8 a r ареиприаепрч

Федеральный государственный образовательный стандарт
Образовательная система «Школа 2100»
А.Г. Рубин, П.В. Чулков
АЛГЕБРА
8 класс
Москва
2015

УДК 373.167.1:51
ББК 22.14я72
Р82
Федеральный государственный образовательный стандарт
Образовательная система «Школа 2100»
Совет координаторов предметных линий Образовательной системы «Школа 2100» – лауреат
премии Правительства РФ в области образования за теоретическую разработку основ
образовательной системы нового поколения и её практическую реализацию в учебниках
На учебник получены положительные заключения по результатам
научной экспертизы (заключение РАН от 14.10.2011 № 10106-5215/820),
педагогической экспертизы (заключение РАН от 24.01.2014 № 000366)
и общественной экспертизы (заключение НП «Лига образования» от 30.01.2014 № 173)
Руководитель издательской программы –
член-корр. РАО, доктор пед. наук, проф. Р.Н. Бунеев
Рубин, А.Г.
Алгебра. 8 кл.: учеб. для организаций, осуществляющих образо-
вательную деятельность / А.Г. Рубин, П.В. Чулков. – М. : Баласс,
2015. – 240 с.: ил. (Образовательная система «Школа 2100»).
ISBN 978-5-85939-928-4
Учебник «Алгебра» для 8 класса соответствует Федеральному государственно-
му образовательному стандарту основного общего образования. Является продол-
жением непрерывного курса математики и составной частью комплекта учебников
развивающей Образовательной системы «Школа 2100».
Может использоваться как учебное пособие.
УДК 373.167.1:51
ББК 22.14я72
Данный учебник в целом и никакая его часть не могут быть
скопированы без разрешения владельца авторских прав
© Рубин А. Г., Чулков П. В., 2012
ISBN 978-5-85939-928-4 © ООО «Баласс», 2012
Р82

3
КАК РАБОТАТЬ С УЧЕБНИКОМ
Дорогие ребята!
Перед вами учебник алгебры для 8-го класса, написанный Александром
Григорьевичем Рубиным и Павлом Викторовичем Чулковым. Этот учебник
входит в систему учебников Образовательной системы «Школа 2100». Так же,
как и другие учебники этой системы, он поможет вам в развитии умений (дей-
ствий), которые необходимы в жизни.
Напоминаем, что эти умения, или действия (они называются универсаль-
ными), развиваются через специальные задания, обозначенные в учебнике
кружками и фоном условных знаков разного цвета. Каждый цвет соответ-
ствует определённой группе умений:
организовывать свои действия: ставить цель, планировать работу,
действовать по плану, оценивать результат;
работать с информацией: самостоятельно находить, осмысливать и
использовать её;
общаться и взаимодействовать с другими людьми, владеть устной и
письменной речью, понимать других, договариваться, сотрудничать.
Так обозначены задания, где нужно применить разные группы уме-
ний, мы называем их жизненными задачами и проектами.
Зачем мы будем учиться?
Изучая алгебру в 8-м классе, вы познакомитесь с новыми видами буквен-
ных выражений: дробными и иррациональными, научитесь выполнять их
преобразования, решать квадратные уравнения, а также сводящиеся к ним
рациональные уравнения и системы уравнений, моделировать с их помощью
многие реальные ситуации, более глубоко, чем ранее, познакомитесь с эле-
ментами математической статистики.
Это поможет вам стать увереннее в себе, добиться успехов при решении
возникающих в жизни задач, так как при этом очень часто придётся иметь
дело с перечисленными выше видами деятельности.
Задания на развитие предметных умений в учебнике обозначены серым
цветом.

4
Как мы будем учиться?
Для успешного изучения алгебры и овладения универсальными учебными
действиями на уроках открытия нового знания используется проблемный
диалог (образовательная технология).
Структура параграфа, где вводится новый материал, имеет в учебнике сле-
дующий вид.
Вспоминаем то, что знаем
Так обозначены вопросы, задания и упражнения по изученному материалу,
который необходим для открытия нового знания.
Открываем новые знания
Ученики, проводя наблюдения, ищут решение и формулируют свои пред-
положения о том, как решается данная задача, формулируют ответы на
поставленные в учебнике вопросы.
Отвечаем, проверяем себя по тексту
Ученики читают, анализируют текст учебника, сопоставляют его со своими
предположениями, проверяют правильность своих ответов на вопросы и сде-
ланных на их основании выводов.
Развиваем умения
Это задания на применение знаний. Они даны на трёх уровнях сложности.
Н
Необходимый уровень. Эти задания должны уметь выполнять все уча-
щиеся. Они помогут вам определить, усвоены ли основные понятия и
факты, умеете ли вы применять их к решению стандартных задач.
П
Повышенный уровень. Эти задания выполняют те учащиеся, которые
хотят расширить свои знания. Они требуют более глубокого усвоения
учебного материала, для их решения, наряду с известными приёмами и
идеями, может понадобиться выдвижение некоторой новой идеи.
М
Максимальный уровень. Эти задания выполняют те учащиеся, которые
хотят научиться решать более сложные, нестандартные задачи. Работа
над ними может потребовать значительных усилий, изобретательности
и настойчивости.

5
При этом выполнение всех заданий не является обязательным ни на
одном из уровней, они выбираются в соответствии с возможностями и потреб-
ностями учащихся под руководством педагога.
В конце учебника приводятся ответы примерно к половине заданий.
В некоторых параграфах новый материал сообщается без использования
проблемных ситуаций.
Знакомимся с новой темой
Ученики читают и анализируют текст учебника, делают выводы.
Ориентироваться в учебнике вам помогут условные обозначения
Проблемный вопрос.
Это нужно запомнить.
Работа в группе (паре).
Задание с использованием информационных технологий.
Самостоятельная исследовательская работа.
Жизненные задачи и проекты
Помимо обычных учебных заданий разного уровня сложности, в учебник
включены жизненные задачи и проекты. Ими можно заниматься в свободное
от уроков время в группах или индивидуально.
Что такое жизненная задача?
Жизненная задача — это модель реальной ситуации, для разрешения кото-
рой необходим набор математических знаний, к этому моменту вам уже
в основном известных. При этом жизненная задача отличается от привычных
всем школьных учебных задач. Для её решения вам может понадобиться
дополнительная информация, которую придётся добывать самим, причём
какая именно информация нужна, вы должны решать сами и самостоятельно
искать источники этой информации. В случае затруднений вы можете обра-
титься к старшим товарищам, учителю или другим взрослым.
В условии жизненной задачи могут содержаться избыточные данные. Ведь в
жизни чаще всего так и бывает: когда пытаешься разобраться в ситуации и
анализируешь, что тебе о ней известно, то в ходе анализа постепенно выясня-
ется, что далеко не вся эта информация пригодится, значительная её часть не
имеет отношения к делу. Кроме того, для решения жизненной задачи будут

6
необходимы знания не только из области математики, но и других изучаемых
вами областей (как это и происходит в реальной жизни). Систематическое
решение жизненных задач даст вам возможность не только углубиться в мате-
матику, увидеть её взаимосвязь с другими областями знаний, но и совершен-
ствовать умение самостоятельно работать с информацией.
Жизненные задачи, как принято в учебниках Образовательной системы
«Школа 2100», оформлены следующим образом.
СИТУАЦИЯ. Условия, в которых возникла проблема.
ВАША РОЛЬ. Человек, в роли которого вы должны себя представить,
решая проблему.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Более подробная характеристика ситуации.
ЗАДАНИЕ. Что нужно сделать или что нужно получить в итоге.
Что такое проект?
Это любое самостоятельное дело, которое предполагает
1) оригинальный замысел (цель);
2) выполнение работы за определённый отрезок времени;
3) конкретный результат, представленный в итоге (мероприятие, решение
проблемы, результат самостоятельных исследований и др.).
Проектная деятельность помогает научиться работать в команде, распре-
делять роли так, чтобы эффективно использовать сильные стороны каждого,
участвовать в мозговых штурмах и других формах коллективной интеллек-
туальной деятельности, представлять результаты своего труда в форме
доклада, презентации, инсценировки и т. д. Предполагается, что проекты
выполняются в свободное от уроков время. Они не являются обязательными.
Структура учебника
Учебник разбит на главы, а каждая глава — на параграфы. Каждый пара-
граф обозначается двумя числами: число слева от точки — номер главы,
а справа от точки — номер параграфа в этой главе. В каждой главе рассма-
тривается своя тема, а в каждом параграфе — отдельные вопросы этой темы.
Задания на повторение пройденного материала не даются после каждого
параграфа или главы, а собраны в конце учебника, после последней, шестой
главы. Там приведено большое количество заданий для повторения, и это даст
учителю возможность наиболее эффективно, исходя из особенностей класса,
а также с учётом индивидуальной образовательной траектории каждого уче-
ника организовать этот важнейший в обучении вид деятельности.
Работая по нашему учебнику, вы не только узнаете много нового, не только
научитесь решать большое количество разнообразных математических задач,
но и приобретёте важнейшее умение — учиться самостоятельно:
• ставить учебную цель;
• планировать своё движение к цели и действовать по плану;
• оценивать результаты своего труда.

7
1.1
РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Дробные алгебраические выражения
ГЛАВА I
На уроках алгебры в 7-м классе вы работали с ал-
гебраическими выражениями и знаете, что алгеб-
раические выражения бывают целыми и дробными.
Целым алгебраическим выражением называет-
ся такое алгебраическое выражение, которое содер-
жит только операции сложения, вычитания и умноже-
ния (при этом произведение нескольких одинаковых
сомножителей может быть записано в виде степени
с натуральным показателем), а действие деления либо отсутствует вообще, либо
является делением на действительное число, отличное от нуля.
Можно сказать короче: в целом алгебраическом выражении нет деления на
буквенное выражение.
Например, целыми алгебраическими выражениями (или, для краткости, про-
сто целыми выражениями) являются:
3 2a b−( );
7 5
6
x +
; 7 5 53 2m mn m− + − ; 4 2q p q p pqr+( )− −( ).
Алгебраические выражения, содержащие деление на буквенное выражение,
называются дробными алгебраическими выражениями.
Например, дробными алгебраическими выражениями (или, для краткости,
просто дробными выражениями) являются:
x
x
-
-
1
2
; 5 2 3 1abc b c− − +( ): ; x x
x
2 4 3
1
+ + + ;
2 9
2
y
y x y-
- .
Общее название для целых и дробных алгебраических выражений — рациональ-
ные алгебраические выражения. К их подробному изучению мы и приступаем.
Вспомните, что на уроках алгебры в 7-м классе вы сначала изучили одночлены
и многочлены. После того как вы научились обращаться с ними, было установле-
но, что любое целое выражение может быть преобразовано в многочлен стан-
дартного вида.
Начиная систематически заниматься дробными алгебраическими выражения-
ми, мы сначала научимся работать с наиболее простыми из них — алгебраиче-
скими дробями (или, по-другому, рациональными дробями).
Алгебраической дробью называется дробь, числитель и знаменатель кото-
рой — многочлены стандартного вида. Примеры алгебраических дробей:
a
a
−
+
3
3 1
;
2 7
22 2
x y
x xy y
+
− −
;
5 7
4
mn nk+
;
4
9
.

8
К алгебраическим дробям относят также дроби, числитель и знаменатель ко-
торых — действительные числа (понятно, что знаменатель должен быть отличен
от нуля).
Обратите внимание, что некоторые из выписанных алгебраических дробей явля-
ются целыми алгебраическими выражениями, например
5 7
4
mn nk+
и
4
9
. Это та-
кие алгебраические дроби, знаменатель которых — многочлен нулевой степени,
т.е. действительное число, отличное от нуля.
Алгебраическое выражение
5 1
2 3
x
x x
−
+( ) −( )
является дробным, но его знамена-
тель не является многочленом стандартного вида, значит, согласно приведённо-
му выше определению, это выражение не является алгебраической дробью. В то
же время знаменатель, являющийся произведением двух многочленов, можно
преобразовать в многочлен стандартного вида: x x x x+( ) −( )= − −2 3 62 , в ре-
зультате чего выражение
5 1
2 3
x
x x
−
+( ) −( )
можно будет записать в виде
5 1
62
x
x x
-
- -
,
т.е. в виде алгебраической дроби. Поэтому, допуская вольность речи, выражения
вида
5 1
2 3
x
x x
−
+( ) −( )
иногда тоже называют алгебраическими дробями.
После того как мы научимся работать с алгебраическими дробями, мы устано-
вим, что любое рациональное выражение может быть преобразовано к алгебра-
ической дроби или многочлену. Впрочем, многочлен тоже можно считать част-
ным случаем алгебраической дроби. Например:
x x
x x2
2
4 5
4 5
1
+ − =
+ −
;
5
6
3
8
20 9
24
ab c
ab c
− =
−
и т.д.
Вы также знаете, что если в буквенное алгебраическое выражение вместо
букв подставить числа, то получится числовое выражение. Значение этого чис-
лового выражения называется значением буквенного выражения при выбранных
значениях букв.
Например, значение буквенного выражения 2 192x - при x = 3 равно значению
числового выражения 2 3 192⋅ − , т.е. -1. Значение буквенного выражения
3 8
2
a b
a b
+
−
при a = 4 и b = 0 5, равно значению числового выражения
3 4 8 0 5
4 2 0 5
⋅ + ⋅
− ⋅
,
,
, т.е.
16
3
.
Ясно, что числовое выражение, в которое превращается буквенное выраже-
ние при заданных значениях букв, должно иметь смысл. Это значит, что в этом
числовом выражении не должно быть деления на нуль.
Для целого алгебраического выражения ситуация деления на нуль не могла
возникнуть ни при каких значениях входящих в него букв — ведь если в нём и со-
держится некоторое количество действий деления, то каждый раз это деление на
ненулевое действительное число.

9
Другими словами, целое алгебраическое выражение имеет смысл при всех
значениях входящих в него букв.
Для дробного алгебраического выражения это уже не обязательно так.
Например, дробное буквенное выражение
3 4
2
x
x
+
−
не имеет смысла (или, по-
другому, не определено) при x = 2. Можно сказать и так: выражение
3 4
2
x
x
+
−
име-
ет смысл при всех действительных значениях x, кроме x = 2. Или ещё короче:
при всех x ¹ 2.
Значения букв, при которых определено буквенное алгебраическое выраже-
ние, называются допустимыми значениями букв.
Так, разобранный выше пример позволяет сказать, что допустимые значения
букв в выражении
3 4
2
x
x
+
−
— это x ¹ 2.
Найдём допустимые значения букв в выражении
2
2
2 2a ab b
a b
- -
-
. Выражение
имеет смысл при a b− ≠2 0, или при a b¹ 2 .
Если дробей в алгебраическом выражении несколько, то условия, задающие
допустимые значения букв, могут записываться более громоздко.
Например, для дробного выражения
x y
x
x y
y x y
+
+
−
−
−
+
−3
2
5
5
3 7
2
2
допустимыми
являются значения букв, задаваемые условиями: x ≠−3, y ¹5, 3 7 02x y− ≠ .
Не всегда условие, задающее допустимые значения букв, может быть упроще-
но. Например, допустимые значения букв в выражении
2 1
3 15
x
x x
+
− −
задаются усло-
вием x x5 3 1 0− − ≠ , которое мы не умеем записывать в более простом виде.
Из курса алгебры 7-го класса вы помните, что равенство между двумя целыми
алгебраическими выражениями называется тождеством, если оно верно при всех
значениях входящих в него букв, а два целых алгебраических выражения называ-
ются тождественно равными, если равны их числовые значения при всех значени-
ях входящих в них букв.
Для дробных алгебраических выражений эти определения не годятся, так как
могут быть такие значения букв, при которых дробные выражения не имеют
смысла. Поэтому мы уточним определение тождества таким образом, чтобы
оно оставалось приемлемым для целых алгебраических выражений и в то же вре-
мя подходило бы и для дробных.
Равенство между двумя алгебраическими выражениями называется тождеством,
если оно верно при всех допустимых значениях входящих в него букв, а два це-
лых алгебраических выражения называются тождественно равными, если равны их
числовые значения при всех допустимых значениях входящих в них букв.
Если выписана цепочка равенств между алгебраическими выражениями, в кото-
рой каждое следующее выражение тождественно равно предыдущему, то говорят,
что выполнено тождественное преобразование начального выражения в конечное.
В результате начальное выражение тождественно равно конечному выражению.

10
Н
1 Закончите предложение.
а) Алгебраическое выражение называется целым, если … .
б) Алгебраическое выражение называется дробным, если … .
в) Алгебраическое выражение называется рациональным, если … .
2 а) Что называется алгебраической дробью?
б) Какое другое название имеет алгебраическая дробь?
в) Может ли алгебраическая дробь быть целым алгебраическим выражением?
г) Является ли алгебраической дробью
13
17
?
3 Запишите соответственные буквенные выражения:
а) частное выражений a и a b+ ;
б) частное квадрата суммы x и y и куба разности x и y;
в) разность величины, меньшей p в q раз, и величины, меньшей q в p раз;
г) сумма частного выражений m и n и их утроенного произведения;
д) сумма частного a и числа 2 и произведения a и c;
е) произведение суммы fg и gh на частное выражений g и g f h+ + .
Какие из записанных вами выражений являются дробными?
4 Найдите значения алгебраического выражения
3 2
3
x
x
−
+
при заданных значени-
ях переменной:
а) x = 2; в) x = 7; д) x =1; ж)x =−14;
б) x =
3
2
; г) x =−2 25, ; е) x =−
7
4
; з) x = 2 5, .
5 Найдите значения алгебраического выражения
2 3
4
p q
p
−
+
при заданных значени-
ях переменных p и q:
а) p = 2; q = 2; д) p = 0 25, ; q =−0 23, ;
б) p =5; q = 3; е) p =
1
4
; q =−
3
8
;
в) p =−3; q =−2; ж) p = 0 3, ; q = 0 2, ;
г) p =
3
4
; q =−
5
2
; з) p =
17
13
; q =−
35
39
.
Н
6 Начертите в тетради такую же таблицу и заполните её, вычислив значение
выражения
3 1
2
a
a
-
при указанных значениях a.

11
a 2 0 5, -15, 11 -
5
3
-9
3 1
2
a
a
-
выражения
s
s
s
s+
−
+
1
1
при указанных значениях s.
s -2 0 2 -12 5, 3 3, 19
s
s
s
s+
−
+
1
1
выражения
3 2x y
x y
+
−
при указанных значениях x и y.
x 2 4 5
1
3
0 27, -
2
9
y 3 -1 -7 -0 5, 0 21,
3
7
3 2x y
x y
+
−
выражения
m n
n
n m
m n
+
+
+
−
+
2
3
при указанных значениях m и n.
m 0,5 20 7 -5
1
5
-117,
n 0,7 20 5 -7
-3
25
0 002,
m n
n
n m
m n
+
+
+
−
+
2
3

12
10 Определите, при каких значениях переменной выражение не имеет смысла:
а)
a
a
-
-
2
2
; г)
s
s
s
s2 5
5 1
7 3−
⋅
−
−
;
б)
r
r
r
r2
2 1
1
− ⋅
+
−
; д)
u
u
u
u
u
u−
+
−
+
+
+
−1
1
2 1
2 1
3 1
;
в)
5 7
6 4
x
x
+
−
; е)
11 123
19 133
p
p
+
+
.
11 Определите, при каких значениях букв выражение имеет смысл:
а)
5 2
2 1
s t
s t
− +
+( ) −( )
; г)
u v
u
+
+
2
3 6
;
б)
− + −
−
3 6 2
8 3
g i
g
; д)
x y
x
-
-2 6
;
в)
2
7 11
q pq q
q
+ −
−
; е)
w w
w
2 2 1
4 16
− +
−
.
12 Найдите все допустимые значения букв:
а)
mnk
m n k+( ) +( ) +( )1 2 3
; д)
a
a2 1+
;
б)
5
x
x+ ; е)
s
s
s
s
s
s
s
s
−
−
⋅
−
−
⋅
−
−
⋅
−
−
1
3
3
5
5
7
7
1
;
в)
1 1
1
1
2
1
3y y y y
+
+
+
+
+
+
; ж)
1
2
1
2
2
3 7g
g
g
g
g
g+
−






−
+
−






;
г)
u
u
z
z
z−
−
+
−





1
1
2
; з)
s
s
s
s
+
−
⋅
−
+
2
1
1
2
.
13 Запишите алгебраическое выражение, с помощью которого можно найти
указанную величину:
а) скорость велосипедиста, который за t ч проехал расстояние S км;
б) производительность рабочего, который за t мин сделал N деталей;
в) доля отличников в классе из m учащихся, если в нём k учащихся не отлич-
ники;
г) площадь основания дома высотой H м и объёмом V м3;
д) периметр прямоугольника с одной стороной a мм и площадью S мм2;
е) разность скоростей экспресса и электрички, если они проходят расстоя-
ние S км за время t ч и T ч соответственно.
14 Запишите буквенное выражение для нахождения нужной величины.
а) Пешеход прошёл сначала a км со скоростью x км/ч, а затем ещё b км со
скоростью y км/ч. Сколько часов шёл пешеход?

13
б) Бассейн объёмом V л может наполняться водой через трубу со скоро
стью v л/мин, а сливать воду можно через люк со скоростью u л/мин.
Сколько времени заняла смена воды в бассейне, если сначала воду полно
стью слили через люк, а затем наполнили новой водой через трубу?
в) Лодка движется из пункта A в пункт B против течения со скоростью
v км/ч, после чего сразу же возвращается в пункт A. Сколько времени ей
потребуется на это, если скорость течения u км/ч и расстояние между
пунктами А и B равно S км?
г) Первую часть пути велосипедист проехал со скоростью n км/ч, а вторую
часть — со скоростью m км/ч. С какой средней скоростью двигался вело
сипедист, если длина первой части пути R км, а длина второй части Q км?
П
15 Запишите буквенное выражение для нахождения нужной величины.
а) Первый работник изготавливает N деталей за время t, второй работник ра
ботает в k раз медленнее первого, третий в k раз быстрее первого, а чет
вёртый работает так же быстро, как первый и второй, вместе взятые. Ка
кова средняя производительность этих работников?
б) На предприятии по производству яблочного сока работают 5 соковыжи
малок. Первая, работая одна, обрабатывает партию из N т яблок за A ча
сов, вторая — за время, большее, чем первая, на 1 час, третья — за вре
мя, большее четвёртой в b раз, четвёртая — за время, равное сумме
времени работы первой и второй, а пятая — за время, меньшее, чем пер
вая, в c раз. За какое время эти 5 соковыжималок, работая вместе, обра
ботают партию из M т яблок?
в) Сколько часов путник шёл путь длиной S км, если первую треть он прошёл
со скоростью w км/ч, вторую треть — со скоростью, в 2 раза большей,
а третью треть — со скоростью, меньшей скорости на первой трети пути
в q раз?
16 Лодка, собственная скорость которой x км/ч, прошла S км против течения,
сделала остановку на 30 мин., после чего вернулась назад в пункт отправле
ния. Запишите выражение, показывающее, через сколько часов после от
плытия из начального пункта лодка вернулась назад, если известно, что ско
рость течения равна y км/ч.
17 В 1 кг первого сплава меди и олова меди в A раз больше, чем олова, а в 1 кг
второго сплава меди в B раз меньше, чем олова. Получили новый сплав, взяв
для этого по 1 кг каждого из сплавов. Запишите выражение, показывающее,
как относятся массы меди и олова в этом сплаве.

14
1.2 Алгебраические дроби
Что такое числовая дробь?
Сформулируйте условие равенства двух числовых
дробей.
Закончите предложение.
Для числовых дробей равенство
a
b
c
d
= выполняется
в том и только в том случае, когда… .
Сформулируйте основное свойство дроби.
Расскажите, как сократить числовую дробь. Всегда ли это возможно?
Расскажите, как привести числовую дробь к новому знаменателю.
Как вы думаете, похожи ли свойства алгебраических дробей на известные вам
свойства числовых дробей? Обоснуйте ваш ответ.
Как формулируются свойства алгебраических дробей, аналогичные сфор-
мулированным вами свойствам числовых дробей?
Напомним, что алгебраической дробью называется дробь, числитель и знаме-
натель которой — многочлены стандартного вида. Иногда говорят короче: алге-
браическая дробь — это частное двух многочленов.
Таким образом, алгебраическая дробь — это выражение вида
A
B
, где A и B —
многочлены стандартного вида.
Допустимые значения букв для алгебраической дроби
A
B
задаются условием
B ¹ 0. Вы уже знаете, что иногда это условие удаётся записать в более простом
виде, а иногда нет.
Основные свойства алгебраических дробей очень похожи на хорошо извест-
ные вам свойства числовых дробей, а иногда буквально совпадают с ними.
Вы помните из курса математики 5-го класса условие равенства двух числовых
дробей.
a
b
c
d
= в том и только в том случае, когда ad bc= .

15
Разумеется, мы предполагаем, что b d¹ ¹0 0, .
Аналогично выглядит условие равенства двух алгебраических дробей.
A
B
C
D
= в том и только в том случае, когда AD BC= .
Здесь A, B, C и D — многочлены стандартного вида, причём многочлены B и
D — ненулевые.
Вы также помните из курса математики 5-го класса основное свойство число-
вых дробей.
Если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить или разделить
на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.
Основное свойство дроби можно записать в виде:
a
b
a c
b c
=
⋅
⋅
, где b c¹ ¹0 0, .
Аналогично формулируется основное свойство алгебраических дробей.
Если числитель и знаменатель алгебраической дроби одновременно умножить
или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится алгебраи-
ческая дробь, равная данной.
Основное свойство алгебраической дроби можно записать в виде:
A
B
A C
B C
=
⋅
⋅
, где B и C — ненулевые многочлены.
Так же, как и для числовых дробей, основное свойство алгебраической дро-
би позволяет приводить дроби к новому знаменателю и выполнять сокращение
дробей.
Для приведения алгебраической дроби к новому знаменателю сначала опреде-
ляют добавочный множитель — такой многочлен, произведение которого с име-
ющимся знаменателем равно новому знаменателю. Скажем, приведём дробь
ab
c3
к знаменателю 12 2bc . Добавочным множителем в данном случае будет 4bc,
так как12 3 42bc c bc= ⋅ . Получим:
ab
c
ab bc
c bc
ab c
bc3
4
3 4
4
12
2
2
=
⋅
⋅
= .
Приведём дробь
m n
m n
−
+
5
к знаменателю m n+( )2
. Добавочным множителем
будет m n+( ). Получим:

16
m n
m n
m n m n
m n m n
m mn n
m n
m mn n
m
−
+
=
−( ) +( )
+( ) +( )
=
− −
+( )
=
− −5 5 4 5 4 52 2
2
2 2
22 22+ +mn n
.
Заметим, что часто алгебраическую дробь, особенно в промежуточных пре-
образованиях, бывает удобно записывать, не приводя числитель или знаменатель
(или и тот и другой) к стандартному виду. Скажем, вполне допустимо оставить
дробь, которую мы преобразовывали выше, в виде
m mn n
m n
2 2
2
4 5− −
+( )
.
Для сокращения алгебраической дроби её числитель и знаменатель расклады-
вают на множители и смотрят, нет ли среди них одинаковых. При делении числи-
теля и знаменателя на общий множитель его принято зачёркивать. Сократим,
к примеру, дробь
x x
x
2
2
2
4
+
−
. Для разложения на множители числителя вынесем за
скобки общий множитель x, а в знаменателе применим формулу разности ква-
дратов. Получим:
x x
x
x x
x x
x
x
2
2
2
4
2
2 2 2
+
−
=
+( )
−( ) +( )
=
−
.
При работе с алгебраическими дробями часто приходится иметь дело со зна-
ком «–» и полезно уметь записывать его наиболее удобным для нас образом,
в наиболее удобном для нас месте. Это делается с помощью следующего свой-
ства дроби.
−
=
−
=−
A
B
A
B
A
B
.
Например, при сокращении дроби
2 3
3 2
p q
q p
-
-
можно поступить так:
2 3
3 2
2 3
2 3
2 3
2 3
1
p q
q p
p q
p q
p q
p q
−
−
=
−
− −( )
=−
−
−
=− .
Н
а) Алгебраической дробью называется … .
б) Допустимые значения букв в алгебраической дроби — это … .
в) Для приведения алгебраической дроби к новому знаменателю нужно … .

17
2 а) Сформулируйте условие равенства двух алгебраических дробей.
б) Сформулируйте основное свойство алгебраической дроби.
3 Приведите дроби к указанным знаменателям:
а)
xy
z
3
3
к знаменателю 6xyz; д)
bl
mt
2
к знаменателю -2mty;
б)
9 3
2
p
w y
к знаменателю 2 2 2psw y ; е)
2
9
d
j
к знаменателю 3 2jy ;
в)
4 3s
jz
к знаменателю 9jzt; ж)
3
8
2h
ag
к знаменателю 4 2 3a g ;
г)
9 2 3
2
b u
cp
к знаменателю 7 2 2c p x; з)
4
3
2 3
2
k w
j
к знаменателю 27 2j .
а)
ab
a
-
-
1
1
к знаменателю a−( )1
2
;
б)
f
c f
−
−( )
4
3
к знаменателю 3 3 2 3 3c f c f- ;
в)
3
5 4 3
u l u
u
+( )
+
к знаменателю10 8 3l lu+ ;
г)
a a
a a
2
2
1
2 1
+ −
+ +
к знаменателю a +( )1
3
;
д)
9 4
3 8
+
+
x
x
к знаменателю - -6 163 2 3xz x z ;
е)
8 7
2 3
3
2
uz g
u z
−
+
к знаменателю 6 92 2 2 2g u z g z+ .
5 Запишите выражение 5x y- в виде дроби со знаменателем:
а) 3x; б) x y- ; в) 3 4s v+ ; г) 5.
6 Сократите дробь:
а)
4
3
3 4
5 6 6
b hv
b h v-
; в)
-
-
5
5
6
6 6 3
z
g k z
; д)
2
9
2 4
4 2 5
jmp r
j mp r
; ж)
-9
3
4 2
6 6
fpr z
p r z
;
б)
7
2
3
5 2 5
gu v
g u v
; г)
8
2
2 3 4 5
2 2 6
d p r y
d p z
; е)
-8
5
6 3
5 2
ak r
k r
; з)
j x
j s w x
2 2
2 5 2 67
.

18
а)
ab a b
a b
−( )
−( )
2
3 2
; д)
2 6
3 9
x y
x y
+
+
;
б)
x y x y
x y xy
+( ) +( )
+( )
2 4
2 4
; е)
k k
k k
+( ) +( )
+( ) +( )
1 2
2 3
;
в)
5 3
5 3
nm nq
m q z
+
+( )
; ж)
uv uv
v g
2
1 2
+
+( ) −( )
;
г)
a i ja
i j i j
2 2−
−( ) +( )
; з)
pq z s
z s p q
2
2
2
2
−( )
−( ) +( )
.
а)
m mn
m n
2
2 2
-
-
; г)
q q p q p
q q p q p
2 3 4
4 3 2
2
2
−( ) −( )
−( ) −( )
;
б)
k l
k l
2 2
2
−
+( )
; д)
u v
u v
2 2
3 3
-
-
;
в)
s s
s s
2 3
4 2
1
1
+( )
+( )
; е)
f g
f g
+( )
+
3
3 3
.
Н
а)
x x
x
2
2
6 9
9
− +
−
; г)
x y
x xy y x y
+( )
+ +( ) −( )
5
2 2 4
2
;
б)
25 70 49
5 7
2 2
3
ug guh h u
g h
+ +
+( )
; д)
4 25
4 20 25
2
2
z
z z
−
− +
;
в)
k l
k l k l
4 4
2 2
−
( )+( ) +
; е)
6 15
2 5
2 4 4 2
3
h j x j h
x
+
+( )
.
10 Запишите частное в виде дроби, после чего сократите её:
а) 12 182 4 2 3 2x yz x y z( ) ( ): ; д) a b a b2 2 3 3−( ) −( ): ;
б) 10 54 6 2 6 5 3 2fu v z f u v z( ) ( )−: ; е) g h g h+( ) +( )2 3 3: ;
в) 3 95 8 5 3 6jp u j p u( ) ( ): ; ж) 8 27 2 33 3 3
q k q k+( ) +( ): ;
г) − −( ) ( )4 43 6 3 5 6 6 3 6a b c j a b c j: ; з) 125 343 5 73 3 3
v u v u−( ) −( ): .

19
11 Упростите выражение:
а)
a b ab a b
ab
2 2
1
+ + +
+
; г)
− + −
−( )
27 126 147
7 3 2
2s s
s :
;
б)
u v uv u
u
2 2 2
2
− + −
−
; д)
a a b ab b
a b a b ab
3 2 2 3
3 2 2 3
3 3
2
− + −
− +
;
в)
2 2
2 2
2
2
b ab as bs
b ab as bs
− + −
− − + +
; е)
x x y x y y
x y
5 3 2 2 3 5
4 4
+ − −
−
.
а)
x y
y x
-
-
5
5
; в)
x y
y x
−( )
−( )
5
5
3
4
; д)
x y
y x
−( )
−( )
5
5
5
3
; ж)
x y
y x
−( )
−( )
5
5
4
2
;
б)
x y
y x
−( )
−
5
5
2
; г)
5
5
3
4
y x
x y
−( )
−( )
; е)
5
5
4
4
y x
x y
−( )
−( )
; з)
x y
y x
−( )
−( )
5
5
2
5
.
П
а)
a ab a b
a b
2
2 2
5 3 15
25
+ + +
−
; д)
a a b ab b
a a b ab b
3 2 2 3
3 2 2 3
2 4 8
6 12 8
+ − −
+ + +
;
б)
a b c ab
a b c
2 2 2
2
2+ − +
+ −( )
; е)
− + − +
− − +
64 144 108 27
16 8 15 9
3 2 2 3
3 2 2 3
p p t pt t
p p t pt t
;
в)
x y x y
x y x y x y x y
8 8 4 4
2 2 4 4 2
−( ) −( )
−( ) +( ) +( ) +( )
; ж)
11 6 6
2 3
2 3 4
2 3 4
x x x x
x x x
− − +
− +
;
г)
2 6 4 3 4
4 2 4
2 2
2 2
− + − + +
− − + +
r r s rs s
r r s rs s
; з)
x y x y x y x y
x y x y x y x y
9 6 11 10 13 14 15 18
9 6 11 10 13 14 15 18
+ − −
− − +
.
а)
a
a
6
4
1
1
+
−
; г)
a b c b a c
a b c b a c
−( )− −( )
−( ) − −( )2 2
;
б)
x x y xy y x z y z
x x y xy y x z y z
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
+ − − − +
− − + + −
; д)
q qp q t pt p t qpt
pt p t qpt q qp q t
+ + + + +
+ + − − −
2 2 2
2 2 2
;
в)
a b a b
a b a b b
+( ) − −( )
+ +
3 3
4 2 3 518 12 2
; е)
g g j j
g j
8 4 4 8
12 12
+ +
−
.

20
М
а)
a b c
a b c abc
+ +
+ + −3 3 3 3
;
б)
x y z x y z
x y x z
+ +( ) − − −
+( ) +( )
3 3 3 3
3
;
в)
x y z x y z x yz xy z x y z xyz
x y z x y z x yz xy z
3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3
3 2 2 3 2 2 2 2
+ + + + +
+ − − ++ −x y z xyz2 2 2 3
;
г)
d a b b c b a d c d
c a b a d a b c c d
2 2
2 2
−( ) −( )+ −( ) −( )
−( ) −( )+ −( ) −( )
;
д)
a b c d a b cd abc d cd ab
a b c d
3 3 3 3 2 2 2 2
2 2 2 2
3 3+ + + − −
−
;
е)
x x x x x x x
x x x
−( ) −( ) + −( ) + −( ) + −( ) −( ) −( )
−( ) +( ) ++
3 5 4 3 2 14 2 9
9 5
2 2 2 2
2
44 3 2 58 2 3
2 2 2
( ) +( ) +( ) −( ) −( )+ +x x x x
.
1.3 Сложение и вычитание алгебраических дробей
Расскажите, как выполняют сложение и вычитание
числовых дробей с одинаковыми знаменателями.
Расскажите, как выполняют сложение и вычитание
числовых дробей с разными знаменателями.
Расскажите, как находят общий знаменатель чис-
ловых дробей.
Расскажите, как определяют добавочные множи-
тели.
Как вы думаете, похожи ли правила сложения и вычитания алгебраических
дробей на известные вам правила сложения и вычитания числовых дробей?
Обоснуйте ваш ответ.

21
Как выполняют сложение и вычитание алгебраических дробей?
Вспомним, как мы выполняем сложение и вычитание числовых дробей.
Сначала рассмотрим случай, когда знаменатели дробей одинаковые.
Складывая дроби с одинаковыми знаменателями, мы складываем их числите-
ли, а знаменатель оставляем прежним.
Например,
8
17
3
17
8 3
17
11
17
+ =
+
= .
При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями мы вычитаем из числи-
теля первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставляем прежним.
Например,
7
9
5
9
7 5
9
2
9
− =
−
= .
И, наконец, чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателя-
ми, мы сначала приводим дроби к общему знаменателю, а затем складываем
или вычитаем по сформулированным выше правилам сложения и вычитания дро-
бей с одинаковыми знаменателями.
Например, найдём сумму дробей
5
12
и
7
18
. Общим знаменателем этих дробей
является 36, поэтому сначала приведём дроби к этому знаменателю:
5
12
5 3
12 3
15
36
=
⋅
⋅
= ;
7
18
7 2
18 2
14
36
=
⋅
⋅
= .
Теперь выполняем сложение:
5
12
7
18
15
36
14
36
15 14
36
29
36
+ = + =
+
= .
Сложение и вычитание алгебраических дробей производится по точно таким
же правилам.
Основные трудности здесь технические — научиться находить общий знаме-
натель. В большинстве случаев для этого нужно предварительно разложить име-
ющиеся знаменатели на множители, а затем поступать так же, как при нахожде-
нии наименьшего кратного, — брать произведение всех встретившихся множите-
лей, причём в наибольшей из встретившихся степеней.
Например, найдём сумму дробей
2
15 3
m
n
и
7
9 2 2m n
.
Здесь знаменатели уже разложены на множители. Коэффициентом общего
знаменателя будет наименьшее общее кратное коэффициентов имеющихся зна-
менателей, т.е. 45, буква n войдёт в общий знаменатель в 3-й степени, а буква
m — во 2-й. После того как общий знаменатель найден, определяем добавочные
множители (для первой дроби это будет 3 2m , а для второй 5n) и выполняем сло-
жение:

22
2
15 3
3 2
m
n
m
+
7
9 2 2
5
m n
n
=
6 35
45
3
3 2
m n
n m
+
.
Найдём разность дробей
a b
a b
-
-
2
2 2
и
a b
a ab
−
+2
. Сначала разложим знаменатели на
множители:
a b
a b
a b
a ab
a b
a b a b
a b
a a b
−
−
−
−
+
=
−
−( ) +( )
−
−
+( )
2 2
2 2 2
.
Теперь находим общий знаменатель, им будет a a b a b−( ) +( ), определяем до-
бавочные множители и заканчиваем вычитание:
a b
a b
a b
a ab
a b
a b a b
a b
a a b
a a b
−
−
−
−
+
=
−
−( ) +( )
−
−
+( )
−
2 2
2 2 2
a a b a
=
−( )− −2 bb
a a b a b
( )
−( ) +( )
=
2
=
− − + −
−( ) +( )
=
−
−( ) +( )
=−
−
=
−
a ab a ab b
a a b a b
b
a a b a b
b
a ab
b
a
2 2 2 2 2
3 2
22 2
33 2−( )
=
ab
=
−
b
ab a
2
2 3
.
На последних шагах мы перенесли знак «–» в знаменатель, что позволило запи-
сать окончательный ответ с меньшим количеством минусов.
При нахождении алгебраической суммы многочлена и дроби многочлен обыч-
но записывают в виде дроби, после чего действуют по обычному алгоритму. На-
пример:
2 3
6 1
3 1
2 3
1
6 1
3 1
2 3 3 1 6 1
3
2
3 1
2
1
2
t
t
t
t t
t
t t t
t
t
+ −
+
−
=
+
−
+
−
=
+( ) −( )− +( )
−
−−
=
1
=
− + − − −
−
=
−
−
6 2 9 3 6 1
3 1
7 4
3 1
2 2t t t t
t
t
t
.
При нахождении алгебраической суммы нескольких дробей можно находить
общий знаменатель сразу для всех дробей. Например:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x x
−
+
+
−
−
+
−
=
−
+
+
+( ) −( )
−
+
−
=
−
− +
3
3
4
9
3
3
3
3
4
3 3
3
3
2
2
3
2
3
33 4 3
3 3
2 2 2
( ) + − +( )
+( ) −( )
=
x x
x x
=
− + + − − −
+( ) −( )
=
−
+( ) −( )
=
−( )
+
x x x x x
x x
x x
x x
x x
x
2 2 2 26 9 4 6 9
3 3
4 12
3 3
4 3
33 3
4
3( ) −( )
=
+x
x
x
.
В то же время бывают ситуации, когда находить общий знаменатель сразу для
всех дробей нерационально, а гораздо удобнее работать с дробями по очереди.
Например, найдём следующую сумму трёх дробей:

23
1
4 5
1
5 6
1
6 7m m m m m m+( ) +( )
+
+( ) +( )
+
+( ) +( )
.
Если действовать, как в предыдущем примере, то получим:
1
4 5
1
5 6
1
6 7
6 7 4 7 4
m m m m m m
m m m m m
+( ) +( )
+
+( ) +( )
+
+( ) +( )
+( ) +( ) +( ) +( ) +(( ) +( )
=
m 5
=
+( ) +( )+ +( ) +( )+ +( ) +( )
+( ) +( ) +( ) +( )
m m m m m m
m m m m
6 7 4 7 4 5
4 5 6 7
.
Громоздкий числитель можно после выполнения всех действий упростить, но
возникнет проблема его разложения на множители (ведь получившуюся дробь
нужно попытаться сократить).
Попробуем действовать по-другому. Найдём сначала сумму первых двух дро-
бей в надежде, что она возможно упростится. Получим:
1
4 5
1
5 6
6 4
4 5 6
6 4
m m m m
m m
m m m
m m
+( ) +( )
+
+( ) +( )
=
+ + +
+( ) +( ) +( )
=
+ +
=
+
+( ) +( ) +( )
=
+( )
+( ) +( ) +( )
=
+( ) +( )
2 10
4 5 6
2 5
4 5 6
2
4 6
m
m m m
m
m m m m m
.
Теперь сложим полученную сумму с третьей дробью:
2
4 6
1
6 7
2 7 4
4 6 7
7 4
m m m m
m m
m m m
m m
+( ) +( )
+
+( ) +( )
=
+( )+ +
+( ) +( ) +( )
=
+ +
=
+
+( ) +( ) +( )
=
+( )
+( ) +( ) +( )
=
+( ) +( )
3 18
4 6 7
3 6
4 6 7
3
4 7
m
m m m
m
m m m m m
.
Ответ можно оставить в таком виде, а можно раскрыть скобки в знаменателе,
привести подобные и получить
3
11 282m m+ +
.
Возникает естественный вопрос: «Какой же вид лучше?» Ответ зависит от кон-
кретной ситуации, от того, что мы собираемся делать с полученным выражением
дальше. Решая задачи, вы постепенно приобретёте необходимый опыт.

