫מצא‬MA.
‫נקודה‬A
25)37()1(
7
25)3()1(
22
22



x
y
yx
)7,4()7,2(
413
213
13
91
1625)1(
2,1
1
2,1
2






A
x
x
x
x
x
‫שיפוע‬MA
3
4
12
37
),(),(
)7,2()3,1(
12
12
2211








MA
MA
m
m
xx
yy
m
yxyx
AM
5)3,1(
25)3()1( 22


RM
yx
M

7y
    2531
22
 yx
x
y

A

 7,2
 3,1 M

7y
x
y

A


46
46
(‫ג‬)‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫המשיק‬ ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬A.
(‫ד‬)‫הנקודה‬ ‫דרך‬M‫לישר‬ ‫אנך‬ ‫העבירו‬7=y‫בנקודה‬ ‫הישר‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫האנך‬B
‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬AMB.
)‫(א‬)7,2(A)‫(ב‬
3
4
MAm)‫(ג‬
2
1
8
4
3
 xy)‫(ד‬6AMBS
4
3
3
4
 ‫משיק‬MA mm
‫משוואת‬‫משיק‬
2
1
4
3
2
1
4
3
4
3
4
3
11
8
71
)2(7
)7,2(
)(





xy
xy
xy
m
xxmyy
6
2
34
2





AMBAMB SS
ABMB
S
 7,2
 3,1 M

7y
x
y

A
B
‫נקודה‬B
 7,1B
 7,1

47
47
‫שאלה‬‫מספר‬2:‫בגרות‬ ‫מבחן‬30803‫מועד‬'‫א‬‫תשע"ב‬ ‫קיץ‬2312.
‫בנקודה‬ ‫שמרכזו‬ ‫מעגל‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬M.
C‫ו‬–D‫ה‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫המעגל‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫הן‬–y.
‫בנקוד‬ ‫כי‬ ‫נתון‬‫ה‬)3,6(A‫לישר‬ ‫משיק‬ ‫המעגל‬xy 2
1

)‫(א‬‫הרדיוס‬ ‫מונח‬ ‫שעליו‬ ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AM.
)‫(ב‬‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫כי‬ ‫נתון‬M‫הישר‬ ‫על‬ ‫נמצא‬7=y
.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
( )‫(ג‬1)‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫מצא‬DC
(2)‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬CDM
:‫פתרון‬
‫מצ‬ )‫(א‬‫הרדיוס‬ ‫מונח‬ ‫שעליו‬ ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫א‬AM.
)‫(ב‬‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫כי‬ ‫נתון‬M‫הישר‬ ‫על‬ ‫נמצא‬7=y.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫שיפוע‬AM
22
1
 AM‫משיק‬ mm
152
3122
)6(23
2)3,6(
)( 11





xy
xy
xy
m
xxmyy
‫נקודה‬M
)7,4(
4
82
1527
7
152
M
x
x
x
y
xy





20)7()4(
)()(
20)7,4(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
R
20
)37()64(
)()(
),(),(
)7,4()3,6(
22
222
2
12
2
12
2
2211



dR
d
yyxxd
yxyx
MA
M

 3,6
x

A


y
C
D

48
48
‫(ג‬1)‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫מצא‬DC
‫(ג‬2‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )CDM
)‫(א‬152  xyAC
)‫(ב‬20)7()4( 22
 yx
‫(ג‬1)4DCd‫(ג‬2)8CDMS
‫נקודו‬‫ת‬CD
20)7()40(
0
20)7()4(
22
22



x
x
yx
)0,5()0,9(
572
972
72
47
1620)7(
2
1
2,1
2
DC
x
x
x
x
x





‫הקטע‬ ‫אורך‬CD
4
)0,5()0,9(
DCd
DC
8
2
44
2





CDMCDM
a
SS
ha
S
M

 3,6
x

A


y
C
D
 7,4 0,9
 0,5

49
49
‫שאלה‬‫מספר‬0:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מועד‬‫פברואר‬2313‫תש"ע‬
‫המעגל‬ ‫נתון‬10022
 yx
‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫המשיק‬A‫הנמצאת‬ ,,‫השני‬ ‫ברביע‬
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬–x‫בנקודה‬B.
O-)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ‫הצירים‬ ‫ראשית‬
‫ה‬ ‫שיעור‬-y‫נקודה‬ ‫של‬A‫הוא‬6.
‫(א‬‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )–x‫נקודה‬ ‫של‬A.
‫(ב‬.‫המשיק‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )
)‫(ג‬‫המשולש‬ ‫היקף‬ ‫את‬ ‫חשב‬AOB.
:‫פתרון‬
‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )‫(א‬–x‫נקודה‬ ‫של‬A.
(‫ב‬).‫המשיק‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫נקודה‬A
)6,8(
8
8
864
36100
100)6(
6
100
2
1
2
22
22








A
x
x
x
x
x
y
yx
‫משיק‬ ‫שיפוע‬
3
4
4
3
 ‫משיק‬OA mm
‫שיפוע‬OA
4
3
8
6
)0()8(
)0()6(
),(),(
)6,8()0,0(
12
12
2211










