Thepsatri Rajabhat University, profile picture
Uploaded byThepsatri Rajabhat University
PPTX, PDF62,159 views

บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน ทอร์ก และโมเมนต์ความเฉื่อยการเคลื่อนที่แบบหมุน โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหนุน โมเมนตัมเชิงมุม และอัตราการเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุม การเคลื่อนที่ทั้งแบบเลื่อนที่ และแบบหมุน

Downloaded 836 times
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน อ.ณภัทรษกร สารพัฒน์อ.ณภัทรษกร สารพัฒน์ สาขาวิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏเทพสตรี ลพบุรี
• ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน • ทอร์ก และโมเมนต์ความเฉื่อยการเคลื่อนที่แบบหมุน • โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร • พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหนุน • โมเมนตัมเชิงมุม และอัตราการเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุม • การเคลื่อนที่ทั้งแบบเลื่อนที่ และแบบหมุน หัวข้อบรรยาย
3 การเคลื่อนที่แบบหมุน และ แบบกลิ้ง ( Rotational and rolling motion) • เมื่อวัตถุเช่น ล้อหมุนรอบแกนของมัน การเคลื่อนที่ ของมันไม่สามารถวิเคราะห์โดยถือให้วัตถุเป็น อนุภาคได้เนื่องจาก ณ เวลาหนึ่ง ส่วนต่าง ๆ ของ วัตถุจะมีความเร็ว และความเร่งต่างกันด้วยเหตุนี้ จึงเป็นการสะดวกที่จะพิจารณาวัตถุเหล่านี้คล้าย กับว่ามันคืออนุภาคจานวนมาก ซึ่งอนุภาคแต่ละ ตัวจะมีความเร็วและความเร่งเฉพาะตัว
4 การเคลื่อนที่แบบหมุน และ แบบกลิ้ง ( Rotational and rolling motion) • ในบทนี้จะถือว่าการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง รอบแกนที่ อยู่กับที่ คือ การเคลื่อนที่แบบหมุนบริสุทธิ์ ( pure rotational motion ) • การหมุนของวัตถุจะวิเคราะห์ได้ง่ายมากขึ้น โดย สมมุติให้วัตถุเป็น วัตถุแข็งเกร็ง (rigid object) ซึ่งคือ วัตถุที่ไม่สามารถเปลี่ยนรูปร่างได้หรืออาจ กล่าวได้ว่าระยะห่างของ อนุภาคทุกคู่คงที่
5 • 2p เรเดียน = 360o • 1 เรเดียน = 57.3o 𝑠 = 𝑟𝜃 หรือ 𝜃 = 𝑠 𝑟 • 𝐬 คือ การขจัดเชิงเส้น (the linear displacement) 𝑟 𝑟 𝑄 𝑦 𝑥 𝑆 𝜃 𝑃 • การกาหนดพิกัดของอนุภาคโดยใช้พิกัดเชิงขั้ว (r,q) 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
6 𝑟 𝑟 𝑄 𝑦 𝑥 𝑆 𝜃 𝑓 𝑃 ∆𝜃 = 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 • Dq คือ การขจัดเชิงมุม (the angular displacement) เมื่อ i = initial และ f = final • อนุภาคบนวัตถุแข็งเกร็ง ที่กาลังหมุนเคลื่อนที่จากจุด P ไปยังจุด Q ตามแนวเส้น โค้งในช่วงเวลา Dt = tf-ti เวคเตอร์รัศมีกวาดเป็นมุม Dq = qf- qi 𝜃 𝑖 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
7 𝑟 𝑟 𝑄 𝑦 𝑥 𝑆 ∆𝜃 𝑃 𝜔 = ∆𝜃 ∆𝑡 = 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 • ω คือ อัตราส่วนของการกระจัดเชิงมุมต่อ ช่วงเวลา (the angular speed ) เมื่อ i = initial และ f = final • เรานิยามอัตราเร็วเชิงมุมเฉลี่ย ( the average angular speed : 𝜔 “omega bar ”) 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
8 𝑟 𝑟 𝑄 𝑦 𝑥 𝑆 ∆𝜃 𝑃 𝜔 = lim ∆𝑡→0 ∆𝜃 ∆𝑡 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 • อัตราเร็วเชิงมุมบัดดล (instantaneous angular speed) w คือ ลิมิตของอัตราส่วนของการขจัดเชิงมุมต่อช่วงเวลา Dt เมื่อ Dt เข้าสู่ ศูนย์ • w มีหน่วยเป็น rad/s หรือ s-1 เนื่องจาก radian ไม่มีมิติหน่วย 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
𝜔 𝜔 • w มีค่าเป็นบวกเมื่อ q มีค่าเพิ่มขึ้น (การเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา) • w มีค่าเป็นลบเมื่อ q มีค่าลดลง ( การเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกา) 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
10 𝑟 𝑟 𝑄 𝑦 𝑥 𝑆 ∆𝜃 𝑃 • อัตราเร่งเชิงมุมเฉลี่ย (the average angular acceleration : a ) คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงอัตราเร็วเชิงมุม ต่อช่วงเวลา Dt • a มีหน่วยเป็น rad/s2 หรือ s-2 เนื่องจาก radian ไม่มีมิติหน่วย 𝛼 = ∆𝜔 ∆𝑡 = 𝜔 𝑓 − 𝜔𝑖 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
𝜔 𝛼 • 𝛼 มีทิศเดียวกับ 𝜔 เมื่อ หมุนเร็วขึ้นกว่าเดิม • 𝛼 มีทิศตรงข้าม 𝜔 เมื่อ หมุนช้าลงกว่าเดิม 7.1 การขจัดเชิงมุม ความเร็ว และความเร่ง (Angular Displacement Velocity and Acceleration) 𝜔 𝛼
• ในการศึกษาการเคลื่อนที่เชิงเส้น พบว่ารูปแบบที่ง่ายสาหรับการวิเคราะห์การ เคลื่อนที่อย่างมีอัตราเร่ง คือการกาหนดให้อัตราเร่งมีค่าคงที่ การเคลื่อนที่ เชิงมุมก็เช่นกัน 𝛼 ≡ คงที่ เช่นเดียวกับ 𝑎 ≡ คงที่ 𝜔 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน 𝑣
การเคลื่อนที่เชิงเส้น การเคลื่อนที่เชิงมุม 𝑣 = 𝑢 + 𝑎𝑡 𝜔 𝑓 = 𝜔𝑖 + 𝛼𝑡 𝑠 = 𝑢𝑡 + 1 2 𝑎𝑡 2 ∆𝜃 = 𝜔𝑖 𝑡 + 1 2 𝛼𝑡 2 𝑣2 = 𝑢2 + 2𝑎𝑠 𝜔 𝑓 2 = 𝜔𝑖 2 + 2𝛼(∆𝜃) 𝑠 = 𝑣 + 𝑢 2 𝑡 ∆𝜃 = 𝜔 𝑓 + 𝜔𝑖 2 𝑡 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
14 นายสดใสซ่อมจักรยาน และทดลองหมุนล้อจักรยานดังรูปพบว่าจุด ก มี ความเร็วเชิงมุม 20 เรเดียนต่อวินาที และเมื่อเวลาผ่านไป 4 วินาที จุด ก มี ความเร็วเชิงมุม 10 เรเดียนต่อวินาที จงหา ก) ขนาดความเร่งเชิงมุมของล้อจักรยาน ข) ในเวลา 4 วินาที หลังจากเริ่มหมุนล้อ จุด ก เคลื่อนที่ได้กี่รอบ และ กวาดมุมที่ศูนย์กลางได้กี่เรเดียน ค) ล้อหยุดหลังจากเริ่มหนุนในเวลาเท่าใด ตัวอย่าง
15 วงล้ออันหนึ่งมีการหมุนด้วยความเร่งเชิงมุมคงที่เท่ากับ 3.5 rad/s2 ถ้าอัตราเร็วเชิงมุมของวงล้อคือ 2.00 rad/s ณ เวลา ti = 0 จงหาว่า ก) เมื่อวงล้อหมุนไป ณ. เวลา t = 2 s วงล้อจะหมุนได้มุมเท่าไร ข) เมื่อวงล้อหมุนไป ณ. เวลา t = 2 s วงล้อจะมีอัตราเร็วเชิงมุม เท่าไร ตัวอย่าง
16 เฟือง A รัศมี 100 มิลลิเมตร ขบกับเฟือง B รัศมี 200 มิลลิเมตร ดังรูป ถ้า เฟือง A หมุนด้วย ความเร็ว wA = 10 เรเดียนต่อวินาที ตามเข็มนาฬิกา เฟือง B จะหมุนด้วย ความเร็ว wB = ? ตัวอย่าง A B wA = 10 rad/s wB = ?
17 ตามรูป นักขี่จักรยานถีบจักรยาน ทาให้จานหมุนหนึ่งรอบในเวลา 2 วินาที ถ้า จาน A, จาน B และล้อหลัง C มีรัศมี 10 เซนติเมตร , 2.5 เซนติเมตร และ 35 เซนติเมตรตามลาดับ จักรยานจะวิ่งด้วยอัตราเร็วเท่าใด ตัวอย่าง RA = 10 cm. RA = 2.5 cm. RC = 35 cm. T = 2 s