24
Н
а) Для нахождения суммы алгебраических дробей с одинаковыми знамена-
телями достаточно … .
б) Для нахождения разности алгебраических дробей с одинаковыми знаме-
нателями достаточно … .
а) Для нахождения суммы алгебраических дробей с различными знаменате-
лями достаточно … .
б) Для нахождения разности алгебраических дробей с различными знамена-
телями достаточно … .
3 Найдите общий знаменатель дробей:
а)
x
y z3 3
и
3
5 2 3xy z
; д)
x
y z3 3
и -
a l
d
4
3
;
б)
4
3
5
6
by
f p
и -
4
7
2
5
kw
df
; е) -
au3
20
и -
tw
k p
4
35
;
в) -
3
2 2cks
и
4 2
5
g
f v
; ж)
2
5
2
4 3
u
d z
и -
5
6
3 6
3
e x
z
;
г) -
d t
l s
3 4
3 3
и
3
8 3l s
; з)
9
2 2 2
cf
h y
и
3
2
2
4 4
p
u w
.
а)
2
2a ab+
и
3
2
a b
b ab
−
+
; г)
p qr
pqr p q
+
+ 2
и
pq r
pqr p q
+
− 2
;
б)
y
y y2 +
и
y
y y2 -
; д)
1
4 3 3n m n+
и
1
4 4 3n m n+
;
в)
u v
u v v u
+
+2 2
и
uv
u v v u3 2 3 2+
; е)
g h
g h
+
−
и
g h
g h
−
+
.
а)
x
x x
−
+
1
42
,
3 1
42
x
x x
-
-
и
2 1
162
x
x
-
-
; в)
r s
rs
-
,
rs
r s-
и
1
rs r s−( )
;
б)
1
a b+
,
2
a b-
и
3
2 2a b+
; г)
6
7 2 5
v
e u
,
5
2
4
2 4
d
bf v
и
2
3
3
4
b
k tw
.

25
6 Найдите сумму дробей:
а)
3
2
a
a b-
и
b
a b
-
-
1
2
; г)
q p
p
-
-2
и
2 2
2
p q
p
- -
-
;
б)-
4
7
2
3
m
w
и -
3
7
2
3
m
w
; д)
49
7 3
2
2
p
p b-
и
-
-
9
7 3
4
2
b
p b
;
в)
6
3 8
5 4
3 6
g t
t t-
и
-
-
5
3 8
5 4
3 6
g t
t t
; е)
6 4
6 4 8
6
3 6
,
,
h
h h-
и
3 6
6 4 8
6
3 6
,
,
h
h h-
.
7 Найдите разность дробей:
а)
2
3
x y
x y
+
−
и
2
3
x y
x y
-
-
; д)
w w
w
2
2
1
1
− +
+( )
и
w
w+( )1
2
;
б)
a b
a b
−
+
2
2
и
a b
a b
+
+
2
2
; е)
f g
f g
3 3
3
+
+( )
и
− +( )
+( )
3
3
fg f g
f g
;
в)
rd r
d r
-
-
3
4
и
rd r r
d r
− +
−
5 3
4
; ж)
2 11
5 14
n n
n n
−
+
и
− −
+
7 3
5 14
n n
n n
;
г)
i u
iu
-7
и
i u
iu
+7
; з)
5
3 5
4 6
3 5
k u
ku ku-
и
3
3 53 5
rx
ku ku-
.
Н
8 Найдите алгебраическую сумму дробей:
а)
x y
x y
x y
x y
+
−
+
−
−
3
3 9
3 2
2 6
; г)
− +
+
+
+
+
4 7
40 36
9 7
100 90
b k
t u
f y
t u
;
б)
9 10
90 45
5
10 5
d l
d
z
d
−
− −
+
− −
; д)
10
16 40
2 10
28 70
m
g s
h z
g s− +
+
− −
−
;
в)
9 4
60 36
2 10
90 54
h t
j x
s u
j x
−
− +
+
− −
− +
; е)
− −
+
+
+
− −
6 5
100 30
10
60 18
f k
j
p u
j
.
9 Выполните действия:
а)
2
6
3
42 2
x y
x y
x y
xy
−
+
−
; г) −
− −
+
− +8 2
2
5
74 2 6
w x
d l
w x
dl
;
б)
4
3
8 2
72 2
z
k p
d r
k
-
- -
; д) −
−
+
+2 6
6
7 10
74 6 6
h r
t u
h r
tu
;
в)
r c
m n
r c
m n
−
+
+
6 5 5
; е)
8 6
6 76 6 2
e y
w q
e y
w q
+
+
−
.

26
а)
4
9
2
3
1
63 2 2 3a b a b ab
+ − ; д)
4
9
2
3
1
63 2 2 3a b a b ab
+ − ;
б)− − +
1
8
1
9
1
105 5 5d k y s z
; е)
1
8
1
3
1
106 11 6f u u
− + ;
в)
1
8
1 1
76 5 2 4f g j a
- - ; ж)
1
8
1
9
1
86 3 5 4 4r r y r y
+ + ;
г)
1 1
8
1
5 3e t u c v
+ + ; з) - - -
1
9
1
7
1
29 2 2c c bc
.
а)
a b
a b
a b
b a
+
−
−
−
−2 2
; г)
4
2
8
12 6
b c
b c
b c
b c
−
−
+
+
−
;
б)
1
2 2k
l
k k l
−
+( )
; д)
4 9
7 6
10 2
7 6
e m
e m
e m
se sm
−
−
−
+
−
;
в)
i
ai a j
j
bi abj+
+
+2
; е)
g h
gh h
g h
g gh
3 2
2
2 3
22 2
+
−
−
+
−
.
а)
x xy
x y
x
2 2
3
+
−
+ 2 ; д) 12
4 6
9 2
2
b
p w
e z
+
−
−
;
б)− +
−
−
−7
9 9
4
42
2
2g
w v
k l
hy ; е)
9 5
8 5
20 2
3 2c h
d j
h t
−
−
+ − ;
в) 40 7
33 3
2 2 3
f s
e l t
g m
+ +
−
+
; ж)
3 8
9 6
4 8
3
3 2-
-
- -
w
j z
f v ;
г) 2
6 8
10 8
2 2 3
-
-
-
j y w
t y
; з) 4
20
9
3
x
m y u
l m
+
−
+
.
а)
m
an bn
n
am bm-
-
-
; г)
7 4
8 16
3
4 8
g v
dl dv
i w
hl hv
−
+
−
−
+
;
б)
2 9
9
14 3
27 3
c w
aly awy
w
lz wz
−
−
+
+
−
; д)
k p
k p
p k
kz pz
−
− +
−
−
− +
2
30 10
4 3
30 10
;
в)
7 9
35 10
5 10
28 8
f h
lr rt
e x
lz tz
−
−
+
−
−
; е)
n t
gn gt
n t
n t
−
+
+
+
+
7
60 40
4 4
60 40
.

27
а)
m
m n
n
m mn2 2 2-
-
-
; д)
a b
a b a b
+( )
−( )
+
−
2
2 2 2
1
;
б)
1
25 5
1
4
5
1
2
2x x
x
x− +
−
−
; е)
1
2
1
2
12 11
u v u u v+( )
−
+( )
;
в)
x
x x y
y
x x y2 3 2 2 3 2−( ) +( )
+
−( ) −( )
; ж)
g
f g f g
2
4 4 2 2
1
−
+
+
;
г)
2 5
5 4 3
2 5
2 4 3
u j
j i r b
u j
j r b
−
−( ) −( )
+
−( )
+ ; з)
1
1 2
1
22q q q
q
q q−( ) −( )
+
−
−
.
15 Преобразуйте выражение в дробь:
а)
x
x x
x
x
+
− +
−
−
−
1
6 9
1
92 2
;
б)
a h ah
aa ah h h
+
−
−− +25 20 4 4252 2 22
;
в)
a c b d
ac bc ad bd ac bc ad bd
+
+
+
+ + + + − −
;
г)
x
x x x
x
x x
2 1
1 2 1 2
+
+( ) +( )
−
+( ) +( )
;
д)
f f f
f
f
f f f
6 2 4
12
2
2 4 6
1 2 2
1
2
1 2 2
− + −
−
−
+
+ + +
;
е)
2 3
4 12 9
2 3
4 12 92 2
u v
u uv v
u v
u uv v
+
− +
+
−
+ +
.
16 Представьте выражение в виде дроби:
а)
2 4
4 4
2 1
22 2
x
x x
x
x x
+
− + −
+
−
−
; г)
z z
z z z z z
−
+
−
− − +
3 1
2 33 2 3
;
б)
1 1
8 12 6 4 42 3 2+ + + + +
−
a a a a a
; д)
9 8 1
3 9 3 33 3 2
t
t t t t
+
−
−( ) − − +( )
;
в)
s
s s
s
s s
+
+( ) +( )
−
+
+( ) +( )
4
1 2
5
1 3
; е)
i j
i j i j
i j
ij
+
+( ) − −( )
+
−
2 2
.

28
а)
1 1 2
2 2 2 2x xy xy y x y+
−
−
+
−
; г)
5 5 1
3 3 3 3m n m n mn+
+
−
+ ;
б)
1 1 1
2 3a b a b a b+
+
+( )
+
+( )
; д)
1 1 2
2 2q p q p
q
q p+
−
−
+
−
;
в)
u v
u v
u v
u v u v
u v−( )
+
+
−( )
+( )
+
+( )
−( )3 2
2 4
2 2 2
; е)
z
z
z
z
z
z
−
+
−
−
+
+
−
+
−
1
1
2
2
3
3
1.
а)
10
25 1
5 1
15 3
5 1
10 22
a
a
a
a
a
a−
−
+
−
+
−
+
; г)
k
k
k
k
k
k
−
+
−
+
+
−
−
1
6
2 3
1
2
1
6 1
9
4
2
;
б)
3
1
2
6
3
8
16
7
58
21
8 2
2
2
7
7 12
s
s
s
s
s
s
+
−
−
+
−
+
+
+
; д)
y
y
y
y
y
y
+
+
+
+
−
−
+
−
9
2
2 1
2 7
4 1
7
2
2 12
;
в)
w
w
w
w
w
w
+
−
+
−
−
−
+
+
49
13
9
441
4
97
26
2 7
2
113
234
4 12
; е)
j
j
j
j
j
j2 9
2
11
2
3
3
2
2
1−
+
+
+
+
−
−
.
П
а)
3 1
5 2 3 1
5 2
5 2 3 1
3 2 2 3
l
l l
l
l l
+
−( ) −( )
−
+
−( ) −( )
;
б)
b a b
a b ca ab b ac bc
2
2 22+ + + +
+
−
+ +
;
в)
i i
i i
i i
i i
i
i i
+( )
+( ) +( )
−
+( ) +( )
+( )
−
+( ) +( )
1
2 3
2 3
1 1 2
;
г)
1 1
1
1
2
1
3
1
4x x x x x
−
+
+
+
−
+
+
+
.
а)
a ab a b
a b
a
b a
2
2 2
5 3 15
25 5
+ + +
−
+
−
;

29
б)
h h h
h h
h h h h h h h h h
h h
− +
+
+
− + − + − + − + − +
−
3 7
2 3
2 3 4 5 7 9 10 11 12
8
1
;
в)
a a b ab b c ac bc c
a b c a b c
a b c
a b c
− + + + + − − +
+ +( ) + −( )
+
− +
+ +
2 2 22 3 6 4 2 4
;
г)
xy x xy x y xy y
x y x y y x
x y
x y y x
− − + + +( )
+( ) +( )
+
−
+
2 2 2 3
2 2 2 3 2 3
2
3 3
2
;
д)
− + −( )+ +( )+ +( )
− + −( ) + +( )
+
+4 5 1 4 5
4
43 2
2 2
r r Rw Rw Rw r Rw
r r Rw r r Rw
wR r
wRR r r+ +2 4
.
а)
f g
f g h
f g
f g h
f f g fg h gh
f fg g h
+
+ +
+
−
+ −
+
− + − − +
+ + −
2 2 2
2
2
2 2 2
;
б)
5 3
1 2
23 23 8
1 2 3
9
1 2
2 3 4x
x x x
x x x x
x x x x x x
−
+( ) +( )
+
+ + +
+( ) +( ) +( )
+
+( ) +( )) +( )3 x
;
в)
x y
x y
x y y y xy y x
x y x y
+
+
+
−( )+ +( )+ +( )−
−( ) +( )2 3
12 8 5 3 2 4 7 13 32
4 5 2 3
2 2 3
66 5 6 5x y
x y
x y+( )
+
−
+
;
г)
a b
a b
a b
a b
a b
a b
+
−
+
− −
−
+
−
+
1 2 22 2
2 2
;
д)
i j
i j
i j
i j
i j ij i
i ij j
+
+ +
+
−
+ −
+
+ + − −
+ + −1 1
1 3 2 2
2 1
2
2 2
;
е)
x
x
x
x
x
x x x
2
4 2
3
2 3
1
1
1
1
1
1
−
−
+
−
−
+
−
+ + +
.
М
а)
1 1 1
x y z y y z x z z x y x−( ) −( )
+
−( ) −( )
+
−( ) −( )
;
б)
a b
c d ac bd
b a b c bc
c d
a b
c d ac bd
−
−( ) −( )
+
+ −( )− −
−
+
+
+( ) −( )
2
2 2
2
;
в)
1 1
2
2 2 3
3 2
2 2 2 2
2 2 2 2rs S rs S
r s rsS S S
rs S r s rsS S+
+
+
−
− −( )
+( ) + +( )
+
;

30
г)
k m n k n kmn m n kn mn n
kmn m n kn mn n
n m k
n
+ + − − − − − −
+ + + +
+
+ +2 2 2 2 3
2 2 2 3
2 2 3 2
2 ++
+
+ +m
n
n m k
;
д)
2 3
2 3
14 45 60 150
2 5 4 16 15
2 5
2 5
2 3
2
+
−
−
+ − −
+( ) − +( )
+
+
−
d
d
d d d
d d d
d
d
.
а)
x y
x y
y z
y z
z x
z x
z x y z x y
z x y z x y
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−( ) −( ) −( )
+( ) +( ) +( )
;
б)
x y z
a b
x a y a z a
a a b
x b y b z2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
+
−( ) −( ) −( )
−( )
+
−( ) −( ) −−( )
−( )
b
b b a
2
2 2 2
;
в)
u
u v
v u u u
u u v
uv l x l y l z
l l
l x y z
l
l−( ) −( ) −( )
−( ) −( )
+
−( ) −( ) −( )
−( ) −( )
+
vv v v
v v u
x y z
l
−( ) −( ) −( )
−( ) −( )
;
г)
g h j
g f h f j f x f
f h j
f g h g j g x g
+ +
−( ) −( ) −( ) −( )
+
+ +
−( ) −( ) −( ) −( )
+
+
+ +
−( ) −( ) −( ) −( )
+
+ +
−( ) −( ) −( ) −( )
f g j
f h g h j h x h
f g h
f j g j h j x j
;
д)
1
2
4 2 3 5 6 2
2 1 1 2 2
1
2
2 4 5 6
2 2x x
x x x x x
x x x x x x x+ +−
+
− + + − − −
−( ) +( ) +( ) + +( ) xx xx−
+
+





+
+1
1
12
+
++
1
22x x
;
е)
x
x
x
x
+
−
+
+
−
−
( )1
1
1
1
1 1
10 8
x x x x x x x x x x
−
+( ) + +( ) − + − + − + +( )1
1
1 1 1 3 3 2 22 4 2 4 2 3 4 6 ++
−( ) + − + − + + + + +
( )
( )( )( )
x
x x x x x x x x x x
8
12 4 2 3 4 2 3 41 1 1 1
;
ж)
a b c d
ab bc
a b c
ac b
+ + +
+
+
+ +
+
−2
−
+( )+ + + +( )( )+ + + +( )( )
+( ) +( )
a b c b b c b c d a b bc c c d
b a c b ac
2 2 2 2
2
3
;

31
з)
n m
n m
n m
n m
−( )
+( )
+
+( )
−( )
−
4
4
4
4
−
+ + − − + + + +
−( ) +(
m m n n m n m n m n m n m n
n m n m
6 8 8 6 4 2 6 2 2 4 4 4 2 6
2
2 2 3 56 3 140 56
)) − +( )2 4 2 2 42m m n n
.
1.4 Умножение и деление алгебраических дробей
Расскажите, как выполняют умножение числовых
дробей.
Сформулируйте переместительный и сочетатель-
ный законы умножения для числовых дробей.
Сформулируйте распределительный закон умно-
жения относительно сложения для числовых дро-
бей.
Расскажите, что такое обратная дробь.
Расскажите, как выполняют деление числовых дробей.
Как вы думаете, похожи ли правила умножения и деления алгебраических
дробей на известные вам правила умножения и деления числовых дробей?
Обоснуйте ваш ответ.
Как выполняют умножение и деление алгебраических дробей?
Точно так же, как это было со сложением и вычитанием, совсем кратко мож-
но сказать так: умножение и деление алгебраических дробей выполняется по та-
ким же правилам, как умножение и деление числовых дробей.
Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произ-
ведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.
Это можно записать так:

32
A
B
C
D
A C
B D
⋅ =
⋅
⋅
.
Здесь A, B, C и D — многочлены стандартного вида, причём многочлены B и
D — ненулевые.
Полученную дробь нужно попытаться сократить. В некоторых случаях это уда-
ётся сделать.
Найдём, например, произведение дробей
x y
x
+
2
и
x
y
3
. Получим:
x y
x
x
y
x y x
x y
x y x
y
x xy
y
+
⋅ =
+( )⋅
⋅
=
+( )⋅
=
+
2
3 3
2
2
.
Как мы уже обсуждали раньше, иногда выгодно не раскрывать скобки в числи-
теле или знаменателе получившейся дроби. Скажем, мы могли оставить наше
произведение в виде
x y x
y
+( )⋅
. Особенно часто так поступают на промежуточ-
ных стадиях преобразований.
Для операции умножения алгебраических дробей выполняются перемести-
тельный и сочетательный законы.
A
B
C
D
C
D
A
B
⋅ = ⋅ ;
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
⋅





⋅ = ⋅ ⋅





.
Здесь A, B, C, D, E и F — многочлены стандартного вида, причём многочлены
B, D и F — ненулевые.
Для алгебраических дробей выполняется также распределительный закон ум-
ножения относительно сложения.
A
B
C
D
E
F
A
B
E
F
C
D
E
F
+





⋅ = ⋅ + ⋅ .
Здесь A, B, C, D, E и F — многочлены стандартного вида, причём многочлены
B, D и F — ненулевые.
Для алгебраических дробей выполняется также правило возведения дроби
в степень.
A
B
A
B
n n
n





 = .
Здесь A и B — многочлены стандартного вида, причём многочлен B – ненуле-
вой, n — натуральное число.

33
Для алгебраической дроби
A
B
, числитель которой — ненулевой многочлен,
дробь
B
A
называется обратной дробью. Алгебраические дроби
A
B
и
B
A
называют-
ся взаимно обратными. Произведение взаимно обратных дробей равно едини-
це:
A
B
B
A
⋅ =1. Здесь A и B — ненулевые многочлены стандартного вида.
С помощью обратной дроби можно определить операцию деления алгебраи-
ческих дробей.
Чтобы разделить дробь на дробь, можно делимое умножить на дробь, обрат-
ную делителю.
Это можно записать следующим образом.
A
B
C
D
A
B
D
C
A D
B C
: = ⋅ =
⋅
⋅
.
Здесь A, B, C и D — многочлены стандартного вида, причём многочлены B, C
и D — ненулевые.
Н
а) Для нахождения произведения двух алгебраических дробей нужно … .
б) Для возведения алгебраической дроби в степень с натуральным показате-
лем нужно … .
а) Для нахождения алгебраической дроби, обратной данной, нужно … .
б) Произведение взаимно обратных алгебраических дробей равно … .
в) Для нахождения частного двух алгебраических дробей нужно … .
3 Запишите дробь, обратную данной:
а)
x
y z3 3
; в) -
9
10
3 2
3
h y
m
; д)
2
3
x y
x y
+
−
; ж)
5
4 2
g r
a r
-
-
;
б)-
8
5
2
2
c z
gmy
; г)
2
5
2s
y
; е)
8
7 8
p
m d-
; з)
3 7
2 3
x v
j l
−
+
.

34
4 Перемножьте дроби:
а)
2
2
cd
a b
и
3
2
ab
c d
; д)
7
6
3
2
n r
u
и -
a s
dk
3
9
;
б)-
2
3
3c
и
9
5
2f
h
; е)
m
fk
2
и
7
9
r
;
в) -
4 6
2
z
g
и -
2
7
3
2
l
j
; ж)
2
2 2
y
e h
и
4 3fr
j
;
г) -
m
nx3
и
4
3
3
3
f
r
; з)
b p
x
3 3
27
и
3
2
c
.
5 Перемножьте дроби:
а)
x
x
-1
2
,
3 6
12
x
x
-
-
и
x
x
+
−
1
2
; в)
2 6
10 7
a
z
-
-
,
2 6
10 7
a
z
+
+
и
a
z
;
б)
− +
−
8 3
5 2
g j
g w
,
5 2
3 8
g w
j g
-
-
и
i m
p r
−
+
6
7 6
; г)
- -
-
5 7
6 3
g r
r
, -
-
8
7 7
r
i k
и
7 14
8 6
d
c i
-
- -
.
6 Найдите произведение дробей:
а)
3
2
a
a b-
и
a b
b
-
-
2
1
; г)
l
a c4 7-
и
l l
a c
2
4 7
-
-
;
б)
10 5
8 4
d j
i x
-
-
и
6 3
10 5
i x
d j
−
+
; д) -
5
2
3 3 2
3 2
j v z
a p
и −
+ip p
a j
3 2
3 32
;
в) -
6 2 2
3
t z
f
и
f
zt
4
3 53
; е)
4
3
2
2
k
m p
и
3 6
4
a b
k
+
.
7 Найдите частное дробей:
а)
2
3
x y
x y
+
−
и
2
3
x y
x y
-
-
; г) -
-
3
10 8
i
r x
и −
+
−
3 3
5 4
i
r x
;
б)
6 5
3
x y
r s
+
− +
и
5 6
2 6
x y
r s
+
− +
; д)
4
5 6
al
x z-
и
12
5 6
al
x z+
;
в)
- -
-
10 7
3 6
d t
t x
и
7
2
3s v
t x-
; е) −
+
5
2
c
x z
и
5
8 4
2cj
x z+
.

35
Н
8 Представьте в виде дроби:
а)
x y
x y
x y
x y
+
−
⋅
−
+
3
3 9
2 6
3 9
; д)
3 21
5
3 3
2
3 3
2
a f
e x
a f
e x
× ;
б)
5 5
8 2
15 15
32 8
l h
e u
l h
e u
−
+
⋅
+
−
; е)
7
3 7 21
3 3 3 3e g
p h
e g
p h−
⋅
+
;
в)
l p
g x
l p
g x
−
+
⋅
−
+
10
7
3 30
2 14
; ж)
8 6
9 9
24 18
36 36
h m
j m
h m
j m
−
− +
⋅
+
− +
;
г)
20 24
30 15
5 6
6 3
b p
i y
b p
i y
+
−
⋅
−
+
; з)
10 7
3
10 7
12 4
e y
p
e y
p
−
+
⋅
+
+
.
а)
2
6
4 2
42 2
x y
x y
x y
xy
- -
: ; д)
6
16 2
3
8
2pt
d m
p t
d m+ +
: ;
б)
7 4
5
14 8
52 3 2 2
k p
s t
k p
s t
+ +
: ; е)
8
28 35
2
4 5
5 3m
f y
m
f y+ +
: ;
в)
10 10
2 2
h y
ek
h y
e k
+ +
: ; ж)
6 3
6
6 3
6
e i
y
e i
y
+ −
: ;
г)
− − +5 7
5
5 7
253 2
e x
ck
e x
c k
: ; з)
u z
b
u z
b
7 9 2 2
10 8 4 5− + −
: .
а)
4
9
2
3
63 2 2
3m
a b
mn
a b
ab: × ; г)
6
7
7
5
343
30
3
2 2
2
3 2
u
z x
z
u x
: × ;
б)
2
9
8
7
324
7
3 3
4
u c
u
cg
u
: × ; д) − − −











⋅
3
2
3 2
s h
s
h
: ;
в) − ⋅
2 10
9
35
93
2
2
3 2
2
g
e
m
p
e m
gp
: ; е)
3 7
3
73
3
3
3 3
w
y
a
j
ag y
j w
: −






⋅ .
11 Преобразуйте в алгебраическую дробь:
а)
a b
a b
a b
b a
+
−
−
−2 2
2 2
: ; в)
4 7
4 2
4 7
4 2
3
4
4
4
t
t
t
t
−( )
−( )
−( )
−( )
: ;
б)
5
6 5
5
5 6
x y
y x
y x
x y
-
-
-
-
: ; г)
3
8
3
8
2 5
2 3
2 3
2
k p
fl r
k p
f lr
: −






;

36
д)
i i
i
i
i i
2
3
3
2
2 1
1
1
2 1
+ +
−( )
+( )
− +
: ; е)
4 5
7
8 10
3 212
l k
j g
z l k
j g
−
+( )
−( )
− +( )
: .
а) xy
x
:
1
; д) h
h
h h h
+
+ :
;
б)
z
z
z
z
z
: × ; е)
1
1 1 1+
−
+:x
x
x
;
в)
q
q
q
q
q
× : ; ж) j j j3 2 2 3: :( ) ;
г) a
a
a+





⋅
1
; з)
m
M
M
m
m
M
M
m
: :× .
а)
m
an bn
n
am bm- -
: ; д)
2 3
5 4
2 3
5 4
ku vk
uq qv
su sv
au av
+
−
+
−
: ;
б)
pq q
x x
wq w q
x
+
−
+2
2
2
: ; е)
d d
D D
d d
D D
+( )
+( )
−( )
−( )
1
1
1
1
: ;
в)
f h
g k
f h
g k
2 2
2 2
4
2
2
4
−
+
−
−
: ; ж)
x x
x x
x x
x x
2 4
5 7
3 5
6 8
+
+
−
+
: ;
г)
5
4
25
292 3 2 3 3
e
gv w z a y
: ; з)
uv u v
u v u v
u v u v
uv u v
3 3
4 3 3 4
2 3 3 2
2 2
-
-
-
-
: .
а)
m
m n
n
m mn2 2 2- -
: ; г)
z
z
z
z
z
z
z
z
+
+
−
+
⋅
+
−
−
−
1
1
1
1
1
1
1
1
;
б)
a b
a ab b
a ab b
a b
+( )
− +( )
+ +
−( )
3
2 2 3
2 2
5
2
2
: ; д)
q q
q q
q q
q q
3 5
2
7 5
81 1
−
+( )
⋅
−
−( )
;
в)
h g
gh g
h g
h hg
8 8
4 5
4 4
3 2
−
−
+
−
: ; е)
2 4
4 4
2 1
22 2
x
x x
x
x x
+
− + −
+
−
−
.
15 Преобразуйте выражение в дробь:
а)
a b
a b
a b
a b
3 3
3 3
+
−
+
−
: ; б)
x
x x
x
x
+
− +
−
−
1
6 9
1
92
2
2
: ;

37
в)
u
v
u v
u
v
u v
u
v
u v
u
v
u v
−
−
−
+
⋅
+
−
−
−
; д)
i j i
i j j
i j j
i j i
+( ) −
−( ) −
+( ) −
−( ) −
2 2
2 2
2 2
2 2
: ;
г)
k l
c d
c cd d
k l
−
−
⋅
− +
−
2
25 9
25 30 9
42 2
2 2
2 2
; е)
i j i
j i i
i j j
j i j
+( ) −
−( ) +
−( ) +
−( ) −
3 3
3 3
3 3
3 3
: .
П
а)
2 3
4 8 3
6 5 6
3 2
4 2 3 6
4 2 3 6
6 2 3 4
6 2 3 4
h h r r
h h r r
r h r h
r h r h
− +
− +
⋅
+ −
− −
;
б)
l i
i il l
i l i l il
i l i l il
2 2
2 2
2 2
2 23 2
2 2 3
2
−
+ +
⋅
+ + +
+ + +
+
+
;
в)
f fj j
f fj j
f fj j
f fj j
2 2
2 2
2 2
2 2
6
6 8
3 4
6
+ −
− +
⋅
− −
+ −
;
г)
9 36 36
9 42 49
4 4
3
7
2
7
3
2 2
2 2
2 2
2 2
x xy y
x xy y
x xy y
x
xy
y
+ +
+ +
+ +
+ +
: .
а)
2 3
5 6
24 11
6 5
2
2
2
2
− +
− +
⋅
− +
− +
x x
x x
x x
x x
;
б)
r
r r
r r
r r r6 5 6
6 11 3
6 13 6 2 32
2
2− −
+
− +
− +( ) +( )
;
в)
n m n
m n n
n m m
m n m
+( ) −
−( ) +
+
−( ) +
−( ) −
3 3
3 3
3 3
3 3
;
г)
f
f f
f
f f f
+
+ +
−
−
− +( ) +( )
1
2 1
2
1
2 1 12 2
;
д)
l
i i l il l
i l il l
l i i l i l4 3 3 4
3 3 2
5 5 3 2 2 3+ + +
+
+ + −
− + −
;
е)
2 2
2 2
1
3 2 2 3
p t p t
p p t pt t t p
−( ) +( )
+ − −
−
+
.

38
а)
1 1
2 2
2 2
2 2x xy xy y
x y
x y+ −
⋅
−
+
: ; г)
r s
r s
r s
r s
r s
r r s rs s
3 3
2
2 2
2
2
4 3 3 4
+
+
−
+( )
⋅
+
+ + +
: ;
б)
a b
a b a b
a b
a ab b
+
− +
−
− −
⋅:
1
2
2
22 2
; д)
k kl
k kl
k l
l k
k k l kl
k k l kl
2
3
2
2
2 3
2
+
+
+
+
⋅
+ + +
+ + +
: ;
в)
uv
u v
u v
u v
u v
uv2 2
2 2 4 4
+
−
+
−
⋅: ; е)
lir
l i l r
l i r
l i r
l i l i r lir r
lir i r4 3
2 2 2
2 2 2
3 3 2 2 2 3
2 2+
−
−
⋅
+ − −
−
: .
а)
a ab a b
a b
a
a b
2
2 2
5 3 15
25
3
5
+ + +
−
+
+
: ;
б)
25 25
50 25 2
8 4 2
4 4
2 3
2 3
2 3
2 3
− − +
− − +
⋅
− − +
− − +
x x x
x x x
x x x
x x x
;
в)
p p p
p p p
p p p
p p p
3 2
3 2
3 2
3 2
6 11 6
8 21 18
7 14 8
9 26 24
− + −
− + −
− −
− + −
+
: ;
г)
p pq q r
p pq q r
p q r
p q r
2 2 2
2 2 2
2
2
+ + −
− + −
⋅
− −
+ +
;
д)
f fg g
f fg g
f g g f fg
f g g fgf
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4 1
4 4 4
2 4 4
4 4 42
+ + −
+ + −
+ + +
+ + +
+
+
: ;
е)
u u v v
u u v v
u u v v
u u v v
4 2 2 4
4 2 2 4
4 2 2 4
4 2 2 4
3 2
5 6
6
2
− +
− +
⋅
− −
+ −
.
а)
x y
x y
x xy y
x xy y
x xy y
x y
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2
3 3
2−
−
⋅
+ +
− +
⋅
+ +
+
;
б)
2 3
2 3
2 5 3
3 5 2
2
3 4 4
2
2
2
2
2
2
+ +
− +
− +
+ +
− −
+ −
⋅ ⋅
u u
u u
u u
u u
u u
u u
;
в)
f g
f g
f f g g
f f g g
f g
f g
4 5
5 4
10 5 4 8
8 4 5 10
4 5
5 4
2 3
2 3
3
3
−
−
⋅
+ −
+ −
⋅
+
+
;
г)
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
6
1
6
5
3
2
9
6
3
2
−
− −
⋅
+ +
− −
⋅
+ −
− +
;

39
д)
a ab b c
a b bc c
a b ac c
a b bc c
a ab b2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
22
2
2
2
2+ + −
− + −
⋅
− − +
− − −
⋅
− + 22 2
2 2 22
−
− + + −
c
a b ac c
;
е)
d
d d z dz
d d z dz
d d z dz
d dz z
d d
2
2
2
2
2 2
2
4
4 2 2 4
4 2 2 4
2 4 2
2
2
−
− − +
⋅
− + −
+ − −
⋅
− −
− −− +2z dz
.
М
а)
ab x y xy a b
ab x y xy a b
ax by
ax by abxy
2 2 2 2
2 2 2 2 2
4
−( )+ −( )
+( )+ +( )
⋅
−
+( ) −
;
б)
u v
u u v v
u u v v
u v
12 12
4 2 2 4
4 2 2 4
4 4
−
+ +
⋅
− +
−
;
в)
m m n n
n m
n m
m m n n
4 2 2 4
2 2
18 18
12 6 6 12
+ +
−
−
+ +
: ;
г)
f f g g f g
f g fg f g
f fg g f g
f g fg f
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
+ − +
− − −
⋅
− + −
− + − gg2
;
д)
r r s rs s
r r s r s rs s
r r s r s rs s3 2 2 3
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 43 3
4 6 4
4 6 4+ + +
− + − +
+ + + +
:
rr r s rs s3 2 2 33 3− + −
;
е)
4 4
4
4 4
6 5
4 2 3 6
4 6
4 2 3 6
4 2 3 6
m m n n
m n
m m n n
m m n n
+ +
− +
⋅
− +
+ +
.
1.5
Тождественные преобразования
рациональных алгебраических выражений
В параграфе 1.1 мы уже говорили о тождествен-
ных преобразованиях рациональных алгебраических
выражений. Поскольку рациональное выражение со-
держит только действия сложения, вычитания, умно-
жения и деления, причём выполняются они каждый
раз над целыми или дробными выражениями, то лю-
бое рациональное выражение может быть преоб-
разовано к алгебраической дроби или многочлену.

40
В данном параграфе мы поговорим о том, как это делается, какие полезные при-
ёмы при этом используются, и рассмотрим много примеров.
Прежде всего ещё раз вспомним, что порядок выполнения действий в рацио-
нальных выражениях точно такой же, как хорошо известный вам порядок выпол-
нения действий в числовых выражениях. Многие такие преобразования полезно
выполнять по действиям.
Первый полезный совет звучит так: «Прежде чем выполнять какое-либо дей-
ствие с дробью, попытайся сократить её». Ясно, что для этого придётся разло-
жить числитель и знаменатель на множители.
Скажем, упростим выражение:
x y
x y
xy
x y
x y
3 3
2 2
2
+
+
−






+
−






.
Начнём с дроби в первой скобке:
1
3 3 2 2
2 2)
x y
x y
x y x xy y
x y
x xy y
+
+
=
+( ) − +( )
+
= − + .
Мы видим, что дробь не просто сократилась — после сокращения она оказа-
лась равной целому выражению:
2 22 2 2 2 2
) x xy y xy x xy y x y− + − = − + = −( ) .
Теперь попробуем сократить дробь во второй скобке:
3
1
2 2
)
x y
x y
x y
x y x y x y
+
−
=
+
−( ) +( )
=
−
.
Дальше всё совсем просто:
4
1 1
2
2
)
x y x y−






=
−( )
.
5
1
1
2
2
2
2
) x y
x y
x y
x y
−( ) ⋅
−( )
=
−( )
−( )
= .
Заметим также, что многие учащиеся (и учителя) больше любят преобразовы-
вать выражение не по действиям, а работая сразу со всем выражением целиком.
Понятно, что суть преобразований при этом не меняется, меняется только фор-
ма их записи.
Рассмотрим ещё один пример. Упростим выражение:
ab
a b
b
a ab b
a ab b
a b2 2
2
2 2
2 2
2 22
2
−
+
− +





⋅
+ +
+
.
Если действовать традиционно, то сначала (первым действием) выполняется
сложение алгебраических дробей в скобках. Для этого разложим знаменатели

41
на множители, найдём общий знаменатель, определим добавочные множители
и т.д.:
ab
a b
b
a ab b
ab
a b a b
b
a b
ab a b b
a b a b
2 2
2
2 2
2
2
2
2−
+
− +
=
−( ) +( )
+
−( )
=
−( )+
− +
aa b
a b a b
+( )
−( ) +( )
=2
=
− + +
−( ) +( )
=
+
−( ) +( )
=
+( )
−( )
a b ab ab b
a b a b
a b b
a b a b
b a b
a b
2 2 2 3
2
2 3
2
2 2
22
a b+( )
.
Мы уже несколько раз касались вопроса, в каком виде нужно записывать ал-
гебраическую дробь, возникающую в промежуточных вычислениях, в частности,
если в числителе или знаменателе стоит произведение скобок, то надо ли раскры-
вать эти скобки. Остановимся на этом чуть подробней. Сразу скажем, что об-
щих рекомендаций, подходящих для всех выражений, здесь нет, как говорится,
истина конкретна — надо каждый раз смотреть на возникшую ситуацию и при-
спосабливаться к ней. Тем не менее один полезный совет дать можно. Нужно по-
смотреть, какую операцию предстоит выполнять с вашей дробью на следующем
шаге. Если это умножение или деление, то скорей всего полезно, чтобы и чис-
литель, и знаменатель были разложены на множители. Если же следующая опе-
рация — сложение или вычитание, то, безусловно, полезно иметь разложенный
на множители знаменатель; числитель же стоит разложить на множители, чтобы
проверить, не сократится ли дробь. Если дробь не сократилась, то в большинстве
случаев (но не во всех!) придётся вернуться к виду числителя как многочлена, т.е.
тому виду, который он имел до разложения на множители.
В рассматриваемом примере следующей операцией, которую предстоит вы-
полнять с дробью, является умножение, поэтому мы оставляем и числитель,
и знаменатель разложенными на множители.
Выполним второе действие:
b a b
a b a b
a ab b
a b
b a b a b
a b a
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2
2
1
+( )
−( ) +( )
⋅
+ +
+
=
+( ) +( )
−( ) +bb a b
b a b
a b( ) +( )
=
+( )
−( )2 2 2
.
При выписывании окончательного ответа важно внимательно посмотреть, что
требуется в условии. Если в задании требуется преобразовать выражение в алге-
браическую дробь, то скобки в числителе и знаменателе нужно раскрыть — ведь
числитель и знаменатель алгебраической дроби должны быть многочленами стан-
дартного вида. В нашем примере получится алгебраическая дробь
ab b
a ab b
+
− +
2
2 22
.
Если же в задании требуется упростить выражение, то можно дать ответ и в виде
ab b
a ab b
+
− +
2
2 22
, и в виде
b a b
a b
+( )
−( )2
.
При решении рассмотренного примера в первом действии можно было по-
ступить по-другому. После разложения на множители знаменателей вынесем за
скобки общие множители из числителя и из знаменателя:

42
ab
a b
b
a ab b
ab
a b a b
b
a b
b
a b
a
a b
b
a b2 2
2
2 2
2
22−
+
− +
=
−( ) +( )
+
−( )
=
− +
+
−





=
=
−
−( )+ +( )
+( ) −( )






=
−
⋅
− + +b
a b
a a b b a b
a b a b
b
a b
a ab ab b
a
2 2
++( ) −( )
=
−
⋅
+
+( ) −( )b a b
b
a b
a b
a b a b
2 2
.
Понятно, какой выигрыш мы получили от предпринятых действий: после выне-
сения за скобки внутри скобок получились более простые дроби, чем были вна-
чале. Советуем запомнить этот приём, он часто даёт значительный выигрыш при
преобразованиях рациональных выражений. Для его применения нужно, чтобы
числители и знаменатели были разложены на множители. Отметим, что дополни-
тельных усилий для этого прикладывать не придётся — ведь знаменатели дробей
мы всё равно будем раскладывать на множители для нахождения общего знаме-
нателя, а числители тоже будем пытаться раскладывать на множители — для то-
го, чтобы выяснить, не сокращаются ли дроби.
В рациональных выражениях встречаются конструкции, которые иногда образ-
но называют «многоэтажными дробями». Скажем, из следующих трёх выражений
a
b
c
d
m
+
;
n
a
b
c
d
+
;
a
b
c
d
m
n
u
v
+
+
первое и второе можно назвать «трёхэтажными» дробями, а третье — «четы-
рёхэтажной» дробью.
Работать с «многоэтажной» дробью можно в три действия: выполнить отдель-
но преобразования в числителе, отдельно в знаменателе, а затем разделить пер-
вое выражение на второе.
Упростим для примера дробь:
1 1 2 4
1 1 2
2 2
2
2 2a b ab
c
a b
a b
c
ab
+ + −
+ −
.
Сначала выполним преобразования в числителе:
1
1 1 2 4 2 4
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
)
a b ab
c
a b
b a ab c
a b
+ + − =
+ + −
=
(поскольку далее нам придётся выполнять с полученной дробью операцию де-
ления, разложим числитель на множители, заметив, что он является разностью
квадратов)
=
+( ) −( )
=
+ −( ) + +( )a b c
a b
a b c a b c
a b
2 2
2 2 2 2
2 2 2
.