AO
AO
m
m
xx
yy
m
yxyx
AO
o
 6,x
x

A

y
B
 0,0
o
 6,8
x

A

y
B
 0,0

50
50
(‫ג‬)‫המשולש‬ ‫היקף‬ ‫את‬ ‫חשב‬AOB.
)‫(א‬8Ax)‫(ב‬3
2
3
4
16 xy‫משיק‬
)‫(ג‬30AOBP
‫נקודה‬B
)0,5.12(
5.12
16
160
0
16
3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
4






B
x
x
x
y
xy
‫מרחק‬AB
5.7
)60()85.12(
)()(
),(),(
)0,5.12()6,8(
222
2
12
2
12
2
2211




d
d
yyxxd
yxyx
BA
‫המשולש‬ ‫היקף‬AOB
30
5.75.1210
00



AOB
AOB
AOB
P
P
ABBAP
o
 6,8
x

A

y
B
 0,0 0,5.12

51
51
‫שאלה‬‫מספר‬4:‫מבחן‬‫בגרות‬03330‫מועד‬‫קיץ‬ ‫ב‬2311‫תש‬.‫ע"א‬
‫ב‬‫ס‬‫שמשוואתו‬ ‫מעגל‬ ‫נתון‬ ‫שלפניך‬ ‫רטוט‬222
)7( Ryx (M–)‫המעגל‬ ‫מרכז‬
‫הנקודות‬A‫ו‬–B‫ה‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫המעגל‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫הן‬–x.
‫הנקודה‬C.‫הראשון‬ ‫ברביע‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬
‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫כי‬ ‫נתון‬AB‫הוא‬10‫יחידות‬.
‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬R.
‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ב‬A‫ו‬–B.
‫הישר‬ ‫כי‬ ‫נתון‬ .‫ג‬13
4
 xy‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬C.
(1‫נקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )C.
(2‫הנקודה‬ ‫דרך‬ )C‫ה‬ ‫לציר‬ ‫המקביל‬ ‫ישר‬ ‫העבירו‬–y
‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫וחותך‬D‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .CDB.
:‫פתרון‬
)‫(א‬‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫את‬ ‫מצא‬R‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫ורשום‬ .
‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫כי‬ ‫נתון‬AB‫ל‬ ‫שווה‬ ,‫המעגל‬ ‫קוטר‬ ‫שהוא‬ ,-10,‫ס"מ‬
‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫לכן‬‫מהקוטר‬ ‫חצי‬‫הוא‬10:2 5
‫היא‬ ‫המעגל‬ ‫שמשוואת‬ ‫ומכאן‬2 2
( 7) 25x y  .
)‫(ב‬‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫ו‬–B.
25)0()7(
0
25)7(
22
22



x
y
yx
)0,12()0,2(
1275
275
75
257
25)7(
2,1
2,1
2,1
2
BA
x
x
x
x
x





5)0,7(
25)7( 22


RM
yx

  222
7 Ryx 
x
y
B


A

M
C

  222
7 Ryx 
x
y
B


A

M
C
 0,2  0,12
 0,7

52
52
‫(ג‬‫הישר‬ ‫כי‬ ‫נתון‬ )13
4
 xy‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬C.
(1‫הנקודות‬ ‫דרך‬ ‫העובר‬ ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )C‫ו‬–M.
(2‫נקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )C.
(2‫הנקודה‬ ‫דרך‬ )C‫ה‬ ‫לציר‬ ‫המקביל‬ ‫ישר‬ ‫העבירו‬–y
‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫וחותך‬D‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .CDB.
()‫א‬5R,25)7( 22
 yx)‫(ב‬)0,12()0,2( BA
‫(ג‬1))3,3(C‫(ג‬2))‫(ד‬27CDBS
‫שיפוע‬CM
4
3
3
4
 CM‫משיק‬ mm
‫משוואת‬MC
4
1
4
3
4
3
4
3
11
5
)7(0
)0,7(
)(




xy
xy
m
xxmyy
27
2
69
2





CDBCDB
a
SS
ha
S
‫נקודה‬C
3
26
15
15
12
1
4
1
3
4
4
3
4
1
3
4
4
1
4
3





x
x
xx
xx
yy ‫משיק‬CM
)3,3(
3
1)3(
3
1
3
4
3
4
C
y
y
x
xy




 0,2
 0,12
 0,7

  222
7 Ryx 
x
y
B


A

M
C
D

 3,3 
 3,3
‫נקודה‬D.
25)73(
3
25)7(
22
22



y
x
yx
)3,3()3,3(
3
9
1625
2,1
2




DC
x
y
y

53
53
‫שאלה‬‫מספר‬3:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫נובמבר‬ ‫מועד‬2333‫תשס"ה‬
‫המעגל‬ ‫נתון‬20)7()4( 22
 yx
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫המעגל‬–y‫בשתי‬‫הנקודות‬A‫ו‬–B
.‫א‬‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫ו‬–B.
‫הישר‬xy 2
1
‫בנקודה‬ ‫הנתון‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬C.
.‫ב‬‫ההשקה‬ ‫נקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬C
.‫ג‬‫דרך‬ ‫העובר‬ ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬‫ה‬‫נקודה‬C‫ה‬ ‫לציר‬ ‫ומקביל‬–x.
:‫פתרון‬
(‫א‬)‫שיעו‬ ‫את‬ ‫מצא‬‫הנקודות‬ ‫רי‬A‫ו‬–B.
(‫ב‬)‫הישר‬xy 2
1
‫בנקודה‬ ‫הנתון‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬C.
‫ההשקה‬ ‫נקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬C
20)7()40(
0
20)7()4(
22
22