18 𝑟 𝑦 𝑥 𝑣 • พิจารณาจุด P บนวัตถุแข็งเกร็งซึ่งเคลื่อนที่เป็น วงกลม เวกเตอร์ความเร็วเชิงเส้นจะสัมผัสกับ เส้นทางการเคลื่อนที่วงกลมซึ่งเรียกว่าความเร็ว ในแนวเส้นสัมผัส (tangential velocity) ซึ่ง ขนาดของมันมีค่าเท่ากับอัตราเร็วในแนวเส้น สัมผัส 𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 เมื่อ s คือระยะทางที่จุด P เคลื่อนที่ได้ในเส้นทางการเคลื่อนที่แบบวงกลม มี ขนาด 𝑠 = 𝑟𝜃 โดยที่ r คือรัศมีซึ่งมีค่าคงที่จะ ได้ว่า 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
19 𝑟 𝑦 𝑥 𝑎 𝑟 𝑎 𝑡 𝑣𝑡 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝑟𝜔 • จากความสัมพันธ์ของการกระจัดเชิงเส้น และเชิงมุม คือ 𝑠 = 𝑟𝜃 ดังนั้น ความสัมพันธ์ของอัตราเร็ว เชิงมุม และอัตราเร็วเชิงเส้น ได้ดังนี้ • จากความสัมพันธ์ของอัตราเร็วเชิงเส้นและเชิงมุม คือ 𝑣 𝑡 = 𝑟𝜔 ดังนั้น ความสัมพันธ์ของอัตรา เร่งเชิงมุม และอัตราเร่งเชิงเส้น ได้ดังนี้ 𝑎 𝑡 = 𝑟 𝑑𝜔 𝑑𝑡 = 𝑟𝛼 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
20 𝑟 𝑦 𝑥 𝑎 𝑟 • ดังนั้นอัตราเร่งของวัตถุที่ P จะมีทั้งอัตราเร่งเข้าสู่ ศูนย์กลาง และ อัตราเร่งตามแนวสัมผัส สรุปได้ว่า • อัตราเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง • อัตราเร่งตามแนวสัมผัส 𝑎 𝑎 = 𝑎 𝑡 2 + 𝑎 𝑟 2 = 𝑟2 𝛼2 + 𝑟2 𝜔4 = 𝑟 𝛼2 + 𝜔4 𝑎 𝑡 𝑎 𝑡 = 𝑟 𝑑𝜔 𝑑𝑡 = 𝑟𝛼 𝑎 𝑟 = 𝑣2 𝑟 = 𝑟𝜔2 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
21 นักกีฬาขว้างจักรถือจักรห่างจากแกนหมุนรัศมี 80 ซม. นักกีฬาเริ่มหมุนด้วย ความเร็วเชิงมุม 10 เรเดียนต่อวินาที และความเร่งมุม 50 เรเดียนต่อวินาที ความเร่งของจักรที่นักกีฬาขณะนั้นเป็นเท่าใด ตัวอย่าง 𝑎 𝑟 𝑎 𝑎 𝑡
22 บนแผ่น CD ข้อมูลของเสียงจะถูกบันทึกลงในร่องและผิวเรียบบน CD ในรูป ของเลขฐานสองเมื่อมีการอ่านโดยเครื่องเล่น CD ข้อมูลจะถูกแปลกลับไปเป็น คลื่นเสียง ร่องและพื้นที่เรียบที่มีความยาวเท่ากันจะถูกอ่านโดยเลเซอร์และ เลนส์ เพื่อให้เวลาในการอ่านสัญญาณแต่ละสัญญาณมีค่าเท่ากันทั่วทั้งแผ่น ๆ อัตราเร็วเชิงเส้นของแผ่น ณ ตาแหน่งที่ผ่านเลเซอร์ จะต้องมีค่าคงที่ ดังนั้น อัตราเร็วเชิงมุมจะต้องมีค่าเปลี่ยนไปเมื่อระบบเลเซอร์มีการเปลี่ยนตาแหน่ง ตามแนวรัศมีถ้าแผ่น CD มีการหมุนทวนเข็มนาฬิกาและมีความเร็วของพื้นผิว ที่ตาแหน่งเลเซอร์เป็น 1.3 m/s ตัวอย่าง
23 ก) จงหาว่าอัตราเร็วเชิงมุมของแผ่นดิสก์เป็นกี่รอบต่อนาทีเมื่อเริ่มต้นอ่านจาก track ด้านในซึ่งมี r = 23 mm ออกไปยัง track ด้านนอกที่มี r = 58 mm r = 23 mm r = 58 mm
24 ข) ถ้าเวลามาตรฐานในการเล่น CD คือ 77 นาที 33 วินาที ดิสก์จะเคลื่อนที่ ได้กี่รอบ r = 23 mm r = 58 mm
25 ค) จงหาความยาวของ track ที่เคลื่อนที่ผ่าน เลนส์ในช่วงเวลา 4473 s r = 23 mm r = 58 mm
𝜏 = 𝑟 × 𝐹 26 7.2 ทอร์ก และโมเมนต์ความเฉื่อยการเคลื่อนที่แบบหมุน • ทอร์ก(Torque) คือ ผลคูณแบบเวกเตอร์ ของแรงกับการกระจัดที่วัดจากจุดหมุน มี หน่วยเป็ น นิวตันเมตร 𝐹 𝑦 𝑥 𝑧 𝑟 𝜏 o แรงที่ทาให้เกิดการหมุนจะต้อง ตั้งฉากกับรัศมีเท่านั้น
τ = 𝑟 ∙ 𝐹 sin 𝜃 27 • ทอร์ก(Torque) คือ ผล คูณแบบเวกเตอร์ของแรงกับ การกระจัดที่วัดจากจุดหมุน 𝐹 𝑟 𝜃 แรงที่ทาให้เกิดการหมุน จะต้องตั้งฉากกับรัศมี เท่านั้น
28 ออกแรงขันสกรูดังรูป กดด้วยแรง 150 นิวตัน ในแนวดิ่งผ่านปลายด้ามจับ ประแจ และห่างจากจุดหมุน 25 เซนติเมตร เมื่อด้ามจับทามุม 30 องศา กับ แนวระดับ ทอร์กของการขันสกรูเป็นเท่าใด ตัวอย่าง 150 N 30o
29 ทรงกระบอกชิ้นหนึ่งลักษณะดังรูป มีส่วนของแกนโผล่ออกมาจาก ทรงกระบอกใหญ่ ทรงกระบอกหมุนอย่างอิสระรอบแกนกลาง มีเส้น เชือกคล้องรอบทรงกระบอกรัศมี R1 ออกแรง F1 กระทาไปทางขวาของ ทรงกระบอก ออกแรง F2 กับเส้นเชือกที่คล้องอยู่ที่แกนซึ่งมีรัศมี R2 ใน แนวดิ่ง ทอร์กสุทธิที่กระทาต่อทรงกระบอกรอบแกนหมุน ( แกน z ) มีค่า เท่าไร ตัวอย่าง 𝑦 𝑥 𝐹1 𝐹2 𝑅1 𝑅2
• ดังนั้น 𝒎𝒓 𝟐 เรียกว่า โมเมนต์ความเฉื่อย (moment of inertia, 𝐼 ) คือ ปริมาณ ของมวลต้านการหมุนของวัตถุ มีหน่วยเป็ น กิโลกรัม เมตร2 𝜏 = 𝑚𝑟2 𝛼 = 𝐼𝛼 • แทนค่าในสมการของ ทอร์ก ได้ว่า 𝐹 = 𝑚𝑎 𝑡และ 𝑎 𝑡 = 𝑟𝛼 30 7.2 ทอร์ก และโมเมนต์ความเฉื่อยการเคลื่อนที่แบบหมุน 𝑟1 𝑦 𝑥 𝑟2𝑟3 𝐼 = 𝑚1 𝑟1 2 + 𝑚2 𝑟2 2 + 𝑚3 𝑟3 2 𝑚1 𝑚2𝑚3
31 วัตถุมวล 100 กรัม และ 200 กรัม ติดอยู่กับ ปลายทั้งสองของแท่งโลหะเบา ยาว 120 เซนติเมตร ดังรูป จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน AB ตัวอย่าง 120 cm 100 cm20 cm 100 g 200 g
32 ทรงกลมเล็ก ๆ 4 อันยึดติดกับมุมทั้งสี่ของกรอบ วางตัวอยู่ในระนาบ xy ดัง รูป โดยสมมุติว่าทรงกลมมีรัศมีน้อยมากเมื่อเทียบกับขนาดของกรอบ โมเมนต์ ความเฉื่อยของระบบเป็นเท่าใด เมื่อ ก) แกนหมุนเป็นแกน x ข) แกนหมุนเป็นแกน y ค) แกนหมุนเป็นแกน z ตัวอย่าง a m a m m m bb y x
33 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง : โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) ทรงกลมตันมวล m รัศมี R รอบแกนผ่านศูนย์กลางมวล 𝐼 = 2 5 𝑚𝑅2 ทรงกลมกลวงมวล m รัศมี R รอบแกนผ่านศูนย์กลางมวล 𝐼 = 2 3 𝑚𝑅2 𝑅 𝑅
34 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง : โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) ทรงกระบอกตัน มวล m รัศมี R ยาว L รอบแกนของทรงกระบอก 𝐼 = 1 2 𝑚𝑅2 ทรงกระบอกตัน มวล m รัศมี R ยาว L รอบแกนผ่านศูนย์กลาง มวลตั้งฉากกับระนาบ ทรงกระบอก 𝐼 = 1 4 𝑚𝑅2 + 1 12 𝑚𝐿2 𝐿 𝑅 𝐿 𝑅
35 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง : โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) ทรงกระบอกกลวง มวล m รัศมี ภายใน R1 รัศมี ภายนอก R2 รอบแกนผ่าน ศูนย์กลางมวลตั้งฉาก กับระนาบ ทรงกระบอก 𝐼 = 1 2 𝑚 𝑅1 2 + 𝑅2 2 วงแหวนบางมวล m รัศมีภายใน R รอบแกนผ่าน ศูนย์กลางมวลตั้งฉาก กับระนาบของวง แหวน 𝐼 = 𝑚𝑅2 𝑅1 𝑅2 𝑅
36 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง : โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) วงแหวนบางมวล m รัศมีภายใน R รอบแกนผ่าน ศูนย์กลางมวลบน ระนาบวงแหวน 𝐼 = 1 2 𝑚𝑅2 แผ่นกลมบางมวล m รัศมี R รอบแกนผ่าน ศูนย์กลางมวลตั้งฉาก กับระนาบแผ่น 𝐼 = 1 2 𝑚𝑅2 𝑅 𝑅
37 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง : โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) แผ่นกลมบางมวล m รัศมี R รอบแกนผ่านศูนย์กลาง มวลบนระนาบแผ่นกลม 𝐼 = 1 4 𝑚𝑅2 แท่งวัตถุเล็กมวล m รัศมี R รอบแกนผ่านศูนย์กลาง มวลตั้งฉากกับแท่ง 𝐼 = 1 12 𝑚𝐿2 𝑅 𝐿