43
Теперь выполним преобразования в знаменателе:
2
1 1 2 2
)
a b
c
ab
b a c
ab
+ − =
+ −
.
Наконец разделим первое выражение на второе:
3
2 2 2 2 2
2 2 2 2
) :
a b c a b c
a b
b a c
ab
a b c a b c
a b
ab
b a
+ −( ) + +( ) + −
=
+ −( ) + +( )
⋅
+ −−
=
2c
=
+ −( ) + +( )
+ −( )
=
+ +a b c a b c a b
a b b a c
a b c
ab
2 2
2
2
2 2
1 1
.
Другой подход к работе с многоэтажной дробью базируется на основном
свойстве алгебраических дробей. Если числитель и знаменатель алгебраической
дроби одновременно умножить или разделить на ненулевой многочлен, то по-
лучим дробь, тождественно равную данной. При преобразовании многоэтажной
дроби её числитель и знаменатель удобно умножать на общий знаменатель всех
«мелких» дробей. Ясно, что при умножении каждой «мелкой» дроби на общий
знаменатель её с ещё какими-то дробями получится целое выражение и, таким
образом, дробь перестанет быть «многоэтажной». Проделаем это в рассмо-
тренном выше примере:
1 1 2 4
1 1 2
1 1 2 4
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
a b ab
c
a b
a b
c
ab
a b ab
c
a b
+ + −
+ −
=
+ + −






+ −






=
a b
a b
c
ab
a b
2 2
2 21 1 2
(обратите внимание, что в знаменателе мы перемножаем со скобкой только ab,
оставляя также ab за скобкой)
=
+ + −
+ −( )
=
+ −( ) + +( )
+ −( )
=
+ +b a ab c
b a c ab
a b c a b c
b a c ab
a b c2 2 22 4
2
2 2
2
2
aab
.
Второе решение оказалось заметно короче, чем первое.
При доказательстве тождеств, содержащих дробные алгебраические выра-
жения, применяются те же приёмы, что применялись и ранее для доказательства
тождеств с целыми выражениями. Напомним их:
1) Если одна часть тождества заметно более громоздкая, чем другая, то мож-
но выполнять тождественные преобразования более громоздкой части, пока не
получится менее громоздкая.
2) Если обе части доказываемого тождества мало отличаются друг от друга
с точки зрения громоздкости, то можно начать выполнять тождественные преоб-
разования одной из частей и делать это, пока возможно. В результате мы остано-
вимся на некотором выражении (тождественно равном той части, которую пре-
образовывали). После этого можно выполнять тождественные преобразования

44
другой части доказываемого тождества, пока это удаётся. В результате мы то-
же остановимся на некотором выражении (тождественно равном этой другой ча-
сти). Если выражения, на которых мы остановились, одинаковы, то тождество до-
казано, поскольку два выражения, тождественно равные третьему, тождествен-
но равны между собой.
3) Можно составить разность левой и правой частей тождества и выполнять её
тождественные преобразования до тех пор, пока не получится нуль.
Кроме этого, для доказательства тождеств, содержащих дробные выражения,
можно также воспользоваться тем, что
A
B
C
D
= , в том и только в том случае, когда
AD BC= . Это соображение позволит свести доказательство тождества для дроб-
ных алгебраических выражений к доказательству тождества для целых алгебраи-
ческих выражений.
Н
а) 6
2
2
3 6
y
x
x y
x y
x
−
+
⋅
+
; д) k m
k m k
k
k m m
m
2 2
2 2 2
2
2 2 2
21 1
−
+
+
⋅
+
+
;
б) 8
2 1
22
3
2
t
t
y
ty t
t
+
+
⋅
+
; е) z
z z
z
z
z z
2
2
21
1
+
+
+
⋅
−
−
;
в)
ij i
kj k
j
j
i
k
+
−
+
−
−:
1
1
; ж)
a b
a b
a b
a b
b
2 2−
+
−
+
−: ;
г)
5 25 5
5
x
y
x
yx
x
+ +
+: ; з)
xy yz
xh hz
y
h
h
y
+
+
+: .
а)
1 1
2 2a b
ab
a b
+





⋅
−
; д)
s
s
s
s
s
s s
+
+
+
+
+





⋅
+
+ +
1
2
2
3
2
7 8 2 2
;
б)
1 1
2 2
1
2x x x x
−
−





 −
: ; е)
f g
f
gf
g
f g f g g
f g
+
+
−
+






− − + −
+( ) +( )
2
1 1
2 2
1 1
2 2
: ;
в)
1 1
2u v u v
u v
v+
−
−





⋅
+
; ж)
n m
m
n m
n
mn
m n
+
−
−




⋅
+2 2
;
г)
1
2
1
2 3
2
4 2i j i j
i j
i j+
+
−






−
+
: ; з)
pqr
pqr
pqr
pqr
p q r
pqr−
+
+





−
−1
1 2 1
1
2 2 2
: .

45
3 Преобразуйте в алгебраическую дробь:
а)
x y
x
y
x y
x y
+
−
+






+( )
2
; д)
t
t
t
t
t
t t
t
+
−
−
+





 +
− −
+






2 2
2
1 2
2
2
: ;
б)
s
s
s
s s
s
−
−
+





 −





1 1
1
2 2
; е)
2
3
5
4
1h
g
g
h
g
h
g
h
−






−
−




: ;
в)
1 1
2 3 1
3 2
3 3
3
2d d
d
d
d d
d
+
+





 −
−
−
−





; ж) t
f t f
ft
f t
+





 +
−
+
+






1 1 2
: ;
г)
l
l
l
l
l
l
l
l l+
+
+





 +
+
+
+





1 2 1 1
1 2
2
; з)
1 1 1
q r p
pq pr qr
pqr
+






+
+ −





: .
а) x
x
x
x
x
x
−
−





 −
−
−





2
4 9
2
: ; г) h
h
h m
h
h
h
−
+
+
−











1 2
;
б) z
z
z
z
z z
z
−
+
+
− −
+











5
1 5
5
2
: ; д) r
r r
r
r r
r
+
+
−
− −











1 1
2
2
;
в) t
t
t
t
t t
t
+
−
+
−
− −











2
2
2
2
1
1
1
: ; е) j
j
j
j
j j
j j
+
+
+
− +( )
+ +












2
2
3
2 3
1 1
1
.
Н
а)
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
−
−
+






+
−
+
−
+






1
1
1
1
1
1
1
1
: ; г)
l
l
l
l
l
l
l l
l
−
+
+
−
+
−
+
−
− +
+












2
5
2 1
2 1
5
2
6 3 2
2
2
;
б)
h
h
h
h
h
h
h
h
+
+
+
+
−
+











1
2 1
1 2
; д)
2
2
4 22m
m
m
n m m
m
m+
−
−
−
+










;
в)
m
m
m
m
m
m
m
m
+
+
−
+
+
+
+
−
+
+












1
2
2
1
1
2
4 3
2
: ; е)
j
j
j
j
j
j
j
j
3
3
3
3
3
3
1
1
1
1 1
+
+
+
+
−
+
−












.
а)
n
m mn m n
m
m n n
m
mn n2
2
2 3 2
1
+
−
+





 −
−
−





;
б)
2 2
2
5 1 10 25 5
2 5
2 2 3
3 2 2
s
s k
k s
k s
s
k
k s ks s
k k s ks−
+
+
−
+
− + −
− +











;

46
в)
q
q w
w
w
q w
w
q w w
w2 1
2
1
1 2 3
1
2 2
+
−
−
+
−
−
− − +
−











;
г)
t t
t
t
t
t
t
t t
t t
2 5 5 3
23 5 3 1
3 5
1
+
+
−
− −
+
− −
−( )












;
д)
g
g
g
g
g
g
g
g
+
−
+ +
−
+











2 5 8 9
;
е)
1
1
1
1
1
1
3
12 2 2
4 2
2+ +
−
+ − − −
−
−
+ −











s s s s s s
s s
s s
.
а)
1
2 5
2
2
3
2 4
2
2 2a b a b a b
b
a b−
+
+
+
−





 −
: ;
б)
1
1
1
2
1
3
1 2
6 5
2
2s s s
s s
s s+
−
+
−
+
− −
+ +





: ;
в)
2 2 2 3 2 3 1
2 3 3
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
+
−
− −




: ;
г)
k l
k
k
k l
k
k l
k l
l k kl k l
k l
+
−
+
−
−
+
− + +
+





:
2 3 22
;
д)
h
h
h
h
h
h
h
h h−
−
−
+
+ −





1
2
1 1
2
2
3 3
2
: ;
е)
z z
z z
z z
z z z
z z
z z
2
2
2
2
4 3
3
1
1
1 2 1
2 1
+ +
+ −
+
+
−
−
+ −
− +





: .
8 Установите, какие из равенств не являются тождествами, и объясните почему:
а)
m
m
m
m
+( )
−( )
=
+
−






5
5
5
5
2
2
2
; д)
x
y
y
x
xy






+





 =
2 2
2 ;
б)
4 2
2 1
2
t
t
+
+
= ; е)
k
k l
kl
k l
k l
k l
k kl k l
k l
3 2 3 22 2
+
+
+
+
+
=
+ +
+
;
в) a b
b
a
b
+( ) ⋅ = +






3
3
3
1
1 ; ж) g h gh g h+( ) − = −( )2 2
;
г) 2
3 5 3 5 2
3 2
3
3
+ −
− −
=
x x
x x
x
; з)
1 1
1
2 3
3
+ +
+
+
+
=
z z
z z z
z
z
z
.

47
9 Докажите тождество:
а)
x
x
x
x
x
x
+
−
−
−
+
=
−
2
1
2
1
6
12
;
б)
a b
a b
a b
a ab b
a b
a b
+( )
−( )
⋅
−
+ +
=
+( )
−
3
2
2 2
2 2
2
2
;
в)
u uU v Uv
u uU v Uv
U
U
+ + +
− + − +
+
−
=:
1
1
1;
г)
h
h x
x h
h
x
h x
x
h h x−
+
−
−
−
−( )
=
2 2
;
д)
q p
q p
p q
p q
p q
q p pq p q
3 3
3 3
4 4
4 4 3 3
2
+
−
−
−
+
+
− + −
= ;
е)
1 2 2
1 2
1
1
1
1
2 3
3
2
2
+ + +
− +
+ −
+ +
+
−
⋅ =
z z z
z z
z z
z z
z
z
;
ж)
2 2
4 2 2 2
1
2
2
s x sx x
s x sx x
x s
x s
− − +
− − +
−
−
=: ;
з)
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z z
z
z z
+
+
+
+
+
−
+
−
−
− −
−
− −
=
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2 1
4
2 1
3
3 3
.
а)
1 1
2
22 2
m n m n
m mn n
n m n
m n+
−
−





 − +( )=
−( )
+
;
б)
− + + +
+ + + +
− − + +
− + + + +
1 2
2 3 4 2
2 3 2 2
6 2 2
2 3 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
: ==
+ +
+ +
3
2
2
2
x x
x x
;
в)
s s
s s
s s
s s
s
s s
4
4
4
4
4
4
1
1
1
1
2
1
+ +
+ +
+
+ −
− + − +
= ;
г)
n m
n m
n m
n m
n m
n m
n m
n m
n+ +
+ −
+
+
−






+ −
+ +
+
−
+






+
=
1
1
1
1
:
mm n m
n m n m
( ) + +( )
−( ) + −( )
1
1
;
д)
i i
i i
i i
i i
+( ) + −( )
+( ) − −( )
+
+( ) + −( )
+( ) − −( )
+
=
1 1
1 1
1 1
1 1
1 10
3 3
3 3
2 2
2 2
ii i
i i
2 4
2
5
2 1 3
+
+( )
;
е)
a b c
a b c
a b c
a b c
ac
a b c a b c
+ +
+ −
−
− −
− + + −( ) − +( )
=
4
.

48
П
а)
x ax bx ab
x ax bx ab
x ax bx ab
x ax bx ab
2
2
2
2
+ − −
− + −
+ + +
− − +
: ;
б)
f fg g fh gh h
f fg g fh gh h
f g fh gh h2 2 2
2 2 2
2 22 3 3 2
2 4 4 3
3 2+ + + + +
+ + + + +
− + − +
:
22
2 2 22 2 2 3f fg g fh gh h+ + + + −
;
в)
1
1
1
1
12 3
2 3
2 3
2 3
2+ + +
− + − +
−
− + − +
+ + +






− − +x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
:
33
2 3
2 3
2 31
1
1+ + +
−
+ + +
− − +





x x x
x x x
x x x
;
г) h
h
h
h
h
h
+
−






+
−






1
1
2
2
:

− +
−






+
−






h
h
h
h
h
h
3
3
4
4
:







− +
:
2
3 4 2 4h h
;
д)
1 1
1 1
1
2
2 2 2
a b c
a b c
b c a
bc
+
+
−
+
⋅ +
+ −




;
е)
u
u v w
u v w
u
v
u v w
u v w
v
v
u v w
u v w
v
u
u v w
u v w
u
+ +
−
+ +
+ +
−
+ +
⋅ + −
−
+ −
+ +
−
+ +
;
ж)
1
6 5
5 66 59 12
6 5 35 5 182
2 3
2 2 3 4− +
−
+ − +
− + + − + +




( )( )i i
i i i
i i i i i i 
 − +
+
+ +
− +






1
6 5
5 6
5 62
2
2i i
i i
i i
;
з)
u u
u u u u u u u u
+
− + −( ) + + +( )
−
+( ) +( )






×
5
5 4 2 3 21 1
1
1 1
×
− +
−( ) + + +( )
−
+( ) +( )






1 2
1 1 1 1
2 4
2 2 4 6
2
2 4
u u
u u u u
u
u u
.
а)
2
4 1 4
2
4 1 4
1
4 1
1
2 1
2
2
2
2 2
a a
a a
a a
a a a a
−
+ −
−
+
+ +
=
−
+
+
;
б)
x xy y
x xy y
x xy y
x x y xy
x y
x
2 2
2 2
2 2
2
3 2
6 7 2
6 7 2
2 3 2 3
2
2 3
− +
− +
⋅
− +
+ − −
−
+
= ;

49
в)
2 3
2 5 2
3 5 2
3 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
j ij i j
j ij i j
j ij i j
j ij i j
+ +
+ +
− − +
− − +
=:
11
1 2
2
+
+






i
i
;
г)
4
2 3
8
6 11 6
2
3 42 4
4
2 4 6
2
2 4+ +
+
+ + +
+
+ +
−
=
k k
k
k k k
k
k k
;
д)
1
1
1 2
1
1
3
1
2 1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
t
t
t t
t
t
t
t
t
t t
t t
+
− + −
⋅
+ −
− − +
+ +
− +
+
= ;
е)
h
h h h
h h
h h h h h
16
16 17 18
18 17
19 18 17 162
1
1+ +
+
−
+ − − +
= .
13 а) Найдите x
x
2
2
1
+ , если x
x
+ =
1
5.
б) Найдите x
x
3
3
1
+ , если x
x
+ =
1
5.
в) Найдите x
x
4
4
1
+ , если x
x
+ =
1
5.
М
а)
a b ab b c bc c a ca
a b ab b c bc c a ca
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
− + − + −
− + − + −
;
б)
x x x x
x x x x x x
7 5 3
7 6 5 4 3 2
14 49 36
3 5 15 4 12
− + −
+ − − + +
;
в)
u u v u v u v u v uv v
u u v u v u v uv v
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 5 4 2 2 4 5 6
2+ + + + + +
− + − + −
;
г)
p pq q pr qr r s
p q pr r ps rs s
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
+ + + + + −
− + + + + +
.
М
а)
a b
c a c b
b c
a b a c
c a
b c b a a b b c c a
−
−( ) −( )
+
−
−( ) −( )
+
−
−( ) −( )
=
−
+
−
+
−
2 2 2
;

50
б)
t x y y z y x t z t
z x y x t x y z z t
y t
x z
−( ) −( )+ −( ) −( )
−( ) −( )+ −( ) −( )
=
−
−
;
в) p
x q x r
p q p r
q
x r x p
q r q p
r
x p x q2 2 2
−( ) −( )
−( ) −( )
+
−( ) −( )
−( ) −( )
+
−( ) −( )
rr p r q
x
−( ) −( )
= 2;
г)
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2 2 2 2 2 2
a b a c b c a c b
c a b ab a b c ab ac
+ + − − −
− − +( ) + + + − − bbc
a b c
a b c( )
=
+ +
+ −
.
16 Докажите, что если x y z+ + =1и
1 1 1
0
x y z
+ + = , то x y z2 2 2 1+ + = .
17 Докажите или опровергните утверждение:
Если
a
b c
b
c a
c
a b−
+
−
+
−
= 0, то и
a
b c
b
c a
c
a b−( )
+
−( )
+
−( )
=2 2 2
0.
Верно ли обратное утверждение?
1.6 Степень с целым показателем
На уроках математики в 5-м классе вы познакоми-
лись со степенями с натуральным показателем, а на
уроках алгебры в 7-м классе подробно изучили их.
Вспомним, что для натурального числа n>1
a a a an
n
= ⋅ ⋅ ⋅... .
Если показатель степени равен 1, то a a1 = .
При этом выполняются пять основных свойств степеней:
1) a a am n m n⋅ = + ;
2) a a am n m n: = − при m n> и a ¹ 0;
3) a b abm m m
⋅ =( ) ;
4) a b a bm m m
: :=( ) при b ¹ 0;
5) a am n mn( ) = .
Можно ли определить степени, если показатель степени равен нулю или явля-
ется отрицательным целым числом?

51
Если хорошенько вспомнить, в такой ситуации вы уже оказывались ранее при
изучении математики, причём даже не один раз.
Скажем, когда на уроках математики в 6-м классе вы знакомились с отрица-
тельными числами, то правила выполнения арифметических операций с ними бы-
ли вам неизвестны и их надо было определять. Можно приводить много разных
аргументов, почему правила этих операций определяются именно так, а не ина-
че, причём разные математики в разные времена приводили довольно сильно от-
личающиеся аргументы. Но основной аргумент, причём в самых разных ситуаци-
ях, такой: если мы хотим уже знакомую нам для некоторого числового множе-
ства операцию определить для более широкого числового множества (скажем,
операцию сложения, знакомую нам для натуральных чисел и нуля, хотим опре-
делить для более широкого множества целых чисел), то крайне желательно это
сделать так, чтобы привычные для начального множества основные свойства этой
операции выполнялись и для более широкого множества (если это вообще воз-
можно). Скажем, операция сложения для множества, состоящего из натураль-
ных чисел и нуля, подчиняется переместительному и сочетательному законам.
Значит, определять её для более широкого множества, состоящего из всех це-
лых чисел, крайне желательно так, чтобы эти законы тоже выполнялись. И вы зна-
ете, что при определении операции сложения известным вам образом этого уда-
ётся достичь.
Попробуем, основываясь на этих соображениях, понять сначала, как разумно
было бы определить степень с нулевым показателем. Вспомним формулу деле-
ния степеней с натуральными показателями. Для любого действительного числа a
и любых натуральных чисел m и n, таких, что m n> ,
a a am n m n: = − .
Этой формуле соответствует правило: «При делении степеней с одинаковыми
основаниями основание остаётся прежним, а показатель равен разности показа-
телей делимого и делителя», или кратко: «При делении степеней с одинаковыми
основаниями показатели вычитаются».
Если мы хотим, чтобы это правило выполнялось при всех целых m и n, значит,
оно должно выполняться и при m n= , т.е. должно быть:
a a a an n n n: = =− 0.
Но понятно, что a an n: = 1, так как это частное двух одинаковых чисел.
Таким образом, учитывая всё вышесказанное, необходимо выполнение равен-
ства a0 1= при a ¹ 0.
Это же соображение подскажет нам, как разумно определить для ненулевого
числа степень с целым отрицательным показателем.
Рассмотрим, к примеру, частное a a3 5: при a ¹ 0. Если мы хотим, чтобы при
делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитались, то должно
быть a a a a3 5 3 5 2: = =− − .
В то же время, если записать частное a a3 5: в виде дроби, а затем сократить
эту дробь, то получим:

52
a a
a
a a
3 5
3
5 2
1
: = = .
Таким образом, учитывая всё вышесказанное, необходимо выполнение равен-
ства a
a
− =2
2
1
при a ¹ 0.
Проводя такое же рассуждение, можно прийти к необходимости при a ¹ 0 ра-
венства a
a
n
n
− =
1
для всех других натуральных n (т.е. для всех целых отрицатель-
ных -n).
Но здесь нужно отдавать себе отчёт, что рассмотренные выше рассужде-
ния — это только наводящие соображения, а вовсе не строгие обоснования и тем
более не доказательства.
Приступим к аккуратным определениям.
Ненулевое число в нулевой степени равно единице.
Запишем это с помощью формулы:
a0 1= при a ¹ 0.
Ненулевое число в целой отрицательной степени равно единице, делённой на
это же число в противоположной (натуральной) степени.
Это можно записать с помощью формулы:
a
a
n
n
− =
1
при целом отрицательном -n и a ¹ 0.
Например:
5
1
5
1
125
3
3
− = = ;
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
2
2
2





 =






=






=






−







=





 = =
2
2 2
2
3
2
3
2
9
4
.
Последний пример, по сути, показывает, что целую отрицательную степень
дроби удобно находить по формуле:
a
b
b
a
n n





 =






−
.
Таким образом, мы теперь можем возвести число в степень с любым целым
показателем (при этом если показатель степени положителен, то основание мо-
жет быть любым действительным числом, а если показатель степени отрицате-
лен или равен нулю, то основание не должно равняться нулю).

53
Оказывается, что для степеней с целыми показателями будут справедливыми
формулы, упомянутые в начале параграфа (при всех действительных a и b, та-
ких, что a ¹ 0; b ¹ 0):
1) a a am n m n⋅ = + ;
2) a a am n m n: = − ;
3) a b abm m m
⋅ =( ) ;
4) a b a bm m m
: :=( ) ;
5) a am n mn( ) = .
Доказательство справедливости выписанных формул представляет собой до-
статочно кропотливую работу. Обсудим, как можно доказать, скажем, первую
формулу. Основная трудность такого доказательства заключается в необходи-
мости отдельного рассмотрения большого количества различных случаев.
При m>0 и n>0 мы доказали эту формулу в 7-м классе.
В остальных случаях можно преобразовывать отдельно левую часть и правую
часть формулы.
При m <0 и n <0 сначала обозначим m p=− и n q=− , тогда p>0 и q >0.
Левая часть преобразуется так:
a a a a
a a a a a
m n p q
p q p q p q
⋅ = ⋅ = ⋅ =
⋅
=− −
+
1 1 1 1
,
а правая часть преобразуется так:
a a a
a
m n p q p q
p q
+ − − − +
+
= = =( ) 1
,
и для этого случая формула доказана.
Рассмотрев все возможные случаи для m и n (а некоторые из них придётся
ещё разбивать на «подслучаи»), применяя определение и уже доказанные свой-
ства, мы завершили бы доказательство. Желающие могут сделать это самостоя-
тельно.
На уроках алгебры в 7-м классе, изучая степени с натуральными показателями,
вы научились записывать натуральные числа в виде разрядных слагаемых с помо-
щью натуральных степеней десятки, например:
58 374 50 000 8000 300 70 4= + + + + ,
или: 58 374 5 10 000 8 1000 3 100 7 10 4= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ,
или: 58 374 5 10 8 10 3 10 7 10 44 3 2= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + .
Теперь с помощью целых степеней десятки мы сможем записывать в виде
суммы разрядных слагаемых также и десятичные дроби, например:
732 945 700 30 2 0 9 0 02 0 005, , , ,= + + + + + ,
или: 732 945 7 100 3 10 2 9 0 1 2 0 01 5 0 001, , , ,= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ,
или: 732 945 7 10 3 10 2 9 10 2 10 5 102 1 2 3, = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅− − − .

54
В 7-м классе вы научились также с помощью натуральных степеней числа 10
записывать очень большие положительные числа. Например, масса Луны состав-
ляет 7,348 · 1022
кг, а её объём составляет 2,2 · 1019
м3
. Такой вид числа называет-
ся стандартным видом.
Теперь мы научимся с помощью целых отрицательных степеней числа 10 запи-
сывать очень маленькие положительные числа. Например, масса элементарной
частицы нейтрона составляет 1,675 · 10–27
кг.
Такой вид очень маленьких чисел тоже называется стандартным видом.
Если записать массу нейтрона в килограммах без использования стандартного
вида числа, то получится:
0,000000000000000000000000001675.
Такая запись очень громоздкая, и работать с ней неудобно (не говоря о том,
что трудности начинаются уже с прочтения этого числа).
Рассмотрим ещё несколько примеров записи маленьких чисел в стандартном
виде:
0,0000000023 = 2,3 · 10–9
; 0,000419 = 4,19 · 10–4
, 0,0000009 = 9 · 10–7
.
Стандартный вид положительного числа, меньшего 1, следующий: x n×10 , где
1 10 x < , а n — целое отрицательное число.
Таким образом, можно сказать, что стандартный вид любого положительного
числа: x n×10 , где 1 10 x < , а n — целое число. При этом показатель степени n
в стандартном виде числа называется порядком этого числа. Заметим, что для
чисел, лежащих в пределах от 1 до 10, множитель100 обычно не пишут.
Поговорим также немного о тождественных преобразованиях выражений, со-
держащих степени с целыми показателями (ясно, что наибольший интерес для
нас представляют целые отрицательные показатели степеней, поскольку с целы-
ми положительными мы уже хорошо знакомы).
Упростим, к примеру, выражение
a a b b
a b
− − − −
− −
− +
−
2 1 1 2
2 2
2
.
Быстрее всего мы придём к цели, если умножим одновременно числитель
и знаменатель на a b2 2, после чего попросту раскроем скобки в числителе и зна-
менателе:
a a b b a b
a b a b
a a b a b a b b− − − −
− −
− − − −− +( )
−( )
=
− +2 1 1 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 1 1 2 2 22 2 aa b
a a b b a b
2 2
2 2 2 2 2 2− −−
=
=
− +
−
=
−( )
−( ) +( )
=
−
+
b ab a
b a
b a
b a b a
b a
b a
2 2
2 2
2
1
2
.
Обратите внимание, что выражение, на которое мы умножали числитель и зна-
менатель, было подобрано так, что после раскрытия скобок степеней с отрица-
тельными показателями уже не было.
Полезно также научиться замечать в выражениях, стоящих в числителе и зна-
менателе, формулы сокращённого умножения:

55
a a b b a a b b a b− − − − − − − − − −− + =( ) − ⋅ +( ) = −( )2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2
2 2 ;
a b a b a b a b− − − − − − − −− =( ) −( ) = −( ) +( )2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 .
Тогда получим:
a a b b
a b
a b
a b a b
a b− − − −
− −
− −
− − − −
−− +
−
=
−( )
−( ) +( )
=
−2 1 1 2
2 2
1 1 2
1 1 1 1
12
1
−−
− −+
1
1 1a b
.
Впрочем, чтобы двигаться дальше, всё равно придётся умножать числитель
и знаменатель на ab:
a b
a b
a b ab
a b ab
a ab b ab
a ab b
− −
− −
− −
− −
− −
− −
−
+
=
−( )
+( )
=
−
+
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1aab
b a
b a
=
−
+
.
Н
а) Ненулевое число в нулевой степени равно … .
б) Ненулевое число в целой отрицательной степени равно … .
в) Стандартный вид положительного числа следующий: … .
г) Порядком положительного числа, записанного в стандартном виде, назы-
вается … .
а) При умножении степеней с одинаковыми ненулевыми основаниями и це-
лыми показателями … .
б) При делении степеней с одинаковыми ненулевыми основаниями и целыми
показателями … .
в) При умножении степеней с ненулевыми основаниями и одинаковыми це-
лыми показателями … .
г) При делении степеней с ненулевыми основаниями и одинаковыми целыми
показателями … .
д) При возведении целой степени ненулевого числа в целую степень … .
3 Установите порядок выполнения действий и найдите значение выражения:
а) 3 5 4 5 32 3⋅ +− , : ; д) 0 1 0 01 0 1
2 5
, : , ,( ) −( )−
;
б) 7 7 9 91 1 1⋅ −− − −: ; е) 5 5 0 5 2 0 25
2 2 2
, : , : ,( ) − ( )− ;
в) 4 2 5 21 1− −⋅ + ⋅ ; ж) 8 8 12 28 10 2 2− ⋅ + : ;
г) 9 3 3 32 1 4: − − ⋅ ; з) 81 3 81 33 2 8: :- - - .

56
4 Запишите произведение в виде степени:
а) a a− ⋅5 2; в) z z2 9⋅ − ; д) w w18 17⋅ − ; ж) u w123 321⋅ − ;
б) x x− ⋅9 18; г) q q5 5⋅ − ; е) p p17 7× ; з) n n− −⋅100 75.
а) a a- -6 4; д) g g g13 21 15⋅ ⋅− − ;
б) m m m- -3 8 2; е) w w w− − −⋅ ⋅32 24 14;
в) l l l− ⋅ ⋅32 9 35; ж)d d d5 11 27⋅ ⋅− ;
г) h h h− −⋅ ⋅14 15 38; з) p p p− ⋅ ⋅8 7 24.
6 Представьте в виде степени:
а) 2
1
16
3 × ; в) 7
1
7
19
22
× ; д)
1
11
1111
2× ; ж)10
1000
10
10
50
× ;
б) 3
1
81
5 × ; г) 9
1
6561
3 × ; е)
13
13
13
14
5
21
× ; з) 3
27
9
3
10
× .
7 Найдите значение выражения:
а)
2
3
3
2
7 5












−
: ; в) 0 1 0 1
19 18
, ,( ) ⋅( )−
; д) 0 3
10
3
18
20
,( ) ⋅






−
−
;
б)
6
5
6
5
3 4





 ⋅






−
; г)
1
11
1
111
5 5
−
− −





 ⋅





 ; е)
21
22
21
22
22 21





 ⋅






−
.
а) 7 7 74 5⋅ ⋅− ; д) 11 11 1114 12 21− − −⋅ ⋅ ;
б) 2 2 242 26 32− −⋅ ⋅ ; е) 10 10 105 20 38− −⋅ ⋅ ;
в) 5 5 59 8 48⋅ ⋅− − ; ж)12 6 66 18 29− −⋅ ⋅ ;
г) 6 6 624 39 33− −⋅ ⋅ ; з) 17 17 1729 18 10⋅ ⋅− − .
9 Запишите частное в виде степени:
а) a a- -5 4: ; в) c c46 44: - ; д) e e-23 7: ; ж) g g47 18: - ;
б) b b17 19: - ; г) d d- -21 36: ; е) f f- -26 44: ; з) h h-9 2: .
Н
а)
2 2
2
5 6
10
− −
−
⋅
; в)
3 3
3 81
12 15
10
⋅
⋅
−
−
; д)
3 81 2
18
50 23
23
− −
−
⋅ ⋅
;
б)
2 5
10
8 8
9
− −
−
⋅
; г)
7 7
343
12 9⋅ −
; е)
19 19
19
33 14
18
⋅ −
.

57
а) 3
1
27
81× × ; д)
1
3
1
9
1
81
1
243
× × × ;
б)
1
2
1
16
1
64
1
128
× × × ; е) 11
1
11
121
1331
5
3
6
2
−
−
⋅ ⋅ ;
в) 7
1
343
4914
3
3⋅ ⋅ − ; ж)125
5
5
5
25
5
2
5
1
2
⋅ ⋅−
−
−
;
г) 9
1
3
32
19
20− ⋅ ⋅ ; з)
12
144
12 12
5
4
9 20
−
−
−⋅ ⋅ .
12 Выполните возведение в степень:
а) a c3 4 3− −
( ) ; в) 3 3 4
z( )
−
; д) −( )
−
5 2 2 2 2
b f m ;
б) 9
2
l( )−
; г) 2 2 8
fy( )
−
; е) 6 3 2 1
hr s( )
−
.
а) −( )−a b c3 2 3
; г) a g k− − −( )4 3 5 7
;
б) x− − −
( )( )3 3 3
; д) 125 5
3 3
1
u u( )( )−
−
;
в) z h j j2 2 3 2 6
3
− −
−
( )( ) ; е) −( )− − −
e x c t2 4 5 2 7
.
14 Найдите степень дроби:
а)
2
3
3






−
; в)
3
5
2






−
; д) −






−
11
13
2
; ж)
5
12
2






−
;
б)
1
2
5






−
; г)
7
2
3






−
; е) −






−
3
4
3
; з)
10
3
4






−
.
а)
12
6
5
5
-
-
; в)
11
121
7
3
-
-
; д)
18
2 3
10
10 21
-
- -
; ж)
3
81
11
3
-
-
;
б)
8
2
9
27
-
-
; г)
13
169
15
7
-
-
; е)
5 3 2
30
31 31 29
30
- - -
-
; з)
20
10 2
20
21 21
-
- -
.
16 Запишите в виде степени с основанием a:
а) a−( )5 3
; в) a− −
( )7 1
; д) a2 12
( )
−
; ж) a−( )124 0
;
б) a−( )6 4
; г) a8 9
( )
−
; е) a− −
( )11 13
; з) a10 10
( )
−
.

58
17 Запишите в виде степени с основанием 3:
а)
1
27
; в)
1
243
; д)
27
2187
; ж)
3
81
8-
;
б)
1
9
4





 ; г) −






1
81
13
; е)
27
243
5
3
7−




 ; з)
2187
9
2
10
5






−
.
а)
3 2
6
7 7
5
− −
−
⋅
; в)
2 4
8 16
20 30
30 3
− −
−
⋅
⋅
; д)
11 121
121 11
22 62
45 57
− −
− −
⋅
⋅
; ж)
3 2
36 18
14 14
6 2
− −
− −
⋅
⋅
;
б)
9 81
3
10 3
10
−
−
⋅
; г)
5 25
5 125
7 22
15 23
− −
−
⋅
⋅
; е)
196 14
14
14 14
42
− −
−
⋅
; з)
2 5
4 40
14 6
6 3
− −
− −
⋅
⋅
.
19 Используя степени, запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:
а) 20,024; д) 807 214 273, ; и) 278 919 001, ;
б) 0,00037; е) 355 00024, ; к) 3 903 849 817, ;
в) 70 039; ж) 961 249, ; л) 9010,0027;
г) 45 012,86; з) 0 0000713, ; м)17 37574, .
20 Запишите число, заданное с помощью суммы разрядных слагаемых:
а) 9 10 9 10 9 10 7 10 8 103 2 2 3⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − ;
б) 4 10 9 10 2 10 8 104 2 2 5⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − ;
в) 3 10 9 10 3 10 8 10 6 103 2 1 4⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − ;
г) 9 10 4 10 6 10 7 10 4 10 3 102 1 3 4 5⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − − − ;
д) 6 10 0 10 4 10 3 10 8 10 9 10 5 10 1 103 2 0 2 3 4 5⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − − − ;
е)1 10 1 10 3 10 1 10 2 103 2 2 3⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − ;
ж) 5 10 8 10 1 10 9 10 7 10 2 106 2 0 1 2 4⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − − .
21 Запишите число в стандартном виде:
а) 674 000; д) 65 329 61195, ;
б) 0,0012; е) 0 0069344, ;
в) 4202 564262, ; ж) 47 40156312, ;
г) 2007 129, ; з) 12 620 169 87, .
22 Запишите в виде целого числа или десятичной дроби:
а) 2 6 10 5, ⋅ − ; д) 1 22 10 2, ⋅ − ;
б)1 2345 10 3, ⋅ − ; е) 8 504 10 7, ⋅ − ;
в) 3 003 10 6, ⋅ − ; ж) 2 3 10 4, ⋅ − ;
г) 5 5729 10 1, ⋅ − ; з) 2 6002 10 5, ⋅ − .

59
а)
a b
a b
- -
- -
-
-
1 1
2 2
; д)
d c
c d c d
− −
− − − −
−
− +
4 4
4 2 2 42
;
б) x x
x x
−
−
−
+






1
1
1
; е) h h h+ +( )− −1 1
;
в)
u v
u v
u v
u v
− −
− −
− −
− −
+
−
−
−
+
1 1
1 1
1 1
1 1
; ж) g g g g−( ) + +( )− − − −1 1 1 1
;
г)
z z
z
− −
−
+ +
+( )
2 1
1 3
2 1
1
; з)
q q
q q
+( )
−
−
−
1 2
2 2
.
П
а) a b a b− − − − − −
−( ) −( )1 1 1 2 2 1
; г)
s s
s s
−( ) − +( )
−( ) + +( )
− −
− −
1 1
1 1
2 2
2 2
;
б) x x x x+ + +( )( )





− − − −
1 1 1 1
; д)
f f
f f
4 4
4 4
1+ +
−
−
−
;
в) x x x+( ) + +( ) − +( )− −
1 1 1
2 1 0
; е) w w w w
w
w
− −( )( ) − +
−






− −
−
1
1
1 2
2
.
а) x y x xy y x
x y xy
x y
2 3 1 2 1 1
2
1
4
1
− − − − −
−
+( ) − +( )
−( ) +
+
: : ;
б)
6 11 6 1
6 5 2 1
3 2 1
3 2 1
z z z
z z z
− − −
− − −
+ + +
− − +
;
в)
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1 1
1
1
− − + − +
+ + + + +
−
−
−
− − −
−
−
v
s
u
v
s
v
v
u
v u
v
s
v
u sv
u
v
v u
;
г)
k m l k m k m
k m lk m l k m
− − − − − −
− − − − − −
+ − +
− − −
2 2 2 2 2 1 1
2 2 1 2 2 2 2
2
2
;
д)
1 1 1
1 1
1
2 1 2 1
2 1 2 1x
x x x x
x x x x
−
− −
− −
+ +( ) − + −( )
− +( ) − + +( )
;

е)
s s s s s s
s s s s s s
− − − − − − − −
− − − − − − −
− −( ) + −( )
− −( ) − + −(
1 2 3 2 1 2 3 2
1 2 3 2 1 2 3 ))
−2
.
М
a x a y x a x y a x
a x a y a x a y
−( ) − −( ) + −( ) − −( )
−( ) −( ) − −( ) −
− − − −
− − −
1 1 2 2
2 1 1
(( )
= − +( )−2
22a a x y .
27 Докажите, что если три числа a, b и c удовлетворяют соотношению
a b c a b c− − − −
+ + = + +( )1 1 1 1
, то сумма каких-то двух из них равна нулю.
Проект «Числа-карлики и числа-гиганты»
Подготовьте доклад или компьютерную презентацию о самых
маленьких и самых больших числах, встречающихся в природе,
науке и технике.
Жизненная задача
СИТУАЦИЯ. Древнеегипетский способ записи обыкновенных
дробей.
ВАША РОЛЬ. Историк математики.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Древние египтяне записывали обыкновенные дро-
би в виде суммы нескольких различных дробей с числителями, равными 1,
и натуральными знаменателями (такие дроби в современной математике
называют аликвотными).
ЗАДАНИЯ.
1) Запишите древнеегипетским способом обыкновенные дроби
3
8
;
5
12
;
3
7
.
2) Докажите, что всякую обыкновенную дробь можно записать древнееги-
петским способом.
3) Попробуйте выяснить, какие обыкновенные дроби можно записать в ви-
де суммы двух аликвотных дробей.