y
x
yx
)5,0()9,0(
972
572
72
47
1620)7(
2,1
2,1
2,1
2
BA
y
y
y
y
y





20)7,4(
20)7()4( 22


RM
yx
‫שיפוע‬CM
22
1
 CM‫משיק‬ mm
‫הופכי‬ ‫שיפוע‬‫נגדי‬
‫משוואת‬MC
152
782
)4(27
2)7,4(
)( 11





xy
xy
xy
m
xxmyy
    2074
22
 yx
x
y

A
B
C
‫נקודה‬C
6
215
215
152
2
1
2
1
2
1





x
x
xx
xx
yy ‫משיק‬CM
)3,6(
3
)6(
6
2
1
2
1
C
y
y
x
xy




M

    2074
22
 yx
x
y

A
B
C
 9,0
 7,4
 5,0
M


54
54
(‫ג‬)‫נקודה‬ ‫דרך‬ ‫העובר‬ ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬C‫ה‬ ‫לציר‬ ‫ומקביל‬–x.
)‫(א‬)5,0()9,0( BA)‫(ב‬)3,6(C)‫(ג‬3y
‫משוואת‬‫ישר‬
3
)6(03
0)3,6(
)( 11




y
xy
m
xxmyy
    2074
22
 yx
x
y

A
B
C
 9,0
 7,4
 5,0
M

 3,6

55
55
‫שאלה‬‫מספר‬6:‫בגרות‬ ‫מבחן‬30303‫מועד‬'‫א‬‫קיץ‬‫תשס‬‫"ט‬
‫נקודה‬M‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫היא‬
‫שמשוואתו‬25)4()3( 22
 yx.
‫בנקודה‬)8,6( A. ‫למעגל‬ ‫משיק‬ ‫מעבירים‬
‫את‬ ‫חותך‬ ‫המשיק‬‫ה‬ ‫ציר‬–y‫בנקודה‬B
‫ציור‬ ‫(ראה‬)
.‫א‬‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AM
.‫ב‬.‫המשיק‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
.‫ג‬‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ABM.
:‫פתרון‬
(‫א‬)‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AM
(‫ב‬).‫המשיק‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
5)4,3(
25)4()3( 22


RM
yx
4
3
3
4
 ‫משיק‬MA mm
‫משוו‬‫את‬MA
xy
xy
xy
m
xxmyy
3
4
3
4
3
4
3
4
11
88
)6(8
)8,6(
)(





‫שיפוע‬MA
3
4
3
4
)3()6(
)4()8(
),(),(
)8,6()4,3(
12
12
2211










MA
MA
m
m
xx
yy
m
yxyx
AM
‫משוואת‬‫המשיק‬
5.12
85.4
)6(8
)8,6(
)(
3
4
4
3
4
3
4
3
11





xy
xy
xy
m
xxmyy
 8,6 
M

    2543
22
 yx
x
y


A
B

56
56
(‫ג‬)‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ABM.
)‫(א‬xy 3
4
)‫(ב‬2
1
4
3
12 xy)‫(ג‬75.18ABMS
‫נקודה‬B
)5.12,0(
5.12
5.12)0(
0
5.12
3
4
3
4





B
y
y
x
xy
‫מרחק‬AB
5.7
)85.12()60(
)()(
)5.12,0()8,6(
222
2
12
2
12
2




d
d
yyxxd
BA
75.18
2
55.7
2





ABMABM
a
SS
ha
S
 8,6 
M

    2543
22
 yx
x
y


A

B 5.12,0 
 4,3 
5
5.7

57
57
‫שאלה‬‫מספר‬7.‫בגרות‬ ‫מבחן‬30803‫מועד‬‫קיץ‬ '‫א‬‫תש‬‫ע"א‬2311.
‫המעגל‬169)3( 22
 yx‫החלק‬ ‫את‬ ‫חותך‬
‫ה‬ ‫ציר‬ ‫של‬ ‫החיובי‬–y‫בנקודה‬A.
B‫ו‬–C‫ש‬ ‫כך‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫נקודות‬ ‫הן‬–BC
‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקביל‬–x.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
‫כי‬ ‫נתון‬)8,12( C
)‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .)‫א‬A‫ו‬–B.
‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫חשב‬ .)‫(ב‬BC.
‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ .)‫(ג‬ABC.
(‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫המשיק‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .)‫ד‬A.
:‫פתרון‬
‫(א‬)‫הנקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬A‫ו‬–B.
‫(ב‬‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫חשב‬ )BC.
)‫(ג‬‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬ABC.
‫נקודה‬A
169)3()0(
0
169)3(
22
22