38 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง : โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) แท่งวัตถุเล็ก มวล m รัศมี R รอบแกนผ่านปลาย ตั้งฉากกับแท่ง 𝐼 = 1 3 𝑚𝐿2 แผ่นวัตถุรูป สี่เหลี่ยมมวล m กว้าง a ยาว b รอบแกนผ่าน ศูนย์กลางมวลตั้ง ฉากกับระนาบแผ่น วัตถุ 𝐼 = 1 12 𝑚 𝑎2 + 𝑏2 𝐿 𝑏 𝑎
39 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง : โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) แผ่นวัตถุรูป สี่เหลี่ยมมวล m กว้าง a ยาว b รอบแกนผ่าน ปลายตั้งฉากกับ ด้าน a 𝐼 = 1 3 𝑚𝑎2 แผ่นวัตถุรูป สี่เหลี่ยมมวล m กว้าง a ยาว b รอบแกนผ่าน ปลายตั้งฉากกับ ด้าน b 𝐼 = 1 3 𝑚𝑏2 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
40 • พิจารณาแท่งวัตถุแข็งเกร็ง มวล M ความยาว L ดังรูป จงหาโมเมนต์ ความเฉื่อยของแท่งรอบแกนซึ่งตั้งฉากกับแท่งซึ่งผ่านปลายด้านหนึ่ง (แกน y ในรูปที่) ตัวอย่างที่ : การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทแกนขนาน L 𝐼 𝐶𝑀 = 1 12 𝑀𝐿2 𝐼 =? 𝐶𝑀
41 ระบบล้อกับเพลาประกอบด้วยล้อมวล M1 รัศมี R ยึดติดกับเพลามวล M2 รัศมี r ถ้าถ่วงน้าหนักของมวล m ที่เชือกพันรอบล้อ ดังรูป ขนาดความเร่ง เชิงมุมของล้อและเพลาเป็นเท่าใด ตัวอย่าง 𝑅 𝑟 𝑚 𝑀1 𝑀2
42 ทรงกระบอกกลวงบางมวล m รัศมี R กลิ้งลงพื้นเอียงทามุม q กับแนวราบ โดยการกลิ้งไม่มีการไถล ศูนย์กลางมวลของทรงกระบอกกลวงจะมีขนาด ความเร่งเชิงเส้นเท่าใด ตัวอย่าง 𝑁
43 7.4 พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหนุน • พลังงานจลน์ของการหมุนรอบแกน z ของวัตถุ แข็งเกร็ง ได้ดังนี้ 𝐸 𝑘หมุน = 1 2 𝐼𝜔2 𝐸 𝑘เลื่อนที่ = 1 2 𝑚𝑣2 • พลังงานจลน์ของการเลื่อนที่
44 ม้าหมุนชุดหนึ่งมีโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนมนแนวดิ่ง 900 กิโลกรัม เมตร2 ถ้าผลักให้หมุนรอบแกนหมุนนี้ในอัตรานาทีละ 12 รอบ จงหาพลังงาน จลน์ของม้าหมุนนี้ ตัวอย่าง
45 มวล 1 กิโลกรัม และ 2 กิโลกรัม ผูกด้วยเชือกเบาตรึงกับเสาซึ่งอีกปลายยาว 2 เมตร และ 3 เมตร ตามลาดับ ทั้งระบบหมุนรอบแกนตรึงซึ่งอยู่ในแนวดิ่งกลาง เสาด้วยความถี่ 50 รอบต่อนาที จงหาพลังงานจลน์ของการหมุนรวมของมวล ทั้งสอง โดยไม่คิดโมเมนต์ความเฉื่อยของเสา ตัวอย่าง 1 kg 2kg 2 m 3 m
46𝑳 = 𝒎𝒓 𝟐 𝝎 7.5 โมเมนตัมเชิงมุม และอัตราการเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุม 𝑟 m 𝐿 𝑣 𝑦 𝑥 𝑧 • โมเมนตัมเชิงมุม (Angular Momentum ; L) คือ ผลคูณ ระหว่างโมนเมนต์ความเฉื่อยกับความเร็วเชิงมุม 𝑳 = 𝒓 × 𝒑 𝒑 • เมื่อ 𝑝 = 𝑚𝑣 และ 𝑣 = 𝑟𝜔 • โมเมนตัมเชิงมุมขณะหนึ่ง (Instantaneous angular momentum) • โมเมนตัมเชิงมุม
𝐿𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 = 𝐿 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝜔𝑖 < 𝜔 𝑓 𝐼𝑖 > 𝐼𝑓 47 7.5 โมเมนตัมเชิงมุม และอัตราการเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุม • กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม (Law of conservation of angular momentum) กล่าวได้ว่า ถ้าทอร์กหรือผลรวมทอร์กเนื่องจากแรงภายนอก กระทาต่อวัตถุที่กาลังหมุนเท่ากับศูนย์ ทาให้โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุคงตัว 𝜏รวม = 0 𝐿𝑖 = 𝐼𝑖 × 𝜔𝑖 𝐿 𝑓 = 𝐼𝑓 × 𝜔 𝑓 𝜔𝑖 𝐼𝑖 𝜔 𝑓 𝐼𝑓
𝜔 𝑝 = 𝑚𝑔𝑟 𝐿 48 7.5 โมเมนตัมเชิงมุม และ อัตราการเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุม 𝑦 𝑥 𝑧 𝜃 𝐿 𝐿 sin 𝜃 Δ𝐿 Δ𝜙 = Δ𝐿 𝐿 sin 𝜃 𝑟𝑚𝑔 𝑟 sin 𝜃 τ = 𝑚𝑔 𝑟 sin 𝜃 = Δ𝐿 Δ𝑡 • การหมุนควง (precession) หมายถึง การหมุนของวัตถุรอบแกน โดยแกนในการหมุนก็หมุน เป็นวงกลมอยู่ด้วย 𝜔 𝑝 = Δ𝜙 Δ𝑡 𝜔 𝑝 = Δ𝐿 Δ𝑡 𝐿 sin 𝜃 = 𝜏 𝐿 sin 𝜃 = 𝑚𝑔 𝑟 sin 𝜃 𝐿 sin 𝜃
49 มวล 1 กิโลกรัม และ 2 กิโลกรัม ผูกด้วยเชือกเบาตรึงกับเสาซึ่งอีกปลายยาว 2 เมตร และ 3 เมตร ตามลาดับ ทั้งระบบหมุนรอบแกนตรึงซึ่งอยู่ในแนวดิ่งกลาง เสาด้วยความถี่ 50 รอบต่อนาที จงหาพลังงานจลน์ของการหมุนรวมของมวล ทั้งสอง โดยไม่คิดโมเมนต์ความเฉื่อยของเสา ตัวอย่าง 1 kg 2kg 2 m 3 m
50 จงหาขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมของลูกโบลิ่งมวล 6 กิโลกรัม รัศมี 12 เซนติเมตร ซึ่งหมุน 10 รอบต่อวินาที ดังรูปที่ ตัวอย่าง
51 มวล 2 อันถูกแขวนอยู่ที่รอกที่มีมวล แสดงดังรูป จงหาความเร่งของระบบ ดังกล่าว ตัวอย่าง m1 m2 𝑅 𝑀 a a a T1 T2
52 7.6 การเคลื่อนที่ทั้งแบบเลื่อนที่ และแบบหมุน • การเคลื่อนที่ของวัตถุบางครั้งอาจมีการเคลื่อนที่แบบเลื่อนตาแหน่งร่วมกับการ เคลื่อนที่แบบหมุนด้วย เช่น การเคลื่อนที่ของลูกบอล ลูกกอล์ฟ ลูกเทนนิส ลูก ปิงปอง ล้อรถจักรยาน ซึ่งเป็นการหมุน รอบจุดศูนย์กลางมวล (เมื่อเคลื่อนที่ อย่างอิสระ) และเป็นการหมุนรอบแกนคงตัว พลังงานจลน์ของการกลิ้ง 𝜔 𝑣 K𝐸𝑅 = 1 2 𝐼𝜔2 K𝐸𝑀 = 1 2 𝑚𝑣2 พลังงานของการเคลื่อนที่ แบบเลื่อนตาแหน่ง พลังงานจลน์ของการ เคลื่อนที่แบบหมุน K𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1 2 𝑚𝑣2 + 1 2 𝐼𝜔2
53 ทรงกลมตันกลิ้งลงจากพื้นเอียงจงคานวณอัตราเร็วเชิงเส้นของศูนย์กลาง มวลที่จุดต่าสุดของพื้นเอียง และขนาดของอัตราเร่งเชิงเส้นของจุด ศูนย์กลางมวล ตัวอย่าง M M h w v
54 ทรงกลมตันและกล่องมีมวลเท่ากันมีความเร็วในแนวระนาบเท่ากัน ลูกบอล กลิ้งโดยปราศจากการไถลและกล่องเกิดการไถลโดยไม่คิดแรงเสียดทาน อยากทราบว่าวัตถุชนิดใดจะขึ้นไดสูงกว่ากัน ตัวอย่าง M v M v
55 ทรงกลมตันกลิ้งลงจากพื้นเอียงจงคานวณอัตราเร็วเชิงเส้นของศูนย์กลาง มวลที่จุดต่าสุดของพื้นเอียง และขนาดของอัตราเร่งเชิงเส้นของจุด ศูนย์กลางมวล ตัวอย่าง v w
56 ทรงกลมตันมวล 50 กรมั กลิ้งไปตามพื้นราบด้วยอัตราเร็ว 8 เมตร/ วินาที กลิ้งมาถึงฐานของพื้นเอียง ซึ่งเอียงทามุม 30o กับแนวราบ ถ้าไม่คิด พลังงานสูญหายไปเนื่องจากความเสียดทาน จงหา (ก) พลังงานทั้งหมดของทรงกลมมีค่าเท่าใด? (ข) ทรงกลมกลิ้งขึ้นไปตามพื้นเอียงได้สูงจากพื้นราบตามแนวดิ่งเท่าใด? ตัวอย่าง 50 g 8 m/s
57 ทรงกระบอกตัน A รัศมี R มวล M และ ทรงกระบอกตัน B รัศมี R/2 มวล M/4 เมื่อ เริ่มปล่อยกลิ้งจากพื้นเอียงที่ความสูง h เท่ากัน เมื่อพื้นเอียงทามุม กับแนวระดับเป็นมุม q จงหาสัดส่วนของอัตราเร็งเชิงเส้นของทรงกระบอก A ต่อ B เป็นเท่าใด ? ตัวอย่าง q h A B