61
2.1
ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИЯХ
Функции
ГЛАВА II
Вы много раз встречались с ситуациями, когда зна-
чение какой-то одной величины зависит от значения
другой величины. Рассмотрим несколько примеров
таких ситуаций.
Пример 1. Периметр квадрата зависит от длины
его стороны. Если длина стороны равна a см, а пери-
метр равен P см, то зависимость периметра от длины
стороны выражается формулой:
P a= 4 .
В этой формуле очевидно a>0, так как длина стороны квадрата является поло-
жительным числом. Обе величины, входящие в эту формулу, — переменные.
Записанная формула позволяет для любого значения величины a>0 найти соот-
ветствующее значение величины P. Значение переменной a при этом может
быть выбрано произвольно, а значение переменной P зависит от выбранного
значения переменной a. По этой причине переменную a называют независимой
переменной, а переменную P — зависимой переменной. Условие a>0 задаёт
множество, из которого берутся значения независимой переменной a. Формула
P a= 4 представляет собой правило, или закон, с помощью которого каждому
значению независимой переменной a ставится в соответствие значение зависи-
мой переменной P.
Скажем, если a = 2 см, то P = 8 см, если a = 14 см, то P = 56 см, и т.д.
Чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что P зависит от a, принято писать P a( ).
С помощью этого специального обозначения информация, содержащаяся в пре-
дыдущем абзаце, может быть записана в виде P 2 8( )= , P 14 56( )= , а формула,
задающая зависимость переменной P от переменной a, может быть записана
в виде:
P a a( )= 4 .
Разные процессы, проистекающие в окружающем нас мире, характеризу-
ются теми или иными величинами, меняющимися с течением времени, поэтому
в очень многих ситуациях независимой переменной является время.
Пример 2. Камень брошен вниз с высоты 88 м со скоростью 2 м/с. Пока ка-
мень не упал, его высота h (в метрах) может быть найдена по формуле:
h t t t( )= − −88 2 5 2,
где t — время в секундах, прошедшее с момента броска, причём 0 4 t .

62
Здесь уже сама запись формулы указывает, что t — независимая переменная,
а h — зависимая переменная. Множество, на котором изменяется независимая
переменная t, задано условием 0 4 t . Формула задаёт правило, по которому
можно найти значение зависимой переменной h для каждого значения независи-
мой переменной t из этого множества. Скажем, h 0 88( )= , h 1 81( )= , h 3 37( )= ,
h 4 0( )= . Видно, что через 4 с после момента броска камень упадёт на землю.
Не всегда зависимость одной переменной от другой задаётся с помощью фор-
мулы.
Пример 3. На контрольной работе по математике было предложено 7 зада-
ний. Отметка за контрольную k зависит от количества правильно выполненных за-
даний n следующим образом.
n k
0 2
1 2
2 2
3 2
4 3
5 4
6 5
7 5
Здесь количество правильно выполненных заданий n — независимая перемен-
ная, а отметка за контрольную работу k — зависимая переменная. Независимая
переменная может принимать значения из множества {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. В от-
личие от двух предыдущих примеров правило (или закон), позволяющее для каж-
дого значения независимой переменной из этого множества находить соответ-
ствующее значение зависимой переменной, задано не с помощью формулы, а с
помощью таблицы. Пользуясь этой таблицей, можно установить, что, скажем,
k 3 2( )= , k 4 3( )= , k 6 5( )= и т.д.
Общим во всех рассмотренных примерах было следующее. Имеется неза-
висимая переменная, причём известно множество, на котором она изменяется.
Имеется также правило (или, по-другому, закон), с помощью которого для каж-
дого значения независимой переменной из этого множества можно найти соот-
ветствующее (обязательно единственное) значение зависимой переменной.
В математике в такой ситуации принято говорить, что зависимая переменная
является функцией независимой переменной. Функцией также называют прави-
ло, с помощью которого для каждого значения независимой переменной нахо-
дится соответствующее значение зависимой переменной. Независимая перемен-
ная называется при этом аргументом, а множество, на котором изменяется не-
зависимая переменная, называется областью определения функции.

63
Обратите внимание, задать функцию — значит задать две вещи:
1) область определения функции;
2) правило, по которому каждому значению аргумента из области определе-
ния функции ставится в соответствие одно-единственное значение функции.
При этом правило, о котором идёт речь (правило задания функции), может
быть самым разным: функцию можно задавать с помощью формулы, таблицы,
графика, описания и т.д. Постепенно вы познакомитесь с разными способами за-
дания функции.
В общем виде правило задания функции обозначают буквой, чаще всего латин-
ской. Скажем, если переменная y является функцией переменной (аргумента) x,
то это можно записать, например, в виде: y f x= ( ) и прочитать: «Игрек равно эф
от икс». Здесь латинской буквой f как раз и обозначено правило задания функ-
ции. Из подобной записи также видно, какая переменная является независимой
(аргументом), — она записана в скобках, а какая переменная является зависимой
(функцией). Скажем, запись u g t= ( ) показывает, что переменная u является
функцией аргумента t, причём закон задания этой функции обозначен буквой g.
Часто закон задания функции обозначают той же буквой, что и саму зависимую
переменную (функцию). Так, вместо y f x= ( ) пишут y y x= ( ) или просто y x( ),
вместо u g t= ( ) пишут u u t= ( ) или просто u t( ) и т.д.
Значение функции y f x= ( ) при значении аргумента, равном, например, 5,
обозначается f 5( ). Для краткости говорят: «Значение функции в точке 5» или
«Эф от пяти».
Один из самых распространённых способов задания функции — формула.
В математике принято правило: если функция задана с помощью формулы и при
этом область определения функции не указана, то предполагается, что область
определения состоит из всех допустимых значений аргумента в этой форму-
ле. Это множество обычно называется естественной областью определения
функции, заданной с помощью формулы.
Например, для функции, заданной формулой y x x= − −2 32 , естественной об-
ластью определения является множество всех действительных чисел. Естествен-
ная область определения функции, заданной формулой y
x
x
=
−
−
2 5
3
, состоит из
всех действительных чисел, кроме x = 3. Её можно записать в виде: x ¹ 3.
Для функций, заданных с помощью формулы, легко по известному значению
аргумента найти соответствующее значение функции — для этого нужно подста-
вить значение аргумента в формулу и выполнить необходимые вычисления. Ска-
жем, чтобы найти значение функции y x=− +5 8 при значении аргумента, рав-
ном 3, подставим в формулу, задающую функцию, вместо x его значение 3. По-
лучим: y =− ⋅ +5 3 8 или y =−7. Это можно также записать в виде y 3 7( )=− .
Иногда приходится решать обратную задачу: по известному значению функ-
ции найти соответствующее значение аргумента. Скажем, выясним, при каком
значении аргумента значение функции y x=− +5 8 равно 33. Для этого подставим

64
в формулу, задающую функцию, вместо y его значение 33. Получим:
33 5 8=− +x . Как видим, задача свелась к решению уравнения, и дальнейшее за-
висит от того, сумеем ли мы решить это уравнение или нет. В рассматриваемом
примере полученное уравнение является линейным. Решая его, получим:
5 8 33x = − ; 5 25x =− ; x =−5.
Таким образом, значение 33 функция y x=− +5 8 принимает при значении ар-
гумента, равном 5.
Рассмотрим ещё две задачи подобного вида.
Сначала выясним, при каком значении аргумента значение функции y x= +2 5
равно 9.
Подставляя в формулу, задающую функцию, вместо y его значение 9, полу-
чим уравнение: 9 52= +x , или 0 5 92= + −x , или 0 42= −x . Подобные уравнения
мы уже решали на уроках алгебры в 7-м классе. Перепишем его в более удоб-
ном виде x2 4 0− = , после чего разложим левую часть на множители, воспользо-
вавшись формулой разности квадратов: x x−( ) +( )=2 2 0.
Отсюда заключаем, что или x− =2 0, т.е. x = 2, или x + =2 0, т.е. x =−2.
Таким образом, значение 9 функция y x= +2 5 принимает при значении аргу-
мента, равном 2, и при значении аргумента, равном –2.
Теперь выясним, при каком значении аргумента значение функции y x x= −3 5
равно 1.
Подставляя в формулу, задающую функцию, вместо y его значение 1, полу-
чим уравнение:1 53= −x x. Решить это уравнение мы не можем. Тем самым мы
не можем определить для рассматриваемой функции, при каком значении аргу-
мента она принимает значение 1.
Н
1 Расскажите, приводя примеры:
а) что такое независимая переменная;
б) что такое зависимая переменная;
в) как называется правило, ставящее в соответствие каждому значению не-
зависимой единственное значение зависимой переменной.
а) Областью определения функции называется … .
б) Естественной областью определения функции, заданной с помощью фор-
мулы, называется … .
3 Укажите независимую и зависимую переменные:
а) y x x=− − 2; б) z h h= −
1
2
2; в) x p= −3 1; г) u
b
b
b=
−
+
1
.

65
4 Укажите аргумент и функцию:
а) y x= −18 4 ; б) f t t= +5 3; в) g s
s
s
= −
−1
; г) w
a
a
=
−
+
2
2
1
1
.
5 Велосипедист ехал 4 часа со скоростью 12 км/ч. Запишите формулу, выра-
жающую пройденный путь s через время t. Какая переменная является незави-
симой и какая зависимой? Какова область определения полученной функции?
6 Труба наполняет водой бассейн со скоростью 5 т/мин. Бассейн имеет во-
доизмещение 1500 т. Запишите формулу, выражающую долю заполнения
бассейна d через время t, если сначала он был пуст. Какая переменная явля-
ется независимой и какая зависимой? Какова область определения получен-
ной функции?
7 На металлургическом комбинате изготавливают латунь, сплав меди и цин-
ка. Для этого в ёмкость с расплавленной медью, вес которой 500 кг, добав-
ляют расплавленный цинк. Запишите формулу, выражающую долю c цинка
в получаемом сплаве через массу m добавленного цинка, если постепенно
его добавят 150 кг. Какая переменная является независимой и какая зависи-
мой? Какова область определения полученной функции?
8 Функция задана формулой y
x
x
=
+
2
1
. Начертите в тетради такую же таблицу
и заполните её, вычислив значения функции при указанных значениях аргу-
мента.
x 0 1 2 3 4 5
y
9 Функция задана формулой y x= −( )2 3 . Начертите в тетради такую же та-
блицу и заполните её, вычислив значения функции при указанных значениях
аргумента.
x 3 4 -1 3,4 -2 05, -8 25,
y
10 Найдите значение функций для указанных значений аргумента:
а) y x x= −3 2 для значения аргумента, равного 0; 1; 2; –1; –2; 0,4;
б) s t= +3 4 для значения аргумента, равного 0; 1; 2; 3;
1
3
; 2
2
3
;
в) g h= +3 1для значения аргумента, равного -2; -1; 0; 1; 2;
3
2
;
г) w a
a
= +
1
для значения аргумента, равного
1
5
; 5; 8;
1
8
; -3; -
3
4
.

66
Н
11 Для функции, заданной формулой y
x
x
=
+
−
2
2
, найдите:
а) y 0( ); в) y 0 2,( ); д) y 0 5,( ); ж) y −






12
5
;
б) y 1( ); г) y −( )3 ; е) y
12
5





; з) y −( )0 5, .
12 Дана функция f x
x
( )= −3
4
. Найдите:
а) f 2( ); в) f 8( ); д) f −( )0 5, ; ж) f
4
9





;
б) f −( )1 ; г) f 0 1,( ); е) f 0 2,( ); з) f −






16
13
.
13 Для функции, заданной формулой y
x
=
−3 4
2
, определите, при каком значе-
нии аргумента она принимает указанное значение:
а) 4; б) 10; в) 0,1; г) -2.
14 Для функции, заданной формулой y x= −7 2, определите, при каком значе-
нии аргумента она принимает указанное значение:
а) –2; б) 3; в) –9; г) 7.
15 Найдите естественную область определения функции, заданной формулой:
а) y x x= − −( )3 6 8 ; д) y x x
x
x
= −( )
−
−
1
2
3
;
б) y
x
x
=
−
−
3
4
; е) y
x x x
= −
+
+
−
1 1
1
1
1
;
в) y x
x
= +
−
1
1
; ж) y
x x
x
=
+
−
2
24 1
;
г) y x x= +5 6; з) y
x
x
x
x
x
x
= ⋅
−
−
⋅
+
+
1
1
1
1
.
16 Найдите область определения функции:
а) y
x
x
x
x
=
−
+
+
+
−
2
1
2
1
; в) y
x
x
x
x
=
−
⋅
+2 3 2 4
2
;
б) y
x x
=
+
1
6 2
; г) y
x
x
x
x
x
x
=
+
+
+
+
+
2
2
4
4
6
61 1 1
;

67
д) y
x
x
=
+
2
42
; ж) y
x x
x x
=
−( ) +( )
+( ) −( )
1 2
2 3
;
е) y
x x
x x
=
+ +
+ +
2
2
2 1
2 1
; з) y
x
x
x
x
= −
+
1
1
.
П
17 На окружности взято n точек и каждые две точки соединены отрезком. За-
пишите формулой зависимость количества отрезков m от количества точек.
Какая переменная является независимой и какая зависимой? Какова область
определения полученной функции?
18 Для функции y f x= ( ) запишите с помощью математических символов следу-
ющие утверждения:
а) значение функции при значении аргумента 2 равно 3;
б) значение функции при значении аргумента 6 равно значению функции при
значении аргумента 7;
в) значения функции в точках 2 и –1 одинаковы;
г) сумма значений функции в точках 9 и –9 равна 1.
19 Пусть f x x( )= −3 2; h x x( )= 2. Найдите:
а) f h1 1( )+ −( ); б) f h
1
3
2





− ( ); в) f h0 1 0 1, : ,( ) ( ); г) f h4 5( )⋅ ( ).
М
20 Пусть f x x( )= −3 2 . Найдите:
а) f a( ); б) f m−( )1 ; в) f c4( ); г) f x +( )3 .
21 Пусть f x x( )= −3 2; h x x( )= 2. Найдите:
а) f x h x2 2( )+ ( ); д) f
h x
x
f x
1
3
2
( )
+
( )






;
б) f h 2( )( ); е) h f x k f x k+( )− + −( )( )1 ;
в) 4 9f h f x h f h x( )( )( )+ ( )( )( ); ж) f h h
x
f
x
1 4
9
1




+

















;
г) f h x( )( ); з) f h x f h x f h x f x( )− ( )+ ( )+ ( )

















1
39
4
13
36
.

68
2.2 Графики функций
Рассмотрим функцию, заданную формулой
y
x
x
=
+
+
5 1
2
, где -1 4 x .
Найдём значения этой функции при всех целых зна-
чениях аргумента из области определения функции
и занесём полученные результаты в таблицу.
x -1 0 1 2 3 4
y -4 0 5, 2 2 75, 3 2, 3 5,
Из таблицы видно, что, например, при значении аргумента -1 соответству-
ющее значение функции равно -4. Другими словами, при x =−1y =−4. Этой па-
ре значений x и y соответствует точка координатной плоскости − −( )1 4; с абсцис-
сой x =−1 и ординатой y =−4. То же самое можно сказать об остальных парах
чисел, расположенных в столбцах рассматриваемой таблицы.
Нанесём все эти точки на координатную плоскость (рис. 1 а). Понятно, что ес-
ли брать всё новые и новые значения аргумента, вычислять соответствующие им
значения функции и наносить полученные точки на координатную плоскость, то
будем получать всё больше и больше таких точек.
а) б)
Рис. 1
-1 1 2 3 4
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
-1 1 2 3 4
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
y
y=
5x+1
x+2
O O

69
Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны зна-
чениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, называ-
ется графиком этой функции.
График функции y
x
x
=
+
+
5 1
2
, где -1 4 x , изображён на рис. 1 б.
Построим ещё один график. Возьмём функцию, заданную формулой
y x x= − +2 4 5 при 0 5 x .
Начнём, как и в предыдущем примере, с нахождения значений функции при це-
лых значениях аргумента из области определения функции и заполнении таблицы.
x 0 1 2 3 4 5
y 5 2 1 2 5 10
Нанесём полученные точки на координатную плоскость (рис. 2 а). По име-
ющимся данным уже можно пробовать рисовать график, соединяя точки плав-
ной линией. Для более точного построения графика можно увеличить количество
точек, найдя значения функции при других значениях аргумента. Ясно, что чем
больше точек будет нанесено на координатную плоскость, тем точнее мы смо-
жем нарисовать график. Получим ещё несколько точек нашего графика, запол-
нив ещё одну таблицу.
x 0 5, 15, 2 5, 3 5, 4 5,
y 3 25, 2 5, 1 25, 3 25, 7 25,
Добавим полученные точки к уже нанесённым на координатную плоскость
(чёрные точки на рис. 2 б).
Теперь нарисуем график (рис. 2 в).
Рассматривание графика и его анализ (или, как чаще говорят, чтение графика)
позволяет многое узнать о функции и о её поведении. Скажем, для построенно-
го графика функции y x x= − +2 4 5 при 0 5 x видно, что наибольшее значение
функции равно 10. Это своё наибольшее значение функция принимает (ещё при-
нято говорить «достигает») при значении аргумента, равном 5. Такой вывод нам
позволило сделать наблюдение, что наибольшему значению функции соответ-
ствует наивысшая точка графика. Точно так же, найдя самую нижнюю точку гра-
фика, мы сможем сделать вывод, что наименьшее значение рассматриваемой
функции равно 1 и достигается при x = 2.
Из графика видно, что при изменении аргумента от 0 до 2 функция убывает
(значения функции уменьшаются), а при изменении аргумента от 2 до 5 функция
возрастает (значения функции увеличиваются).
С помощью графика можно находить значение функции, соответствующее
данному значению аргумента, правда, в большинстве случаев это удастся сде-
лать только приближённо. Скажем, чтобы найти значение функции при значении
аргумента, равном 3, возьмём точку 3 на оси абсцисс (где изменяется аргумент)
и проведём через неё прямую, перпендикулярную оси абсцисс, до пересечения

70
с графиком. Через полученную точку на графике проведём прямую, перпенди-
кулярную оси ординат (рис. 3 а). Точка пересечения этой прямой с осью ординат
и даст искомое значение функции. Из рисунка видно, что это y = 2. Если мы захо-
тим найти значение функции в точке x = 0 75, и выполним такие же действия, то
с помощью графика установим соответственное значение функции лишь прибли-
жённо: y 0 75 2 6, ,( )≈ (рис. 3 б).
Аналогично можно находить с помощью графика значение аргумента, при ко-
тором функция принимает данное значение. Скажем, чтобы найти, при каком
значении аргумента функция принимает значение, равное 4, возьмём точку 4 на
оси ординат (именно на этой оси откладываются значения функции) и проведём
через неё прямую, перпендикулярную оси ординат, до пересечения с графиком.
Таких точек пересечения оказалось две (рис. 3 б). Через каждую из полученных
точек на графике проведём прямую, перпендикулярную оси абсцисс. Точки пе-
ресечения этих прямых с осью абсцисс и дадут искомые значения аргумента. Из
рисунка видно, что это x » 0 3, и x » 3 7, .
Мы рассмотрели, как строить график функции, заданной с помощью форму-
лы. Но очень часто функция задаётся с помощью графика. Предположим, нас
интересует температура воздуха в данном населённом пункте (обычно её изме-
ряют в определённой точке на метеорологической станции) в течение суток, от
а) б) в)
Рис. 2
1 2 3 4 5
x
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
1 2 3 4 5
x
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
1 2 3 4 5
x
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
OOO

71
0 ч до 24 ч по местному времени. Понятно, что в этих условиях в каждый мо-
мент времени температура воздуха принимает вполне определённое единствен-
ное значение. Таким образом, температура является функцией времени. Вряд ли
мы сможем задать эту функцию с помощью какой-либо формулы, а вот графики
подобных функций специалисты-метеорологи получают с помощью специальных
приборов-самописцев. Бумага, на которой рисуется график, намотана на мед-
ленно вращающийся с помощью часового механизма барабан, а самопишущее
перо соединено со специальным термометром.
На рис. 4 приведён один из графиков зависимости температуры от време-
ни в течение суток. По оси абсцисс откладывается время в часах, а по оси орди-
нат — температура в градусах Цельсия.
С помощью этого графика мы можем получить очень много информации
о температуре за исследуемые сутки. Видно, что в момент начала наблюдений
(0 ч) температура воздуха была –2 °С, затем она постепенно понижалась и, до-
стигнув примерно в 3 ч своего наименьшего значения, равного –6 °С, стала воз-
растать, сначала побыстрее, затем помедленнее и достигла отметки 0 °С в 11 ч,
причём за последние три часа перед этим, с 8 ч до 11 ч, она повысилась всего на
1 градус (от –1 °С до 0 °С). Далее температура увеличивалась и, достигнув сво-
его наибольшего значения, примерно равного +4,5 °С между 14 ч и 15 ч, при-
а) б)
Рис. 3
1 2 3 4 5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
1 2 3 4 5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
O O

72
мерно в 14 ч 40 мин, стала уменьшаться и уменьшалась до конца суток (24 ч),
когда достигла значения –4 °С. При этом равной 0 °С температура была в 20 ч.
Из графика можно извлечь много другой информации. Скажем, видно, что
положительной за рассматриваемые сутки температура была в течение 9 часов
(с 11 ч до 19 ч), остальные 15 часов температура была отрицательной.
Н
а) Графиком функции называется … .
б) Чтобы найти с помощью графика значение функции, соответствующее
данному значению аргумента, нужно … .
в) Чтобы найти с помощью графика значение аргумента, при котором функ-
ция принимает данное значение, нужно … .
2 Расскажите, приводя примеры, как строить график функции, заданной
с помощью формулы.
3 Принадлежит ли графику функции y
x
x
=
−3
точка M x y;( ), если:
а) x y= =4 1; ; в) x y=− =
1
4
1
13
; ;
б) x y= =−2 1; ; г) x y=− =0 5 0 2, ; , ?
4 Принадлежит ли графику функции y x x= +( ) −( )2 3 точка:
а) 2 3;−( ); б) 5 14;( ); в) −






5
2
11
3
; ; г) −( )3 5 9 75, ; , ?
Рис. 4
1
1
Температура,°С
Время, ч
O

73
Н
5 С помощью графика, изображённого на рис. 5, определите:
а) значение y, если значение x равно -2; 2; 3;
б) значение x, если значение y равно 4; 0; -3;
в) y −( )1 ; y 5( ); y 5 5,( );
г) значение x, при котором y x( )= 2; y x( )= 3; y x( )=−3.
а) значение функции, соответствующее значению аргумента -5; 0; 2;
б) значение аргумента, при котором функция принимает значение, равное 9;
-2; 5;
в) наибольшее значение функции;
г) значение аргумента, при котором функция принимает своё наибольшее
значение;
д) наименьшее значение функции;
е) значение аргумента, при котором функция принимает своё наименьшее
значение.
7 На рис. 7 изображён график некоторой функции.
а) Запишите все значения аргумента, при которых функция равна нулю.
б) Запишите три значения аргумента, при которых функция принимает поло-
жительные значения.
в) Запишите три значения аргумента, при которых функция принимает отри-
цательные значения.
г) При каких значениях аргумента функция возрастает?
д) При каких значениях аргумента функция убывает?
Рис. 5 Рис. 6
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
x
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
o
o

74
8 Расстояние между пунктами А и B 220 км. По графику движения автомобиля
(рис. 8) ответьте на вопросы:
а) Через сколько часов после выезда из пункта А автомобиль прибыл
в пункт B?
б) Сколько часов длилась стоянка автомобиля?
в) На каком расстоянии от пункта А автомобиль сделал стоянку?
г) С какой скоростью автомобиль ехал до стоянки и с какой — после стоянки?
д) Какова средняя скорость автомобиля на маршруте от пункта А до пункта B?
Рис. 7
Рис. 8
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
x
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y
O
1 2 3 4 5
40
80
120
160
200
Время, ч
Расстояние, км
O

75
П
9 Из пункта А в пункт B выехал грузовой автомобиль, а через некоторое вре-
мя вслед за ним — легковой. По графику движения автомобилей (рис. 9) от-
ветьте на вопросы:
а) Чему равно расстояние от пункта А до пункта B?
б) На сколько часов позже грузового легковой автомобиль выехал из
пункта А?
в) Через сколько часов после выезда из пункта А каждый из автомобилей
прибыл в пункт B?
г) С какой скоростью ехал каждый из автомобилей?
д) Через сколько часов после своего выезда из пункта А легковой автомо-
биль догнал грузовой?
е) На каком расстоянии от пункта А легковой автомобиль догнал грузовой?
ж) На сколько часов раньше грузового легковой автомобиль прибыл в пункт B?
Рис. 9
10 Болид «Формулы-1» проезжает 3 круга длиной 6 км каждый. На рис. 10 при-
ведён график зависимости расстояния болида от точки старта (измеренного
вдоль трассы) от времени.
а) Какое расстояние проехал болид за 2,25 мин; за 2,5 мин; за 3 мин?
б) Сколько времени было потрачено на пит-стоп (техническую остановку) на
втором круге?
в) С какой наибольшей скоростью двигался болид?
г) С какой средней скоростью болид проехал эти три круга?
д) На сколько секунд быстрее болид проехал второй круг, чем первый?
е) Сколько времени потребовалось на преодоление первой половины перво-
го круга? второй половины второго круга?
1 2 3 4 5
40
80
120
160
200
240
Расстояние, км
Время, ч
O

76
ж) За какое время проехал бы болид все три круга, если бы он всё время
ехал со скоростью, равной скорости на второй половине третьего круга?
11 В больнице взяли воду при температуре 0 °С, нагрели до кипения и стерили-
зовали в ней медицинские инструменты в течение необходимого времени,
после чего оставили остывать до комнатной температуры 20 °С. График за-
висимости температуры воды от времени изображён на рис. 11.
а) Сколько времени вода нагревалась до кипения?
б) Сколько времени проводилась стерилизация инструментов?
в) Сколько времени вода остывала до комнатной температуры?
г) На сколько скорость нагревания воды была больше скорости охлаждения?
д) Сколько времени вода остывала бы до температуры 0 °С?
Рис. 10
Рис. 11
1 2 3 4 5
0,3
3
Время, мин
Расстояние от линии старта, км
O
Время, мин
20 40 60 80
20
40
60
80
100
Температура, °С
O

77
е) Если бы вода не закипала при 100 °С, то за какое время она нагрелась бы
до 200 °С?
ж) Сколько времени понадобилось на то, чтобы нагреть воду от 0 °С до ком-
натной температуры 20 °С?
з) За какое время вода нагрелась бы от 50 °С до кипения и остыла снова до
50 °С, если в момент начала кипения её сразу же прекратили нагревать
и она начала бы остывать?
12 Всякая ли линия на координатной плоскости является графиком некоторой
функции?
13 Какие из изображённых на рис. 12 линий являются графиками функций?
а)
б)
в)
г)
Рис. 12
Рис. 12
x
y
x
y
1
2
1
2
1
2
1
2
1
11
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
11
1
O O
x
1
2
1
2
1
2
1
2
1
11
1
1
2
1
2
1
2
1
11
y
x
y
б) г)
OO
1
1
2

78
М
14 При каком условии линия на координатной плоскости является графиком не-
которой функции?
2.3 Линейная функция и её график
Что такое линейное уравнение с двумя неизвест-
ными?
Что представляет собой график линейного уравне-
ния с двумя неизвестными?
Какова область определения функции y x= −2 3?
Верно ли, что равенство, задающее функцию y x= −2 3, представляет собой
линейное уравнение с двумя неизвестными?
Нарисуйте график линейного уравнения с двумя неизвестными y x= −2 3.
Можно ли утверждать, что это график функции y x= −2 3?
Какое значение принимает функция y x= −2 3 при x = 0? В какой точке график
функции y x= −2 3 пересекает ось ординат? Какая имеется связь между этими
двумя вопросами?
Как изменится значение функции y x= −2 3, если значение аргумента увели-
чить на единицу? Зависит ли ответ на этот вопрос от того, какое именно значе-
ние аргумента увеличивали на единицу?
Что представляет собой график функции y kx b= + , где k и b — произволь-
ные действительные числа?
Какими свойствами он обладает?
Линейной функцией называется функция, задаваемая формулой y kx b= + ,
где x — аргумент, y — функция, k и b — произвольные действительные числа,
называемые коэффициентами линейной функции, причём каждый коэффициент
имеет своё особое название: k — угловой коэффициент, b — свободный член.
Естественной областью определения линейной функции является множество всех
действительных чисел.
Поскольку формула, задающая линейную функцию, представляет собой ли-
нейное уравнение с двумя неизвестными (для полной ясности можно переписать

79
его в виде − + =kx y b), то, как вы уже знаете из курса алгебры 7-го класса, гра-
фиком такого уравнения (а следовательно, и графиком линейной функции) явля-
ется прямая. Для построения прямой достаточно двух точек, поэтому для постро-
ения графика линейной функции можно взять любые два значения аргумента,
найти соответствующие значения функции, нанести полученные две точки на ко-
ординатную плоскость и провести через эти точки прямую.
Построим, например, график функции y x= −15 2, . При x = 0 находим y =−2,
при x = 2 находим y =1. Таким образом, графиком рассматриваемой функции
является прямая, проходящая через точки 0 2;−( ) и 2 1;( ). График функции
y x= −15 2, изображён на рис. 13.
На графике, естественно, изображена не вся прямая, а лишь её часть. Если по-
надобится поработать с графиком функции y x= −15 2, , скажем при x = 34, то
придётся нарисовать другой рисунок.
Выясним геометрический смысл коэффициентов линейной функции.
Начнём со свободного члена. Если подставить в уравнение y kx b= + значение
x = 0, то получим y b= . Таким образом, точка 0; b( ) лежит на графике функции
y kx b= + , или, по-другому, график проходит через эту точку. Можно сказать
так: b — это ордината точки пересечения прямой — графика линейной функции
y kx b= + с осью Oy (рис. 14).
Для выяснения геометрического смысла углового коэффициента k поступим сле-
дующим образом: возьмём любое значение аргумента, скажем x m= , найдём со-
ответствующее значение функции: y km b= + , а затем выясним, на сколько изме-
нится значение функции, если значение аргумента увеличить на единицу. Новое зна-
чение аргумента будет x m= +1, новое значение функции будет: y k m b= +( )+1 ,
а разность между новым и старым значениями функции будет равна:
k m b km b km k b km b k+( )+ − + = + + − − =1 ( ) .
Рис. 13 Рис. 14
-2 -1 1 2 3
x
-3
-2
-1
1
2
y
y=1,5 x+2
x
y
y=kx+b
O O

80
Из приведённых вычислений видно, что эта разность не зависит от выбора
начального значения аргумента x m= . Таким образом, угловой коэффициент k
показывает, на сколько изменяется значение линейной функции при увеличении
аргумента на единицу. При этом значение функции увеличивается на k единиц,
если k >0 (рис. 15 а), уменьшается на k единиц, если k <0 (рис. 15 б), и остаёт-
ся неизменным, если k = 0.
Из этого следует:
Линейная функция y kx b= + возрастает, если k >0, убывает, если k <0,
и остаётся постоянной, если k = 0.
Последнее можно сформулировать ещё и так: прямая, являющаяся графиком
линейной функции y kx b= + , параллельна оси абсцисс при k = 0 и b ¹ 0 и совпа-
дает с осью абсцисс при k = 0 и b = 0.
Если две линейные функции имеют положительные угловые коэффициенты, то
можно не только сказать, что обе эти линейные функции возрастают, но также,
что линейная функция с бо’льшим угловым коэффициентом возрастает быстрее,
а прямая, являющаяся её графиком, идёт круче.
Чтение графиков линейных функций, изображённых на рис. 16, позволяет за-
ключить, что k1 0> , k2 0> , причём k k1 2> . Кстати, из этого рисунка видно также,
что b1 0> , b2 0> , причём b b1 2< . Аналогичные выводы можно делать и для отрица-
тельных угловых коэффициентов.
а) б)
Рис. 15
1
k>0
k
x
y
y=kx+b
m m+1
k<0
1
k
x
y
y=kx+b
m
m+1

81
Если же угловые коэффициенты у двух разных прямых равны, то такие пря-
мые параллельны. (Поскольку графиком линейной функции является прямая, то
часто говорят «угловой коэффициент прямой», имея в виду угловой коэффици-
ент линейной функции, графиком которой является эта прямая.) Для доказатель-
ства этого факта отложим на оси абсцисс вправо от точек пересечения каждой из
прямых с этой осью по единичному отрезку и через полученные точки проведём
прямые, перпендикулярные оси абсцисс до пересечения с соответственными гра-
фиками, как изображено на рис. 17.
У нас образовались прямоугольные треугольники ABC и MNP. Геометриче-
ский смысл углового коэффициента позволяет утверждать, что BC NP k= = ,
а поскольку также AB MN= =1, то прямоугольные треугольники ABC и MNP
равны по двум катетам. Отсюда следует, что ∠ =∠CAB PMN, а поскольку эти
углы являются соответственными для прямых AC и MP и секущей — оси абсцисс,
то прямые параллельны.
Теперь мы можем сформулировать условие параллельности прямых.
Прямые y k x b= +1 1 и y k x b= +2 2 параллельны тогда и только тогда, когда
k k1 2= , но b b1 2¹ .
Можно также сформулировать условие совпадения прямых.
Прямые y k x b= +1 1 и y k x b= +2 2 совпадают тогда и только тогда, когда
k k1 2= и b b1 2= .
Из курса геометрии 7-го класса вы знаете, что если две прямые не параллель-
ны и не совпадают, то они пересекаются, причём в единственной точке. Вы так-
же знаете, что для нахождения координат этой точки можно записать систему из
уравнений этих прямых и решить её.
Рассмотрим, к примеру, линейные функции y x=− +2 3 и y x= +3 8. Посколь-
ку их угловые коэффициенты различны, то прямые не параллельны и не совпада-
x
y
1
1
1
2 2
2
A
B
1 1
M
N
C
k k
P
x
y
y=k x+b
y=k x+b
b
b
oo

82
ют, а, значит, пересекаются. Для нахождения их точки пересечения решим систе-
му уравнений:
y x
y x
=− +
= +




2 3
3 8
,
.
Это система линейных уравнений, причём решать её удобно, вычитая уравне-
ния, например, из второго первое. Получим:
0 3 8 2 3= + + −x x ;
0 5 5= +x ;
− =5 5x ;
x =−1.
Подставляя x =−1, скажем, в первое уравнение, получим:
y =− ⋅ −( )+2 1 3; y =5.
Таким образом, прямые y x=− +2 3 и y x= +3 8 пересекаются в точке −( )1 5; .
Довольно часто приходится рассматривать линейную функцию не на всей есте-
ственной области определения, а лишь на её части. Обычно в таких случаях об-
ласть определения либо бывает задана, либо определяется из смысла ситуации.
Например, если в резервуаре объёмом 300 м3
содержится 100 м3
жидкости и,
начиная с некоторого момента, в него начинает с помощью насоса поступать
жидкость со скоростью 10 м3
/мин до того момента, пока резервуар не напол-
нится, то объём жидкости Vв бассейне (в м3
) зависит от времени t (в мин) по
формуле V t= +100 10 . Это линейная функция, но её аргумент t меняется в опре-
делённых пределах. Во-первых, t удовлетворяет условию t  0, а во-вторых, ре-
шая уравнение 100 10 300+ =t , мы можем найти, через какое время работы на-
соса произойдёт заполнение резервуара:
10 300 100t = − ;10 200t = ; t = 20.
Таким образом, 0 20 t .
Графиком линейной функции в таких случаях является соответствующая часть
прямой, чаще всего луч или отрезок.
Н
а) Линейной функцией называется … .
б) Угловым коэффициентом в уравнении, задающем линейную функцию,
называется … .
в) Свободным членом в уравнении, задающем линейную функцию, называ-
ется … .
г) Областью определения линейной функции является … .
д) Графиком линейной функции является … .

83
2 Расскажите, приводя примеры, какой геометрический смысл в уравнении,
задающем линейную функцию, имеет:
а) свободный член; б) угловой коэффициент.
а) Линейная функция y kx b= + является возрастающей при … .
б) Линейная функция y kx b= + является убывающей при … .
4 Сформулируйте условия, при которых две прямые, задаваемые уравнени-
ями y k x b= +1 1 и y k x b= +2 2:
а) параллельны; б) совпадают; в) пересекаются.
5 При каких условиях график линейной функции y kx b= + проходит через
начало координат?
6 Укажите, какие из формул задают линейные функции:
а) y x= 3; в) y x
x
x
= + ; д) y = 0; ж)y x= ;
б) y x= +4 2; г) y x x= − +( )2 4 1 ; е) y x x= + +2 1; з) y x= −1.
7 Для линейных функций запишите угловой коэффициент и свободный член:
а) y x=− +4; б) y x= −11 13; в) y x=−3 ; г) y =−6.
Н
8 Постройте график линейной функции:
а) y x= −2 1; в) y x= −3 3; д) y x= 0 1, ; ж) y = 6;
б) y x=− +0 5 2, ; г) y x=− +2 1; е) y x= 3 ; з) y = 0.
9 Постройте график функции, заданной формулой:
а) y x= +
2
3
1; в) y x= +
4
5
5
4
; д) y x=− +2 ; ж) y
x
=
+4
4
;
б) y x=− −1; г) y x= −4 5; е) y =−1; з) y x= +( )5 25 5: .
10 Выясните, параллельны, совпадают или пересекаются прямые. Для пересе-
кающихся прямых определите координаты их точки пересечения:
а) y x=− +4 3 и y x=− +4 8; д) y x= +2 1и y x= +( )4 2 2: ;
б) y x= +
5
2
4 и y x
x
= +( )+
+
2
3 4
2
; е) y x= −22 4 и y x= +22 7;
в) y x= +1и y x= +2 3; ж) y = 7 и y = 9;
г) y x= −4 2 и y x=− +4 2; з) y x= и y x=− +10 11.
11 Для каждого из графиков линейных функций y kx b= + , изображённых на
рис. 18, определите, положительным, отрицательным или равным нулю яв-
ляется угловой коэффициент k и свободный член b.

84
а)
д)
б)
е)
в)
ж)
г)
з)
Рис. 18
П
12 Сравните угловые коэффициенты и сравните свободные члены линейных
функций, графики которых изображены на рис. 19. Непрерывной линией
обозначен график функции y k x b= +1 1, пунктирной — y k x b= +2 2.
а)
д)
б)
е)
в)
ж)
г)
з)
Рис. 19
x
y
x
y
x
y
x
y
oo o o
x
y
x
y
x
y
x
y
oooo
x
y y
xx
y
x
y
o o o o
x
y
x
y
x
y
x
y
oooo

85
13 Известно, что график линейной функции y kx b= + не проходит через начало
координат. Может ли он быть расположен полностью:
а) в одной четверти;
б) в двух четвертях;
в) в трёх четвертях;
г) в четырёх четвертях?
Если нет, объясните почему. Если да, выясните, при каких условиях.
14 Известно, что на рис. 20 изображён
график одной из следующих линейных
функций:
а) y x= +
1
2
7; в) y x= −
1
2
8;
б) y x=− +
1
2
7; г) y x=− +
1
2
8.
График какой именно из этих функций
изображён на рисунке?
15 Всякая ли прямая на координатной пло-
скости является графиком некоторой ли-
нейной функции?
М
16 Докажите, что прямые y k x b= +1 1 и y k x b= +2 2 при k k1 2 1=− перпендику-
лярны.
17 Среди заданных прямых найдите пары взаимно перпендикулярных:
y x= −2 2; y x=− −5 5; y x= −0 5 2, ; y x=− +2 5; y x= 0 2, ; y x=− −0 2 5, .
18 Чем похожи и чем отличаются график линейного уравнения с двумя неиз-
вестными и график линейной функции?
М
19 Восьмиклассник Валя утверждает, что видел в одной книжке формулу
для уравнения прямой, проходящей через две различные точки с координа-
тами x y1 1;( ) и x y2 2;( ). Эта формула, по его словам, была следующая:
y y
y y
x x
x x
−
−
=
−
−
1
2 1
1
2 1
.
а) Выясните, справедлива ли формула, о которой говорит Валя.
б) Как записать уравнение прямой, если точки таковы, что y y1 2= ?
в) Как записать уравнение прямой, если точки таковы, что x x1 2= ?
Рис. 20
1 x
1
y
O

86
2.4 Функция y x= 2
и её график
Какие значения может принимать аргумент x
функции y x= 2? Какие значения может принимать
функция?
Сравните значения функции y x= 2 при двух поло-
жительных значениях аргумента x1 и x2, таких, что
x x1 2< .
Сравните значения функции y x= 2 при двух отри-
цательных значениях аргумента x1 и x2, таких, что
x x1 2< .
Какова область определения функции y x= 2?
Сравните значения функции y x= 2 при противоположных значениях аргумен-
та, например, -2 и 2; -0,3 и 0,3; -x и x. Сформулируйте найденную законо-
мерность. Докажите её.
Найдите значения функции y x= 2 при нескольких значениях аргумента, нане-
сите соответственные точки на координатную плоскость и соедините их плав-
ной линией.
Какие особенности графика функции y x= 2 вы можете назвать?
Как выглядит график функции y x= 2?
Какими свойствами обладает график функции y x= 2?
В математике очень важную роль играет функция, задаваемая формулой
y x= 2. Вы неоднократно убедитесь в этом во время обучения как в 8-м классе,
так и во всех последующих.
Изучим основные свойства этой функции и научимся строить её график.
Естественной областью определения этой функции является множество всех
действительных чисел. Поскольку квадрат никакого действительного числа не мо-
жет быть отрицательным, то y x( ) 0 при всех действительных x. При этом y = 0
лишь в том случае, когда x = 0.
Если взять два положительных числа и возвести каждое из них в квадрат, то
ясно, что квадрат большего числа будет больше (позже вы научитесь строго
доказывать это утверждение). Для рассматриваемой функции y x= 2 это зна-
чит, что для положительных значений аргумента эта функция является возрас-
тающей.