y
x
yx
)0,13()0,10(
10313
16313
313
1693
169)3(
2,1
1
2,1
2






A
y
y
y
y
y
‫נקודה‬B
169)38(
8
169)3(
22
22



x
y
yx
)8,12()8,12(
12
12
12
144
25169
2
1
2,1
2






CB
x
x
x
x
x
‫מרחק‬BC
24
)88()1212(
)()(
),(),(
)8,12()8,12(
222
2
12
2
12
2
2211




d
d
yyxxd
yxyx
BC
216
2
1824
2





ABCABC
a
SS
ha
S
 8,12 
    1693
22
 yx
x
y


A
 B
M 
C
 8,12 
    1693
22
 yx
x
y


A
 B
M 
C
 8,12 
 10,0
24
18

58
58
)‫(ד‬‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫המשיק‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬A.
‫לנקודה‬ ‫משיק‬A‫השיפ‬ ‫משמעות‬‫וע‬0=m
)‫(א‬)10,0()8,12( AB )‫(ב‬24BCd
)‫(ג‬216ABCS)‫(ד‬10y
‫משוואת‬‫ל‬ ‫משיק‬-A
10
)0(010
0)10,0(
)( 11




y
xy
m
xxmyy
 8,12 
    1693
22
 yx
x
y


A
 B
M 
C
 8,12 
 10,0
24
18

59
59
‫שאלה‬‫מספר‬8‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מועד‬‫נובמבר‬‫תש‬"‫ע‬2313
‫מנקודה‬F‫למ‬ ‫מחוץ‬ ‫הנמצאת‬‫יוצאים‬ ‫עגל‬
‫שמרכזו‬ ‫למעגל‬ ‫משיקים‬ ‫שני‬M.
‫בנקודה‬ ‫המשיק‬ ‫משוואת‬)7,0(A:‫היא‬73
1
 xy
‫בנקודה‬ ‫המשיק‬ ‫ומשוואת‬)1,8( B:‫היא‬253  xy)‫ציור‬ ‫(ראה‬
)‫(א‬‫נקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬F.
()‫(ב‬1)‫של‬ ‫השיפוע‬ ‫את‬ ‫מצא‬MA‫של‬ ‫השיפוע‬ ‫ואת‬MB.
(2)‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬M.
()‫(ג‬1)‫שט‬ ‫את‬ ‫חשב‬‫המשולש‬ ‫ח‬AMF.
(2)‫הדלתון‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬AMBF.
:‫פתרון‬
)‫(א‬‫נקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬F.
‫(ב‬1)‫של‬ ‫השיפוע‬ ‫את‬ ‫מצא‬MA‫של‬ ‫השיפוע‬ ‫ואת‬MB.
(‫ב‬2)‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬M.
‫שיפוע‬MA
33
1
 AMFA mm
‫שיפוע‬MB
3
1
3  AMFB mm
‫משוואת‬MA
73
)0(37
3)7,0(
)( 11




xy
xy
m
xxmyy
‫משוואת‬MB
3
2
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
11
1
12
)8(1
)1,8(
)(





xy
xy
xy
m
xxmyy
‫נקודה‬F
12
322
7253
7253
3
2
3
1
3
1





x
x
xx
xx
yy AFBF
)11,12(
11
25)12(3
12
253
F
y
y
x
xy




‫נקודה‬M
2
52
173
173
3
1
3
2
3
2
3
1
3
2
3
1





x
x
xx
xx
yy MBMA
)1,2(
1
7)2(3
2
73
M
y
y
x
xy




 1,8 
x
y

A

B
M 
F
 7,0

60
60
‫(ג‬1)‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬AMF.
(‫ג‬2)‫הדלתון‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫חשב‬AMBF.
:‫הוא‬ ‫הדלתון‬ ‫שטח‬ ‫לכן‬ ‫המשולשים‬ ‫משני‬ ‫מורכב‬ ‫הדלתון‬
)‫(א‬)11,12(F‫(ב‬1)3Am3
1
Bm‫(ב‬2))1,2(M
‫(ג‬1)40AMFS‫(ג‬2)80AMBFS
‫מרחק‬AF
160
)711()012(
)()(
),(),(
)11,12()7,0(
222
2
12
2
12
2
2211



d
d
yyxxd
yxyx
FA
‫מרחק‬AM
40
)71()02(
)()(
),(),(
)1,2()7,0(
222
2
12
2
12
2
2211