More Related Content

PPTX
บทที่ 3 แรง และ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
บทที่ 4 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ
byThepsatri Rajabhat University
 
PDF
การหางานจากพื้นที่ใต้กราฟ
byjirupi
 
PPTX
บทที่ 6 โมเมนตัมและการชน
byThepsatri Rajabhat University
 
PDF
โมเมนต์
byสายฝน ต๊ะวันนา
 
PPTX
บทที่ 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
byThepsatri Rajabhat University
 
PDF
เรื่องที่ 8 สภาพสมดุลยืดหยุ่น
bythanakit553
 
PDF
ชุดกิจกรรมการเรียนรู้เรื่องการเคลื่อนที่โพรเจกไทล์
byNalai Rinrith
 
บทที่ 3 แรง และ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
byThepsatri Rajabhat University
 
บทที่ 4 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ
byThepsatri Rajabhat University
 
การหางานจากพื้นที่ใต้กราฟ
byjirupi
 
บทที่ 6 โมเมนตัมและการชน
byThepsatri Rajabhat University
 
โมเมนต์
byสายฝน ต๊ะวันนา
 
บทที่ 3 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
byThepsatri Rajabhat University
 
เรื่องที่ 8 สภาพสมดุลยืดหยุ่น
bythanakit553
 
ชุดกิจกรรมการเรียนรู้เรื่องการเคลื่อนที่โพรเจกไทล์
byNalai Rinrith
 

What's hot

PDF
Ex2
byTwistiez Knott
 
PPTX
03 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
bywiriya kosit
 
PDF
การเคลื่อนที่แบบ shm
byAey Usanee
 
PPTX
บทที่ 4 งาน กำลัง พลังงาน และเครื่องกลอย่างง่าย
byThepsatri Rajabhat University
 
PDF
ทฤษฎีจลน์ของแก๊ส
byChanthawan Suwanhitathorn
 
PDF
4 พลังงานกับการดำเนินไปของปฏิกิริยา
bySircom Smarnbua
 
PDF
แบบฝึกหัดหน่วยที่ 1 แก๊สและสมบัติของแก๊ส วิชาเคมี3 ว32223
byPreeyapat Lengrabam
 
PDF
Aแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อน
bykrupornpana55
 
PPTX
04 การเคลื่อนที่แบบต่างๆ
bywiriya kosit
 
PDF
อัตราเร็ว (Speed)
byนายสมพร เหล่าทองสาร โรงเรียนดงบังพิสัยนวการนุสรณ์ อำเภอนาดูน จังหวัดมหาสารคาม
 
PDF
ใบความรู้สนามแม่เหล็ก
byสุกัญญา นิ่มพันธุ์
 
PPTX
แรงและการเคลื่อนที่
bySupaluk Juntap
 
PDF
งานและพลังงาน (work and_energy)
byครูเสกสรรค์ สุวรรณสุข
 
DOCX
แบบทดสอบปลายภาคเรียน วิทย์ 5 2558
bydnavaroj
 
DOCX
แบบฝึกหัดเสริม สมดุลกล.docx
byNing Thanyaphon
 
PDF
2กฎของพาสคัล และหลักของอาร์คีมิดีส
byWijitta DevilTeacher
 
PPTX
02 เคลื่อนที่แนวตรง
bywiriya kosit
 
PDF
เอกสารประกอบบทเรียน เรื่อง งานและพลังงาน
byWijitta DevilTeacher
 
PDF
การหักเหของแสง
byพัน พัน
 
PDF
แรงเสียดทาน
byเรียนฟิสิกส์กับครูเอ็ม Miphukham
 
Ex2
byTwistiez Knott
 
03 แรง มวล และกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
bywiriya kosit
 
การเคลื่อนที่แบบ shm
byAey Usanee
 
บทที่ 4 งาน กำลัง พลังงาน และเครื่องกลอย่างง่าย
byThepsatri Rajabhat University
 
ทฤษฎีจลน์ของแก๊ส
byChanthawan Suwanhitathorn
 
4 พลังงานกับการดำเนินไปของปฏิกิริยา
bySircom Smarnbua
 
แบบฝึกหัดหน่วยที่ 1 แก๊สและสมบัติของแก๊ส วิชาเคมี3 ว32223
byPreeyapat Lengrabam
 
Aแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน เรื่อง การถ่ายโอนพลังงานความร้อน
bykrupornpana55
 
04 การเคลื่อนที่แบบต่างๆ
bywiriya kosit
 
อัตราเร็ว (Speed)
byนายสมพร เหล่าทองสาร โรงเรียนดงบังพิสัยนวการนุสรณ์ อำเภอนาดูน จังหวัดมหาสารคาม
 