87
Точно так же из двух отрицательных чисел квадрат большего числа будет мень-
ше. Для функции y x= 2 это значит, что для отрицательных значений аргумента
эта функция является убывающей.
Очень важным свойством функции y x= 2 является то, что при противополож-
ных значениях аргумента значения функции одинаковы. Это следует из известной
вам формулы −( ) =x x
2 2.
Функции, принимающие одинаковые значения при противоположных значени-
ях аргумента, называются чётными функциями. Таким образом, функция y x= 2
является чётной.
Тот факт, что функция y f x= ( ) является чётной, записывается в виде:
f x f x−( )= ( ).
Поскольку две точки координатной плоскости с одинаковыми ординатами
и противоположными абсциссами симметричны относительно оси ординат, то
график чётной функции симметричен относительно оси ординат.
График функции y x= 2, таким образом, симметричен относительно оси ординат.
Для построения этого графика возьмём несколько положительных значений
аргумента и найдём соответствующие значения функции.
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
y 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9
Нанесём соответствующие точки на координатную плоскость, а также нанесём
точки, симметричные уже нанесённым точкам относительно оси ординат (рис. 21 а).
Соединив точки плавной линией, мы получим график функции y x= 2 (рис. 21 б).
а) б)
Рис. 21
-3 -2 -1 1 2
x
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-3 -2 -1 1 2
x
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
а) б)
yy
o o

88
Ясно, что поскольку область определения нашей функции состоит из всех дей-
ствительных чисел (вся ось абсцисс), то весь график на листе бумаги нарисовать
невозможно, и мы нарисовали лишь часть графика — точно так же, как мы рису-
ем на чертежах лишь часть бесконечной прямой.
Для более подробного построения графика функции y x= 2 полезно взять лист
миллиметровой бумаги, а за единичный отрезок выбрать на каждой из осей 1 см.
Таблица значений функции будет гораздо объёмнее (мы не включили в неё
данные предыдущей таблицы).
x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 1,1 1,2 1,3 1,4
y 0,01 0,04 0,09 0,16 0,36 0,49 0,64 0,81 1,21 1,44 1,69 1,96
x 1,6 1,7 1,8 1,9 2,1 2,2 2,3 2,4 2,6 2,7 2,8 2,9
y 2,56 2,89 3,24 3,61 4,41 4,84 5,29 5,76 6,76 7,29 7,84 8,41
Теперь, после нанесения на координатную плоскость 31 точки, а также ещё 30
точек, симметричных уже нанесённым относительно оси ординат — кроме нача-
ла координат, которое симметрично самому себе (рис. 22 а), можно начертить
более точный график функции y x= 2 (рис. 22 б).
Линия, являющаяся графиком функции y x= 2, называется параболой. Ось орди-
нат является осью симметрии параболы. Точка пересечения параболы со своей
осью симметрии называется вершиной параболы. У нас это начало координат, точ-
ка 0 0;( ). Вершина параболы делит её на две части, называемые ветвями параболы.
Парабола обладает рядом замечательных свойств, которые мы рассмотрим
несколько позже.
а) б)
Рис. 22
1 2 x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
-3 -2 -1 1 2 x
-1
-3 -2 -1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
а) б)
o o

89
Н
а) Областью определения функции y x= 2 является … .
б) Все значения функции y x= 2 являются … .
в) Графиком функции y x= 2 является … .
2 При каких значениях аргумента функция y x= 2 является:
а) возрастающей; б) убывающей?
3 а) Что такое ветви параболы?
б) Что такое вершина параболы?
4 а) Какая прямая является осью симметрии параболы y x= 2?
б) Какая точка является вершиной параболы y x= 2?
в) В каких четвертях расположена парабола y x= 2?
5 Расскажите, приводя примеры.
а) Какая функция называется чётной?
б) Какими особенностями обладает график чётной функции?
6 Найдите значения функции y x= 2 при указанных значениях аргумента:
а) 14; в) -15; д)11; ж) 9;
б) –8; г) 15; е)12; з) -17.
а) -1 4, ; в) 0 1, ; д) -7 7, ; ж) 6 79, ;
б) 4 2, ; г) 9 9, ; е) 10 4, ; з) -3 41, .
Н
а)
2
3
; в)
1
9
; д) -
5
6
; ж)
9
8
;
б)-
1
4
; г) -
4
7
; е)
10
3
; з) -
7
2
.
9 Выберите точки, принадлежащие графику функции y x= 2:
а) −( )2 6; ; в) −( )12 144; ; д) 3 8 9; ,( ); ж) 0 0;( );
б) −( )7 1; ; г) 0 2 0 04, ; ,( ); е) −( )1 1; ; з)
2
3
4
9
;





.

90
10 Сравните, не вычисляя:
а) 3 22, и 3 42, ; в) 0 012, и 0 022, ; д)112 и122; ж) 9 32, и 9 22, ;
б)112, и 0 92, ; г) 112 и10 92, ; е)7 82, и 7 92, ; з) 2 22, и1 92, .
11 Дана функция y x= 2. Сравните y u( ) и y v( ), если:
а) u v=− =−2 7 2 8, ; , ; в) u v=− =−0 1 0 09, ; , ;
б) u v=− =−10 12 10 1, ; , ; г) u v=− =−4 4 4 9, ; , .
П
12 Выясните, какие из функций являются чётными:
а) y x= −5 2; в) y x x= +( ) −2 4
2
; д) y x= 3 ; ж)y x= 3;
б) y x= −( )1
2
; г) y x= −
1
3
22 ; е) y x=− +1; з) y x= 4.
13 Что можно сказать о функции, график которой симметричен относительно
оси ординат?
М
оси абсцисс?
2.5 Функция y
k
x
= и её график
Какие величины называются обратно пропорцио-
нальными?
Приведите несколько примеров обратно пропор-
циональных величин.
Какой формулой связаны между собой обратно
пропорциональные величины?
Какова область определения функции y
k
x
= , где k — произвольное действи-
тельное число?

91
Сравните значения функции y
k
x
= при противоположных значениях аргумен-
та, например, –2 и 2; –0,3 и 0,3; -x и x. Сформулируйте найденную законо-
мерность. Докажите её.
Найдите значения функции y
x
=
12
при нескольких значениях аргумента, нане-
Найдите значения функции y
x
=
−12
при нескольких значениях аргумента, на-
несите соответственные точки на координатную плоскость и соедините их
плавной линией.
Какие свойства графика функции y
k
x
= вы можете назвать при положитель-
ных k? при отрицательных k?
Как выглядит график функции y
k
x
= ?
Какими свойствами обладает график функции y
k
x
= ?
Мы будем изучать функцию y
k
x
= , где k — произвольное действительное чис-
ло, отличное от нуля.
Естественная область определения этой функции состоит из всех действитель-
ных чисел, кроме нуля. Она может быть записана в виде: x ¹ 0.
На уроках математики в 6-м классе вы уже встречались с формулой y
k
x
= при
положительных k, x и y, когда изучали обратно пропорциональные величины. На-
помним, что две (положительные) величины называются обратно пропорцио-
нальными, если с увеличением (уменьшением) одной из них в несколько раз вто-
рая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Обратно пропорциональными величинами являются:
– количество товара и его цена при одинаковой стоимости покупки;
– скорость и время движения равномерно движущегося объекта при одинако-
вой длине пути;
– производительность труда и время работы при одинаковом объёме работы
и многие другие величины.
В курсе математики 6-го класса было установлено, что если величины x и y об-
ратно пропорциональны, то они связаны между собой формулой xy k= или
y
k
x
= , где k — некоторая постоянная величина.

92
Именно по этой причине зависимость, задаваемую формулой y
k
x
= , называют
обратно пропорциональной зависимостью (употребляя это название уже не толь-
ко для положительных k, x и y, но и для произвольных — только лишь отличных от
нуля).
Начнём изучение этой зависимости с очень важного её свойства. Вы уже зна-
ете из предыдущего параграфа, что функции, принимающие одинаковые значе-
ния при противоположных значениях аргумента, называются чётными функция-
ми. Например, функция y x= 2 является чётной. Вы также знаете, что условие
чётности функции y f x= ( ) может быть записано в виде:
f x f x−( )= ( ).
Выясним, как связаны между собой значения изучаемой нами в этом парагра-
фе функции y x
k
x
( )= при противоположных значениях аргумента. Проведём не-
обходимые преобразования:
y x
k
x
k
x
y x−( )=
−
=− =− ( ).
Таким образом, установлено, что значения функции y
k
x
= при противополож-
ных значениях аргумента являются противоположными числами. Функции, обла-
дающие этим свойством, называются нечётными функциями. Можно сказать,
что функция y
k
x
= является нечётной.
Тот факт, что некоторая функция y f x= ( ) является нечётной, записывается
в виде:
f x f x−( )=− ( ).
Поскольку две точки координатной плоскости, у которых и абсциссы, и орди-
наты являются противоположными числами, симметричны относительно начала
координат, то график нечётной функции симметричен относительно начала ко-
ординат.
k
x
= , таким образом, симметричен относительно начала ко-
ординат.
Построим график функции y
k
x
= , рассмотрев сначала случай, когда k — поло-
жительное число. Возьмём, например, k = 6 и построим график функции y
x
=
6
.
Начнём, как обычно, с нахождения значений функции при нескольких значе-
ниях аргумента из области определения функции и заполнения таблицы. Сначала
будем брать положительные значения аргумента.

93
x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4 5 6 8 10 12
y 12 6 4 3 2,4 2 1,5 1,2 1 0,75 0,6 0,5
При соответственных отрицательных значениях аргумента мы можем запол-
нить таблицу, основываясь на нечётности рассматриваемой функции.
x –0,5 –1 –1,5 –2 –2,5 –3 –4 –5 –6 –8 –10 –12
y –12 –6 –4 –3 –2,4 –2 –1,5 –1,2 –1 –0,75 –0,6 –0,5
Нанесём полученные точки на координатную плоскость (рис. 23).
1 x
1
y
O 1 x
1
y
O
Соединим плавной линией точки, лежащие в первой четверти. После этого со-
единим плавной линией точки, лежащие в третьей четверти. Ясно, что эти две ли-
нии симметричны друг другу относительно начала координат. Весь построенный
график называется гиперболой, а две отдельные линии, из которых он состоит,
называются ветвями гиперболы (рис. 24). Одна ветвь гиперболы y
x
=
6
лежит
в первой четверти, а другая — в третьей четверти.
Из графика видно, что для двух положительных значений аргумента большему
значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Можно сказать,
что функция y
x
=
6
для положительных значений аргумента является убывающей.
Из графика видно также, что для двух отрицательных значений аргумента боль-
шему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. функ-
ция y
x
=
6
для отрицательных значений аргумента тоже является убывающей.

94
Но в то же время функцию y
x
=
6
нельзя назвать убывающей на всей области
определения, поскольку значение этой функции при любом положительном зна-
чении аргумента больше, чем её значение при любом отрицательном значении
аргумента.
Аналогичный вид и аналогичные свойства имеет график функции y
k
x
= при дру-
гих положительных k. Построим такие графики в одной координатной плоскости
при трёх различных значениях k >0, скажем, при k = 6, k = 2, k =
1
2
, т.е. графики
y
x
=
6
(синего цвета), y
x
=
2
(серого цвета), y
x
=
1
2
(чёрного цвета). Эти графики
изображены на рис. 25.
Видно, что в I четверти чем больше k >0, тем выше лежит график, а в III чет-
верти наоборот: чем больше k >0, тем ниже лежит график.
Построим теперь график функции y
k
x
= , когда k — отрицательное число.
Возьмём, например, k =−6 и построим график функции y
x
=
−6
, или, что то же
самое, y
x
=−
6
.
Сравнивая значения функции y
x
=−
6
со значениями функции y
x
=
6
при одних
и тех же значениях аргумента, мы видим, что они являются противоположными
числами. Это значит, что графики этих функций симметричны друг другу относи-
тельно оси абсцисс. Но график функции y
x
=
6
мы уже построили выше, а теперь
с помощью осевой симметрии получим из него график функции y
x
=−
6
. На
рис. 26 график функции y
x
=
6
изображён синим цветом, а график функции
y
x
=−
6
изображён чёрным цветом.
Обратите внимание, что графики функций y
x
=−
6
и y
x
=
6
симметричны друг
другу также и относительно оси ординат. Это можно было заметить, анализируя
формулы: видно, что если значения аргумента в них являются противоположны-
ми числами, то соответствующие им значения функций равны.
k
x
= при k <0, представляет собой гиперболу, ветви кото-
рой расположены во второй и четвёртой координатных четвертях.
При k <0 функция y
k
x
= для положительных значений аргумента является воз-
растающей и для отрицательных значений аргумента тоже является возрастающей.

95
1O x
1
y
1 x
1
y
O
В то же время эту функцию нельзя назвать возрастающей на всей области
определения, поскольку значение этой функции при любом положительном зна-
чении аргумента меньше, чем её значение при любом отрицательном значении
аргумента.
Гипербола, являющаяся графиком функции y
k
x
= при k ¹ 0, не пересекает ось
ординат, поскольку область определения этой функции задаётся условием x ¹ 0.
Эта гипербола не пересекает также и ось абсцисс. Действительно, если предпо-
ложить противное, т.е. что y = 0 при некотором значении x, то при этом значе-
нии x имели бы:
0 0 0= ⋅ = =
k
x
x k k; ; ,
но по условию у нас k ¹ 0. Полученное противоречие и показывает, что гипербо-
ла не пересекает ось абсцисс.
Н
а) Областью определения функции y
k
x
= (где k ¹ 0) является … .
б) Графиком функции y
k
x
= (где k ¹ 0) является … .

96
2 а) Что такое ветви гиперболы y
k
x
= ?
б) Как расположены относительно друг друга ветви гиперболы y
k
x
= ?
3 Верно ли, что гипербола y
k
x
= симметрична относительно:
а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат?
4 В каких четвертях расположена гипербола y
k
x
= при разных значениях
k ¹ 0?
5 Какой формулой выражается обратно пропорциональная зависимость?
6 При каких значениях k ¹ 0 функция y
k
x
= является для положительных зна-
чений аргумента:
7 При каких значениях k ¹ 0 функция y
k
x
= является для отрицательных зна-
чений аргумента:
а) Какая функция называется нечётной?
б) Какими особенностями обладает график нечётной функции?
9 Найдите значения функции y
x
=
12
при указанных значениях аргумента:
а) 12; в) 24; д) 1,5; ж) -0 2, ;
б) –8; г) -4; е)
3
4
; з) 1.
10 Найдите значения функции y
x
=−
2
при указанных значениях аргумента:
а) 4; в)
2
3
; д) -12; ж)16;
б)-
1
4
; г)
4
7
; е)
1
2
; з) -
2
9
.
11 Какие из точек принадлежат графику функции y
x
=
20
:
а) 4 6;( ); в) − −( )4 5; ; д) 10 2;( ); ж) − −( )1 20; ;
б) −( )2 10; ; г) 0 5 40, ;( ); е) 15 15; ,( ); з) −( )40 0 5; , ?
12 Графикам каких функций принадлежит точка 4 2;( ):
а) y
x
=
16
; б) y
x
=
1
4
; в) y
x
=
8
; г) y
x
=−
8
?

97
Н
13 Дана функция y
x
=
7
. Сравните y u( ) и y v( ), если:
а) u v= =2 7 2 8, ; , ; в) u v=− =−2 7 2 8, ; , ;
б) u v= =−2 7 2 8, ; , ; г) u v=− =2 7 2 8, ; , .
14 Для функции y
x
=−
1
3
сравните y x1( ) и y x2( ), если:
а) x x1 2
5
7
5
8
= =; ; в) x x1 2
2
9
2
11
=− =; ;
б) x x1 2
16
7
17
7
=− =−; ; г) x x1 2
8
3
8
5
= =−; .
15 Постройте в одной координатной плоскости графики y
x
=
4
и y
x
=−
4
. Каковы
особенности их взаимного расположения?
16 Может ли график функции y
k
x
= быть расположенным в указанных четвер-
тях? Если да, то укажите, при каком значении k. Если нет, объясните почему:
а) I и II; б) II и III; в) III и IV; г) II и IV.
17 В одной координатной плоскости (рис. 27) изображены графики функций
y
k
x
= 1
(синего цвета) и y
k
x
= 2
(чёрного цвета). Определите знаки чисел k1 и k2.
а) б)
Рис. 27
1 x
1
y
1 x
1
y
O O

98
П
18 Известно, что k1 и k2 — различные числа, ни одно из которых не равно нулю.
Могут ли графики функций y
k
x
= 1
и y
k
x
= 2
пересекаться?
19 В одной координатной плоскости (рис. 28) изображены графики функций
y
k
x
= 1
(синего цвета) и y
k
x
= 2
(чёрного цвета). Сравните числа k1 и k2.
20 Постройте графики функции y
k
x
= в одной координатной плоскости при трёх
различных значениях k <0, а именно: при k =−6, k =−2, k =−
1
2
. Какие осо-
бенности взаимного расположения графиков вы видите?
21 Выясните, какие из функций являются нечётными:
а) y x x= −( )5 2 ; в) y
x
=
+
1
12
; д) y x x= +3 ; ж) y
x
=
71
;
б) y
x
=
1
2
; г) y
x
=−
2
; е) y x x= +2 2 ; з) y x= 6.
начала координат?
а) б)
Рис. 28
1
x1
y
1 x
1
y
O O

М
23 Постройте графики функций:
а) y
x
=
4
; б) y
x
=
4
; в) y
x
=−
4
.
24 Имеет ли гипербола y
x
=
4
оси симметрии? Если да, то сколько и какие имен-
но? Если нет, объясните почему.
25 В изучаемом параграфе мы всё время говорили о графике функции y
k
x
=
при k ¹ 0. А что представляет собой график функции y
k
x
= при k = 0?
Проект «Графики»
Найдите несколько графиков в учебниках по изучаемым вами
предметам, в книгах, газетах, журналах, в Интернете и проанализируйте их.
СИТУАЦИЯ. Наблюдение за движущимся объектом.
ВАША РОЛЬ. Наблюдатель-аналитик.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. За движущимся по прямой неопознанным объ-
ектом наблюдали десять следящих станций, каждая в течение одного ча-
са. При этом в каждый момент времени объект находился под наблюдени-
ем по меньшей мере одной станции, а общее время наблюдения составило
6 часов. Каждая из станций зафиксировала прохождение объектом рассто-
яния 200 км.
ЗАДАНИЕ. Установите, какое наибольшее расстояние мог пройти объект
за эти 6 часов.

100
3.1
КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Понятие о квадратном корне
и об арифметическом квадратном корне
ГЛАВА III
Найдите какое-нибудь действительное число, квад-
рат которого равен 49.
Попробуйте найти все действительные числа, квад-
рат которых равен 49.
Сформулируйте основные свойства функции
y x= 2.
Попробуйте доказать, что нет никаких действительных чисел, кроме 3 и -3,
квадрат которых равен 9.
Закончите рассуждения:
Пусть x — действительное число, отличное от 3 и -3, квадрат которого равен 9.
а) Если число x — положительное и x>3, то x2 23> , т.е. x2 9> . Значит, не
может быть, чтобы x2 9= .
б) Если число x — положительное и x <3, то … .
в) Если число x — отрицательное и x <−3, то… .
г) Если число x — отрицательное и x>−3, то… .
Сколько существует действительных чисел, квадрат которых равен данному
положительному числу?
Вам неоднократно приходилось решать задачу нахождения площади квадрата
по известной длине его стороны. Ещё в начальной школе вы узнали, что площадь
квадрата S выражается через длину его стороны a по формуле S a= 2. Скажем,
если сторона квадрата равна 5 м, то его площадь составляет 52 м , или, после вы-
полнения вычислений, 25 м .
Часто приходится решать обратную задачу, т.е., зная площадь квадрата, нахо-
дить длину его стороны. Например, если нужно найти длину стороны квадрата,
площадь которого равна 144 м , то, предположив, что длина стороны составляет
x м, мы придём к уравнению x2 144= . Одно число, квадрат которого равен 144,
мы знаем: это 12. Значит, можно утверждать, что площадь 144 м имеет квадрат
со стороной 12 м. Но вдруг уравнение x2 144= имеет ещё и другие решения,
кроме x =12?

101
Для нахождения всех решений этого уравнения перенесём 144 в левую часть:
x2 144 0− = ,
после чего разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
x x−( ) +( )=12 12 0.
Произведение двух множителей может быть равным нулю лишь в том случае,
когда один из множителей равен нулю. Отсюда заключаем, что или x− =12 0,
т.е. x =12, или x + =12 0, т.е. x =−12.
Таким образом, мы установили, что имеется только два действительных числа,
квадрат которых равен 144. Это 12 и –12.
Что касается первоначальной задачи нахождения стороны квадрата с площа-
дью 144 м , то её решением является только 12 м, поскольку сторона квадрата
отрицательной быть не может.
Заметьте, что, решая уравнение x2 144= , мы искали числа, квадрат которых
равен 144.
Поскольку похожие задачи возникают достаточно часто, то для таких чисел
имеются специальные названия.
Квадратным корнем из данного числа называется такое число, квадрат кото-
рого равен данному числу.
Скажем, квадратный корень из числа 144 — это такое число, квадрат которо-
го равен 144. Как мы выяснили выше, таких чисел есть два: 12 и –12. Можно ска-
зать, что 12 — это квадратный корень из 144, и –12 — это квадратный корень
из 144.
Выше мы также выяснили, что для нахождения всех квадратных корней из чис-
ла 144 можно решить уравнение x2 144= . Аналогичные уравнения придётся ре-
шать для нахождения квадратных корней из других чисел.
Скажем, для нахождения квадратного корня из числа 2 нужно решить уравне-
ние x2 2= . Его решения уже не удастся найти так быстро, как это произошло
с уравнением x2 144= .
Вообще, для нахождения квадратных корней из числа a нужно решить уравне-
ние x a2 = . К исследованию вопроса о том, всегда ли такое уравнение имеет ре-
шения и сколько именно, мы сейчас и приступим.
Сначала отметим, что квадратных корней из отрицательных чисел не сущест-
вует, поскольку квадрат никакого действительного числа не может быть отрица-
тельным.
Квадратный корень из нуля существует, причём единственный, — это нуль.
Действительно, 0 02 = , и в то же время при x ¹ 0 также и x2 0¹ .
Теперь займёмся вопросом о квадратных корнях из положительного числа a.
Это удобно делать с помощью графика функции y x= 2, который мы изучали
в предыдущей главе (рис. 29).
Задача о решении интересующего нас уравнения x a2 = сводится к тому, что-
бы найти такие значения аргумента x, при которых значение функции y x= 2 рав-

102
но a (причём нас интересует случай a>0). Как это делать, мы уже знаем. Нужно
взять на оси ординат точку a и провести через неё прямую, перпендикулярную
оси ординат до пересечения с графиком — параболой y x= 2. Абсциссы получен-
ных точек и будут решениями уравнения x a2 = .
Как видно из рис. 29, таких точек пересечения имеется две. Поскольку функ-
ция y x= 2 является чётной и её график симметричен относительно оси ординат,
то абсциссы этих точек являются противоположными числами.
Таким образом, при a>0 уравнение x a2 = имеет два различных решения, яв-
ляющихся противоположными числами. Это значит, что существует ровно два
квадратных корня из любого положительного числа, у них одинаковые модули
и противоположные знаки, т.е. один из этих квадратных корней положителен,
а другой — отрицателен.
При этом у положительного квадратного корня имеется специальное название.
Арифметическим квадратным корнем из данного неотрицательного числа
называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен данному
числу.
То же самое можно записать по-другому, используя буквенные обозначения.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это такое
неотрицательное число b, что a b= 2.
Для обозначения арифметического квадратного корня используется специаль-
ный символ , называемый знаком арифметического квадратного корня или
знаком радикала (по латыни слово «корень» звучит как «радикс»). Скажем,
арифметический квадратный корень из числа a обозначается a.
Рис. 29
a
a- a x
y y=x2
O

103
По определению арифметического квадратного корня запись a b= обозна-
чает, что a  0, b  0 и a b= 2. При этом понятно, что из того, что a b= 2, верность
неравенства a  0 следует автоматически. Таким образом, имеет место одно из
важнейших в школьной математике соотношений:
a b= Û
a b
b
=



2
0
,
,
называемое основной равносильностью для арифметического квадратного
корня.
Скажем, 49 7= , поскольку 49 72= и 7 0 .
Можно сказать по-другому. Имеется два квадратных корня из 49 — это 7 и –7.
Запись 49 обозначает арифметический (т.е. неотрицательный) квадратный ко-
рень из 49. Это 7.
Арифметический квадратный корень из любого неотрицательного числа су-
ществует, причём единственный.
Число a в записи арифметического квадратного корня a называется подко-
ренным выражением. Операция нахождения значения арифметического ква-
дратного корня называется извлечением корня. Скажем, запись 49 7= можно
трактовать так: при извлечении арифметического квадратного корня из 49 полу-
чили 7.
Выражение a имеет смысл лишь при a  0.
Из определения арифметического квадратного корня следует, что:
1) при a  0 выполняется соотношение: a  0.
2) при a  0 выполняется соотношение: a a( ) =
2
.
Рис. 30
n
n m
m
x
y y=x
O
2

104
Из рис. 30 видны ещё два важных свойства арифметического квадратного корня.
Если числа m и n неотрицательны и m n> , то m n> .
Если числа m и n неотрицательны и m n> , то m n> .
С помощью этих свойств можно сравнивать арифметические квадратные корни.
Скажем, 11 14< , поскольку 11 < 14. Можно сказать так: из двух арифметических
квадратных корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше (есте-
ственно, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны).
На этих же свойствах основаны некоторые методы приближённого извлечения
квадратных корней, о чём будет идти речь в следующем параграфе.
В заключение параграфа посмотрим, как основная равносильность для ариф-
метического квадратного корня позволяет решать простейшие уравнения, содер-
жащие неизвестное под знаком арифметического квадратного корня.
Решим, например, уравнение x = 6.
Мы знаем, что запись x = 6 равносильна тому, что x = 62 и 6 0 ; но так как
второе соотношение верно, то остаётся x = 62, или x = 36.
Запись можно вести так:
x = 6 Û
x =



6
6 0
2,

Û x = 36. Ответ: x = 36.
Решим уравнение 7 2− =−x .
Запись 7 2− =−x равносильна тому, что 7 2
2
− = −( )x и -2 0 ; но так как
второе соотношение неверно, то решений нет.
Можно было рассуждать по-другому. Так как 7 0-x  , то равенство
7 2− =−x невозможно ни при каком значении x.
Н
а) Квадратным корнем из данного числа называется … .
б) Если число отрицательно, то квадратный корень из этого числа … .
в) Если число положительно, то количество различных квадратных корней из
этого числа равно … .
г) Если имеется два различных квадратных корня из некоторого числа, то эти
корни … .
2 Расскажите, приводя примеры:
а) что такое арифметический квадратный корень;
б) как обозначается арифметический квадратный корень;
в) сколько существует арифметических квадратных корней из данного числа;
г) могут ли быть равны арифметические квадратные корни из различных чисел.

105
а) Арифметический квадратный корень из числа существует, только если это
число … .
б) Если возвести арифметический квадратный корень из некоторого неотри-
цательного числа в квадрат, то получим … .
в) Подкоренным выражением в арифметическом квадратном корне называ-
ется … .
4 Сколько решений имеет уравнение:
а) x2 36= ; б) x2 36=− ; в) x2 0= ; г) x2 8= ?
5 Имеет ли смысл выражение:
а) -1; г) 3 3- ;
б) 0 002, ; д) 6 8- ;
в) - 2; е) 6 8- ?
6 Какие из равенств верные? Обоснуйте свой ответ.
а) 9 3= ; в) 12 3 4= , ; д) 8 2= ; ж) 81 9=− ;
б) 4 2=− ; г) − =16 4; е) 25 5= ; з) 144 12= .
7 Вычислите:
а) 64; в) 0 09, ; д) 121; ж)4 4;
б) 196; г) - 16; е) 1 21, ; з) 0 0049, .
Н
а) 9 6+ ; д) 4 144;
б) 100 400- ; е) 11 1 21, ,- ;
в) 25 16- ; ж) 49 4× ;
г) 25 16- ; з) 1 2 0 25, : , .
а) 5
2
( ) ; в) 2 11
2
( ) ; д)−( )6
2
; ж) 2 14
2
⋅( ) ;
б) 7 3 3× ; г) −( )6
2
; е)
2
5
2






; з)
8
5
2






.
а) 2 1 2 1−( ) +( ); б) 2 5 2 5−( ) +( ); в) 7 1 2 7
2
+( ) − .
11 При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
а) a; б) -b; в)- c; г) x y- ?

106
12 Сравните (>, <, =):
а) 2 и 3; в) 7 и 3; д) 3 и1 7, ; ж) 10 и 3 2, ;
б) 7 и 6 95, ; г)
6
5
и
5
6
; е)
6
7
и
20
23
; з) 6 25, и 2
1
2
.
13 Определите, между какими последовательными натуральными числами за-
ключено число:
а) 7; в) 55; д) 200;
б) 19; г) 111; е) 409.
14 Решите уравнение:
а) x2 49= ; б) x2 25=− ; в) x2 5= ; г) x2 0 3= , .
а) x− =3 4; б) x = 7; в) z =13; г) 1 5− =y .
П
16 Упростите:
а) 2
2
( ) ; в) 2 1 2 1−( ) +( );
б) 3
4
( ) ; г) 7 3 7 3−( ) +( ).
а) x x= ; в) x x2 32− = ;
б) x x=5 ; г) 2 1x x− = .
3.2
Приближённое извлечение
арифметических квадратных корней
Какие числа называются рациональными? Приведи-
те примеры.
Какие числа называются иррациональными? Приве-
дите примеры.
Что называется для некоторого числа приближени-
ем до заданного десятичного разряда с недостат-
ком и с избытком?
Как найти приближённое значение величины с точ-
ностью до заданного десятичного разряда?

107
Найдите для числа 5 приближения до целых с недостатком и с избытком.
Найдите для числа 5 приближения до десятых с недостатком и с избытком.
Вычислите приближённо 5 с точностью до целых.
Вычислите приближённо 5 с точностью до десятых.
Как вычислить приближённо арифметический квадратный корень из данно-
го числа с точностью до заданного десятичного разряда?
В предыдущем параграфе мы выяснили, что для любого неотрицательного a
существует арифметический квадратный корень a, причём единственный. При
некоторых числовых значениях a нахождение его числового значения, или, как
ещё говорят, вычисление или извлечение корня, не представляет никаких трудно-
стей. Скажем, 9 3= ; 2 25 15, ,= и т.д. Но уже вычисление, скажем, 2 является
совсем не простой задачей.
Понятно, что 2 не является целым числом, поскольку 1 2 4< < , т.е.
1 2 2< < .
Таким образом, с точностью до целых значение 2 с недостатком равно 1, а с
избытком 2.
Если брать приближённое значение 2 с точностью до десятых, то можно за-
ключить, что1 4 2 15, ,< < , так как1 4 1 96 2, ,= < ,15 2 25 2, ,= > .
Мы установили, что с точностью до десятых значение 2 с недостатком равно
1,4, а с избытком 1,5.
Точно так же можно искать значение 2 с точностью до сотых, тысячных и т.д.
На уроках математики в 6-м классе, когда вы изучали иррациональные числа,
говорилось о том, что число 2 является иррациональным и что этот факт был
впервые обнаружен в VI в. до н.э. в Древней Греции, в школе Пифагора. Это от-
крытие затрагивало самые основы древнегреческой математики, поскольку ра-
нее считалось, что любое положительное число равно отношению двух натураль-
ных чисел, т.е. является рациональным.
Докажем иррациональность числа 2. Предположим противное, пусть число
2 рационально и равно обыкновенной дроби
m
n
, где m и n — натуральные чис-
ла. Эту дробь можно считать несократимой — ведь любая обыкновенная дробь
равна некоторой несократимой дроби.
Из того, что 2 =
m
n
, следует, что 2
2
2
=
m
n
, или m n2 22= . Поскольку правая
часть этого равенства — чётное натуральное число, то левая тоже, а значит, чис-
ло m — чётное. Тогда можно записать, что m k= 2 , где k — натуральное число.
Подставляя это соотношение в равенство m n2 22= , получим 2 2
2 2k n( ) = , 4 22 2k n=

108
и, наконец, 2 2 2k n= . Далее проводим такое же рассуждение, как выше: по-
скольку левая часть этого равенства — чётное натуральное число, то правая то-
же, а значит, число n — чётное. В результате оказывается, что числитель и зна-
менатель дроби
m
n
являются чётными натуральными числами, следовательно, эту
дробь можно сократить на 2, что противоречит предположению о её несократи-
мости. Итак, доказано, что 2 не является рациональным числом.
Заметим, что аналогичные рассуждения позволяют доказать иррациональ-
ность чисел 3, 5, 6 и т.д. Вообще, оказывается, если число n — натуральное,
то число n — либо натуральное, либо иррациональное.
Таким образом, числа 2, 3, 5, 6 и т.д. записываются в виде бесконечных
непериодических десятичных дробей. На практике часто пользуются приближён-
ными значениями этих радикалов с точностью до нужного десятичного разряда.
Эти приближённые значения можно получать с помощью специальных таблиц или
с помощью калькулятора. Если ввести в калькулятор, скажем, число 2, а затем
нажать на клавишу , то на экране высветится значение 2 с таким количеством
десятичных разрядов, которое предусмотрено данной моделью калькулятора,
обычно 8 или 9. Последняя цифра является сомнительной, а все предыдущие
цифры верны. Скажем, при приближённом вычислении 2 получили 1,4142135.
Если нам нужно приближённое значение 2 с точностью до тысячных, то можно
записать 2 1 414» , , если до стотысячных, то 2 1 41421» , . Для большинства ре-
альных расчётов точности обычного калькулятора, как правило, хватает. Если же
нужна более высокая точность, то можно воспользоваться специализированными
калькуляторами или специальными компьютерными программами.
Н
1 Может ли арифметический квадратный корень из простого числа быть на-
туральным числом?
2 Восьмиклассник Вадя утверждает, что арифметический квадратный ко-
рень из натурального числа не может быть рациональным числом. Прав ли
Вадя?
3 Восьмиклассник Вася утверждает, что если арифметический квадратный
корень из натурального числа является рациональным числом, то это рацио-
нальное число — натуральное. Прав ли Вася?
4 Вычислите с точностью до десятых, не пользуясь таблицами и калькулятором:
а) 3; б) 7; в) 14; г) 89.

109
Н
5 С помощью калькулятора вычислите с точностью до тысячных:
а) 3; б) 7; в) 14; г) 89.
6 С помощью калькулятора вычислите с точностью до сотых:
а) 33 2 2+ , ; в) 3 8 2 1, ,× ;
б) 6 5- ; г) 0 0202 0 2002, ,+ .
7 Вычислите с помощью калькулятора:
а) 361; б) 1369; в) 7 242 2+ ; г) 0 3 58 8, ,× .
8 Найдите приближённые решения уравнений с точностью до десятых:
а) x2 20= ; б) x2 2 5= , ; в) x2 530= ; г) x2 8282= .
П
9 Докажите, что число 7 иррационально.
10 Какие из чисел иррациональны:
а) 2 1- ; в) 2 7 0 33+ , ; д) 2 1 2 1−( ) +( );
б) 3 2; г) 2 2 1−( ); е) 2 1
2
−( ) ?
М
11 Докажите, что число 2 3+ иррационально.
12 Может ли произведение двух иррациональных чисел быть рациональным
числом? Обоснуйте свой ответ.

110
3.3 Функция y x= и её график
Что такое арифметический квадратный корень?
Что означает запись y x= ?
Какие значения может принимать аргумент x
функции y x= ? Какие значения может принимать
функция?
Сравните значения функции y x= при значениях
аргумента x1 и x2, таких, что 0 1 2 x x< .
Какова область определения функции y x= ?
Найдите значения функции y x= при нескольких значениях аргумента, нане-
Какие особенности графика функции y x= вы можете назвать?
Как выглядит график функции y x= ?
Какими свойствами обладает график функции y x= ?
Какой известной вам линией является график функции y x= ?
Рассмотрим функцию, задаваемую формулой y x= . Вы уже знаете, что об-
ластью определения этой функции является множество всех неотрицательных
действительных чисел. Это обычно записывается в виде: x  0. Из определения
арифметического квадратного корня следует, что все значения функции y x=
тоже неотрицательны, а из установленного в параграфе 3.1 факта, что уравне-
ние x a2 = имеет решения при всех a  0, дополнительно следует, что функция
y x= принимает все неотрицательные значения.
В параграфе 3.1 было также установлено, что если числа m и n неотрицатель-
ны и m n> , то m n> . Это значит, что функция y x= является возрастающей
на всей области определения x  0.
Построим график функции y x= . Начнём, как обычно, с нахождения значе-
ний функции при нескольких значениях аргумента из области определения функ-
ции и заполнения таблицы. Значения некоторых корней будем вычислять прибли-
жённо с помощью калькулятора с точностью до десятых (при единичном отрезке
1 см это вполне разумная точность).

111
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9
y 0 0,7 1 1,2 1,4 1,6 1,7 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
Нанесём полученные точки на координатную плоскость (рис. 31).
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
1
2
3
y
O
Рис. 31
Соединим отмеченные точки плавной линией (рис. 32).
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
1
2
3
y
O
Рис. 32
Мы получили график функции y x= . Видно, что он полностью лежит в первой
четверти. Впрочем, мы могли это прогнозировать заранее, так как установили
соотношения x  0 и y  0 для аргумента и функции.
Полученная линия представляет собой одну ветвь параболы y x= 2, но располо-
женной так, что её осью является не ось ординат, а ось абсцисс. Чтобы убедиться
в этом, изобразим в одной координатной плоскости график функции y x=
и график функции y x= 2 при x  0 (рис. 33).

112
1 2 3 4 5 6 7 8 x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
y= x
y=x
y=x2
O
Рис. 33
Видно, что построенные линии симметричны относительно биссектрисы перво-
го координатного угла, которая лежит, как вы знаете, на прямой y x= .
Для доказательства этой симметричности рассмотрим на графике y x= точ-
ку u v;( ). Это значит, что v u= . По определению арифметического квадратного
корня это значит, что числа u и v таковы, что u  0, v  0 и v u2 = . Если последнее
равенство переписать в виде u v= 2, то станет понятно, что точка v u;( ) лежит на
параболе y x= 2, а условия u  0, v  0 уточняют, что на той ветви этой параболы,
которая расположена в первой четверти.
Осталось убедиться, что точки A u v;( ) и B v u;( ), лежащие в первой четверти,
симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла. Нарисуем
чертёж (рис. 34), предположив, что u v> (случай u v< рассматривается анало-
гично, а в случае u v= всё сразу ясно).
Прямоугольные треугольники OAM и OBN равны по двум катетам (OM O= =
M ON u= = , AM BN v= = ).
Отсюда следует, что OA OB= и ∠ =∠AOM BON, а поскольку
∠ = °−∠AOC AOM45 , ∠ = °−∠BOC BON45 , то ∠ =∠AOC BOC. Таким обра-
зом, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB, а отрезок OC в нём
является биссектрисой, проведённой к основанию. Как вы знаете из курса геоме-
трии, этот отрезок является также высотой и медианой, т.е. OC AB^ и OC CB= .