d
d
yyxxd
yxyx
MA
‫המשולש‬ ‫שטח‬AMF.
40
2
40160
2





AMF
AMF
a
S
S
ha
S
‫הדלתון‬ ‫שטח‬AMBF.
804040 

AMBF
BMFAMFAMBF
S
SSS
 1,8 
x
y

A

B
M 
F
 7,0
 11,12
 1,2
 1,8 
x
y

A

B
M 
F
 7,0
 11,12
 1,2

61
61
‫מספר‬ ‫שאלה‬9:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫תשע"א‬ ‫ברק‬ /‫חצב‬ ‫מועד‬2011.
‫הישר‬83
4
 xy‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫חותך‬–x‫בנקודה‬A‫ה‬ ‫ציר‬ ‫ואת‬–y‫בנקודה‬B.
‫הקטע‬AB.‫המעגל‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬
( .)‫(א‬1)‫מצא‬‫שיעורי‬ ‫את‬‫הנקודות‬A‫ו‬–B‫של‬ ‫הנקודה‬ ‫שעורי‬ ‫ואת‬.‫המעגל‬ ‫מרכז‬
(2.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )
.‫הצירים‬ ‫ראשית‬ ‫דרך‬ ‫עובר‬ ‫שהמעגל‬ ‫הראה‬ .)‫(ב‬
.‫הצירים‬ ‫בראשית‬ ‫למעגל‬ ‫המשיק‬ ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .)‫(ג‬
.
:‫פתרון‬
‫(א‬1‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )
(‫א‬2).‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫נקודה‬A
)0,6(
8
80
0
8
3
4
3
4
3
4





A
x
x
y
xy
‫נקודה‬B
)8,0(
8
8)0(
0
8
3
4
3
4
B
y
y
x
xy




R
25
)84()03(
)()(
),(),(
)4,3()8,0(
22
222
2
12
2
12
2
2211




dR
d
yyxxd
yxyx
MB
25)4()3(
)()(
25)4,3(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
‫נקודה‬M
3
2
06
2
21





M
M
M
x
x
xx
x
4
2
80
2
21





M
M
M
y
y
yy
y
)4.3(M
 
)0,6( ),( MM yx )8,0(
CMA
 0,0
x
y


A
B
M 


62
62
)‫(ב‬.‫הצירים‬ ‫ראשית‬ ‫דרך‬ ‫עובר‬ ‫שהמעגל‬ ‫הראה‬
)‫(ג‬.‫הצירים‬ ‫בראשית‬ ‫למעגל‬ ‫המשיק‬ ‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫תשובות‬:
‫(א‬1))0,6()8,0()4,3(  BAM‫(א‬2)25)4()3( 22
 yx
)‫(ב‬25)40()30( 22
)‫(ג‬xy 4
3

2525
25)40()30(
)0,0(
25)4()3(
22
22


 yx
‫שיפוע‬MO
3
4
3
4
)3()0(
)4()0(
),(),(
)0,0()4,3(
12
12
2211










MA
MA
m
m
xx
yy
m
yxyx
OM
‫משוואת‬‫משיק‬
xy
xy
m
xxmyy
4
3
4
3
4
3
11
)0(0
)0,0(
)(




4
3
3
4
 ‫משיק‬MA mm
 0,0
x
y


A
B
M 

 8,0
 0,6
    2543
22
 xx
 4,3

63
63
‫שאלה‬‫מספר‬13:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫מועד‬‫פברואר‬2312.
‫ריבוע‬ ‫מתואר‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬ABCD
‫הצלעות‬ ‫שבו‬AB‫ו‬-DC‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקבילות‬–x,
‫הצלע‬BC‫ה‬ ‫ציר‬ ‫על‬ ‫מונחת‬–y‫והצלע‬ ,AD‫ה‬ ‫לציר‬ ‫מקבילה‬–y.
‫הוא‬ ‫הריבוע‬ ‫צלע‬ ‫של‬ ‫האורך‬6‫ה‬ ‫ושיעור‬ ,–y‫הנקודה‬ ‫של‬A‫הוא‬2-.
( )‫(א‬1)‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬A,B,C‫ו‬-D.
(2)‫הנקודה‬M, ‫הריבוע‬ ‫אלכסוני‬ ‫של‬ ‫המפגש‬ ‫נקודת‬ ‫היא‬
‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬M.
)‫(ב‬.‫הריבוע‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
)‫(ג‬(1)‫הישר‬NC‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬C‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ ,NC.
(2)‫הישר‬ND‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬D‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ ,ND.
)‫(ד‬‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬CND.
:‫פתרון‬
‫(א‬1‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )A,B,C‫ו‬-D.
‫הוא‬ ‫הריבוע‬ ‫צלע‬ ‫אורך‬6‫לצירים‬ ‫מקבילות‬ ‫והצלעות‬
‫לכן‬6 BA xx‫נתון‬ ‫ואילו‬2 BA yy
:‫הם‬ ‫הנקודות‬)4,0()4,6()2,0()2,6( CDBA 
(‫א‬2)‫הנקודה‬M‫הנקודה‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫,מצא‬ ‫הריבוע‬ ‫אלכסוני‬ ‫של‬ ‫המפגש‬ ‫נקודת‬ ‫היא‬M.
)‫(ב‬‫הריבו‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬.‫ע‬
R
18
)41()03(
)()(
),(),(
)1,3()4,0(
22
222
2
12
2
12
2
2211



dR
d
yyxxd
yxyx
MC
18)1()3(
)()(
18)1,3(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
‫נקודה‬M
3
2
)6()0(
2
21