ใบความรู้สนามแม่เหล็ก
byสุกัญญา นิ่มพันธุ์
 
แรงและการเคลื่อนที่
bySupaluk Juntap
 
งานและพลังงาน (work and_energy)
byครูเสกสรรค์ สุวรรณสุข
 
แบบทดสอบปลายภาคเรียน วิทย์ 5 2558
bydnavaroj
 
แบบฝึกหัดเสริม สมดุลกล.docx
byNing Thanyaphon
 
2กฎของพาสคัล และหลักของอาร์คีมิดีส
byWijitta DevilTeacher
 
02 เคลื่อนที่แนวตรง
bywiriya kosit
 
เอกสารประกอบบทเรียน เรื่อง งานและพลังงาน
byWijitta DevilTeacher
 
การหักเหของแสง
byพัน พัน
 
แรงเสียดทาน
byเรียนฟิสิกส์กับครูเอ็ม Miphukham
 

Similar to บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

PDF
โหลดPdf
byChanwit Chu-pon
 
PDF
เอกสารประกอบบทเรียน เรื่อง การเคลื่อนที่แบบหมุน
byWijitta DevilTeacher
 
PDF
เรื่องที่7การเคลื่อนที่แบบหมุน
byApinya Phuadsing
 
PDF
การเคลื่อนที่แบบหมุน
bypumarin20012
 
PDF
การเคลื่อนที่แบบหมุน
byChakkrawut Mueangkhon
 
PDF
การเคลื่อนที่แบบหมุน
byChakkrawut Mueangkhon
 
PPTX
Rotational motion
byKazuma Fujiwara
 
PPTX
Rotational motion
byKazuma Fujiwara
 
PDF
เรื่องที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
bythanakit553
 
PDF
P07
byวิทวัฒน์ สีลาด
 
PDF
เฉลย07สมดลกล
byกิตติพงษ์ เสียงเสนาะ
 
DOC
สรุปสูตรแรง
bybassoftballbassoftball
 
PDF
แผนการสอน เรือง การเคลื่อนที่แบบหมุน หลักสูตร 2551
byWeerachat Martluplao
 
PDF
การเคลื่อนที่ (motion) [Physics O - NET]
byWorrachet Boonyong
 
PDF
บทที่ 2การเคลื่อนที่
bythanakit553
 
PDF
P02
byวิทวัฒน์ สีลาด
 
PDF
ข้อสอบ มข.51 v2
byaatjima
 
PDF
สรุปสูตรฟิสิกส์
bywisita42
 
PDF
Test phy1
byMiss.Yupawan Triratwitcha
 
PDF
สมดุลกล1
byชิตชัย โพธิ์ประภา
 
โหลดPdf
byChanwit Chu-pon
 
เอกสารประกอบบทเรียน เรื่อง การเคลื่อนที่แบบหมุน
byWijitta DevilTeacher
 
เรื่องที่7การเคลื่อนที่แบบหมุน
byApinya Phuadsing
 
การเคลื่อนที่แบบหมุน
bypumarin20012
 
การเคลื่อนที่แบบหมุน
byChakkrawut Mueangkhon
 
การเคลื่อนที่แบบหมุน
byChakkrawut Mueangkhon
 
Rotational motion
byKazuma Fujiwara
 
Rotational motion
byKazuma Fujiwara
 
เรื่องที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
bythanakit553
 
P07
byวิทวัฒน์ สีลาด
 
เฉลย07สมดลกล
byกิตติพงษ์ เสียงเสนาะ
 
สรุปสูตรแรง
bybassoftballbassoftball
 
แผนการสอน เรือง การเคลื่อนที่แบบหมุน หลักสูตร 2551
byWeerachat Martluplao
 
การเคลื่อนที่ (motion) [Physics O - NET]
byWorrachet Boonyong
 
บทที่ 2การเคลื่อนที่
bythanakit553
 
P02
byวิทวัฒน์ สีลาด
 
ข้อสอบ มข.51 v2
byaatjima
 
สรุปสูตรฟิสิกส์
bywisita42
 
Test phy1
byMiss.Yupawan Triratwitcha
 
สมดุลกล1
byชิตชัย โพธิ์ประภา
 

More from Thepsatri Rajabhat University

PPTX
Timeline of atomic models
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
บทที่ 1 หน่วยวัดและปริมาณทางฟิสิกส์ [2 2560]
byThepsatri Rajabhat University
 
PPT
CHAPTER 10 Molecules and Solids
byThepsatri Rajabhat University
 
PPT
Trm 7
byThepsatri Rajabhat University
 
PPT
CHAPTER 6 Quantum Mechanics II
byThepsatri Rajabhat University
 
PPT
CHAPTER 5 Wave Properties of Matter and Quantum Mechanics I
byThepsatri Rajabhat University
 
PPT
CHAPTER 4 Structure of the Atom
byThepsatri Rajabhat University
 
PPT
CHAPTER 3 The Experimental Basis of Quantum Theory
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
บทที่ 2 ทฤษฎีสัมพัทธภาพเฉพาะ
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
บทที่ 1 กำเนิดฟิสิกส์แผนใหม่
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
บทที่ 4 งาน พลังงาน และเครื่องกลอย่างง่าย
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
บทที่ 2 การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
บทที่ 1 ฟิสิกส์กับการทำงานของร่างกายและชีวิตประจำวัน
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
บทที่ 5 งานและพลังงาน
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
บทที่ 8 ความร้อนและอุณหพลศาสตร์
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
บทที่ 7 คลื่นกลและเสียง
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
บทที่ 6 สมบัติของสาร
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
บทที่ 5 โมเมนตัม
byThepsatri Rajabhat University
 
PPTX
บทที่ 2 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ
byThepsatri Rajabhat University
 
Timeline of atomic models
byThepsatri Rajabhat University
 
บทที่ 1 หน่วยวัดและปริมาณทางฟิสิกส์ [2 2560]
byThepsatri Rajabhat University
 
CHAPTER 10 Molecules and Solids
byThepsatri Rajabhat University
 
Trm 7
byThepsatri Rajabhat University
 
CHAPTER 6 Quantum Mechanics II
byThepsatri Rajabhat University
 
CHAPTER 5 Wave Properties of Matter and Quantum Mechanics I
byThepsatri Rajabhat University
 
CHAPTER 4 Structure of the Atom
byThepsatri Rajabhat University
 
CHAPTER 3 The Experimental Basis of Quantum Theory
byThepsatri Rajabhat University
 
กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations
byThepsatri Rajabhat University
 
บทที่ 2 ทฤษฎีสัมพัทธภาพเฉพาะ
byThepsatri Rajabhat University
 
บทที่ 1 กำเนิดฟิสิกส์แผนใหม่
byThepsatri Rajabhat University
 
บทที่ 4 งาน พลังงาน และเครื่องกลอย่างง่าย
byThepsatri Rajabhat University
 
บทที่ 2 การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ
byThepsatri Rajabhat University
 
บทที่ 1 ฟิสิกส์กับการทำงานของร่างกายและชีวิตประจำวัน
byThepsatri Rajabhat University
 
บทที่ 5 งานและพลังงาน
byThepsatri Rajabhat University
 
บทที่ 8 ความร้อนและอุณหพลศาสตร์
byThepsatri Rajabhat University
 
บทที่ 7 คลื่นกลและเสียง
byThepsatri Rajabhat University
 
บทที่ 6 สมบัติของสาร
byThepsatri Rajabhat University
 
บทที่ 5 โมเมนตัม
byThepsatri Rajabhat University
 
บทที่ 2 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ
byThepsatri Rajabhat University
 

บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน

  • 1.
    บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน อ.ณภัทรษกร สารพัฒน์อ.ณภัทรษกรสารพัฒน์ สาขาวิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏเทพสตรี ลพบุรี
  • 2.
    • ปริมาณต่าง ๆที่เกี่ยวข้องกับการหมุน • ทอร์ก และโมเมนต์ความเฉื่อยการเคลื่อนที่แบบหมุน • โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร • พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหนุน • โมเมนตัมเชิงมุม และอัตราการเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุม • การเคลื่อนที่ทั้งแบบเลื่อนที่ และแบบหมุน หัวข้อบรรยาย
  • 3.
    3 การเคลื่อนที่แบบหมุน และ แบบกลิ้ง (Rotational and rolling motion) • เมื่อวัตถุเช่น ล้อหมุนรอบแกนของมัน การเคลื่อนที่ ของมันไม่สามารถวิเคราะห์โดยถือให้วัตถุเป็น อนุภาคได้เนื่องจาก ณ เวลาหนึ่ง ส่วนต่าง ๆ ของ วัตถุจะมีความเร็ว และความเร่งต่างกันด้วยเหตุนี้ จึงเป็นการสะดวกที่จะพิจารณาวัตถุเหล่านี้คล้าย กับว่ามันคืออนุภาคจานวนมาก ซึ่งอนุภาคแต่ละ ตัวจะมีความเร็วและความเร่งเฉพาะตัว
  • 4.
    4 การเคลื่อนที่แบบหมุน และ แบบกลิ้ง (Rotational and rolling motion) • ในบทนี้จะถือว่าการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง รอบแกนที่ อยู่กับที่ คือ การเคลื่อนที่แบบหมุนบริสุทธิ์ ( pure rotational motion ) • การหมุนของวัตถุจะวิเคราะห์ได้ง่ายมากขึ้น โดย สมมุติให้วัตถุเป็น วัตถุแข็งเกร็ง (rigid object) ซึ่งคือ วัตถุที่ไม่สามารถเปลี่ยนรูปร่างได้หรืออาจ กล่าวได้ว่าระยะห่างของ อนุภาคทุกคู่คงที่
  • 5.
    5 • 2p เรเดียน= 360o • 1 เรเดียน = 57.3o 𝑠 = 𝑟𝜃 หรือ 𝜃 = 𝑠 𝑟 • 𝐬 คือ การขจัดเชิงเส้น (the linear displacement) 𝑟 𝑟 𝑄 𝑦 𝑥 𝑆 𝜃 𝑃 • การกาหนดพิกัดของอนุภาคโดยใช้พิกัดเชิงขั้ว (r,q) 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
  • 6.
    6 𝑟 𝑟 𝑄 𝑦 𝑥 𝑆 𝜃 𝑓 𝑃 ∆𝜃 =𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 • Dq คือ การขจัดเชิงมุม (the angular displacement) เมื่อ i = initial และ f = final • อนุภาคบนวัตถุแข็งเกร็ง ที่กาลังหมุนเคลื่อนที่จากจุด P ไปยังจุด Q ตามแนวเส้น โค้งในช่วงเวลา Dt = tf-ti เวคเตอร์รัศมีกวาดเป็นมุม Dq = qf- qi 𝜃 𝑖 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
  • 7.
    7 𝑟 𝑟 𝑄 𝑦 𝑥 𝑆 ∆𝜃 𝑃 𝜔 = ∆𝜃 ∆𝑡 = 𝜃𝑓 −𝜃𝑖 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 • ω คือ อัตราส่วนของการกระจัดเชิงมุมต่อ ช่วงเวลา (the angular speed ) เมื่อ i = initial และ f = final • เรานิยามอัตราเร็วเชิงมุมเฉลี่ย ( the average angular speed : 𝜔 “omega bar ”) 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
  • 8.
    8 𝑟 𝑟 𝑄 𝑦 𝑥 𝑆 ∆𝜃 𝑃 𝜔 = lim ∆𝑡→0 ∆𝜃 ∆𝑡 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 •อัตราเร็วเชิงมุมบัดดล (instantaneous angular speed) w คือ ลิมิตของอัตราส่วนของการขจัดเชิงมุมต่อช่วงเวลา Dt เมื่อ Dt เข้าสู่ ศูนย์ • w มีหน่วยเป็น rad/s หรือ s-1 เนื่องจาก radian ไม่มีมิติหน่วย 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
  • 9.
    𝜔 𝜔 • w มีค่าเป็นบวกเมื่อq มีค่าเพิ่มขึ้น (การเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา) • w มีค่าเป็นลบเมื่อ q มีค่าลดลง ( การเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกา) 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
  • 10.
    10 𝑟 𝑟 𝑄 𝑦 𝑥 𝑆 ∆𝜃 𝑃 • อัตราเร่งเชิงมุมเฉลี่ย (theaverage angular acceleration : a ) คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงอัตราเร็วเชิงมุม ต่อช่วงเวลา Dt • a มีหน่วยเป็น rad/s2 หรือ s-2 เนื่องจาก radian ไม่มีมิติหน่วย 𝛼 = ∆𝜔 ∆𝑡 = 𝜔 𝑓 − 𝜔𝑖 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
  • 11.
    𝜔 𝛼 • 𝛼 มีทิศเดียวกับ𝜔 เมื่อ หมุนเร็วขึ้นกว่าเดิม • 𝛼 มีทิศตรงข้าม 𝜔 เมื่อ หมุนช้าลงกว่าเดิม 7.1 การขจัดเชิงมุม ความเร็ว และความเร่ง (Angular Displacement Velocity and Acceleration) 𝜔 𝛼
  • 12.
    • ในการศึกษาการเคลื่อนที่เชิงเส้น พบว่ารูปแบบที่ง่ายสาหรับการวิเคราะห์การ เคลื่อนที่อย่างมีอัตราเร่งคือการกาหนดให้อัตราเร่งมีค่าคงที่ การเคลื่อนที่ เชิงมุมก็เช่นกัน 𝛼 ≡ คงที่ เช่นเดียวกับ 𝑎 ≡ คงที่ 𝜔 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน 𝑣
  • 13.
    การเคลื่อนที่เชิงเส้น การเคลื่อนที่เชิงมุม 𝑣 =𝑢 + 𝑎𝑡 𝜔 𝑓 = 𝜔𝑖 + 𝛼𝑡 𝑠 = 𝑢𝑡 + 1 2 𝑎𝑡 2 ∆𝜃 = 𝜔𝑖 𝑡 + 1 2 𝛼𝑡 2 𝑣2 = 𝑢2 + 2𝑎𝑠 𝜔 𝑓 2 = 𝜔𝑖 2 + 2𝛼(∆𝜃) 𝑠 = 𝑣 + 𝑢 2 𝑡 ∆𝜃 = 𝜔 𝑓 + 𝜔𝑖 2 𝑡 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
  • 14.
    14 นายสดใสซ่อมจักรยาน และทดลองหมุนล้อจักรยานดังรูปพบว่าจุด กมี ความเร็วเชิงมุม 20 เรเดียนต่อวินาที และเมื่อเวลาผ่านไป 4 วินาที จุด ก มี ความเร็วเชิงมุม 10 เรเดียนต่อวินาที จงหา ก) ขนาดความเร่งเชิงมุมของล้อจักรยาน ข) ในเวลา 4 วินาที หลังจากเริ่มหมุนล้อ จุด ก เคลื่อนที่ได้กี่รอบ และ กวาดมุมที่ศูนย์กลางได้กี่เรเดียน ค) ล้อหยุดหลังจากเริ่มหนุนในเวลาเท่าใด ตัวอย่าง
  • 15.
    15 วงล้ออันหนึ่งมีการหมุนด้วยความเร่งเชิงมุมคงที่เท่ากับ 3.5 rad/s2 ถ้าอัตราเร็วเชิงมุมของวงล้อคือ2.00 rad/s ณ เวลา ti = 0 จงหาว่า ก) เมื่อวงล้อหมุนไป ณ. เวลา t = 2 s วงล้อจะหมุนได้มุมเท่าไร ข) เมื่อวงล้อหมุนไป ณ. เวลา t = 2 s วงล้อจะมีอัตราเร็วเชิงมุม เท่าไร ตัวอย่าง
  • 16.
    16 เฟือง A รัศมี100 มิลลิเมตร ขบกับเฟือง B รัศมี 200 มิลลิเมตร ดังรูป ถ้า เฟือง A หมุนด้วย ความเร็ว wA = 10 เรเดียนต่อวินาที ตามเข็มนาฬิกา เฟือง B จะหมุนด้วย ความเร็ว wB = ? ตัวอย่าง A B wA = 10 rad/s wB = ?
  • 17.
    17 ตามรูป นักขี่จักรยานถีบจักรยาน ทาให้จานหมุนหนึ่งรอบในเวลา2 วินาที ถ้า จาน A, จาน B และล้อหลัง C มีรัศมี 10 เซนติเมตร , 2.5 เซนติเมตร และ 35 เซนติเมตรตามลาดับ จักรยานจะวิ่งด้วยอัตราเร็วเท่าใด ตัวอย่าง RA = 10 cm. RA = 2.5 cm. RC = 35 cm. T = 2 s
  • 18.