113
А это как раз и значит, что точки A u v;( ) и B v u;( ) симметричны относительно
прямой y x= , и доказательство закончено.
Н
а) Областью определения функции y x= является … .
б) Все значения функции y x= являются … .
в) Графиком функции y x= является … .
2 В каких четвертях расположен график функции y x= ?
3 Является ли функция y x= :
а) возрастающей; в) чётной;
б) убывающей; г) нечётной?
4 а) Симметричен ли график функции y x= какому-нибудь другому из-
вестному вам графику относительно какой-нибудь прямой?
б) Если да, то какому именно и относительно какой прямой?
5 Начертите график зависимости стороны квадрата a (в м) от его площади S (в м2).
u
v
uv
A( u; v)
B(v; u)
C
N
M
x
y
y=x
O
Рис. 34

114
6 Найдите значения функции y x= при указанных значениях аргумента:
а) 16; в) 0,09; д) 144; ж) 0,49;
б) 49; г) 25; е) 0,04; з) 0,0144.
7 Найдите значения функции y x= при указанных значениях аргумента:
а)
4
9
; в)
16
25
; д)
81
16
; ж) -25;
б)-
1
4
; г) 1 21, ; е) 400; з) 0 81, .
8 Какие из точек принадлежат графику функции y x= :
а) 4 2;( ); в) 16 5;( ); д) 1 21 11, ; ,( ); ж) 0 25 0 5, ; ,( );
б) 4 2; −( ); г) 25 5;( ); е)
2
3
4
9
;





; з) 9 3;( )?
Н
9 Сравните, не вычисляя:
а) 6 и 7; д) 5 и 24;
б) 15 и 4; е) 77 и 9;
в) 0 4, и 0 3, ; ж) 0 1, и 0 01, ;
г) 23 и 23 1, ; з) 17 и 12.
10 Дана функция y x= . Сравните y u( ) и y v( ), если:
а) u v= =2 7 2 66, ; , ; в) u v= =234 243; ;
б) u v= =1 00001 1 0001, ; , ; г) u v= =56 1682 56 1692, ; , .
11 Расположите числа в порядке возрастания:
а) 11, 17 1, и 4; в) 12, 145 и 120;
б) 22, 5 и 21; г) 25, 4 и 52.
12 Пересекается ли график функции y x= с прямой:
а) y = 4; б) y =−9; в) y =14; г) y = 0?
Если да, найдите координаты точек пересечения; если нет, объясните почему.
П
13 Пересекается ли график функции y x= с прямой:
а) y x= +4; б) y x=− +2; в) y x=
1
3
; г) y x= +
1
3
2
3
?
Если да, найдите координаты точек пересечения; если нет, объясните почему.

115
14 Решите графически уравнение:
а) x x2 = ; б) x
x
=−
1
; в) x x= −2 3; г) x
x
=
8
.
М
15 Постройте график функции:
а) y x=− ; б) y x= − ; в) y x=− − .
3.4 Свойства арифметических квадратных корней
Что такое квадратный корень?
Что такое арифметический квадратный корень?
Что означает запись a?
Преобразуйте выражение a( )
2
.
Закончите вычисления и сравните результаты:
а) 4 9⋅ =... ; б) 4 9 36⋅ = =... .
Рассмотрев несколько числовых примеров, выскажите предположение о том,
как связаны между собой значения выражений ab и a b× , где a b 0 0, .
Попробуйте обосновать это предположение.
Закончите вычисления и сравните результаты:
а)
144
16
=...; б)
144
16
9= =... .
Рассмотрев несколько числовых примеров, выскажите предположение о том,
как связаны между собой значения выражений
a
b
и
a
b
, где a b 0 0, > . По-
пробуйте обосновать это предположение.
Чему равен арифметический квадратный корень из произведения неотри-
цательных сомножителей?
Чему равен арифметический квадратный корень из частного, где делимое
неотрицательно, а делитель положителен?

116
В этом параграфе мы выведем несколько формул для арифметических ква-
дратных корней.
Одну формулу мы уже знаем из параграфа 3.1:
a a( ) =
2
при всех a  0.
Эту формулу можно прочитать так.
При возведении арифметического квадратного корня в квадрат получается
подкоренное выражение.
Докажем формулу:
ab a b= ⋅ при всех a  0 и b  0.
Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных со-
множителей равен произведению арифметических квадратных корней из этих
сомножителей.
Для доказательства заметим, что по свойству, сформулированному перед до-
казываемым, в сочетании с правилом возведения произведения в степень имеем:
a b a b ab⋅( ) =( ) ⋅( ) =
2 2 2
.
Кроме этого, так как a b×  0 и a b×  0, то a b×  0.
Таким образом, выражение a b× неотрицательно и его квадрат равен ab.
По определению это выражение есть арифметический квадратный корень из ab,
т.е. a b ab⋅ = , что и требовалось доказать.
Выведенная формула применяется для упрощения вычислений с радикалами.
Рассмотрим несколько примеров:
36 25 36 25 6 5 30⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
8 2 8 2 16 4⋅ = ⋅ = = .
Формула для арифметического квадратного корня из произведения справед-
лива также для трёх, четырёх и т.д. сомножителей. Скажем:
abc a b c= ⋅ ⋅ при всех a  0, b  0, c  0.
Например:
2 12 15 2 12 15 36 6⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =, , .
Обсуждаемая формула может в одном и том же преобразовании применять-
ся и для двух, и для трёх радикалов (и для другого количества). Например:
72 162 72 162 36 2 81 2 36 81 4⋅ = ⋅ = ⋅( )⋅ ⋅( ) = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =36 81 4 6 9 2 108.

117
Особо отметим: применяя обсуждаемую формулу, очень важно помнить, что
каждый множитель в подкоренном выражении должен быть неотрицательным,
и не забывать проверять это.
Например, если, преобразовывая радикал xy, мы напишем машинально
x y× без анализа ситуации, то это будет грубой ошибкой. Действительно, об-
ласть допустимых значений букв в преобразуемом выражении xy задаётся со-
отношением xy  0, а это вовсе не значит, что x  0 и y  0 в отдельности, как то-
го требует формула. В выражении xy допустимыми значениями букв являются,
например x =−2, y =−3. Ясно, что недопустимо писать − ⋅ −( ) = − ⋅ −2 3 2 3,
так как правая часть не имеет смысла (что касается левой, то она имеет смысл
и равна 6).
Теперь познакомимся с аналогичной формулой для частного:
a
b
a
b
= при всех a  0 и b>0.
Арифметический квадратный корень из частного, где делимое неотрицатель-
но, а делитель положителен, равен соответственному частному арифметиче-
ских квадратных корней.
Можно дать другую, более длинную формулировку.
При извлечении арифметического квадратного корня из дроби с неотрица-
тельным числителем и положительным знаменателем можно отдельно из-
влечь корень из числителя и записать в числителе и отдельно извлечь корень из
знаменателя и записать в знаменателе.
Доказательство этой формулы абсолютно аналогично приведённому выше до-
казательству формулы для произведения, и чрезвычайно полезно провести его
самостоятельно.
Рассмотрим несколько примеров применения этой формулы:
36
121
36
121
6
11
= = ;
63 7
63
7
63
7
9 3: = = = = .
Аналогично тому, как было обсуждено для произведения, в этом случае необ-
ходимо следить за знаками числителя и знаменателя.
В заключение рассмотрим ещё одну важную формулу:
a a2 = при всех действительных a.

118
Арифметический квадратный корень из квадрата любого выражения равен
модулю выражения, возводимого в квадрат.
Эта формула одновременно проще предыдущих, так как в ней нет никаких огра-
ничений на входящие в неё буквы, и сложнее, так как в ней присутствует модуль.
Для доказательства рассматриваемой формулы нужно убедиться, что выра-
жение a неотрицательно и его квадрат равен подкоренному выражению.
То, что модуль любого числа неотрицателен, вы знаете ещё из курса матема-
тики 6-го класса.
Осталось проверить, что a a
2 2= .
Если a  0, то a a= и a a
2 2= , что и требуется.
Если a <0, то a a=− и a a a
2 2 2= −( ) = , что и требуется.
Таким образом, формула доказана.
Н
а) При возведении арифметического квадратного корня в квадрат получа-
ется … .
б) Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных
сомножителей равен … .
в) Арифметический квадратный корень из частного, где делимое неотрица-
тельно, а делитель положителен, равен … .
г) Арифметический квадратный корень из квадрата любого выражения
равен … .
а) Произведение двух арифметических квадратных корней равно … .
б) Произведение нескольких арифметических квадратных корней равно … .
в) Частное двух арифметических квадратных корней равно … .
а) 49 81× ; в) 0 01 0 81, ,× ; д) 0 36 121, × ; ж) 0 04 1 69, ,× ;
б) 25 16× ; г) 4 9× ; е) 49 100× ; з) 4 41 441, × .
4 Найдите значение арифметического квадратного корня:
а)
25
36
; в)
81
100
; д) 7
1
9
; ж) 5
1
16
;
б)
49
25
; г)
144
121
; е) 1
15
49
; з) 1
13
36
.

119
а)
25
36
49
81
× ; д) 3
1
16
2
7
9
× ;
б)
9
4
25
36
× ; е) 5
4
9
5
1
16
× ;
в)
144
25
4
49
81
121
× × ; ж) 2
23
49
2
2
49
× ;
г)
1
64
25
49
225
100
× × ; з) 5
19
25
2
7
81
× .
а) 45 405× ; д) 0 48 108, × ;
б) 45 405× ; е) 0 03 3, × ;
в) 135 60× ; ж) 0 7 2 8, ,× ;
г) 50 200× ; з) 0 012 0 432, ,× .
7 Найдите значение произведения:
а) 5 20× ; в) 7 7× ; д) 0 7 280, × ; ж) 11 44× ;
б) 14 686× ; г)
2
3
27
8
× ; е) 0 08 2, × ; з) 45 5× .
8 Найдите значение частного:
а)
45
5
; в)
2
8
; д)
0 7
6 3
,
,
; ж)
3 2
0 8
,
,
;
б)
90
10
; г) 26
2
13
: ; е)
26
11
18
143
: ; з)
0 17
153
,
,
.
Н
а) 6 14 21× × ; в) 10 55 22× × ;
б)
21 35
15
×
; г)
26
14 91×
.
10 Запишите выражение в виде произведения двух радикалов:
а) 6; в) 21; д) 17a; ж) z;
б) 11g; г) 2s; е) 70; з) 143.

120
11 Запишите в виде частного радикалов:
а)
2
3
; в) 56; д) 3x; ж)
10
w
;
б)
a
2
; г)
2
3
h; е) 5; з) 19g.
а) 25 242 2- ; в) 35 282 2- ; д) 24 72 2+ ;
б) 5 122 2+ ; г) 80 482 2- ; е) 169 1202 2- .
а) 9 52, ; в) −( )4
2
; д) 54 ; ж) −( )11
2
;
б) 1922 ; г) 36 ; е) 210 ; з) 94 .
а) −( )5
4
; б) 210 ; в) −( )2
8
; г) −( )3
6
.
а) n2 , если n  0; д) −( )3
4
u , если u  0;
б) z2 , если z  0; е) - k2 , если k  0;
в) 25 2t , если t <0; ж) − −( )4
2
h , если h ³0;
г) -2 2c , если c>0; з) −( ) + −( )j j
2 4
, если j>0.
а) x4 , если x  0; в) u8 , если u  0;
б) y6 , если y  0; г) t14 , если t  0.
а) x x2 2 1− + ; в) m m4 24 4+ + ;
б) 9 62 2h hk k− + ; г) 4 12 92 2p q pq+ + .
П
а) 6 4 103, × ; в) 3 6 10 3, ⋅ − ;
б) 8 1 107, × ; г) 4 9 10 5, ⋅ − .

121
а) 1 2
2
−( ) ; в) 6 5
2
−( ) ;
б) 1 3
2
+( ) ; г) 7 3
2
−( ) .
20 Запишите в виде произведения или частного радикалов:
а) −( )⋅ −( )7 5 ; б) -7a; в) -
2
c
; г)
m
-11
.
М
21 Всегда ли можно записать радикал из произведения в виде произведения ра-
дикалов? Если нет, объясните почему. Если да, продолжите запись формулы
и докажите её: ab = ⋅... ... .
3.5
Преобразование выражений,
содержащих арифметические квадратные корни
В предыдущем параграфе мы изучили основные
формулы, используемые при преобразованиях чис-
ловых и алгебраических выражений, содержащих
арифметические квадратные корни. В данном пара-
графе, основываясь на этих формулах, а также на
уже известных нам методах тождественных преобра-
зований, мы рассмотрим некоторые полезные приё-
мы работы с выражениями, содержащими арифме-
тические квадратные корни. Поскольку выражение
«арифметический квадратный корень» довольно длинное, мы будем иногда для
краткости говорить «квадратный корень», или просто «корень», или «радикал».
I. Вынесение множителя за знак радикала и внесение множителя под знак ра-
дикала.
Начнём с простого примера. Как вы знаете, число 12 является иррациональ-
ным, поскольку 12 не является квадратом натурального числа. Оказывается, что
12 можно записать и в другом виде, во многих случаях более простом и удоб-
ном, чем данный.
Попробуем представить подкоренное выражение в виде произведения двух
натуральных чисел и применить соответствующую формулу.

122
Это можно сделать так: 12 6 2 6 2= ⋅ = ⋅ . Никакого существенного упро-
щения не произошло.
Но это можно сделать и так: 12 4 3 4 3 2 3= ⋅ = ⋅ = . Здесь один из двух
возникших после применения формулы корней удалось извлечь, и преобразу-
емое выражение приобрело более простой вид.
Именно это второе преобразование называется вынесением множителя за
знак радикала (или из-под знака радикала). Множитель 4, стоявший под зна-
ком радикала, преобразовался в множитель 2, стоящий за знаком радикала. Яс-
но, что за знак радикала можно вынести множитель, являющийся полным ква-
дратом, т.е. квадратом рационального числа или рационального выражения. Это
преобразование называют также иногда частичным извлечением корня.
Прочитав строчку с выполненными выше преобразованиями справа налево,
можно догадаться, в чём заключается преобразование, называемое внесени-
ем множителя под знак радикала. Если имеется произведение положительного
числа и арифметического квадратного корня, то, записав это положительное чис-
ло в виде арифметического квадратного корня из его квадрата, можно заменить
произведение корней на корень из произведения их подкоренных выражений.
Например, 5 2 25 2 25 2 50= ⋅ = ⋅ = .
Ещё раз обращаем ваше внимание: здесь важно, чтобы множитель, вносимый
под знак радикала, был неотрицательным. Отрицательный множитель под знак
радикала внести нельзя! Обычно в такой ситуации отрицательное число записыва-
ют в виде произведения -1и его модуля (положительного множителя), после че-
го множитель -1 (или попросту знак «-») оставляют вне знака радикала, а поло-
жительный множитель вносят под знак радикала.
Рассмотрим пример:
− =− ⋅ =− ⋅ ⋅ =− ⋅ =−3 7 1 3 7 1 9 7 9 7 63.
Вынесение множителя за знак радикала и внесение множителя под знак ради-
кала применяется при решении многих задач.
Упростим, например, выражение: 32 2 50 98− + .
Раскладывая подкоренные выражения на множители, один из которых равен 2,
получим:
32 2 50 98 16 2 2 25 2 49 2− + = ⋅ − ⋅ + ⋅ =
= − ⋅ + = ⋅ − +( )=4 2 2 5 2 7 2 2 4 10 7 2.
На предпоследнем шаге мы вынесли за скобки общий множитель 2.
Рассмотрим теперь примеры на вынесение множителя за знак радикала и вне-
сение множителя под знак радикала с буквенными выражениями.
Упростим, к примеру, x3 . Прежде всего заметим, что допустимые значения
переменной x в этом выражении определяются из условия x3 0 , т.е. x  0 (вы
знаете из 7-го класса, что нечётная натуральная степень действительного числа
неотрицательна в том и только в том случае, когда само это число неотрица-
тельно).
Преобразуем корень так, чтобы подкоренное выражение представляло собой
произведение двух множителей: x x x3 2= ⋅ . Теперь внимание! Важный мо-

123
мент. Вы знаете из предыдущего параграфа, что формулу ab a b= ⋅ можно
применять только при a  0 и b  0. Есть ли у нас информация о неотрицательности
каждого из сомножителей, стоящих под знаком радикала в выражении x x2 × ?
Да, такая информация есть — мы установили, что x  0, кроме того, всегда
x2 0 . Применяяуказаннуюформулу,получаем: x x x x x x x x2 2⋅ = ⋅ = = .
Мы воспользовались формулой x x2 = , а также тем, что x x= при x  0.
Итак, получили, что x x x3 = .
Как видите, существенную роль в преобразованиях играл тот факт, что об-
ласть допустимых значений переменной задавалась условием x  0.
Рассмотрим ещё один пример. Попробуем упростить x y2 .
Записав x y x y2 2= ⋅ , задумаемся, есть ли у нас информация о неотрица-
тельности каждого из сомножителей, стоящих под знаком радикала. Мы знаем,
что область допустимых значений задаётся условием x y2 0 . Но ведь это может
быть, например, при x = 0; y =−1. Таким образом, y может быть отрицатель-
ным, и нельзя вместо x y2 × писать x y2 × !
Возникает естественный вопрос: «А что же делать?»
Аккуратное решение следующее.
Рассмотрим два случая.
1) Если x = 0, то при любом y имеем: x y y2 20 0 0= ⋅ = = .
2) Если x ¹ 0, то x2 0> , и тогда из того, что x y2 0 , следует, что y  0, и мож-
но записать: x y x y x y x y2 2 2= ⋅ = ⋅ = .
Ответ: 0 при x = 0, x y при x ¹ 0.
Ответ можно записать также в виде: x y2 =
0 0
0
?@8
?@8
x
x y x
=
≠




,
.
Таким образом, вы видите, что безобидная на первый взгляд задачка оказа-
лась весьма коварной. Вообще, преобразования выражений, содержащих ради-
калы, требуют очень большой аккуратности, особенно это касается обоснован-
ности каждого выполняемого шага.
Рассмотрим очень похожий пример: упростим выражение
y
x2
.
Здесь область допустимых значений задаётся двумя условиями:
y
x2
0 и x ¹ 0.
Из этих двух условий следует, что y  0 и x2 0> , значит, можно применять фор-
мулу для арифметического квадратного корня из частного:
y
x
y
x
y
x2 2
= = .
Ответ:
y
x
.
при
при

124
Напоследок рассмотрим внесение буквенного множителя под знак радикала.
Преобразуем выражение x y.
Допустимые значения переменных в этом выражении задаются условием
y  0. Что касается переменной x, то она может быть любым действительным
числом.
Мы немного выше вносили под знак радикала числовые множители и помним,
что для положительных чисел и отрицательных чисел это делается совершенно
по-разному. А здесь нам нужно внести множитель x, знак которого может быть
любым. Как быть?
Необходимо рассмотреть отдельно два случая:
1) Если x  0, то x x= 2 и x y x y x y= ⋅ =2 2 .
2) Если x <0, то x x=− 2 и x y x y x y=− ⋅ =−2 2 .
Окончательно имеем: x y =
x y x
x y x
2
2
0
0
?@8
?@8
 ,
.− <





Как видите, ответ в этом примере задаётся двумя разными формулами в зави-
симости от значения переменной x.
II. Использование формул сокращённого умножения в выражениях, содер-
жащих радикалы.
Занимаясь тождественными преобразованиями рациональных выражений
и придя в какой-то момент к выражению вроде x2 9- , мы имели возможность
разложить его на множители с помощью формулы разности квадратов:
x x x x2 2 29 3 3 3− = − = −( ) +( ), и часто этой возможностью пользовались. Приходя
же к выражению вроде x2 10- , мы такой возможности не имели, так как число 10 для
нас «не было» квадратом. Теперь, зная, что 10 10
2
=( ) , мы можем при желании
продолжить преобразования дальше: x x x x2 2
2
10 10 10 10− = −( ) = −( ) +( ).
Рассмотрим ещё несколько примеров использования формул сокращённого
умножения в случае выражений с корнями. Поговорим, например, о формуле
квадрата суммы.
Переход от свёрнутого вида этой формулы к развёрнутому несложен:
y y y y y+( ) =( ) + ⋅ + = + +3 2 3 3 6 9
2 2
2 ;
z z z z z+( ) = + ⋅ +( ) = + +3 2 3 3 2 3 3
2
2
2
2 .
Обратное преобразование заметно сложнее. Нужно приобрести достаточный
опыт, чтобы научиться замечать в выражении z z2 2 3 3+ + развёрнутый вид ква-
драта суммы. Это станет ещё труднее, если переписать это выражение в виде
z z2 12 3+ + (вместо 2 3 мы записали равный ему корень 12).
при
при

125
Если под знаком радикала стоит буквенное выражение, то иногда полезно вы-
полнить замену этого радикала на новую переменную.
Рассмотрим, например, выражение 4 12 9m m+ + . Если выполнить замену
m t= , то t  0, m t= 2, и выражение перепишется в виде:
4 12 9 4 12 92m m t t+ + = + + , а здесь нам уже гораздо привычнее увидеть ква-
драт суммы 2 3
2
t +( ) .
Таким образом, m m m+ + = +( )12 9 2 3
2
.
Рассмотрим ещё один пример. Преобразуем выражение a a+ −2 1.
Замена a b− =1 приводит к тому, что b  0 и a b− =1 2, т.е. a b= +2 1, и тогда:
a a b b b a+ − = + + = +( ) = − +( )2 1 1 2 1 1 12 2 2
.
III. Освобождение от иррациональности в знаменателе.
Начнём с простого примера. Рассмотрим дробь
5 2
7 3
. Воспользуемся основ-
ным свойством дроби и умножим её числитель и знаменатель на 3. Получим:
5 2
7 3
5 2 3
7 3 3
5 2 3
7 3
5 6
212
=
⋅
⋅
=
⋅
( )
= .
Нам удалось преобразовать исходную дробь в равную ей дробь, знаменатель
которой не содержит радикалов.
Принято говорить, что мы освободились от радикалов в знаменателе, а по-
скольку выражения, содержащие радикалы, называют ещё иррациональными
выражениями, то говорят также, что мы освободились от иррациональности
в знаменателе. Часто вместо «освободились» говорят также «избавились».
Рассмотрим ещё одну дробь:
2
7 3-
и попробуем избавиться от радикалов
в знаменателе. Как подобрать множитель, произведение которого с 7 3- не
содержало бы радикалов?
Поскольку этот вопрос будет возникать неоднократно, важно научиться на не-
го отвечать и запомнить этот ответ. Здесь нам поможет формула разности ква-
дратов, записанная в виде:
a b a b a b a b−( ) +( )=( ) −( ) = −
2 2
.
Видно, что произведение разности радикалов на их сумму оказалось выраже-
нием, не содержащим радикалов. Иррациональные выражения a b- и a b+
часто называют сопряжёнными друг другу иррациональностями.
Вернёмся к дроби
2
7 3-
и умножим её числитель и знаменатель на иррацио-
нальность, сопряжённую знаменателю:

126
2
7 3
2 7 3
7 3 7 3
2 7 2 3
7 3
14 6
7 3
14 6
42 2
−
=
⋅ +( )
−( ) +( )
=
⋅ + ⋅
( ) −( )
=
+
−
=
+
.
Решим без комментариев ещё один пример:
x
a x
x a x
a x a x
ax x
a x−
=
⋅ +( )
−( ) +( )
=
+
−2
2
2 2
2
42
.
Здесь промежуточные шаги мы выполняли не так подробно, как в предыду-
щем примере.
В заключение обсудим вопрос, почему мы избавлялись от иррациональности
именно в знаменателе, а не в числителе дроби, — ведь это тоже можно было
бы делать абсолютно аналогично. Скажем, если взять дробь из самого перво-
го рассмотренного примера, то избавиться в ней от иррациональности в числите-
ле можно так:
5 2
7 3
5 2 2
7 3 2
5 2
7 3 2
10
7 6
2
=
⋅
⋅
=
( )
⋅
= .
Причина здесь в том, что при нахождении алгебраической суммы дробей нам
приходится находить их общий знаменатель, а делать это почти всегда гораздо
легче, если в знаменателях дробей нет радикалов. Что касается освобождения от
иррациональности в числителе, то оно тоже с успехом используется при решении
некоторых задач, в чём вы ещё убедитесь.
Н
а) Какой множитель можно вынести из-под знака арифметического квадрат-
ного корня и как это сделать?
б) Что называется частичным извлечением квадратного корня?
а) Как внести положительный множитель под знак арифметического ква-
дратного корня?
б) Можно ли внести отрицательный множитель под знак арифметического
квадратного корня?
в) Как можно преобразовать произведение отрицательного множителя
и арифметического квадратного корня?
г) Как можно преобразовать выражение x y?
а) Что значит освободиться от иррациональности в знаменателе?

127
б) Как освободиться от иррациональности в знаменателе, если знаменатель
представляет собой произведение рационального выражения и арифмети-
ческого квадратного корня?
в) Как освободиться от иррациональности в знаменателе, если знаменатель
представляет собой сумму натурального числа и «неизвлекаемого» ариф-
метического квадратного корня из натурального числа?
г) Как освободиться от иррациональности в знаменателе, если знаменатель
представляет собой сумму двух радикалов с рациональными подкоренны-
ми выражениями?
д) Как освободиться от иррациональности в знаменателе, если знаменатель
представляет собой разность двух радикалов с рациональными подкорен-
ными выражениями?
4 Вынесите множитель за знак радикала:
а) 28; в) 175; д) 52; ж)
45
4
;
б) 40; г) 68; е) 150; з)
40
98
.
5 Внесите множитель под знак радикала:
а) 4 3; в) 2 46; д) -5
2
15
; ж)
3
2
3
13
;
б)
1
2
3; г) -7 2; е) 6
7
18
; з)
9
5
1
2
.
а) 3 6 4 6+ ; в) 7 2 6 2 8 2+ − ;
б) 8 3 5 3- ; г) 11 2 11 7 11+ + .
Н
а) − +5 3a a; в) 7 6 8c c m+ − ;
б)15 9z z- ; г) p q p q+ − +2 7 3 .
а) 45 4 20 80− + ; д) 12 363 243− + ;
б) 50 32 18
1
2
- - ; е) 5 242 4 8 4 200- - ;
в) 63 112 175+ + ; ж) 153 68 3 272+ + ;
г) − + −44 1331 99; з) 245
6
5
125 320+ − .

128
а) 8 0 1 2 0 4 0 5 40, , ,- - ; д)
1
11
0 847
1
6
63
250
1
7
0 343, ,− + ;
б)
2
3
50
3
6+ − ; е)
1
3
81
2
1
4
72
1
5
225
2
+ + ;
в) 10
605
8
99
4
10
121
− + ; ж)
343
8
2
175
8
1
2
63
2
− + ;
г) 9 9 4 4 11, , ,- - ; з) 11
144
11
12
13
169
11
+ − .
а) a 14, где a  0; в) c2 2; д) x3 14, где x  0;
б) b 5, где b<0; г) -d4 2; е) -y5 21, где y<0.
11 Освободитесь от радикала в знаменателе:
а)
1
7
; в)
5 3
5
; д)
2
0 4,
; ж)
7 2
14
;
б)
2
8
; г)
3 2
6
; е)
0 9
0 3
,
,
; з)
12 6
3
.
12 Освободитесь от радикала в знаменателе:
а)
5
c
; в)
p
q
2
; д)
t
t t
2 1
1 1
−
−( ) +
; ж)
1
3 2m n-
;
б)
1
2d
; г)
x y
z5
; е)
k
k2
3
( )
; з)
m n
m n
+
−
.
13 Запишите иррациональность, сопряжённую данной:
а) 11 3+ ; в) 3 2 2 3- ; д) a x y+ ;
б) 2- z; г) 11 12+ ; е) h p h p+ − − .
14 Освободитесь от иррациональности в знаменателе:
а)
1
5 2+
; в)
2 1
2 1
+
−
; д)
n
n
-
-
1
1
; ж)
10
12 2+
;
б)
7 1
7 3
+
−
; г)
5 4
5 4
+
−
; е)
s
s s2 +
; з)
60
2 22-
.

129
а)
5 5
5
-
; в)
14 21
7
-
; д)
36 33
24 22
-
-
; ж)
90 18
70 14
-
-
;
б)
5 2 10
10 2
-
; г)
100 20
2 5
-
; е)
15 10
21 14
+
+
; з)
98 182
63 117
+
+
.
а)
a a
a
+
; д)
2q
p q p q+ − −
;
б)
x x
x
2
2
2 2 2
2
− +
−
; е)
mn
m n n m+
;
в)
5 2
25 4
a b
a b
-
-
; ж)
7 2 7
7
m n mn
m n
+ +
+
;
г)
s s
s
3 4+
; з)
x x
x x x
+ −
+ − +
2
1 2 2
.
а)
m
m n m n
m
n m−
−
+





 −
1
: ; д)
m m m m
m m
4 3 2+ + +
+
;
б)
x y
x y x xy y
3 3+
+( ) − +( )
; е)
i j
i
i
i j
i ji
j ij
+
−
+






⋅
+
+
2
2 2 4
2
;
в)
z
z
z
z
−( )
−
⋅
−
+
1
1
1
1
2
; ж)
h h
h
h h
h
h h
h h
+
+
−
+






+ +
+1
1 2 3
3
: ;
г)
1 1
1 1
2+ −
+ + −
h
h h
; з) k
k k k k
⋅ +
−





⋅ −
−






1 1
1
1 1
1
.
П
18 Вынесите множитель из-под знака радикала:
а) 5 2a , где a  0; в) 3 4c ; д)
m
n2
, где n  0;
б) 2 6b , где b<0; г) -3 7 3d ; е) -
z
y
5
2
, где y<0.

130
19 а) Найдите ошибку в преобразованиях:
x y x y x y x y x y4 4 4 2 2= ⋅ = ⋅ = = . Ответ: x y2 .
б) Решите задачу правильно.
20 Освободитесь от иррациональности в знаменателе:
а)
1
3 2 1+ −
; в)
2 30
5 6 7
+
+ +
;
б)
2 2 3
2 2 3
− −
+ −
; г)
3 4 6
2 11 2 3
+
− +
.
21 Найдите значение выражений при указанных значениях переменных:
а) 2 5 22 2a ab b− + при a = +6 5, b = −6 5;
б) 3 4 32 2x xy y+ − при x =
+
−
5 2
5 2
, y =
−
+
5 2
5 2
;
в) u uv v2 22 3+ + при u = +22 88, v = −22 88;
г) m mn n2 2+ + при m
p q
p q
=
+
−
, n
p q
p q
=
−
+
.
а)
m n
m n
m n
mn
n
m mn
m
nm n
+
+
+
+
−
−
+





;
б)
u v u v u v u u v v u u v v
u v
+( ) −( ) +( ) − +( ) + +( )
−3 3
;
в)
a a b b
a b
a b
a b
+
+






+
−






2
;
г)
z
z
z
z
z
z
z
z
+ +
+
+ −
+
+
+ −
+
+ +
+
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
.
М
а)
4
7 3
3
6 3
1
7 6+
+
−
−
−
;

131
б)
10 10
2 5
2 2
2 5
25 50 2 20 5 8 10
3−
+
+
+
+ + −
;
в)
24 6
2 6 7
24 6
2 6 7
574 6 861 7
34 6 51 7−
+
+
−
+
+
;
г)
5 10 2
2 5 10
335 240 2
13 10 2
2 5 10
5 2 10
+ −
+ +
+
+
+
+
+ +
− +
.
а) 4 2 3+ ; в) 16 2 15- ; д) 25 4 6+ ;
б) 7 4 3- ; г) 8 2 15- ; е) 14 4 6+ .
а)
21 8 5
4 5
9 4 5
+
+
⋅ − ;
б)
5 2 2 2 3 2 2 5 3 5
3 2 2 2 5 2 2 3 3 5
−( ) −( )+ −( ) −( )
−( ) −( )+ −( ) −( )
;
в) 2
6 3 6 5
2 3 2 5
3
6 5 6 2
3 5 3 2
5
6 2 6 3
5 2
−( ) −( )
−( ) −( )
+
−( ) −( )
−( ) −( )
+
−( ) −( )
−(( ) −( )5 3
;
г)
9 4 6
7 2 6 2 10 2 15
7
3
2
2
3
2
5
3
2 10
3
+
+ + +
+ + − − .
М
26 Докажите, что любая натуральная степень выражения 2 1- может быть за-
писана в виде разности арифметических квадратных корней из двух последо-
вательных натуральных чисел. Например:
2 1 2 2 2 1 3 2 2 9 8
2 2
−( ) =( ) − + = − = − ,
2 1 2 1 2 1 9 8 2 1 3 2 2 2 1
3 2
−( ) = −( ) −( )= −( ) −( )= −( ) −( )=
= − − + = − = −3 2 3 4 2 2 5 2 7 50 49 и т.д.

Исследовательский проект «Приближённое вычисление квад
ратного корня»
Ещё в Древнем Вавилоне более 4 тысяч лет назад был известен метод при-
ближённого вычисления квадратного корня из натуральных чисел. Для нату-
рального x находили наибольший полный квадрат (т.е. квадрат натурально-
го числа), не превосходящий x. Другими словами, число x записывали в ви-
де x y z= +2 , где y и z — натуральные числа, причём y — наибольшее из
всех возможных. После этого применяли приближённую формулу:
x y z y
z
y
= + ≈ +2
2
.
Например, 245 225 20 15 20 15
20
2 15
15
2
3
2= + = + ≈ +
⋅
= .
1) Выясните, на чём основывается древневавилонская формула прибли-
жённого вычисления квадратного корня.
2) Даёт ли эта формула приближённое значение квадратного корня с не-
достатком или с избытком (или иногда с недостатком, а иногда с избыт-
ком)?
3) Попробуйте оценить погрешность этой формулы.
Рассмотрим другую формулу приближённого вычисления квадратного
корня. Запишем число x в виде x y z= −2 , где y и z — натуральные числа,
причём y — наименьшее из всех возможных. После этого применим фор-
мулу:
x y z y
z
y
= − ≈ −2
2
.
Например, 245 256 11 16 11 16
11
2 16
15
21
32
2= − = − ≈ −
⋅
= .
4) Ответьте на те же вопросы для второй формулы.
Выясните, в каких случаях какая из формул даёт более точный результат.

133
4.1
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Квадратные уравнения.
Примеры решения квадратных уравнений
ГЛАВА IV
Что можно сказать о сомножителях, произведе-
ние которых равно нулю?
Запишите формулу разности квадратов. С помо-
щью этой формулы разложите на множители вы-
ражения x2 36- ; x2 6- .
В чём заключается метод группировки при разло-
жении на множители? Разложите на множители
многочлен x x2 8 9+ − методом группировки.
Решите уравнение 2 7 1 0x x−( ) +( )= .
Решите уравнение x2 36 0− = .
Решите уравнение x2 6 0− = .
Решите уравнение x x2 8 9 0+ − = .
Как решать уравнение методом разложения на множители его левой части
при нулевой правой части?
Квадратным уравнением с одним неизвестным называют уравнение, левая
часть которого представляет собой многочлен второй степени с одним неизвест-
ным, а правая часть равна нулю. Такие уравнения ещё называют уравнениями
второй степени с одним неизвестным.
Общий вид квадратного уравнения с одним неизвестным:
ax bx c2 0+ + = .
Здесь a, b и c — некоторые числа, которые называются коэффициентами урав-
нения. Поскольку степень многочлена, стоящего в левой части уравнения, вто-
рая, то значение a не равно нулю. Если коэффициент а равен единице, то ква-
дратное уравнение называют приведённым.
В таблице представлены примеры квадратных уравнений с одним неизвест-
ным. Первое из уравнений является приведённым.

134
Уравнение Коэффициенты
x x2 4 0+ =
3 5 02x + =
2 4 2 02x x− + =
− − + =2 3 02x x
a =1, b = 4, c = 0
a = 3, b = 0, c =5
a = 2, b =−4, c = 2
a =−2, b =−1, c = 3
Как мы уже видели, решение уравнений обычно сводится к следующему. Дан-
ное уравнение заменяем другим, равносильным ему уравнением, но более про-
стым. Полученное уравнение заменяем другим, ещё более простым, и так до
тех пор, пока не получим уравнение, которое умеем решать.
Этот приём решения уравнений мы использовали в 7-м классе. Рассмотрим не-
сколько примеров.
Пример 1. Решим уравнение
x x+( ) +( )=3 2 4 0.
Пусть x — корень уравнения, т.е. число, при котором равенство верно.
Произведение равно нулю. Следовательно, хотя бы один из сомножителей ра-
вен нулю. Возможно два случая:
1) x + =3 0, тогда x =−3;
2) 2 4 0x + = , тогда 2 4x =− , x =−2.
Ответ: -3, -2.
Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные, то полу-
чим равносильное уравнение:
2 10 12 02x x+ + = .
Возникает вопрос: нельзя ли левую часть квадратного уравнения путём тожде-
ственных преобразований преобразовать в произведение линейных множителей,
а затем воспользоваться приёмом, разобранным в примере 1?
Оказывается, в большинстве случаев это возможно. Особенно полезен этот
приём в случае неполных квадратных уравнений, т.е. таких, где хотя бы один из
коэффициентов b или c равен 0.
x x2 0+ = .
Разложим левую часть уравнения на множители:
x x +( )=1 0.
Рассуждая, как в примере 1, получим ответ: 0, –1.
При разложении на множители полезно использовать формулы сокращённо-
го умножения.
x2 7 0− = .

135
x x−( ) +( )=7 7 0.
Рассуждая, как в предыдущих примерах, получим ответ: - 7, 7.
x x2 4 4 0+ + = .
Представим левую часть уравнения в виде:
x +( ) =2 0
2
.
Получили два одинаковых множителя, поэтому корень единственный.
Ответ: -2.
x x2 2 3 0+ − = .
Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки:
x x x2 3 3 0− + − = ;
x x x−( )+ −( )=1 3 1 0;
x x+( ) −( )=3 1 0.
Ответ:1, -3.
Н
1 Ответьте на вопросы. Приведите примеры.
а) Что называется квадратным уравнением с одним неизвестным?
б) Что называется неполным квадратным уравнением?
2 Из предложенных уравнений выберите квадратные:
а) 2 9 02x − = ; д) x x2 0 3 0− ⋅ + = ;
б) 2 3 03x + = ; е) x x2 5+ = ;
в) 2 3 72x x+ = + ; ж)1 3 61+ =x ;
г) 0 2 1 02⋅ − + =x x ; з) x x2 4 3 0+ + = .
3 Укажите коэффициенты квадратного уравнения:
а) 2 9 02x x− − = ; д) 3 3 1 02x x+ + = ;
б) x x2 3 0+ = ; е) x x2 5 0+ − = ;
в) 2 02x = ; ж) 3 6 02x x− = ;
г) 4 9 02x − = ; з) 2 1 02x x− + = .

136
а) x x−( ) −( )=1 2 0; д) 2 1 5 2 0x x−( ) −( )= ;
б) x x+( ) −( )=9 3 0; е) 4 1 2 0x x−( ) +( )= ;
в) x x−( ) +( )=3 4 0; ж) 3 3 2 1 0x x+( ) −( )= ;
г) x x+( ) +( )=9 2 0; з) 3 2 2 1 0x x+( ) +( )= .
Н
5 Решите неполное квадратное уравнение:
а) x x2 2 0− = ; д) x2 16 0− = ;
б) 2 02x x− = ; е) x2 3 0− = ;
в) 4 3 02x x+ = ; ж) 4 1 02x − = ;
г) − − =x x2 3 0; з) x2 0= .
а) x x2 = ; д) x2 4= ;
б) x x2 4=− ; е) x2 8= ;
в) 5 122x x= ; ж) 5 12x = ;
г) 6 152x x=− ; з) 2 42x = .
а) x x2 2 1 0− + = ; д)
1
9
2
3
1 02x x− + = ;
б) x x2 1
4
0− + = ; е) 4 2
1
4
02x x− + = ;
в) x x2 2 1 0+ + = ; ж) x x2 8 4 0+ + = ;
г) − − − =x x2 4 4 0; з) − − − =
1
4
1 02x x .
П
8 Найдите корни уравнения:
а) 5 23 2x x= ; д) x x4 216= ;
б) x x4 33=− ; е) x x3 9= ;
в) 3 22 3x x= ; ж) 4 3x x= ;
г) − =6 32x x; з) x4 16= .
9 При каких значениях С уравнение 5 02x x C− + = имеет корень 3?

10 При каких значениях b уравнение 3 1 02x bx− + = имеет корень -1?
11 При каких значениях a уравнение ax x2 4 4 0− + = имеет корень 2?
12 При каких значениях m уравнения x x2 3 0− = и x mx2 4 0+ − = имеют общий
корень?
а) x x x2 5 3 6 3+ + = + ; д) x x x2 5 3 5 7+ + = − ;
б) x x x2 7 8 8 2− + = − ; е) x x x2 2 1 8 2− − = − ;
в) − + − = −6 6 5 6 52x x x ; ж) 2 3 2 32x x x+ − = − ;
г) − − + = −x x x2 2 3 3 7 ; з) x x x2 6+ − = .
М
а) x x2 2 3 0− + = ; д) 2 1 02x x− − = ;
б) x x2 3 0− − = ; е) 3 2 1 02x x− − = ;
в) − + − =x x2 6 5 0; ж) 2 3 02x x+ − = ;
г) − − + =x x2 2 3 0; з) x x2 4 4 0+ + = .
15 Придумайте квадратное уравнение, имеющее корни:
а) 2 и1; б) -2 и1; в) -0 5, и1; г) -0 5, и 0 8, .
а) x x−( ) = −1 1
2
; в) 2 2 1
2
x x−( ) = − ;
б) 2 1 3 1 0
2
x x−( ) − −( )= ; г) − −( ) = −x x1 4 4
2
.
а)
− −
=
x x
x
2 3
0; в)
x
x
2 9
0
−
= ;
б)
− −
+
=
x x
x
2 3
3
0; г)
x
x
2 9
3
0
−
+
= .