M
M
M
x
x
xx
x
1
2
)2()4(
2
21





M
M
M
y
y
yy
y
)1.3(M
 
11,
)2,6(
yx
 ),( MM yx
22 ,
)4,0(
yx
CMA
6
 2,6 
x
y

C
B
M 

 D
A
6
6
6 2,0 
 4,0  4,6
 1,3
N

64
64
‫(ג‬1)‫הישר‬NC‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬C‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ ,NC.
(‫ג‬2)‫הישר‬ND‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬D‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ ,ND.
)‫(ד‬‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬CND.
‫ת‬:‫סופית‬ ‫שובה‬
‫(א‬1))2,6()2,0(,)4,0(,)4,6(  ABCD‫(א‬2))1,3(M
)‫(ב‬18)1()3( 22
 yx‫(ג‬1)41  xyNC
‫(ג‬2)101  xyND
)‫(ד‬9CNDS
‫שיפוע‬MC
1
3
3
30
14
),(),(
)4,0()1,3(
12
12
2211









MC
MC
m
m
xx
yy
m
yxyx
CM
‫משוואת‬‫משיק‬NC
41
)0(14
1)4,0(
)( 11




xy
xy
m
xxmyy
‫שיפוע‬‫משיק‬NC
11  ‫משיק‬MC mm
‫שיפוע‬MD
1
3
3
36
14
),(),(
)4,6()1,3(
12
12
2211








MD
MD
m
m
xx
yy
m
yxyx
DM
‫משוואת‬‫משיק‬ND
101
461
)6(14
1)4,6(
)( 11





xy
xy
xy
m
xxmyy
‫שיפ‬‫וע‬‫משיק‬ND
11  ‫משיק‬MD mm
9
2
36
2





CND
CND
a
S
S
ha
S
‫נקודה‬N
3
62
10411
41101





x
x
xx
xx
yy NCND
)7,3(
7
4)3(1
3
41
N
y
y
x
xy




N
6
 2,6 
x
y

C
B
M 

 D
A
6
6
6 2,0 
 4,0  4,6
 1,3
N
6
 2,6 
x
y

C
B
M 

 D
A
6
6
6 2,0 
 4,0  4,6
 1,3
 7,3

65
65
‫שאלה‬‫מספר‬11:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03330‫נובמבר‬ ‫מועד‬2311
‫מלבן‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬ABCD.‫לצירים‬ ‫מקבילות‬ ‫שצלעותיו‬
.‫כי‬ ‫נתון‬)2,1()1,9(  AC.
‫המלבן‬ ‫צלע‬AB‫בנקודה‬ ‫שמרכזו‬ ‫המעגל‬ ‫של‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬M.
‫הצלע‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫המעגל‬DC‫בנקודות‬E‫ו‬–F)‫ציור‬ ‫ראה‬ (
‫נקודה‬ ‫דרך‬F‫ה‬ ‫ציר‬ ‫את‬ ‫החותך‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬ ‫העבירו‬-y‫בנקודה‬H.
( )‫(א‬1)‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬B‫ו‬–D.
(2).‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
.)‫(ב‬(1)‫מ‬‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫צא‬E‫ו‬F.
(2)‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫המשיק‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬F.
)‫(ג‬‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .EFH.
:‫פתרון‬
(‫א‬1‫הנקודות‬ ‫שיעורי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )B‫ו‬–D.
: ‫הם‬ ‫הנקודות‬)1,1()2,9( DB
(‫א‬2).‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
R
25
)22()94(
)()(
),(),(
)2,4()2,9(
22
222
2
12
2
12
2
2211



dR
d
yyxxd
yxyx
MB
25)2()4(
)()(
25)2,4(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
‫נקודה‬M
4
2
91
2
21





M
M
M
x
x
xx
x
2
2
22
2
21





M
M
M
y
y
yy
y
)2.4(M
 
11,
)2,1(
yx
 ),( MM yx
22 ,
)2,9(
yx
BMA
x
y


C
M



D
F  1,9 
 2,1
E
H
A B


66
66
‫ב‬1‫שיע‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )‫הנקודות‬ ‫ורי‬E‫ו‬F.
‫(ב‬2)‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫המשיק‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬F.
(‫ג‬).‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬EFH.
)‫(א‬)2,9()1,1( BD ‫(א‬2)25)2()4( 22
 yx
‫(ב‬1))1,8()1,0(  FE‫(ב‬2)3
2
3
4
11 xy)‫(ג‬3
2
42EFHS
‫נקודות‬EF
25)21()4(
1
25)2()4(
22
22



x
x
yx
)1,8()1,0(
044
844
44
164
925)4(
2,1
1
2,1
2






FE
x
x
x
x
x
‫שיפוע‬MF
4
3
4
3
)4()8(
)2()1(
),(),(
)1,8()2,4(
4
3
12
12
2211











MF
MF
m
m
xx
yy
m
yxyx
FM
‫משוואת‬‫משיק‬HF
3
2
3
4
3
2
3
4
3
4
3
4
11
11
110
)8(1
)1,8(
)(





xy
xy
xy
m
xxmyy
‫שיפוע‬‫משיק‬HF
3
4
4
3
 ‫משיק‬MF mm
‫נקודה‬F
)11,0(
11
11)0(
0
11
3
2
3
2
3
2
3
4
2
2
3
4