    18 𝑟 𝑦 𝑥 𝑣 • พิจารณาจุด Pบนวัตถุแข็งเกร็งซึ่งเคลื่อนที่เป็น วงกลม เวกเตอร์ความเร็วเชิงเส้นจะสัมผัสกับ เส้นทางการเคลื่อนที่วงกลมซึ่งเรียกว่าความเร็ว ในแนวเส้นสัมผัส (tangential velocity) ซึ่ง ขนาดของมันมีค่าเท่ากับอัตราเร็วในแนวเส้น สัมผัส 𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 เมื่อ s คือระยะทางที่จุด P เคลื่อนที่ได้ในเส้นทางการเคลื่อนที่แบบวงกลม มี ขนาด 𝑠 = 𝑟𝜃 โดยที่ r คือรัศมีซึ่งมีค่าคงที่จะ ได้ว่า 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
  • 19.
    19 𝑟 𝑦 𝑥 𝑎 𝑟 𝑎 𝑡 𝑣𝑡= 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝑟𝜔 • จากความสัมพันธ์ของการกระจัดเชิงเส้น และเชิงมุม คือ 𝑠 = 𝑟𝜃 ดังนั้น ความสัมพันธ์ของอัตราเร็ว เชิงมุม และอัตราเร็วเชิงเส้น ได้ดังนี้ • จากความสัมพันธ์ของอัตราเร็วเชิงเส้นและเชิงมุม คือ 𝑣 𝑡 = 𝑟𝜔 ดังนั้น ความสัมพันธ์ของอัตรา เร่งเชิงมุม และอัตราเร่งเชิงเส้น ได้ดังนี้ 𝑎 𝑡 = 𝑟 𝑑𝜔 𝑑𝑡 = 𝑟𝛼 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
  • 20.
    20 𝑟 𝑦 𝑥 𝑎 𝑟 • ดังนั้นอัตราเร่งของวัตถุที่P จะมีทั้งอัตราเร่งเข้าสู่ ศูนย์กลาง และ อัตราเร่งตามแนวสัมผัส สรุปได้ว่า • อัตราเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง • อัตราเร่งตามแนวสัมผัส 𝑎 𝑎 = 𝑎 𝑡 2 + 𝑎 𝑟 2 = 𝑟2 𝛼2 + 𝑟2 𝜔4 = 𝑟 𝛼2 + 𝜔4 𝑎 𝑡 𝑎 𝑡 = 𝑟 𝑑𝜔 𝑑𝑡 = 𝑟𝛼 𝑎 𝑟 = 𝑣2 𝑟 = 𝑟𝜔2 7.1 ปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุน
  • 21.
    21 นักกีฬาขว้างจักรถือจักรห่างจากแกนหมุนรัศมี 80 ซม.นักกีฬาเริ่มหมุนด้วย ความเร็วเชิงมุม 10 เรเดียนต่อวินาที และความเร่งมุม 50 เรเดียนต่อวินาที ความเร่งของจักรที่นักกีฬาขณะนั้นเป็นเท่าใด ตัวอย่าง 𝑎 𝑟 𝑎 𝑎 𝑡
  • 22.
    22 บนแผ่น CD ข้อมูลของเสียงจะถูกบันทึกลงในร่องและผิวเรียบบนCD ในรูป ของเลขฐานสองเมื่อมีการอ่านโดยเครื่องเล่น CD ข้อมูลจะถูกแปลกลับไปเป็น คลื่นเสียง ร่องและพื้นที่เรียบที่มีความยาวเท่ากันจะถูกอ่านโดยเลเซอร์และ เลนส์ เพื่อให้เวลาในการอ่านสัญญาณแต่ละสัญญาณมีค่าเท่ากันทั่วทั้งแผ่น ๆ อัตราเร็วเชิงเส้นของแผ่น ณ ตาแหน่งที่ผ่านเลเซอร์ จะต้องมีค่าคงที่ ดังนั้น อัตราเร็วเชิงมุมจะต้องมีค่าเปลี่ยนไปเมื่อระบบเลเซอร์มีการเปลี่ยนตาแหน่ง ตามแนวรัศมีถ้าแผ่น CD มีการหมุนทวนเข็มนาฬิกาและมีความเร็วของพื้นผิว ที่ตาแหน่งเลเซอร์เป็น 1.3 m/s ตัวอย่าง
  • 23.
  • 24.
    24 ข) ถ้าเวลามาตรฐานในการเล่น CDคือ 77 นาที 33 วินาที ดิสก์จะเคลื่อนที่ ได้กี่รอบ r = 23 mm r = 58 mm
  • 25.
    25 ค) จงหาความยาวของ trackที่เคลื่อนที่ผ่าน เลนส์ในช่วงเวลา 4473 s r = 23 mm r = 58 mm
  • 26.
    𝜏 = 𝑟× 𝐹 26 7.2 ทอร์ก และโมเมนต์ความเฉื่อยการเคลื่อนที่แบบหมุน • ทอร์ก(Torque) คือ ผลคูณแบบเวกเตอร์ ของแรงกับการกระจัดที่วัดจากจุดหมุน มี หน่วยเป็ น นิวตันเมตร 𝐹 𝑦 𝑥 𝑧 𝑟 𝜏 o แรงที่ทาให้เกิดการหมุนจะต้อง ตั้งฉากกับรัศมีเท่านั้น
  • 27.
    τ = 𝑟∙ 𝐹 sin 𝜃 27 • ทอร์ก(Torque) คือ ผล คูณแบบเวกเตอร์ของแรงกับ การกระจัดที่วัดจากจุดหมุน 𝐹 𝑟 𝜃 แรงที่ทาให้เกิดการหมุน จะต้องตั้งฉากกับรัศมี เท่านั้น
  • 28.
    28 ออกแรงขันสกรูดังรูป กดด้วยแรง 150นิวตัน ในแนวดิ่งผ่านปลายด้ามจับ ประแจ และห่างจากจุดหมุน 25 เซนติเมตร เมื่อด้ามจับทามุม 30 องศา กับ แนวระดับ ทอร์กของการขันสกรูเป็นเท่าใด ตัวอย่าง 150 N 30o
  • 29.
    29 ทรงกระบอกชิ้นหนึ่งลักษณะดังรูป มีส่วนของแกนโผล่ออกมาจาก ทรงกระบอกใหญ่ ทรงกระบอกหมุนอย่างอิสระรอบแกนกลางมีเส้น เชือกคล้องรอบทรงกระบอกรัศมี R1 ออกแรง F1 กระทาไปทางขวาของ ทรงกระบอก ออกแรง F2 กับเส้นเชือกที่คล้องอยู่ที่แกนซึ่งมีรัศมี R2 ใน แนวดิ่ง ทอร์กสุทธิที่กระทาต่อทรงกระบอกรอบแกนหมุน ( แกน z ) มีค่า เท่าไร ตัวอย่าง 𝑦 𝑥 𝐹1 𝐹2 𝑅1 𝑅2
  • 30.
    • ดังนั้น 𝒎𝒓𝟐 เรียกว่า โมเมนต์ความเฉื่อย (moment of inertia, 𝐼 ) คือ ปริมาณ ของมวลต้านการหมุนของวัตถุ มีหน่วยเป็ น กิโลกรัม เมตร2 𝜏 = 𝑚𝑟2 𝛼 = 𝐼𝛼 • แทนค่าในสมการของ ทอร์ก ได้ว่า 𝐹 = 𝑚𝑎 𝑡และ 𝑎 𝑡 = 𝑟𝛼 30 7.2 ทอร์ก และโมเมนต์ความเฉื่อยการเคลื่อนที่แบบหมุน 𝑟1 𝑦 𝑥 𝑟2𝑟3 𝐼 = 𝑚1 𝑟1 2 + 𝑚2 𝑟2 2 + 𝑚3 𝑟3 2 𝑚1 𝑚2𝑚3
  • 31.
    31 วัตถุมวล 100 กรัมและ 200 กรัม ติดอยู่กับ ปลายทั้งสองของแท่งโลหะเบา ยาว 120 เซนติเมตร ดังรูป จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน AB ตัวอย่าง 120 cm 100 cm20 cm 100 g 200 g
  • 32.
    32 ทรงกลมเล็ก ๆ 4อันยึดติดกับมุมทั้งสี่ของกรอบ วางตัวอยู่ในระนาบ xy ดัง รูป โดยสมมุติว่าทรงกลมมีรัศมีน้อยมากเมื่อเทียบกับขนาดของกรอบ โมเมนต์ ความเฉื่อยของระบบเป็นเท่าใด เมื่อ ก) แกนหมุนเป็นแกน x ข) แกนหมุนเป็นแกน y ค) แกนหมุนเป็นแกน z ตัวอย่าง a m a m m m bb y x
  • 33.
    33 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง :โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) ทรงกลมตันมวล m รัศมี R รอบแกนผ่านศูนย์กลางมวล 𝐼 = 2 5 𝑚𝑅2 ทรงกลมกลวงมวล m รัศมี R รอบแกนผ่านศูนย์กลางมวล 𝐼 = 2 3 𝑚𝑅2 𝑅 𝑅
  • 34.
    34 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง :โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) ทรงกระบอกตัน มวล m รัศมี R ยาว L รอบแกนของทรงกระบอก 𝐼 = 1 2 𝑚𝑅2 ทรงกระบอกตัน มวล m รัศมี R ยาว L รอบแกนผ่านศูนย์กลาง มวลตั้งฉากกับระนาบ ทรงกระบอก 𝐼 = 1 4 𝑚𝑅2 + 1 12 𝑚𝐿2 𝐿 𝑅 𝐿 𝑅
  • 35.
    35 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง :โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) ทรงกระบอกกลวง มวล m รัศมี ภายใน R1 รัศมี ภายนอก R2 รอบแกนผ่าน ศูนย์กลางมวลตั้งฉาก กับระนาบ ทรงกระบอก 𝐼 = 1 2 𝑚 𝑅1 2 + 𝑅2 2 วงแหวนบางมวล m รัศมีภายใน R รอบแกนผ่าน ศูนย์กลางมวลตั้งฉาก กับระนาบของวง แหวน 𝐼 = 𝑚𝑅2 𝑅1 𝑅2 𝑅
  • 36.
    36 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง :โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) วงแหวนบางมวล m รัศมีภายใน R รอบแกนผ่าน ศูนย์กลางมวลบน ระนาบวงแหวน 𝐼 = 1 2 𝑚𝑅2 แผ่นกลมบางมวล m รัศมี R รอบแกนผ่าน ศูนย์กลางมวลตั้งฉาก กับระนาบแผ่น 𝐼 = 1 2 𝑚𝑅2 𝑅 𝑅
  • 37.