138
4.2
Решение квадратных уравнений
методом выделения полного квадрата
Какое преобразование называется выделением
полного квадрата в многочлене второй степени
с одной переменной?
Выделите полный квадрат в многочлене
x x2 8 12− + .
Решите уравнение x x2 8 12 0− + = .
Как решать квадратное уравнение, предварительно выделив в его левой час-
ти полный квадрат?
Будем решать квадратные уравнения методом выделения полного квадрата.
Это преобразование мы изучали в 7-м классе.
Поясним суть метода на примерах.
x x2 4 3 0+ + = .
В левой части уравнения выделим полный квадрат:
x x x x x2 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2 3 2 1+ + = + ⋅ ⋅ +( )− + = +( ) − .
Получим уравнение:
x +( ) − =2 1 0
2
;
x +( ) =2 1
2
;
x + =2 1 или x + =−2 1;
x1 1=− , x2 3=− .
Ответ: -1, -3.
x x2 2 2 0− − = .
Выделим полный квадрат:
x x x x x2 2 2 2 2
2 2 2 1 1 1 2 1 3− − = − ⋅ ⋅ +( )− − = −( ) − .

139
x−( ) − =1 3 0
2
;
x−( ) =1 3
2
;
x− =1 3 или x− =−1 3;
x1 1 3= + , x2 1 3= − .
Ответ:1 3± .
x x2 6 10 0+ + = .
x x x2 2
6 10 3 1+ + = +( ) + .
x +( ) =−3 1
2
.
Полученное равенство невозможно.
Ответ: корней нет.
4 6 1 02x x+ + = .
Умножим обе части уравнения на 4:
16 24 4 02x x+ + = .
16 24 4 4 2 4 3 9 5 4 3 52 2 2
x x x x x+ + =( ) + ⋅ ⋅ + − = +( ) − .
4 3 5 0
2
x +( ) − = ;
4 3 5
2
x +( ) = ;
4 3 5x + = ± ;
4 3 5x =− ± ;
x =
− +3 5
4
или x =
− −3 5
4
.
Ответ:
− ±3 5
4
.

140
Н
а) Что называется приведённым квадратным уравнением?
б) В чём состоит метод выделения полного квадрата?
2 Подберите числа b и c так, чтобы данное выражение стало полным квад-
ратом:
а) x x c2 2+ + ; д) x bx2 9+ + ;
б) x x c2 4− + ; е) x bx2 25− + ;
в) x x c2 3+ + ; ж) x bx2 5+ + ;
г) x x c2 6− + ; з) x bx2 7− + .
а) x2 81= ; д) x−( ) =4 1
2
;
б) x2 16=− ; е) − −( ) =−x 3 9
2
;
в) 16 812x = ; ж) 2 5 25
2
x +( ) = ;
г) 5 35 02x =− = ; з) − +( ) =2 1 4
2
x .
4 Решите уравнение методом выделения полного квадрата:
а) x x2 4 0− = ; д) x x2 4 3− =− ;
б) x x2 2 0+ = ; е) x x2 2 2+ =− ;
в) x x2 0− = ; ж) x x2 0 75− = , ;
г) x x2 3 0+ = ; з) x x2 3 1 75+ = , .
Н
а) x x2 4 5 0− + = ; д) x x2 3 4 0+ − = ;
б) x x2 2 3 0+ − = ; е) x x2 2 0− − = ;
в) x x2 6 8 0+ + = ; ж) x x2 6 0+ − = ;
г) x x2 2 15 0− − = ; з) x x2 5 6 0+ − = .
а) x x2 14 48 0− + = ; д) x x2 9 14 0− + = ;
б) x x2 20 100 0+ + = ; е) x x2 11 18 0+ + = ;
в) x x2 12 37 0− + = ; ж) x x2 11 26 0− − = ;
г) x x2 22 112 0+ + = ; з) x x2 15 16 0+ − = .

141
а) 4 3 02x x+ − = ; д) 3 2 5 02x x+ − = ;
б) 3 7 4 02x x− + = ; е) 2 6 02x x+ − = ;
в) 2 3 1 02x x− + = ; ж) 2 3 5 02x x+ − = ;
г) 5 2 02x x− + = ; з) 4 3 22 02x x+ − = .
а) x x x2 6 4 25− = − ; д)
1
4
5 4 3 12x x x+ + = + ;
б) x x x2 2 6 16+ = − ; е)
1
4
3 5 4 42x x x− + = − ;
в) 5 1 6 42 2x x x+ = − ; ж)
1
2
2 3 4 32x x x+ + = − ;
г) 3 9 122 2x x x+ = − ; з)
1
3
6 7 9 12x x x+ + = − .
П
а) x x+( ) + +( )=2 2 2 3
2
; в) 2 1 4 2 1 5
2
x x−( ) − −( )= ;
б) x x−( ) − −( )=2 2
3
4
2
; г) 2 1 3 2 2 1
3
4
2
x x−( ) − +( )= .
а) x x2 4 4 0+ + = ; в) x x2 4 3 0− + = ;
б) x x2 4 4 0− + = ; г) x x2 4 3 0+ + = .
М
11 При каких значениях x верно равенство:
а) x x4 22 3 0+ − = ; в) 4 4 1 04 2x x+ + = ;
б) x x4 22 5 0− + = ; г) 4 4 3 04 2x x+ − = ?
а) x x x2 3 1 0− + + = ; в) x x+( ) + + =1 2 1 0
2
;
б) x x x2 3 4 0− − + = ; г) x x−( ) − − =2 4 2 0
2
.

142
4.3 Формула корней квадратного уравнения
Какое преобразование называется выделением
полного квадрата в многочлене второй степени
с одной переменной?
4 20 92x x− + .
4 4 42 2a x abx ac+ + .
Решите уравнение ax bx c2 0+ + = , предварительно умножив обе его части на
4a и затем выделив полный квадрат.
Как решать квадратное уравнение ax bx c2 0+ + = ?
В предыдущих параграфах мы рассматривали частные случаи решения ква-
дратных уравнений. Решим уравнение ax bx c2 0+ + = , где a ¹ 0, в общем виде.
Применим к этому уравнению метод выделения полного квадрата. Для удоб-
ства вычислений умножим обе части уравнения на 4a:
4 4 4 02 2a x abx ac+ + = .
4 4 42 2 2 2a x abx b b ac+ + = − ;
2 4
2 2ax b b ac+( ) = − .
Выражение D b ac= −2 4 принято называть дискриминантом квадратного урав-
нения.
Рассмотрим возможные случаи.
1. Если D b ac= − >2 4 0, то
2ax b D+ = ± ;
2ax b D=− ± .
Уравнение имеет два корня:

143
x
b D
a
1
2
=
− +
и x
b D
a
2
2
=
− −
.
Или:
x
b D
a
1 2
2
, =
− ±
.
Полученное выражение будем называть формулой корней квадратного
уравнения.
Пример 1. Решим уравнение 3 4 02x x+ − = .
Коэффициенты квадратного уравнения:
a = 3, b =1, c =−4.
Вычислим дискриминант:
D b ac= − = − ⋅ ⋅ −( )=2 24 1 4 3 4 49.
Воспользуемся полученной формулой:
x1 2
1 49
2 3
1 7
6
, =
− ±
⋅
=
− ±
, откуда x1
1 7
6
1=
− +
= , x2
1 7
6
4
3
=
− −
=− .
Ответ:1 и -
4
3
.
Пример 2. Решим уравнение 4 12 7 02x x− + = .
a = 4, b =−12, c = 7.
D b ac= − = −( ) − ⋅ ⋅ =2 2
4 12 4 4 7 32.
Получим:
x1 2
12 32
2 4
12 4 2
8
, =
±
⋅
=
± ⋅
.
Ответ:
3 2
2
±
.
2. Если D b ac= − =2 4 0, то уравнение принимает вид:
2 0
2
ax b+( ) = ;
2 0ax b+ = , откуда 2ax b=− .
Уравнение имеет единственный корень:
x
b
a
=−
2
.
Пример 3. Решим уравнение 4 4 1 02x x+ + = .
a = 4, b = 4, c =1.

144
D b ac= − = − ⋅ ⋅ =2 24 4 4 4 1 0.
Корень уравнения:
x =−
⋅
=−
4
2 4
1
2
.
Ответ: -0 5, .
Заметим, что корень данного уравнения может быть получен и непосред-
ственно из формулы корней квадратного уравнения, причём, так как дискрими-
нант равен нулю, получается, что x x1 2= . Иногда удобно считать, что в этом слу-
чае уравнение имеет два равных корня.
3. Если D b ac= − <2 4 0, то уравнение корней не имеет.
Действительно, в правой части равенства
2 4
2 2ax b b ac+( ) = −
стоит отрицательное число, в левой части — неотрицательное.
Пример 4. Решим уравнение 3 4 5 02x x+ + = .
a = 3, b = 4, c =5.
D b ac= − = − ⋅ ⋅ = − <2 24 4 4 3 5 16 60 0.
Ответ: уравнение корней не имеет.
Таким образом, мы выяснили, что число корней квадратного уравнения зави-
сит от дискриминанта.
1. Если дискриминант уравнения больше нуля (D>0), то квадратное уравнение
имеет два различных корня:
x
b D
a
1 2
2
, =
− ±
.
2. Если дискриминант уравнения равен нулю (D = 0), то квадратное уравнение
имеет единственный корень (два равных корня):
x
b
a
=−
2
.
3. Если дискриминант уравнения меньше нуля (D <0), то квадратное уравнение
не имеет корней.
Отметим, что с помощью полученной формулы можно решать любые ква-
дратные уравнения, в том числе и неполные. Однако неполные квадратные урав-
нения выгоднее решать методом разложения на множители.

145
Н
а) Что называется дискриминантом квадратного уравнения?
б) Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
2 Вычислите дискриминант квадратного уравнения и определите число его
корней:
а) x x2 4 9 0− − = ; д) − + − =2 4 02x x ;
б)− + − =x x2 1 0; е) 2 4 2 02x x− + = ;
в) x x2 2 27 0+ + = ; ж)11 1 02x x− − = ;
г) − − − =x x2 7 1 0; з) 5 2 1 02x x− + = .
3 Какие из следующих уравнений не имеют корней:
а)17 70 3 2x x= + ; д) 81 18 12x x= − ;
б) x x2 12 7− = ; е) x x2 1− = ;
в) 10 1 32x x+ = ; ж) 5 12x x= − ;
г) x x2 26 170 0+ + = ; з) x x2 6 2= − ?
Н
а) x x2 6 8 0− + = ; д) x x2 5 14 0− − = ;
б) x x2 12 36 0+ + = ; е) x x2 7 15 0+ + = ;
в) x x2 9 18 0− + = ; ж) x x2 9 20 0− + = ;
г) x x2 6 5 0+ + = ; з) x x2 2 15 0− − = .
а) − + − =2 7 6 02x x ; д) 2 9 10 02x x− + = ;
б) 3 7 2 02x x− + = ; е) 3 11 20 02x x+ − = ;
в) 2 5 2 02x x+ + = ; ж) 4 4 15 02x x+ − = ;
г) 5 9 2 02x x− − = ; з) − − − =9 3 1 02x x .
а) x x−( ) −( )=2 3 12; д) x x−( ) +( )+ =3 3 1 8 0;
б) x x+( ) +( )=1 3 15; е) x x−( ) −( )+ =1 2 7 3 0;
в) x x+( ) −( )+ =2 6 7 0; ж) 5 2 2 3x x x+( )= − ;
г) x x+( ) −( )+ =4 6 9 0; з) 3 3 8x x x−( )= − .

146
а)
x
x
2
4
2 3= − ; д) x
x2 6
8 9
5
− =
−
;
б)
x
x
2
3
5 12= − ; е) 2 5
5 2
4
2x
x
− =
+
;
в)
x
x
2 1
5
2 4
+
= − ; ж)
7 5
4 3
2x x x+
=
+
;
г)
x
x
2 1
2
6 18
−
= − ; з)
x x x2
5
3 1
4
−
=
+
.
а) x x2 2 1 0− − = ; д) 6 1 02x x− − = ;
б) x x2 3 3 0+ + = ; е) − + − =2 3 5 02x x ;
в) x x2 5 2 0− + = ; ж) 7 2 1 02x x+ − = ;
г) x x2 4 1 0− + = ; з) 4 3 2 02x x+ − = .
П
а) x x2 2 2 2 0− + = ; д) 2 5 3 02x x+ + = ;
б) x x2 2 4 0+ − = ; е) 3 2 3 1 02x x+ + = ;
в) x x2 3 3 6 0− + = ; ж) 4 2 2 2 8 02x x− + − = ;
г) x x2 7 14 0+ − = ; з) 3 3 9 02x x+ − − = .
10 Найдите значения a, при которых квадратное уравнение имеет единственный
корень:
а) x ax2 9 0+ + = ; в) 3 2 1 02x ax+ + = ;
б) x x a2 8 0− + = ; г) 5 2 02x x a− + = .
а) x x x+( ) − +( )=1 5 6 02 ; в) x x x2 21 2 3 0−( ) − +( )= ;
б) x x x−( ) + −( )=2 2 02 ; г) x x x2 23 6 0+( ) + −( )= .
12 Докажите, что если q <0, то уравнение x px q2 0+ + = обязательно имеет
корень.
13 Докажите, что одно из уравнений x mx n2 0+ − = и x mx n2 0+ + = обяза-
тельно имеет корень.

147
а)
x x
x
2 2 3
1
0
+ −
−
= ; в)
x x
x
2 2
1
0
− −
+
= ;
б)
x x
x
2 3 4 0
4
+ − =
+
; г)
x x
x
2 4 4
2
0
− +
−
= .
М
а)
x x
x
2 6 8
3
0
+ +
+
= ; в)
7 6 1
2 3
0
2x x
x
− −
−
= ;
б)
2 9 5
6
0
2x x
x
− −
−
= ; г)
x x
x
2 8 57
2
0
− −
+
= .
а) x x+ = 2; в) 3 4x x− = ;
б) x x+ + =3 5; г) 3 2 6x x− − = .
17 Докажите, что корни приведённого квадратного уравнения x px q2 0+ + =
могут быть найдены по формуле:
x
p p q
1 2
2 4
2
, =
− ± −
.
4.4 Теорема Виета
Запишите формулу корней квадратного уравнения
ax bx c2 0+ + = .
Найдите сумму записанных вами корней квадратного
уравнения ax bx c2 0+ + = . Как эта сумма выража-
ется через коэффициенты квадратного уравнения?
Найдите произведение корней квадратного урав-
нения ax bx c2 0+ + = . Как это произведение выражается через коэффициенты
квадратного уравнения?
Как можно найти сумму и произведение корней квадратного уравнения
ax bx c2 0+ + = , не решая само уравнение, но зная, что оно имеет корни?

148
В предыдущем параграфе мы получили формулу корней квадратного уравне-
ния ax bx c2 0+ + = :
x
b D
a
1
2
=
− +
и x
b D
a
2
2
=
− −
.
Исследуем соотношение между корнями и коэффициентами квадратного
уравнения с другой точки зрения. Найдём сумму корней:
x x
b D
a
b D
a
b
a
b
a
1 2
2 2
2
2
+ =
− +
+
− −
=
−
=− .
Получили, что
x x
b
a
1 2+ =− .
Теперь найдём произведение корней:
x x
b D
a
b D
a
b D
a
b D
a
b b ac
a
1 2
2 2
2
2
2
2 2
22 2 4 4
4
4
4
⋅ =
− +
⋅
− −
=
−( ) −( )
=
−
=
− −( )
=
aac
a
c
a4 2
= ,
то есть
x x
c
a
1 2⋅ = .
Полученные соотношения, связывающие сумму и произведение корней ква-
дратного уравнения, принято называть формулами Виета, в честь французского
математика Франсуа Виета (1540—1603).
Следующее утверждение называют теоремой Виета:
Если x1 и x2 — корни квадратного уравнения ax bx c2 0+ + = , то
x x
b
a
1 2+ =− , а x x
c
a
1 2⋅ = .
Заметим, что формулы Виета можно применять и в случае, когда уравнение
ax bx c2 0+ + = имеет единственный корень, если считать, что в этом случае
x x1 2= . Убедитесь в этом самостоятельно.
Пример 1. Найдем сумму и произведение корней уравнения 2 4 02x x− − = .
Сначала убедимся, что уравнение имеет корни:
D = − ⋅ ⋅ −( )>1 4 2 4 02 .
Воспользуемся теоремой Виета:
x x1 2
1
2
0 5+ =−
−
= , , x x1 2
4
2
2⋅ =
−
=− .
Ответ: сумма корней равна 0 5, , а произведение -2.

149
Пример 2. Найдём подбором корни уравнения 8 7 1 02x x− − = .
Один из корней угадывается легко: x1 1= .
Второй корень получим из теоремы Виета:
x x1 2
1
8
1
8
⋅ =
−
=− ;
1
1
8
2⋅ =−x , откуда x2
1
8
=− .
Ответ:1и -
1
8
.
Теперь докажем теорему, обратную к теореме Виета.
Если x x
b
a
1 2+ =− , а x x
c
a
1 2⋅ = , то
x1 и x2 — корни квадратного уравнения ax bx c2 0+ + = .
Воспользуемся условием теоремы:
x x
b
a
1 2+ =− , x x
c
a
1 2⋅ = ;
b a x x=− +( )1 2 , c ax x= ⋅1 2.
Решим теперь уравнение ax bx c2 0+ + = , подставив в него вместо b и c полу-
ченные выражения:
ax a x x x ax x2
1 2 1 2 0− +( ) + ⋅ = .
Разделим обе части уравнения на a:
x x x x x x2
1 2 1 2 0− +( ) + ⋅ = .
x x x x x x x2
1 2 1 2 0− − + ⋅ = ;
x x x x x x−( )− −( )=1 2 1 0;
x x x x−( ) −( )=1 2 0.
Следовательно, x x= 1, x x= 2 — корни уравнения, что и требовалось доказать.
Применим полученный результат для решения следующей задачи.
Пример 3. Составим уравнение, корни которого равны 2 и -6.
Решение. Пусть x1 2= , x2 6=− . Воспользуемся обратной теоремой Виета:
x x1 2 4+ =− , x x1 2 12⋅ =− .
Следовательно,
− =−
b
a
4,
c
a
=−12.
Пусть a =1, тогда b = 4, c =−12.
Ответ: x x2 4 12 0+ − = .

150
Н
1 Сформулируйте теорему Виета для квадратного уравнения. Сформули-
руйте обратную теорему. Приведите примеры.
2 Решите уравнение. Сделайте проверку по теореме Виета:
а) x x2 3 2 0− + = ; д) x x2 0− = ;
б) x x2 2 0+ − = ; е) x x2 2 0+ = ;
в) 2 1 02x x− − = ; ж) x2 3 0− = ;
г) 3 2 1 02x x− + = ; з) 2 3 02x x− = .
3 Один из корней уравнения равен 2. Найдите другой корень:
а) x x2 6 0+ − = ; д) 5 18 02x x− − = ;
б) x x2 3 2 0− + = ; е) 2 10 02x x+ − = ;
в) x x2 5 14 0+ − = ; ж) 4 3 10 02x x− − = ;
г) x x2 7 10 0− + = ; з) 2 3 14 02x x+ − = .
4 Найдите сумму и произведение корней уравнения (если они существуют):
а) x x2 1 0+ − = ; д) 3 1 02x x− + = ;
б) x x2 5 0− + = ; е) 2 2 7 02x x+ − = ;
в) x x2 5 10 0+ − = ; ж) 2 3 10 02x x− − = ;
г) x x2 6 2 0− + = ; з) 5 3 1 02x x+ + = .
5 Определите знаки корней уравнения (если корни существуют):
а) x x2 7 11 0− + = ; д) 5 1 02x x− + = ;
б) x x2 15 30 0− − = ; е) 3 1 02x x+ − = ;
в) x x2 10 20 0+ − = ; ж) 4 2 1 02x x+ + = ;
г) x x2 10 26 0+ + = ; з) 8 7 8 02x x− − = .
Н
6 Придумайте квадратное уравнение, имеющее данные корни. Сколько таких
уравнений существует?
а) 3 и 2; в) 1и 0; д) -11и 6; ж)2 и -15;
б) 3 и -2; г) 2 и -2; е) -3 и -8; з) 11 и 7.
7 Составьте уравнение, корни которого противоположны корням данного
уравнения (если корни данного уравнения существуют):
а) x x2 5 0− + = ; б) x x2 2 0− − = ;

151
в) x x2 3 1 0+ + = ; е) 5 1 02x x− + = ;
г) x x2 5 2 0− − = ; ж) 3 3 02x x− − = ;
д) 2 7 02x x+ + = ; з) 2 3 7 02x x− − = .
П
8 Составьте уравнение, корни которого обратны корням данного уравнения
(если корни данного уравнения существуют):
а) x x2 5 0− − = ; д) 2 7 02x x+ − = ;
б) x x2 2 0− + = ; е) 5 1 02x x− − = ;
в) x x2 3 1 0+ − = ; ж) 3 3 02x x− + = ;
г) x x2 5 2 0− + = ; з) 2 3 7 02x x− − = .
9 Докажите, что если x1 и x2 — корни уравнения x px q2 0+ + = , то x x p1 2+ =− ,
а x x q1 2⋅ = .
10 Сформулируйте условие, при котором уравнение x px q2 0+ + = имеет корни:
а) разных знаков; б) одного знака.
11 Найдите сумму квадратов корней уравнения:
а) x x2 2 0− + = ; д) 2 02x x− = ;
б) x x2 1 0− − = ; е) 8 1 02x − = ;
в) x x2 3 5 0+ − = ; ж) 2 4 1 02x x− + = ;
г) x x2 2 7 0− − = ; з) 4 2 1 02x x− + = .
12 Придумайте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, имеющее
данные корни. Сколько таких уравнений существует?
а)15, и 2; в) -2 4, и 4 2, ; д)
2
3
и
3
5
; ж) 2 и - 2;
б) 2 и -11, ; г) 0 и -15, ; е) -3 и1
1
2
; з) 1 2- и1 2+ .
13 Решите уравнение, используя формулы Виета:
а) x x2 2 2 2 2+ = + ; в) 3 4 15 4 52x x− = − ;
б) x x2 4 3 4 3− = − ; г) 2 8 22x x− = − .
14 Придумайте уравнение x px q2 0+ + = , корнями которого являются:
а) противоположные числа; б) взаимно обратные числа.
15 Найдите значения q, при которых для уравнения 3 6 02x x q− + = выполняется
данное условие:
а) x x1 22 0+ = ; в) 6 01 2x x− = ;
б) x x1 22 0− = ; г) 6 01 2x x− = .

152
М
16 Найдите сумму кубов корней уравнения:
а) x x2 5 2 0− + = ; в) 2 3 4 02x x+ + = ;
б) x x2 4 1 0− − = ; г) 3 1 02x x+ − = .
17 Придумайте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, один из кор-
ней которого равен:
а)1 3- ; б) 4 5+ ; в) 2 2+ ; г) − +1 2.
18 Придумайте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни кото-
рого на 1 больше соответствующих корней уравнения 3 11 2 02x x− + = .
19 Один из корней уравнения x px2 18 0+ − = равен 9. Найдите второй корень
уравнения и коэффициент p.
20 Один из корней уравнения x x q2 6 0+ + = равен -7. Найдите второй корень
уравнения и коэффициент q.
4.5 Разложение выражения ax bx c2
+ + на множители
Запишите формулу корней квадратного уравнения
ax bx c2 0+ + = .
Запишите теорему Виета для квадратного уравне-
ния ax bx c2 0+ + = , зная, что оно имеет корни.
Запишите выражение a x x x x−( ) −( )1 2 , раскройте
скобки и упростите, используя теорему Виета. Ка-
кое выражение у вас получилось?
Запишите квадратный трёхчлен ax bx c2 + + . Если x1 и x2 — корни квадратного
уравнения ax bx c2 0+ + = , то по теореме Виета x x
b
a
1 2+ =− , x x
c
a
1 2⋅ = . Вы-
разите из этих равенств b и c, подставьте полученные выражения в квадратный
трёхчлен ax bx c2 + + , после чего разложите на множители методом группи-
ровки. Какое выражение у вас получилось?
Как можно разложить на множители квадратный трёхчлен ax bx c2 + + ,
зная корни x1 и x2 квадратного уравнения ax bx c2 0+ + = ?

153
Нам уже приходилось раскладывать на множители многочлены второй степе-
ни. Чаще всего мы это делали методом группировки, используя тождества со-
кращённого умножения. Решим эту задачу в общем виде.
Пусть x1 и x2 — корни квадратного уравнения ax bx c2 0+ + = .
Тогда по теореме Виета:
x x
b
a
1 2+ =− , x x
c
a
1 2⋅ = , откуда b a x x=− +( )1 2 , c ax x= ⋅1 2.
Подставим значения b и c в многочлен ax bx c2 + + и разложим его на множи-
тели:
ax bx c ax a x x x ax x a x x x x x x2 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2+ + = − +( ) + ⋅ = − +( ) + ⋅( )=
= − − +( )= −( )− −( )( )= −( ) −( )a x xx xx x x a x x x x x x a x x x x2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 .
Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Если x1 и x2 — корни квадратного уравнения ax bx c2 0+ + = ,
то ax bx c a x x x x2
1 2+ + = −( ) −( ).
Пример 1. Разложим на линейные множители x x2 10 16− + .
Сначала решим уравнение:
x x2 10 16 0− + = .
Найдём дискриминант:
D = − =100 64 36.
Корни квадратного уравнения:
x1 2
10 6
2
, =
±
, откуда x1 8= , x2 2= .
Коэффициент a =1.
Воспользовавшись формулой разложения квадратного трёхчлена на линейные
множители, получим: x x x x2 10 16 8 2− + = −( ) −( ).
Пример 2. Разложим на линейные множители
2 7 62x x+ + .
Решим уравнение
2 7 6 02x x+ + = .
Найдём дискриминант:
D = − =49 48 1.

154
Корни квадратного уравнения:
x1 2
7 1
4
, =
− ±
, откуда x1
3
2
=− , x2 2=− .
Коэффициент a = 2.
Воспользовавшись формулой, получим: 2 7 6 2
3
2
22x x x x+ + = +





 +( ).
Перемножим числовой множитель с первой скобкой. Ответ запишем в виде:
2 7 6 2 3 22x x x x+ + = +( ) +( ).
Пример 3. Сократим дробь
2 7 6
4 6
2x x
x
+ +
+
.
Воспользуемся результатом предыдущей задачи:
2 7 6
4 6
2 3 2
2 2 3
2
2
2x x
x
x x
x
x+ +
+
=
+( ) +( )
+( )
=
+
.
Ответ:
x + 2
2
.
Н
1 Напишите формулу разложения на линейные множители многочлена
ax bx c2 + + .
2 Представьте в виде произведения линейных множителей:
а) x x2 8 7− + ; д) x x2 8 12− + ;
б) x x2 2- - ; е) x x2 2 15+ − ;
в) − + +x x2 3 4; ж) x x2 4 21- - ;
г) − − +x x2 6 27; з) x x2 9 14+ + .
3 Разложите выражение на линейные множители:
а) 3 22x x- - ; д) − + −3 4 12x x ;
б) 4 7 32x x− + ; е) 4 12 92x x− + ;
в) − + +2 3 52x x ; ж) 5 182x x- - ;
г) 2 62x x- - ; з) 2 3 22x x- - .
Н
а)
a
a a
+
+ +
2
3 22
; б)
3
2 32
-
- -
b
b b
;

155
в)
3 7 2
2 3
2a a
a
− +
−
; е)
b
b b
2
2
9
9 18
−
− +
;
г)
5 12 4
6 15
2b b
b
− +
−
; ж)
5 10
3 5 2
2
2
a a
a a
+
+ +
;
д)
a
a a
2
2
4
6
−
+ −
; з)
6 18
2 15
2
2
b b
b b
-
- -
.
а)
a a
a a
2
2
8 15
7 30
− +
+ −
; д)
5 7 24
7 24 9
2
2
a a
a a
− −
− +
;
б)
b b
b b
2
2
4 12
9 14
+ −
− +
; е)
3 11 4
7 23 20
2
2
b b
b b
+ −
+ −
;
в)
5 13 6
4 4
2
2
a a
a a
− +
− +
; ж)
5 8 3
11 3 14
2
2
a a
a a
+ +
− +
;
г)
b b
b b
2
2
4 4
7 9 10
− +
− −
; з)
6 19 13
2 7 9
2
2
b b
b b
− +
+ −
.
П
6 Известно, что 1 — корень квадратного уравнения 3 2 02x bx+ − = . Найдите b
и разложите многочлен 3 22x bx+ − на линейные множители.
7 Разложите выражение на линейные множители:
а) x a b x ab2 − +( ) + ; в) x a a x a2 2 32 2+ +( ) + ;
б) x a b x ab2 2 3 6− +( ) + ; г) x a a x a2 2 32 2+ −( ) − .
8 Разложите на линейные множители:
а) a ab b2 22+ − ; в) 3 2 162p pq q+ − ;
б) m mn n2 23 2− + ; г) 5 2 162s st t- - .
М
а)
a a
a
− +
−
5 6
2
; в)
a a
a
- -
-
2
2
;
б)
b b
b
− +
−
6 8
4
; г)
b b
b
- -
-
2 3
3
.

156
а)
9 9 2
1 3 3
2a a
a b ab
− +
− + −
; в)
16 8 1
1 4 4
2a a
a b ab
− +
− − +
;
б)
2 5 2 5
10 9 22
− − +
− +
b a ab
b b
; г)
1 6 6
1 12 36 2
− + −
− +
b a ab
b b
.
4.6 Решение задач
Как мы говорили ранее, при решении задач обычно
поступают следующим образом:
1) обозначают буквой какую-нибудь неизвестную
величину (чаще всего искомую), выражают через неё
другие величины, составляют уравнение;
2) решают полученное уравнение;
3) отвечают на вопрос задачи.
Рассмотрим несколько задач, которые можно решить, составив квадратное
уравнение.
Задача 1. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна
221. Найдите эти числа.
Решение. В условии задачи упоминаются два числа.
Пусть меньшее число равно x, тогда второе число равно x +1, а сумма квадра-
тов x x2 2
1+ +( ) . Составим уравнение:
x x2 2
1 221+ +( ) = .
Решим уравнение:
2 2 2202x x+ = ;
x x2 110 0+ − = ;
x1 10= , x2 11=− .
В условии задачи речь идёт о натуральных числах, поэтому -11не может быть
ответом задачи. Следовательно, первое число равно 10, а второе 11.
Ответ: 10 и 11.
Задача 2. Площадь прямоугольника составляет 120 см2. Найдите его стороны,
если их разность равна 2 см.
Решение. Пусть меньшая сторона прямоугольника равна x см, тогда большая
сторона x +2 см, а площадь равна x x +( )2 см2. Составим уравнение:
x x +( )=2 120.

157
Решив уравнение x x2 2 120 0+ − = , получим x1 10= , x2 12=− . Получили, что
меньшая сторона 10 см, а бо’льшая 12 см. Второй корень уравнения не подходит
по смыслу задачи.
Ответ: 10 см и 12 см.
Н
1 Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 182. Найдите
эти числа.
2 Известно, что произведение двух чисел 96, а сумма 20. Найдите эти числа.
3 Население города за 2 года увеличилось на 44%. Найдите средний ежегод-
ный прирост населения, выраженный в процентах.
4 Сумма квадратов трёх последовательных натуральных чисел равна 590. Най-
дите эти числа.
Н
5 Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна
869.
6 Если к квадрату натурального числа прибавить само это число, то полученный
результат будет в 5 раз больше данного числа. Найдите неизвестное число.
7 В актовом зале установили 323 кресла рядами так, что число кресел в ряду
оказалось на 2 меньше числа рядов. Сколько кресел в ряду?
8 Ширина прямоугольника в три раза меньше длины. Найдите его стороны, ес-
ли его площадь равна 48 см2.
9 От листа железа, имеющего форму квадрата, отрезали полосу шириной
3см,послечегоплощадьоставшейсячастилистасталаравной 10 см2. Найдите
сторону квадрата.
10 Периметр прямоугольника равен 46 см, а площадь равна 120 см2. Найдите
его стороны.
11 Найдите длины катетов, если гипотенуза равна 13 см, а один из катетов боль-
ше другого на 7 см.
П
12 Среднее арифметическое двух положительных чисел равно 10, а среднее
геометрическое равно 8. Найдите эти числа.

158
* По мотивам задачи из банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.
13 Разность двух положительных чисел равна 9, а их среднее геометрическое
равно 6. Найдите эти числа.
14 Все одноклассники обменялись рукопожатиями. Сколько учеников в классе,
если всего было 210 рукопожатий?
15 Количество диагоналей выпуклого многоугольника на 42 больше количества
сторон. Сколько сторон у многоугольника?
М
16 Найдите четыре последовательных целых числа, если известно, что сумма
квадратов первого и третьего в 1,3 раза меньше, чем сумма квадратов вто-
рого и четвёртого чисел.
17 После каждой стирки кусок мыла уменьшается на x%. После двух стирок ку-
сок мыла уменьшился наполовину. Найдите x.
18 Составьте задачу, которую можно решить при помощи уравнения:
а) x x−( )=3 130; в) x x x2 2 2
7 8+ +( ) = +( ) ;
б) 6 8−( ) =x x ; г) x x x−( ) + + +( ) =1 1 110
2 2 2
.
Исследовательский проект «Имеет ли квадратное уравнение
корни?»
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение x px q2 0+ + = . Если вы-
брать числа p и q наугад из интервала −[ ]100 100; , какое событие более ве-
роятно: уравнение имеет корни или уравнение не имеет корней? Ответьте
на этот же вопрос для других интервалов, например, 0 100;[ ], 0 1;[ ], 0 0 1; ,[ ].
Жизненная задача*
СИТУАЦИЯ. Вытекание воды из бака.
ВАША РОЛЬ. Инженер.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. В боковой стенке высокого цилиндрического бака
у самого дна закреплён кран. После открытия крана вода начинает выте-
кать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах,
меняется по закону H t H gH kt
g
k t( )= − +0 0
2 22
2
, где t — время в секундах,
прошедшее с момента открытия крана, H0 = 20 м — начальная высота стол-
ба воды, k — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, g —
ускорение свободного падения.
ЗАДАНИЕ. Установите, через какое время после открытия крана в баке
останется четверть первоначального объёма воды. Известно, что k =
1
300
.
Считайте g =10 м/с2. Сколько решений имеет задача?

159
5.1
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Целые рациональные уравнения
ГЛАВА V
Что можно сказать о сомножителях, произведе-
ние которых равно нулю?
Решите уравнение x x x2 12 5 0− −( ) +( )= .
Рассмотрите уравнение
x x x x2 2 26 2 6 24 0− −( ) − − −( )− = .
а) Выражение x x2 6- - встречается в этом уравне-
нии дважды. Попробуйте обозначить его новой буквой, например, x x t2 6− − = .
Какой вид примет уравнение, если заменить дважды встречающееся в нём выра-
жение x x2 6- - буквой t? Можете ли вы решить получившееся после замены
уравнение с неизвестным t?
б) Решите уравнение с неизвестным t. Какие корни вы получили?
в) Придумайте, что можно дальше делать с этими корнями (значениями неиз-
вестного t), чтобы найти интересующие нас значения неизвестного x.
Как решать уравнения методом разложения на множители его левой части
при нулевой правой части?
Как решать уравнения методом замены неизвестного?
Целым рациональным уравнением с одним неизвестным будем называть
уравнение, представляющее собой равенство целых алгебраических выражений.
Можно сказать иначе: в целом рациональном уравнении нет деления на бук-
венное выражение.
Как мы уже не раз видели, решение уравнений обычно сводится к тождествен-
ным преобразованиям, при которых данное уравнение заменяют другим, равно-
сильным ему уравнением, но более простым. Полученное уравнение также за-
меняем другим и так действуем до тех пор, пока не получим уравнение, которое
умеем решать.
Мы научились решать линейные и квадратные уравнения (уравнения первой
и второй степени). Попробуем научиться сводить целое рациональное уравнение
к одному или нескольким линейным или квадратным уравнениям. При этом мы
будем использовать свойства равенств и тождественные преобразования.
Свести уравнение к более простым уравнениям можно, если представить его
в виде произведения, равного нулю.

160
x x x x2 25 3 2 0−( ) − +( )= .
Пусть x — корень уравнения, т.е. равенство верно.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Возможно два случая:
1) x x2 5 0− = , тогда x1 0= ; x2 5= .
2) x x2 3 2 0− + = , тогда x3 1= , x4 2= .
Ответ: 0;1; 2; 5.
В некоторых случаях раскладывать левую часть уравнения на множители (при
правой части, равной нулю) придётся самостоятельно.
4 4 13 2x x x+ = + .
Преобразуем уравнение:
4 1 1 02x x x+( )− +( )= ;
x x+( ) −( )=1 4 1 02 .
Рассуждаем так же, как при решении примера 1, получим:
1) x + =1 0, откуда x1 1=− ;
2) 4 1 02x − = , x2 3 0 5, ,= ± .
Ответ: -1; ±0 5, .
Другой распространённый приём — замена неизвестного. Суть метода пояс-
ним на примерах.
x x x x2 2 23 1 2 3 1 3 0+ +( ) − + +( )− = .
Решение. Пусть y x x= + +2 3 1, тогда x будет корнем данного уравнения толь-
ко в том случае, если y будет корнем уравнения y y2 2 3 0− − = .
Поэтому данное уравнение можно решать так:
1) Решим уравнение y y2 2 3 0− − = . Получим: y1 1=− , y2 3= .
2) Решим уравнения x x2 3 1 1+ + =− и x x2 3 1 3+ + = .
Корни первого уравнения: x1 1=− , x2 2=− .
Корни второго: x3 4
3 17
2
, =
− ±
.
Ответ: -1; -2;
− ±3 17
2
.
x x4 23 2 0− + = .

161
Сначала перепишем уравнение в виде:
x x2 2 23 2 0( ) − + = ,
после чего сделаем замену y x= 2.
1) Решим уравнение y y2 3 2 0− + = . Получим: y1 2= , y2 1= .
2) Осталось решить уравнения x2 1= , x2 2= .
Ответ: ±1, ± 2.
Подобным образом можно решить любое биквадратное уравнение (так при-
нято называть уравнение вида ax bx c4 2 0+ + = , где a ¹ 0).
Н
а) Что называется целым рациональным уравнением с одним неизвестным?
б) Что называется биквадратным уравнением?
а) x x2 1 2 3 0−( ) +( )= ; д) x x x x2 25 6 3 1 0− +( ) + +( )= ;
б) x x x2 2 2 0−( ) −( )= ; е) x x x x2 26 6 0+ −( ) − +( )= ;
в) x x x2 2 1 0+ −( ) −( )= ; ж) 2 3 5 3 02 2x x x x+ −( ) + −( )= ;
г) x x x2 6 3 0+ −( ) +( )= ; з) 2 10 2 3 02 2x x x x+ −( ) − +( )= .
Н
а) x x x3 25 6 0− + = ; д) x x x x+( ) = +( ) +( )1 1 2 32 ;
б) x x x4 3 26 0− − = ; е) x x x3 2 1+ = + ;
в) 10 32 4 3x x x− = ; ж) x x x3 21− = − ;
г) x x x3 2 42= − ; з) x x x3 21− = − .
4 Решите биквадратное уравнение:
а) x x4 27 6 0− + = ; д) 5 4 04 2x x+ − = ;
б) x x4 23 4 0+ − = ; е) 6 5 04 2x x− − = ;
в) x x4 25 9 0+ + = ; ж) 4 3 1 04 2x x− − = ;
г) x x4 25 4 0− + = ; з) 2 3 2 04 2x x− + = .
а) x x+( ) − +( ) − =2 2 2 3 0
4 2
; в) 3 1 2 1 1 0
4 2
x x+( ) − +( ) − = ;
б) x x−( ) − −( ) + =3 3 3 2 0
4 2
; г) 3 1 1 4 0
4 2
−( ) + −( ) − =x x ;

162
д) 4 3 2 4 3 3 0
4 2
x x+( ) + +( ) + = ; ж) 4 3 1 4 3 1 1 0
4 2
x x−( ) + −( ) + = ;
е) 2 2 1 3 2 1 5 0
4 2
x x−( ) + −( ) − = ; з) 2 2 1 2 1 3 0
4 2
x x−( ) + −( ) − = .
П
6 Придумайте биквадратное уравнение:
а) не имеющее корней;
б) имеющее один корень;
в) имеющее два корня;
г) имеющее три корня;
д) имеющее четыре корня.
а) 3 2 5 2 2 02 2 2x x x x+( ) + +( )− = ;
б) x x x x2 2 22 2 3 0+( ) + + + = ;
в) x x x x2 2 23 3 2 3 3 1 0+ −( ) − + −( )+ = ;
г) x x x x2 2 25 7 2 5 7 3 0− +( ) − − +( )− = .
а) 2 1 3 2 1
2
x x−( ) = − ; в) 2 4 3 2 4x x− = − ;
б) x x x x2 2 22 3 2+( ) = + ; г) 4 3 42 2− = −x x .
М
а) x x x x x x2 2 22 3 3+( ) −( )= − ; в) x x x3 2 27 1 1−( ) −( )= − ;
б) x x x x x x2 2 22 2 4+( ) −( )= + ; г) x x x3 2 29 1 1+( ) +( )= + .
а) x x x x2 22 12 144+ −( ) + −( )= ; в) x x x x+( ) + +( )=3 3 1 202 ;
б) x x x x2 22 1 2 4 1 10+ −( ) + −( )= ; г) x x x x2 1 2 5 1502−( ) − −( )= .
а) x x x2 2 2
2 7 4 1+( ) + = +( ) ; в) x x x x2 2 21 3 3 1+ +( ) = + + ;
б) x x x2 2 2
4 8 2−( ) − = −( ) ; г) x x x x2 2 22 4 7 14 16+ +( ) = + + .