F
y
y
x
xy
3
2
3
2
42
2
810
2





EFH
EFH
a
S
S
ha
S
)1,9( 
)2,1( )2,9(
)1,1( 
)2,4(
25)2()4,( 22
 yx
)1,8( )1,0( 
)11,0( 3
2

x
y


C
M



D FE
H
A B
 8
3
2
10

67
67
‫שאלה‬‫מספר‬12:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫מועד‬‫גנוז‬‫קיץ‬2311
‫שמרכזו‬ ‫מעגל‬ ‫נתון‬M‫הישר‬ ‫על‬ ‫נמצא‬x=3.
‫הישר‬xy 4
3
)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ‫הצירים‬ ‫בראשית‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬
( .‫א‬1)‫של‬ ‫השיפוע‬ ‫את‬ ‫מצא‬MO.
(2)‫של‬ ‫המשוואה‬ ‫את‬ ‫מצא‬MO.
(0)‫השיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬‫הנקודה‬ ‫של‬ ‫ים‬M.
.‫ב‬.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
.‫ג‬‫הישר‬3=x‫נקודות‬ ‫בשתי‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬B‫ו‬–C.)‫ציור‬ ‫ראה‬ (
(1)‫הקטע‬ ‫של‬ ‫האורך‬ ‫את‬ ‫מצא‬BC.
(2)‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬OBC.
:‫פתרון‬
(‫א‬1‫של‬ ‫השיפוע‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )MO.
(‫א‬2‫המשוואה‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )‫של‬MO.
(‫א‬0‫הנקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )M.
(‫ב‬)..‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫משוואת‬MO
xy
xy
m
xxmyy
3
4
3
4
3
4
11
)0(0
)0,0(
)(




‫שיפוע‬‫משיק‬MO
3
4
4
3
 MO‫משיק‬ mm
‫נקודה‬M
)4,3(
4
)3(
3
3
4
3
4





M
y
y
x
xy
R
25
)04()03(
)()(
),(),(
)4,3()0,0(
22
222
2
12
2
12
2
2211




dR
d
yyxxd
yxyx
MO ‫המעגל‬ ‫משוואת‬
25)4()3(
)()(
25)4,3(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
3x x
y
M
o
25)4()3,( 22
 yx
3x x
y
M
o
)4,3( 
B
C
C
B

68
68
(‫ג‬).‫הישר‬0=x‫נקודות‬ ‫בשתי‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬B‫ו‬–C.)‫ציור‬ ‫ראה‬ (
(‫ג‬1‫הקטע‬ ‫של‬ ‫האורך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )BC.
(‫ג‬2)‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬OBC.
‫(א‬1.)
3
1
1MOm(‫א‬2.)xy
3
1
1(‫א‬0.))4,3( M
(‫ב‬.)25)4()3( 22
 yx‫(ג‬1)10BCd(‫ג‬2.)15OBCS
‫נקודות‬BC
25)4()33(
3
25)4()3(
22
22



y
x
yx
)9,3()1,3(
145
945
45
254
25)4(
2,1
2,1
2,1
2






CB
y
y
y
y
y
‫מרחק‬BC
10
)19()33(
)()(
),(),(
)9,3()1,3(
222
2
12
2
12
2
2211




BCd
d
yyxxd
yxyx
CB
15
2
310
2





OBCOBC
a
SS
ha
S
25)4()3,( 22
 yx
3x x
y
M
o
)4,3( 

C
B


69
69
‫מספר‬ ‫שאלה‬10:‫בגרות‬ ‫מבחן‬03830‫מועד‬‫קיץ‬ '‫א‬2313. ‫תש"ע‬
‫הנקודה‬)3.4(M‫הקטע‬ ‫אמצע‬ ‫היא‬AB)‫ציור‬ ‫(ראה‬
‫ה‬ ‫שיעור‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬B‫הוא‬6.
(‫א‬).(1)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬x‫הנקודה‬ ‫של‬A.
(2)‫הנקודה‬A‫שמשוואתו‬ ‫הישר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬xy 2
‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬–y‫של‬A.
(0)‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬–y‫של‬B.
‫ב‬‫הנקודות‬ ‫דרך‬ .A‫ו‬–B.‫מעגל‬ ‫עובר‬ , ‫שיעוריהן‬ ‫את‬ ‫שמצאת‬
‫הקטע‬AB.) ‫ציור‬ ‫ראה‬ ( ‫זה‬ ‫במעגל‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬
.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫ג‬‫שמשוואתו‬ ‫הישר‬ ‫כי‬ ‫הראה‬ .xy 2‫חותך‬‫רק‬ ‫המעגל‬ ‫את‬
)‫למעגל‬ ‫משיק‬ ‫הישר‬ ‫כלומר‬ ( ‫אחת‬ ‫בנקודה‬
‫ד‬‫הישר‬ .6x‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬B
‫נוספת‬ ‫ובנקודה‬C‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AC.
:‫פתרון‬
( ‫הנקודה‬0,4)M‫הקטע‬ ‫אמצע‬ ‫היא‬AB‫ה‬ ‫שיעור‬ )‫ציור‬ ‫(ראה‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬B‫הוא‬6.
(‫א‬1)‫שיע‬ ‫את‬ ‫מצא‬‫ה‬ ‫ור‬x‫הנקודה‬ ‫של‬A.
‫(א‬2‫הנקודה‬ )A‫שמשוואתו‬ ‫הישר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬xy 2‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬–y‫של‬A.
(0‫ה‬ ‫שיעור‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )–y‫של‬B.
‫נקודה‬A
)4,2(
4)2(2
2
2
A
y
x
xy