    37 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง :โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) แผ่นกลมบางมวล m รัศมี R รอบแกนผ่านศูนย์กลาง มวลบนระนาบแผ่นกลม 𝐼 = 1 4 𝑚𝑅2 แท่งวัตถุเล็กมวล m รัศมี R รอบแกนผ่านศูนย์กลาง มวลตั้งฉากกับแท่ง 𝐼 = 1 12 𝑚𝐿2 𝑅 𝐿
  • 38.
    38 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง :โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) แท่งวัตถุเล็ก มวล m รัศมี R รอบแกนผ่านปลาย ตั้งฉากกับแท่ง 𝐼 = 1 3 𝑚𝐿2 แผ่นวัตถุรูป สี่เหลี่ยมมวล m กว้าง a ยาว b รอบแกนผ่าน ศูนย์กลางมวลตั้ง ฉากกับระนาบแผ่น วัตถุ 𝐼 = 1 12 𝑚 𝑎2 + 𝑏2 𝐿 𝑏 𝑎
  • 39.
    39 7.3 โมเมนความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตร ตาราง :โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนสมมาตรของวัตถุรูปทรงต่างๆ รูปร่างวัตถุ แกนหมุน รูป โมเมนต์ความเฉื่อย(I) แผ่นวัตถุรูป สี่เหลี่ยมมวล m กว้าง a ยาว b รอบแกนผ่าน ปลายตั้งฉากกับ ด้าน a 𝐼 = 1 3 𝑚𝑎2 แผ่นวัตถุรูป สี่เหลี่ยมมวล m กว้าง a ยาว b รอบแกนผ่าน ปลายตั้งฉากกับ ด้าน b 𝐼 = 1 3 𝑚𝑏2 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
  • 40.
    40 • พิจารณาแท่งวัตถุแข็งเกร็ง มวลM ความยาว L ดังรูป จงหาโมเมนต์ ความเฉื่อยของแท่งรอบแกนซึ่งตั้งฉากกับแท่งซึ่งผ่านปลายด้านหนึ่ง (แกน y ในรูปที่) ตัวอย่างที่ : การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทแกนขนาน L 𝐼 𝐶𝑀 = 1 12 𝑀𝐿2 𝐼 =? 𝐶𝑀
  • 41.
    41 ระบบล้อกับเพลาประกอบด้วยล้อมวล M1 รัศมีR ยึดติดกับเพลามวล M2 รัศมี r ถ้าถ่วงน้าหนักของมวล m ที่เชือกพันรอบล้อ ดังรูป ขนาดความเร่ง เชิงมุมของล้อและเพลาเป็นเท่าใด ตัวอย่าง 𝑅 𝑟 𝑚 𝑀1 𝑀2
  • 42.
    42 ทรงกระบอกกลวงบางมวล m รัศมีR กลิ้งลงพื้นเอียงทามุม q กับแนวราบ โดยการกลิ้งไม่มีการไถล ศูนย์กลางมวลของทรงกระบอกกลวงจะมีขนาด ความเร่งเชิงเส้นเท่าใด ตัวอย่าง 𝑁
  • 43.
    43 7.4 พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหนุน • พลังงานจลน์ของการหมุนรอบแกนz ของวัตถุ แข็งเกร็ง ได้ดังนี้ 𝐸 𝑘หมุน = 1 2 𝐼𝜔2 𝐸 𝑘เลื่อนที่ = 1 2 𝑚𝑣2 • พลังงานจลน์ของการเลื่อนที่
  • 44.
    44 ม้าหมุนชุดหนึ่งมีโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนมนแนวดิ่ง 900 กิโลกรัม เมตร2ถ้าผลักให้หมุนรอบแกนหมุนนี้ในอัตรานาทีละ 12 รอบ จงหาพลังงาน จลน์ของม้าหมุนนี้ ตัวอย่าง
  • 45.
    45 มวล 1 กิโลกรัมและ 2 กิโลกรัม ผูกด้วยเชือกเบาตรึงกับเสาซึ่งอีกปลายยาว 2 เมตร และ 3 เมตร ตามลาดับ ทั้งระบบหมุนรอบแกนตรึงซึ่งอยู่ในแนวดิ่งกลาง เสาด้วยความถี่ 50 รอบต่อนาที จงหาพลังงานจลน์ของการหมุนรวมของมวล ทั้งสอง โดยไม่คิดโมเมนต์ความเฉื่อยของเสา ตัวอย่าง 1 kg 2kg 2 m 3 m
  • 46.
    46𝑳 = 𝒎𝒓𝟐 𝝎 7.5 โมเมนตัมเชิงมุม และอัตราการเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุม 𝑟 m 𝐿 𝑣 𝑦 𝑥 𝑧 • โมเมนตัมเชิงมุม (Angular Momentum ; L) คือ ผลคูณ ระหว่างโมนเมนต์ความเฉื่อยกับความเร็วเชิงมุม 𝑳 = 𝒓 × 𝒑 𝒑 • เมื่อ 𝑝 = 𝑚𝑣 และ 𝑣 = 𝑟𝜔 • โมเมนตัมเชิงมุมขณะหนึ่ง (Instantaneous angular momentum) • โมเมนตัมเชิงมุม
  • 47.
    𝐿𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 = 𝐿𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝜔𝑖 < 𝜔 𝑓 𝐼𝑖 > 𝐼𝑓 47 7.5 โมเมนตัมเชิงมุม และอัตราการเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุม • กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม (Law of conservation of angular momentum) กล่าวได้ว่า ถ้าทอร์กหรือผลรวมทอร์กเนื่องจากแรงภายนอก กระทาต่อวัตถุที่กาลังหมุนเท่ากับศูนย์ ทาให้โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุคงตัว 𝜏รวม = 0 𝐿𝑖 = 𝐼𝑖 × 𝜔𝑖 𝐿 𝑓 = 𝐼𝑓 × 𝜔 𝑓 𝜔𝑖 𝐼𝑖 𝜔 𝑓 𝐼𝑓
  • 48.
    𝜔 𝑝 = 𝑚𝑔𝑟 𝐿 48 7.5โมเมนตัมเชิงมุม และ อัตราการเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุม 𝑦 𝑥 𝑧 𝜃 𝐿 𝐿 sin 𝜃 Δ𝐿 Δ𝜙 = Δ𝐿 𝐿 sin 𝜃 𝑟𝑚𝑔 𝑟 sin 𝜃 τ = 𝑚𝑔 𝑟 sin 𝜃 = Δ𝐿 Δ𝑡 • การหมุนควง (precession) หมายถึง การหมุนของวัตถุรอบแกน โดยแกนในการหมุนก็หมุน เป็นวงกลมอยู่ด้วย 𝜔 𝑝 = Δ𝜙 Δ𝑡 𝜔 𝑝 = Δ𝐿 Δ𝑡 𝐿 sin 𝜃 = 𝜏 𝐿 sin 𝜃 = 𝑚𝑔 𝑟 sin 𝜃 𝐿 sin 𝜃
  • 49.
    49 มวล 1 กิโลกรัมและ 2 กิโลกรัม ผูกด้วยเชือกเบาตรึงกับเสาซึ่งอีกปลายยาว 2 เมตร และ 3 เมตร ตามลาดับ ทั้งระบบหมุนรอบแกนตรึงซึ่งอยู่ในแนวดิ่งกลาง เสาด้วยความถี่ 50 รอบต่อนาที จงหาพลังงานจลน์ของการหมุนรวมของมวล ทั้งสอง โดยไม่คิดโมเมนต์ความเฉื่อยของเสา ตัวอย่าง 1 kg 2kg 2 m 3 m
  • 50.
    50 จงหาขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมของลูกโบลิ่งมวล 6 กิโลกรัมรัศมี 12 เซนติเมตร ซึ่งหมุน 10 รอบต่อวินาที ดังรูปที่ ตัวอย่าง
  • 51.
    51 มวล 2 อันถูกแขวนอยู่ที่รอกที่มีมวลแสดงดังรูป จงหาความเร่งของระบบ ดังกล่าว ตัวอย่าง m1 m2 𝑅 𝑀 a a a T1 T2
  • 52.
    52 7.6 การเคลื่อนที่ทั้งแบบเลื่อนที่ และแบบหมุน •การเคลื่อนที่ของวัตถุบางครั้งอาจมีการเคลื่อนที่แบบเลื่อนตาแหน่งร่วมกับการ เคลื่อนที่แบบหมุนด้วย เช่น การเคลื่อนที่ของลูกบอล ลูกกอล์ฟ ลูกเทนนิส ลูก ปิงปอง ล้อรถจักรยาน ซึ่งเป็นการหมุน รอบจุดศูนย์กลางมวล (เมื่อเคลื่อนที่ อย่างอิสระ) และเป็นการหมุนรอบแกนคงตัว พลังงานจลน์ของการกลิ้ง 𝜔 𝑣 K𝐸𝑅 = 1 2 𝐼𝜔2 K𝐸𝑀 = 1 2 𝑚𝑣2 พลังงานของการเคลื่อนที่ แบบเลื่อนตาแหน่ง พลังงานจลน์ของการ เคลื่อนที่แบบหมุน K𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1 2 𝑚𝑣2 + 1 2 𝐼𝜔2
  • 53.
  • 54.
  • 55.
  • 56.
    56 ทรงกลมตันมวล 50 กรมักลิ้งไปตามพื้นราบด้วยอัตราเร็ว 8 เมตร/ วินาที กลิ้งมาถึงฐานของพื้นเอียง ซึ่งเอียงทามุม 30o กับแนวราบ ถ้าไม่คิด พลังงานสูญหายไปเนื่องจากความเสียดทาน จงหา (ก) พลังงานทั้งหมดของทรงกลมมีค่าเท่าใด? (ข) ทรงกลมกลิ้งขึ้นไปตามพื้นเอียงได้สูงจากพื้นราบตามแนวดิ่งเท่าใด? ตัวอย่าง 50 g 8 m/s
  • 57.
    57 ทรงกระบอกตัน A รัศมีR มวล M และ ทรงกระบอกตัน B รัศมี R/2 มวล M/4 เมื่อ เริ่มปล่อยกลิ้งจากพื้นเอียงที่ความสูง h เท่ากัน เมื่อพื้นเอียงทามุม กับแนวระดับเป็นมุม q จงหาสัดส่วนของอัตราเร็งเชิงเส้นของทรงกระบอก A ต่อ B เป็นเท่าใด ? ตัวอย่าง q h A B