‫נקודה‬A
2
68
2
6
4
2
1
1
1
21






x
x
x
xx
xM
).2( yA
 
11, yx MM yx ,
)3,4(
22 ,
),6(
yx
y
BMA
‫נקודה‬B
2
46
2
4
3
2
2
2
2
21






y
y
y
yy
yM
)2.6(B
 
11,
)4,2(
yx MM yx ,
)3,4(
22 ,
),6(
yx
y
BMA
)3,4(
x
M


o
B

A
),6( y
y

70
70
‫ב‬.‫הנקודות‬ ‫דרך‬A‫ו‬–B.‫מעגל‬ ‫עובר‬ ‫שיעוריהן‬ ‫את‬ ‫שמצאת‬‫הקטע‬AB‫זה‬ ‫במעגל‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬
‫רא‬ (.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫).מצא‬ ‫ציור‬ ‫ה‬
‫ג‬.‫שמשוואתו‬ ‫הישר‬ ‫כי‬ ‫הראה‬xy 2‫אחת‬ ‫בנקודה‬ ‫רק‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬
)‫למעגל‬ ‫משיק‬ ‫הישר‬ ‫כלומר‬ (
‫ד‬.‫הישר‬6=x‫המ‬ ‫את‬ ‫חותך‬‫בנקודה‬ ‫עגל‬B‫נוספת‬ ‫ובנקודה‬C‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬AC.
(‫א‬))2,6()4,2( BA(‫ב‬)  5)3(4 22
 yx(‫ג‬)‫הוכחה‬(‫ד‬)4)4,6( ACyC
‫מציאת‬‫המעגל‬ ‫רדיוס‬2
R
5
)43()24(
)()(
),(),(
)3,4()4,2(
22
222
2
12
2
12
2
2211



dR
d
yyxxd
yxyx
MB
5)3()4(
)()(
5)3,4(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
‫אחת‬ ‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫את‬ ‫חותך‬
2
10
020
52
2054400)20(
020205
5)9124()168(
5)32()4(
2
5)3()4(
2,1
2
222
22
22











x
x
x
xx
xxxx
xx
xy
yx
‫נקודה‬C
)4,6(
24
431
231
31
113
5)3(4
5)3()46(
6
5)3()4(
21
2
22
22
C
yy
y
y
y
y
y
y
x
yx









4
)4,6()4,2(


y
CA
)3,4(
x
M


o
B

A
)2,6(
y
)4,2(
5)3()4,( 22
 yx
C )4,6(

71
71
‫שאלה‬‫מספר‬14:‫בגרות‬ ‫מבחן‬30803‫אוגוסט‬ ‫חצב/ברק‬2312‫תשע"ב‬
‫שמרכזו‬ ‫מעגל‬ ‫נתון‬ ‫שלפניך‬ ‫בציור‬M‫הנקודה‬ ‫דרך‬ .)3,6( A
‫שמשוואתו‬ , ‫למעגל‬ ‫משיק‬ ‫העבירו‬ ‫המעגל‬ ‫שעל‬92  xy
‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )‫(א‬AM.
‫ה‬ ‫ערך‬ ‫כי‬ ‫נתון‬ )‫(ב‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬M‫ה‬ ‫לערך‬ ‫שווה‬–y.‫שלה‬
)‫(ג‬1.‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .
2.‫המעגל‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .
‫פתרון‬
‫הישר‬ ‫משוואת‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )‫(א‬AM.
‫ה‬ ‫ערך‬ ‫כי‬ ‫נתון‬ )‫(ב‬–x‫הנקודה‬ ‫של‬M‫ה‬ ‫לערך‬ ‫שווה‬–y.‫שלה‬
‫(ג‬1.‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )‫(ג‬2).‫משווא‬ ‫את‬ ‫מצא‬.‫המעגל‬ ‫ת‬
)‫(א‬62
1
 xyAM
)‫(ב‬)4,4( M‫(ג‬1)552
 RR
‫(ג‬2)5)4()4( 22
 yx
‫משוואת‬MA
6
33
)6(3
)3,6(
)(
2
1
2
1
2
1
2
1
11





xy
xy
xy
mA
xxmyy
‫שיפוע‬‫הרדיוס‬MA
2
1
2  MA‫משיק‬ mm
‫נקודה‬M
)4,4(
4
61
6
6
2
1
2
1
2
1






M
x
x
xx
xy
xy
R
5
)34()64(
)()(
),(),(
)4,4()3,6(
22
222
2
12
2
12
2
2211




dR
d
yyxxd
yxyx
MA
5)4()4(
)()(
5)4,4(
22
222
2



yx
Rbyax
RM
)3,6( 
x
M



A
y

פרק 3ב גיאומטריה אנליטית מעגל

More Related Content

What's hot

Similar to פרק 3ב גיאומטריה אנליטית מעגל

More from telnof

פרק 3ב גיאומטריה אנליטית מעגל