163
5.2 Дробные рациональные уравнения
Дробным рациональным уравнением с одним
неизвестным будем называть уравнение, в котором
левая или правая часть (или обе части) являются дроб-
ными алгебраическими выражениями.
При решении дробных рациональных уравнений дан-
ное уравнение заменяем другим, равносильным ему
уравнением, но более простым. Полученное уравнение
опять заменяем другим и так продолжаем до тех пор,
пока не получим уравнение, которое умеем решать.
Дробное рациональное уравнение сводится к целому рациональному уравне-
нию. Решив целое рациональное уравнение, необходимо проверить полученные
корни и отбросить те из них, которые обращают в нуль знаменатель хотя бы од-
ной из дробей исходного уравнения.
x x
x
x
x
2 2 3
2
2 1
2
+ −
−
=
+
−
.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель x-2, после чего упро-
стим полученное уравнение:
x x x2 2 3 2 1+ − = + ;
x2 4= , откуда x1 2= , x2 2=− .
Проверим, не обращается ли в нуль знаменатель дроби при найденных значе-
ниях x.
Видим, что при x = 2, x− =2 0, что означает, что это число не является корнем
исходного уравнения. При x =−2, x− ≠2 0.
Ответ: -2.
5 2
4 1
3
7
+
+
=
+
−
x
x
x
x
.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 4 1 7x x+( ) −( ).
5 2 7 3 4 1+( ) −( )= +( ) +( )x x x x ;
− + + = + +2 9 35 4 13 32 2x x x x ;
6 4 32 02x x+ − = ;
3 2 16 02x x+ − = , откуда x1 2= , x2 2
2
3
=− .

164
Найденные корни не обращают знаменатели дробей в нуль, следовательно,
они являются корнями исходного уравнения.
Ответ: 2; -2
2
3
.
7 2
5 6
3
9 18
1
32 2
−
− −
+
− +
=
−
x
x x x x x
.
Перепишем уравнение в виде:
7 2
6 1
3
6 3
1
3
−
−( ) +( )
+
−( ) −( )
=
−
x
x x x x x
.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель x x x−( ) −( ) +( )6 3 1 , по-
лучим уравнение:
7 2 3 3 1 6 1−( ) −( )+ +( )=− −( ) +( )x x x x x .
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
− + − + + =− + +2 13 21 3 3 5 62 2x x x x x ;
− + − =x x2 11 24 0;
x x2 11 24 0− + = ;
x1 8= , x2 3= .
Проверка показывает, что корень x2 3= обращает в нуль знаменатель одной
из дробей, а следовательно, не подходит.
Ответ: 8.
Итак, при решении дробных рациональных уравнений можно поступать следу-
ющим образом.
1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
3. Решить получившееся целое уравнение.
4. Исключить корни, обращающие в нуль общий знаменатель.
Среди дробных рациональных уравнений встречаются и такие, которые удоб-
но решать методом замены неизвестного.
Пример 4. Решим уравнение:
2 4
3
2
52
2
x x
x x
+ =
+
+ .
Пусть y x x= +2 2 .
1) Решим уравнение
2
3
5y
y
= + .

165
Получим: 2 5 3 02y y− − = , откуда y1 3= , y2
1
2
=− . Ни один из этих корней не
обращает в нуль знаменатель y.
2) Осталось решить уравнения x x2 2 3+ = , x x2 2
1
2
+ =− .
Корни первого уравнения: x1 1= , x2 3=− .
Корни второго уравнения: x3 4
2 2
2
, =
− ±
.
Обратите внимание: проверять, обращают ли в нуль эти корни знаменатель ис-
ходного уравнения, нет надобности, так как мы нашли их, решая не дробное
уравнение, а квадратное. Все необходимые проверки мы уже выполнили для не-
известного y, для которого решали дробное уравнение.
Ответ:1; -3; − ±1
3
2
.
Н
а) Что называется дробным рациональным уравнением?
б) В чём заключается основной метод решения дробных рациональных урав-
нений?
а)
5
1
4
6−
=
−x x
; д)
5
3 5
3
x
x−
= ;
б)
4
6
1
3x x−
=
+
; е)
6
1 2
5
x
x+
= ;
в)
6
5
4
32 2x x+
=
+
; ж)
x
x
2
2 3
3
−
= ;
г)
2
3
7
22 2x x−
=
+
; з)
x
x
2
2 8
1
+
= .
а)
4 8
12 20
0
2
2
x x
x x
−
− +
= ; в)
2 3 1
4 1
0
2
2
x x
x
+ +
−
= ;
б)
3 3
4 3
0
2
2
x x
x x
+
+ +
= ; г)
2 1
2
0
2
2
x x
x x
− −
+
= ;

166
д)
x x
x
2 3
0
−
= ; ж)
x x
x
2 2
4 1
0
− −
−
= ;
е)
4
1
0
2x x
x
+
+
= ; з)
5 4
5 4
0
2x x
x
− −
+
= .
Н
а) x
x
+ =
1
2
1
2
; д) x
x
− =2
15
;
б)
x
x8
8
2
1
2
+ = ; е) 2 5
3
x
x
+ = ;
в)
x
x42
10 41
42
+ = ; ж) 3
8
10x
x
− = ;
г)
x
x20
3 19
20
+ = ; з) 21
4
5x
x
− = .
а)
x
x
x
x
2
6
5 6
6−
=
+
−
; д)
2 5
1
5 3
3 5
x
x
x
x
−
−
=
−
+
;
б)
3
2
4 8
2
2x
x
x
x−
=
+
−
; е)
5
2 1
5
3 1
−
−
=
− +
+
x
x
x
x
;
в)
3 14
4
8
4
2x x
x x
−
−
=
−
; ж)
5 2
4 3
3 3
7
+
−
=
+
−
x
x
x
x
;
г)
8 3
3
23
3
2x
x
x
x
−
−
=
−
; з)
3 7
5
3
2
x
x
x
x
−
+
=
−
+
.
а)
10
3
8
1
x x−
− = ; д)
20
3
20
3
x x+
+ = ;
б)
15
2
14
1
x x−
− = ; е)
2
5
14
3
x x−
+ = ;
в)
1
4
1
2
4
5x x−
+
+
= ; ж)
7
5
5
3
6
x x+
−
−
= ;
г)
1
1
1
2
1
1
4x x−
+
+
= ; з)
8
2
8 1
5x x−
− = .

167
а)
x
x
x
x x
−
−
+
−
−
=
−
1
2
6
3 12
1
22
; д)
7
3
1
6
5
6x x x−
+
+
=
−
;
б)
x
x
x
x x
−
−
+
+
−
=
−
2
3
8
2 18
1
32
; е)
1
6
4
6
3
4x x x−
+
+
=
−
;
в)
x
x x x−
+
+
=
−2
1
2
8
42
; ж)
6
2
12
2
1
2 2x x x x x−
−
+
= ;
г)
x
x
x
x x+
+
+
−
=
−2
2
2
8
42
; з)
27
3
3
3
2
2 2x x x x x+
−
−
= .
а)
4 2
6 02x x
+ − = ; д) 2
6
2 3
5x
x
−
−
= ;
б)
9 6
3 02x x
+ − = ; е) 3
8
3 1
8x
x
+
+
= ;
в)
x
x
x
x
+( )
+
+
− =
1
4
1
8 0
2
2
; ж) x
x
2
2
1
2+ = ;
г)
2 1 12 6
9 0
2
2
x
x
x
x
−( )
+
−
+ = ; з) x
x
2
2
1
3
3
4
− = .
П
9 При каких значениях букв сумма дробей равна их произведению:
а)
a
a-4
и
1
a
; б)
b
b1-
и
1
b
; в)
9
c
и
c
c-4
; г)
d
d
-3
и
1
3-d
?
а)
2
1
1
1
2 1
12 3x x x
x
x− +
=
+
+
−
+
; в)
4 1
1
1
1
6
13 2
x
x
x
x x x
+
+
+
+
− +
=
+
;
б)
2 1
1
2
1
1
12 2
x
x x x x
+
−
+
+ +
=
−
; г)
36
1
6
1
16
13
2
2
−
+
+
−
+
=
+ +
− +
x
x
x
x
x x
x x
.
а)
3
2 3
9 3
3 2 52 2
−
+ −
=
−
− −
x
x x
x
x x
; в)
2 2
2 9 10
1
4 4 152 2
x
x x
x
x x
+
+ +
=
+
+ −
;
б)
2 7 6
3 4 4
3 2
9 4
2
2
2
2
x x
x x
x
x
+ +
+ −
=
+( )
−
; г)
2 3 20
3 10 8
6 4
18 8
2
2
2
2
x x
x x
x
x
+ −
+ −
=
+( )
−
.

168
М
а)
9
3 2
4 6
2 12x x
x
x
x
x+ +
=
−
+
−
+
; в)
3
3
13 7
1
6
4 32x
x
x x x−
+
−
−
=
− +
;
б)
1
2 3 1
1
32x x
x
x
x
x+ −
=
−
+
+
+
; г)
8
6 8
1 3
2
4
42x x
x
x x− +
+
−
−
=
−
.
а) 2
1
7
1
9 0
2
x
x
x
x
+





 − +





+ = ; в) x
x
x
x
−





 − −





− =
2
2
2
3 0
2
;
б) x
x
+( ) +
+( )
=3
1
3
2
2
2
; г)
x
x
x
x2
2
2
6 2
7
−
+
−( )
= .
а)
4
5 6
5
5 6
1
42 2x x x x+ −
−
+ +
= ; в)
1
2 3
4
2 8
1
62 2x x x x+ −
−
+ −
= ;
б)
x x
x x
x x
x x
2
2
2
21
2
2
1
−
− +
−
− +
− −
= ; г)
4 2 3
2 1
2 2
6 3 1
2
2
2
2
2
x x
x x
x x
x x
+ +
+ +
−
+ −
+ −
= .
5.3 Решение задач
В этом параграфе мы рассмотрим примеры задач,
которые решаются с помощью дробных рациональ-
ных уравнений.
Задача 1. Расстояние между двумя пристанями
равно 2 км. Лодка совершает путь в оба конца за
1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость лодки, ес-
ли скорость течения реки 1 км/ч.
Решение. Пусть собственная скорость лодки равна
x км/ч, тогда скорость лодки по течению реки x +1 км/ч, против течения
x-1км/ч.
Расстояние 2 км по течению лодка преодолела за
2
1x +
ч, против течения за
2
1x-
ч. Весь путь пройден за
2
1
2
1x x+
+
−
ч, что составило 1 ч 30 мин (1,5 ч).

169
Составим и решим уравнение:
2
1
2
1
3
2x x+
+
−
= ;
4 1 1 3 12x x x− + +( )= −( );
3 8 3 02x x− − = , откуда x1 3= , x2 1=− .
Второй корень не подходит по смыслу задачи, так как собственная скорость
лодки — положительная величина.
Ответ: 3 км/ч.
Задача 2. Два крана, работая вместе, разгрузили баржу за 6 ч. За какое вре-
мя может разгрузить баржу каждый кран, работая отдельно, если один из них
может разгрузить её на 5 ч быстрее, чем другой?
Решение. Пусть один кран разгружает баржу за x часов, тогда другой кран —
за x +5 часов. За 1 час первый («быстрый») кран выполняет
1
x
часть работы,
а второй
1
5x +
часть. Вместе за 1 час они выполняют
1 1
5x x
+
+
часть работы, что
согласно условию задачи составляет
1
6
часть работы.
Решение подобных задач можно оформлять в виде таблицы.
Время (ч) Сделано за час
Первый кран x
1
x
Второй кран x +5
1
5x +
Вместе 6
1 1
5x x
+
+
Составим и решим уравнение:
1 1
5
1
6x x
+
+
= ;
6 30 6 52x x x x+ + = + ;
x x2 7 30 0− − = , откуда x1 10= , x2 3=− .
Второй корень не подходит по смыслу задачи.
Таким образом, первый кран может разгрузить баржу за 10 часов, тогда вто-
рой — за 15 часов.
Ответ: 10 ч и 15 ч.

170
Н
1 Числитель дроби на 1 меньше знаменателя. Если данную дробь сложить с об-
ратной ей дробью, то получится 2
1
12
. Найдите эту дробь.
2 Чтобы проехать 94 км, автомобилю требуется на 2 ч меньше, чем велоси-
педисту для прохождения 48 км. Найдите скорость автомобиля, если она на
35 км/ч больше скорости велосипедиста.
3 Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затра-
тив на весь путь 2 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость те-
чения равна 3 км/ч.
Н
4 Из пунктов A и B одновременно навстречу другу вышли два пешехода. Ско-
рость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл
в пункт B на 1 ч раньше, чем второй в пункт A. Найдите скорости пешеходов,
если расстояние между пунктами A и B равно 20 км.
5 Товарный поезд опаздывает на 18 мин. Чтобы прибыть вовремя, скорость на
участке в 60 км увеличена на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость по-
езда.
6 Рабочему необходимо изготовить 20 деталей за определённое время. Если
делать в час на 1 деталь больше, то рабочий закончит работу на 1 час раньше
срока. Сколько деталей изготовляет рабочий в час?
П
7 Катер может проплыть 18 км по течению реки и ещё 2 км против течения за
то же время, какое требуется плоту, чтобы проплыть 8 км по этой же реке.
Найдите скорость течения реки, если скорость лодки 8 км/ч.

171
8 Одна из труб может наполнить бассейн водой на 10 мин быстрее, чем дру-
гая. За какое время может наполнить бак каждая труба, если обе трубы за
8 мин заполняют две трети бака?
9 Два грузовых автомобиля участвуют в ралли на 360 км. Скорость первого ав-
томобиля на 15 км/ч больше скорости второго, поэтому он финишировал на
2 ч раньше. Какова скорость первого автомобиля?
10 На середине пути между станциями поезд был задержан на 10 мин. Чтобы
прибыть вовремя, машинист увеличил скорость на 12 км/ч. Найдите перво-
начальную скорость поезда, если расстояние между станциями 120 км.
11 Экскурсанты проплыли на пароходе 45 км вниз по течению реки и после че-
тырёхчасовой остановки вернулись обратно, причём вся экскурсия продол-
жалась 12 ч. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость па-
рохода 12 км/ч.
М
12 Известно, что первый велосипедист проходит круг на 2 мин быстрее второго
и за 1 час обогнал его на круг. За какое время проходит круг каждый велоси-
педист?
13 Известно, что первый работник потратит на выполнение работы на 2 ч боль-
ше, а второй работник на 4 ч 30 мин больше, чем потребовалось бы им при
совместной работе. За какое время они могут выполнить работу, действуя
по отдельности?
14 В сплав меди и цинка, который содержит 5 кг цинка, добавили 15 кг цин-
ка. Число, выражающее процентное содержание меди в новом сплаве, на
30 меньше числа, выражающего процентное содержание меди в первона-
чальном сплаве. Сколько килограммов меди в сплаве?
15 (Задача Этьена Безу*). Некто купил лошадь и спустя некоторое время про-
дал её за 24 пистоля. При продаже он теряет столько же процентов, сколько
стоила ему лошадь. За какую сумму он её купил?
16 Составьте задачу, которую можно решить при помощи уравнения:
а)
1 1
10
2
x x
+
+
= ; в)
25
3
3
3
2
x x+
+
−
= ;
б)
100 4
10
2
x x
−
+
= ; г)
60
1
20
1
7
x x+
+
−
= .
* Э. Безу (1730—1783) — французский математик, автор популярного шеститомного
учебника «Курс математики».

Исследовательский проект «Возвратные уравнения 4-й степени»
Уравнение 4-й степени ax bx cx bx a4 3 2 0+ + + + = называется
возвратным. Научитесь решать такие уравнения.
Жизненная задача*
СИТУАЦИЯ. Определение наименьшего времени выполнения
заказа.
ВАША РОЛЬ. Следователь.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. При расследовании хозяйственной деятельности
химического комбината было установлено следующее. Несколько лет на-
зад химический комбинат получил заказ на изготовление этилового спирта,
соляной кислоты и дистиллированной воды. Для готовой продукции понадо-
билось 14 железнодорожных цистерн. При перекачивании были использо-
ваны три специализированных насоса: сначала первый насос заполнил че-
тыре цистерны этиловым спиртом, затем второй насос заполнил девять
цистерн соляной кислотой и в завершение третий насос заполнил одну ци-
стерну дистиллированной водой. Производительность каждого из насосов
установить не удалось, известно лишь, что суммарная производительность
всех трёх насосов равна шести цистернам в сутки.
ЗАДАНИЕ. Установите, какое наименьшее время могло уйти на перекачи-
вание всей продукции.
* По мотивам задачи, предлагавшейся на вступительных экзаменах по математике на фа-
культете государственного управления Московского государственного университета
им. М.В.Ломоносова в 2006 году.

173
6.1
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ
Статистические характеристики
ГЛАВА VI
Во многих ситуациях мы интересуемся некоторой
величиной и для её изучения, установления тех или
иных закономерностей анализируем набор числовых
значений этой величины. Например, метеоролог ин-
тересуется дневной температурой воздуха в опре-
делённом населённом пункте и анализирует набор
из 30 чисел — значений температуры, измеренных
в 14 ч 00 мин по местному времени во все дни июня
некоторого года. Или школьная медсестра интересуется весом детей, поступив-
ших в первый класс школы, и анализирует набор из 49 соответственных чисел —
именно столько ребят приняли в первый класс. Или руководитель промышленно-
го объединения интересуется количеством продукции, выпускаемой каждым из
предприятий, входящих в это объединение, за год. Количество таких примеров
можно легко умножить.
Вы знаете, что данные могут быть представлены в виде списков, таблиц, диа-
грамм и т.д.
В любом случае мы имеем для анализа набор чисел (иногда говорят также
ряд чисел). Среди этих чисел могут быть повторяющиеся.
Первая характеристика набора чисел (с ней вы знакомы ещё с четвёртого клас-
са) — это среднее арифметическое этих чисел, или просто среднее.
Среднее арифметическое набора чисел равно сумме этих чисел, делённой на
их количество.
Например, в 8-м классе некоторой школы учится 10 мальчиков, рост которых
(в сантиметрах) следующий:
170; 158; 168; 156; 160; 172; 164; 153; 168; 160.
Среднее этого набора чисел (которое естественно назвать средним ростом
мальчика этого класса) равно:
170+158+168+156+160+172+164+153+168+160
10
1629
10
162 9 163= = ≈, (см).
Полученная при вычислении среднего арифметического дробь выглядит очень
громоздко, поэтому её обычно записывают как произведение дроби
1
10
на сум-
му чисел набора, т.е. как

174
1
10
⋅( )170+158+168+156+160+172+164+153+168+160 .
Итак, средний рост равен примерно 163 см.
При вычислении среднего арифметического несущественно, в каком порядке
расположены числа набора. Но для более подробного анализа набор чисел по-
лезно упорядочить по возрастанию. Такой набор называют упорядоченным на-
бором. Скажем, записав рост восьмиклассников в виде упорядоченного набора,
получим:
153; 156; 158; 160; 160; 164; 168; 168; 170; 172.
Теперь хорошо видно, что рост самого низкого восьмиклассника в этом клас-
се равен 153 см, а самого высокого — 172 см. Это важные характеристики набо-
ра чисел — наименьшее и наибольшее число в наборе. Вычитая из наибольшего
числа наименьшее, мы получим ещё одну важную характеристику — размах на-
бора.
В рассматриваемом примере размах равен172 153 19− = (см). Это значит, что
самый высокий из мальчиков этого класса выше самого низкого на 19 см.
Размахом набора чисел называется разность наибольшего и наименьшего чи-
сел этого набора.
Размах набора чисел характеризует, насколько велик разброс чисел в этом
наборе, насколько сильно максимальное число отличается от минимального.
Во многих ситуациях, например в различных соревнованиях, небольшой разброс
показателей означает стабильность результатов. Рассмотрим, к примеру, ре-
зультаты двух стрелков в серии из 7 выстрелов (записанные в виде упорядочен-
ных наборов чисел):
1-й стрелок: 2; 2; 3; 5; 7; 7; 9. 2-й стрелок: 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6.
Среднее 1-го стрелка:
1
7
2 2 3 5 7 7 9
35
7
5⋅ + + + + + +( )= = .
Среднее 2-го стрелка:
1
7
4 4 5 5 5 6 6
35
7
5⋅ + + + + + +( )= = .
Мы видим, что средние результаты стрелков равны, но первый стрелок произ-
водил и очень плохие выстрелы, и очень хорошие, его результаты нестабильны,
а второй стрелок показал почти одинаковые результаты во всех попытках, пусть
и средненькие, но стабильные. Это заключение как раз хорошо характеризуется
размахом: у первого стрелка он равен 7, а у второго — только 2.
Как вы уже знаете, среднее арифметическое чисел в наборе даёт представле-
ние о том, каково среднее число набора. Нахождение среднего даёт ответ на во-
прос: «Если бы при той же сумме все числа набора были равны между собой, то
какую величину они имели бы?». Иногда среднее набора чисел является не очень
удачной характеристикой этого набора, несёт мало информации о нём. Обычно
это происходит, если числа набора сильно отличаются друг от друга.

175
Рассмотрим, к примеру, набор из 5 чисел: 2; 4; 5; 6; 123.
Среднее этого набора равно
1
5
2 4 5 6 123
140
5
28⋅ + + + +( )= = .
Это число сильно отличается от всех чисел набора и не очень информативно.
Первые четыре числа значительно меньше среднего, а последнее число сильно
превосходит его.
Кроме нахождения среднего арифметического, имеется другой подход к от-
вету на вопрос, какое число можно было бы считать в некотором (уже другом)
смысле средним. Оно так и называется, серединным числом набора, или его
медианой (кстати, это латинское слово в переводе на русский язык значит «сред-
няя»). Попросту говоря, медиана — это число, стоящее посредине набора после
его упорядочения.
Скажем, для только что рассмотренного набора (он упорядочен) посредине
стоит число 5 — два числа стоят от него слева и два справа. Именно оно и явля-
ется медианой этого набора. В этом наборе медиана является более удачной ха-
рактеристикой, чем среднее арифметическое, — действительно, большинство
чисел набора близки к 5 (медиане), а не к 28 (среднему).
Но на этом разговор о медиане не кончается. Ясно, что если упорядоченный
набор содержит нечётное количество чисел, то среди них имеется число, стоя-
щее ровно посредине. А как быть, если чисел чётное количество? Рассмотрим,
скажем, упорядоченный набор из 10 чисел — тот, который встретился в самом
первом примере этого параграфа (рост мальчиков-восьмиклассников в санти-
метрах):
153; 156; 158; 160; 160; 164; 168; 168; 170; 172.
Здесь средних чисел уже два (они выделены синим цветом). В таких случаях
медианой считается среднее арифметическое этих двух чисел.
В рассматриваемом примере медиана равна
160 164
2
162
+
= (см).
Напомним, что среднее этого набора примерно равно 163 см. Здесь, в отли-
чие от предыдущего примера, среднее и медиана довольно близки между со-
бой.
В двух других рассмотренных выше в этом параграфе примерах (результатах
двух стрелков) медианы и средние равны между собой. Скажем, в упорядоченном
наборе результатов первого стрелка медиана равна 5 (выделена синим цветом):
2; 2; 3; 5; 7; 7; 9.
Таким образом, подводя итоги, о медиане можно сказать следующее:
Медианой упорядоченного набора чисел называется число, стоящее посреди-
не в этом наборе (если чисел нечётное количество), или среднее арифметиче-
ское двух чисел, стоящих посредине в этом наборе (если чисел чётное коли-
чество).

176
Заметим, что медианой произвольного набора чисел называется медиана на-
бора, полученного в результате упорядочивания данного произвольного набора.
Для знакомства с ещё одной характеристикой набора чисел рассмотрим снача-
ла пример. В гастрономе продаётся питьевая вода в бутылках следующего объё-
ма (в литрах):
0,2; 0,33; 0,5; 0,6; 1; 1,5; 2.
Администратора интересует вопрос: какие из этих бутылок пользуются наи-
большим спросом?
Понятно, что для глубокого исследования этого вопроса нужно вести учёт про-
даж на протяжении продолжительного времени (и об этом мы ещё поговорим
в следующем параграфе). Но для начала администратор решил провести экс-
пресс-исследование и вёл учёт продаж на протяжении четверти часа. В результа-
те он получил такой набор из 19 чисел:
1; 0,33; 0,6; 0,6; 1,5; 0,6; 0,5; 1; 0,6; 2; 0,6; 0,33; 0,5; 1; 2; 0,2; 0,6; 1; 1,5.
В результате упорядочения набор приобрёл вид:
0,2; 0,33; 0,33, 0,5; 0,5; 0,6; 0,6; 0,6; 0,6; 0,6; 0,6; 1; 1; 1; 1; 1,5; 1,5; 2; 2.
Хорошо видно, что наибольшим спросом пользуются бутылки объёмом
0,6 л — их было куплено больше всего (6 покупок). Такое число в наборе (если
оно есть) имеет специальное название — мода.
Модой набора чисел называется число, встречающееся в этом наборе чаще
других.
Мода — самое распространённое, самое «популярное», самое «модное» чис-
ло набора (так легко запоминать: мода — самое «модное» число набора).
Для нахождения моды не обязательно упорядочивать набор чисел, но в упоря-
доченном наборе моду находить легче, чем в неупорядоченном.
В наборе может быть несколько мод. Скажем, в самом первом примере дан-
ного параграфа (рост мальчиков-восьмиклассников в сантиметрах) упорядочен-
ный набор чисел такой:
153; 156; 158; 160; 160; 164; 168; 168; 170; 172.
У этого набора две моды: 160 и 168 (каждое из этих чисел встречается по два
раза).
Если все числа набора различны, то у такого набора моды нет вообще.
Рассмотренные нами в этом параграфе характеристики набора чисел называ-
ются статистическими характеристиками. Статистика — наука, занимающаяся
сбором, обработкой и анализом данных, чаще всего числовых. С некоторыми
элементами статистики вы уже познакомились в 5-м и 6-м классах, а с некоторы-
ми познакомитесь позднее.

177
Н
а) Средним арифметическим набора чисел называется … .
б) Размахом набора чисел называется … .
в) Медианой упорядоченного набора чисел называется … .
г) Медианой произвольного набора чисел называется … .
д) Модой набора чисел называется … .
2 Какая из перечисленных ниже статистических характеристик имеется у лю-
бого набора чисел:
а) среднее; в) медиана;
б) размах; г) мода?
3 Известно, что все числа набора являются натуральными. Какая из перечис-
ленных ниже статистических характеристик этого набора обязательно являет-
ся натуральным числом:
а) среднее; в) медиана;
б) размах; г) мода?
4 Найдите среднее, размах, медиану и моду набора чисел:
а) 6; 8; 8; 8; 8;
б) - - - - -5 5 3 3 1 1 1 1 5 5; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
в) 2; 2; 2; 3; 3; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7;
г) - - - - - - -20 12 12 9 9 7 6 0 0 1 8 9 18 18 18 19; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
д) 9 8 10 3 9 7 1 9 3 4 10 9 4 2 4 7 7 7 8 4; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
е) 11 1 9 2 7 5 1 6 6 6 2 7 4 7 9 8 7, ; , ; , ; , ; ; ; , ; , ; , ; , ;
ж)1 9 7 9 8 7 6 2 7 6 2 6 1 1 9 5 1 7 4, ; , ; , ; ; , ; , ; , ; , ; , ; , ;
з) 14 09 19 1 5 12 1 97 14 11 13 52 9 24 11 81 13 99 9 76
10
, ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ;
,227 4 06 2 67 18 87; , ; , ; , .
5 В таблице приведены данные об измерениях температуры воздуха в каждый
день первой недели мая (измерения проводились в 14:00).
Дата 01.05 02.05 03.05 04.05 05.05 06.05 07.05
Температура, °С 16 16 13 12 13 16 18
а) Какая средняя температура за неделю?
б) Какое значение температуры самое часто встречающееся?
в) С помощью какой статистической характеристики вы отвечали на каждый
из предыдущих вопросов?

178
Н
6 В таблице приведены данные об измерениях объёмов производства железа
в России за период 1996—2002 гг.
Год 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Объём производства,
млн т
38 39 40 47 51 49 49
а) Сколько в среднем производилось железа в России за указанный период
времени?
б) Каков размах производства железа за эти годы?
в) Какова медиана производства железа за этот период?
г) Какова мода производства железа за этот период?
7 В таблице приведены данные по измерению среднего объёма удоя коровы
для 6 месяцев на некоторой ферме.
Месяц январь февраль март апрель май июнь
Удой молока, л 7 6,5 7 7,5 8 9,5
а) Сколько молока давала корова в среднем за эти 6 месяцев?
б) Каков разброс объёма среднего удоя с одной коровы на этой ферме?
в) Какова медиана удоя молока за обозначенное время?
8 В березняке измерили диаметр десяти берёз на высоте 1 м и получили сле-
дующие данные (в см):
5; 5; 10; 30; 5; 40; 10; 16; 12; 5.
а) Каков средний диаметр берёзы в березняке, судя по приведённым данным?
б) Каков средний возраст берёз в данном березняке, если известно, что
в среднем диаметр берёзы увеличивается на 2,5 см в год?
в) Каковы медиана, мода и размах представленного набора чисел?
9 В таблице приведены цифры и количество букв в их русском названии.
Цифра 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Количество букв в названии 4 4 3 3 6 4 5 4 6 6
а) Сколько в среднем букв содержит русское название цифры?
б) Какова мода количества букв?
в) Какова медиана количества букв?
г) Чему равен размах количества букв?

179
10 Сколько различных мод может иметь набор из 10 чисел?
11 У набора чисел нашли среднее и медиану. Может ли медиана быть:
а) меньше среднего; б) больше среднего; в) равна среднему?
12 У набора чисел нашли среднее и моду (которая оказалась единственной).
Может ли мода быть:
а) меньше среднего; б) больше среднего; в) равна среднему?
13 У набора чисел нашли медиану и моду (которая оказалась единственной).
Может ли мода быть:
а) меньше медианы; б) больше медианы; в) равна медиане?
П
14 К набору чисел добавили ещё одно число, равное медиане этого ряда. Мог-
ла ли от этого медиана:
а) увеличиться; б) уменьшиться; в) остаться прежней?
15 К набору чисел добавили ещё одно число, большее медианы этого ряда.
Могла ли от этого медиана:
а) увеличиться; б) уменьшиться; в) остаться прежней?
16 Упорядоченный набор содержит n чисел, причём число n — нечётное. Какой
номер в этом наборе имеет его медиана?
17 Упорядоченный набор содержит n чисел, причём число n — чётное. Какие
номера в этом наборе имеют два числа, средним арифметическим которых
является его медиана?
М
18 а) Известно, что у набора из 24 чисел среднее равно 2,5, а сами числа не
известны. К набору добавили ещё одно число, равное 4. Можно ли по этим
данным найти среднее нового набора? Если нет, объясните почему. Если да,
объясните как и найдите.
б) Тот же вопрос для медианы.
в) Тот же вопрос для моды, если известно, что она единственная.
19 Восьмиклассники обсуждали статистические характеристики. Ваня сказал,
что мода — это такая характеристика, которая есть не только у наборов чи-
сел, но и у наборов нечисловых данных. Когда его попросили объяснить, что
он имеет в виду, он затруднился ответить.
а) Согласны ли вы с Ваней?
б) Если нет, то объясните почему.
в) Если да, то приведите пример такого набора. Есть ли у этого набора сред-
нее? размах? медиана?

180
6.2 Таблицы частот
В конце предыдущего параграфа мы рассматрива-
ли пример экспресс-исследования продаж питьевой
воды в бутылках разной ёмкости, проводимого ад-
министратором гастронома. В результате был полу-
чен набор из 19 чисел, который после упорядочива-
ния имеет следующий вид:
0,2; 0,33; 0,33, 0,5; 0,5; 0,6; 0,6; 0,6; 0,6; 0,6; 0,6; 1;
1; 1; 1; 1,5; 1,5; 2; 2.
Мы уже отмечали, что работать с таким набором не очень удобно, причём
с увеличением количества чисел в наборе эти неудобства заметно усиливаются.
Ситуация заметно упростится, если представить данные в виде таблицы.
Ёмкость бутылки (л) 0,2 0,33 0,5 0,6 1 1,5 2
Количество купленных бутылок 1 2 2 6 4 2 2
Обратите внимание, если провести более подробное исследование, изучив,
скажем, 500 покупок, то соответственная таблица не станет более громозд-
кой — в ней только увеличатся числа, стоящие в нижней строке. Такая таблица
может иметь, например, такой вид.
Количество купленных бутылок 11 23 82 154 110 76 44
Числа, стоящие в нижней строке, называются частотами. Сама такая таблица
называется таблицей частот. Числа, стоящие в верхней строке таблицы частот,
обычно упорядочиваются по возрастанию. Понятно, что сумма всех частот равна
количеству чисел в наборе.
С помощью таблицы частот некоторые статистические характеристики набора
чисел находить значительно удобнее, чем непосредственно по самому набору.
При нахождении моды нужно найти наибольшую частоту и взять соответству-
ющее этой наибольшей частоте число. Скажем, для каждой из приведённых вы-
ше таблиц частот мода равна 0,6. Понятно, что если наибольшее число в строке
частот встречается несколько раз, то и мод будет соответственное количество.
При нахождении среднего мы искали сумму всех чисел и делили её на количе-
ство чисел. Таблица частот позволяет заменять сумму одинаковых слагаемых
произведением каждого такого слагаемого на его частоту.
Таким образом, при нахождении среднего по таблице частот нужно каждое
число умножить на его частоту, полученные произведения сложить, а затем раз-

181
делить на количество чисел в наборе. Совсем формально это правило звучит так:
«Среднее равно сумме произведений чисел верхней строки на соответственные
числа нижней строки, делённой на сумму частот».
Вычислим средние для каждой из приведённых выше таблиц.
Для первой таблицы:
1
19
0 2 1 0 33 2 0 5 2 0 6 6 1 4 15 2 2 2
16 46
19
0 87, , , , ,
,
,⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅( )= ≈ .
Для второй таблицы:
1
500
0 2 11 0 33 23 0 5 82 0 6 154 1 110 15 76 2 44
455
, , , , ,
,
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅( )=
119
500
0 91≈ , .
Как видим, средние оказались достаточно близкими числами.
Наконец, правило нахождения медианы по таблице частот следующее. Скла-
дываем последовательно частоты слева направо, т.е. берём первую частоту, за-
тем находим сумму первой и второй частот, затем к полученному числу прибав-
ляем третью частоту и т.д. Полученные числа имеют специальное название — на-
копленные частоты. Ясно, что последняя накопленная частота равна количеству
чисел в наборе. Когда для решения того или иного вопроса придётся работать
с накопленными частотами, то удобно вносить их непосредственно в таблицу ча-
стот, добавив для них отдельную строку. Сделаем это, скажем, для второй та-
блицы (заодно внеся в неё и термин «частота»).
Частота 11 23 82 154 110 76 44
Накопленная частота 11 34 116 270 380 456 500
Ищем в строке накопленных частот два стоящих рядом числа, левое из кото-
рых меньше половины количества чисел в наборе, а правое — больше. Медианой
является число из первой строки таблицы, соответствующее большему из этих
двух чисел (накопленных частот).
В нашем примере половина количества чисел в наборе — это 250. Накопленная
частота числа 0,5 равна 116, а числа 0,6 равна 270. Поскольку 116 250< , а
270 250> , то медиана равна 0,6.
Обоснование этого правила достаточно понятно. В нашем начальном упорядочен-
ном наборе чисел число 0,6 стоит на местах, начиная со 117-го по 270-е. Количество
чисел в наборе чётное, значит, два средних числа в наборе (250-е и 251-е) равны по
0,6. Их среднее арифметическое тоже равно 0,6. А это и есть медиана набора.
Если количество чисел в наборе чётное, то может случиться (хотя это происхо-
дит достаточно редко, особенно если чисел в наборе много), что половина коли-
чества чисел в наборе равна одной из накопленных частот. В этом случае меди-
ана набора равна среднему арифметическому числа из первой строки таблицы,
соответствующего этой накопленной частоте, и числа из первой строки, стояще-
го справа от него.

182
Рассмотрим ещё одну таблицу частот с добавленной строкой накопленных ча-
стот.
Число 6 7 8 10 12 15 17 18 19
Частота 13 3 7 27 4 11 8 10 17
Накопленная частота 13 16 23 50 54 65 73 83 100
Количество чисел в наборе, для которого составлена эта таблица, равно наи-
большей накопленной частоте, т.е. 100. Половина от 100 — это 50, и как раз одна
из накопленных частот равна 50. Берём число из первой строки таблицы, соответ-
ствующее этой накопленной частоте (это 10), а также число, стоящее справа от
него (это 12), и находим их среднее арифметическое. Оно равно
10 12
2
11
+
= . Это
и есть медиана данного набора чисел.
Понятно, на чём основано используемое правило. Два средних числа нашего
набора — это 50-е и 51-е. Таблица накопленных частот позволяет заключить, что
в исходном упорядоченном наборе числа с 24-го по 50-е равны 10, а числа с 51-го
по 54-е равны 12. Итак, 50-е число — это 10, а 51-е — это 12.
Вы, наверное, уже обратили внимание, что при нахождении медианы частоты
не используются, а используются только накопленные частоты. Накопленные ча-
стоты находят применение и при решении многих других вопросов, возникающих
в статистике.
Наряду с частотами при обработке данных используются также и относитель-
ные частоты. Относительная частота числа, входящего в исследуемый набор чи-
сел, равна его частоте, делённой на количество чисел в наборе. При этом, чтобы
не возникало путаницы, частоту называют также абсолютной частотой.
Сразу отметим, что сумма относительных частот равна единице, посколь-
ку при нахождении этой суммы складываются дроби с одинаковыми знаменате-
лями, а сумма числителей всех этих дробей равна знаменателю. В практических
расчётах относительные частоты принято представлять в виде десятичных дробей
(лежащих в пределах от 0 до 1). При этом, вычисляя относительные частоты, при-
ходится делать округление до того или иного знака после запятой. В результате
ошибки округления могут накапливаться и сумма относительных частот может
немного отличаться от единицы. В этом случае увеличивают количество знаков
после запятой или изменяют некоторые из относительных частот, увеличивая или
уменьшая в них последнюю цифру на 1 так, чтобы новая сумма равнялась едини-
це. Немного ниже мы посмотрим, как это делается.
Во многих ситуациях относительные частоты оказываются удобнее абсолют-
ных. Скажем, если мы хотим сравнить два набора чисел, рассмотренных в са-
мом начале данного параграфа, и добавим к имеющимся таблицам строку отно-
сительных частот, то сможем легко ответить на вопросы, ответ на которые по та-
блице абсолютных частот был бы не сразу очевидным.
Сначала рассмотрим таблицу для набора из 19 чисел, находя относительные
частоты с точностью до сотых.

183
Абсолютная частота 1 2 2 6 4 2 2
Относительная частота 0,05 0,11 0,11 0,32 0,21 0,11 0,11
Здесь сумма относительных частот равна 1,02. Это произошло в основном из-
за того, что четыре раза встречается относительная частота
2
19
0 105263= , ...
Округление этого числа до сотых, дающее 0,11, является довольно грубым.
Можно заменить, например, эти четыре относительные частоты на 0,105, и тогда
сумма относительных частот станет равной единице.
Теперь рассмотрим таблицу для набора из 500 чисел.
Здесь сумма относительных частот оказалась равной единице.
Если бы мы попытались по исходным таблицам понять, в какой из них большим
спросом пользуются, например, бутылки ёмкостью 2 л, то для этого пришлось
бы проводить дополнительные вычисления. В таблице относительных частот эти
вычисления уже проведены, и мы видим, что большим спросом двухлитровые бу-
тылки пользуются в первой таблице — их доля в общем числе продаж составля-
ет примерно 0,105, против доли 0,09 во второй таблице. Довольно часто относи-
тельные частоты выражают в процентах. Тогда мы могли бы сказать, что по дан-
ным первой таблицы на двухлитровые бутылки приходится 10,5% продаж воды,
а по данным второй — 9% продаж.
Для нахождения среднего с помощью таблицы относительных частот нужно
каждое число умножить на его относительную частоту и полученные произведе-
ния сложить.
Скажем, для второй таблицы получим:
0 2 0 02 0 33 0 05 0 5 0 16 0 6 0 31 1 0 22 15 0 15 2 0 0, , , , , , , , , , , ,⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 99 0 9115 0 91= ≈, , .
До второго знака после запятой этот результат совпадает с полученным ранее
(вычисленным с использованием абсолютных частот).
Можно составлять также таблицы накопленных относительных частот и нахо-
дить с их помощью медиану. Разберитесь самостоятельно, как это делать.

184
На уроках математики в 5-м и 6-м классах вы подробно изучали линейные
и столбчатые диаграммы. В статистике их широко используют для наглядного
представления данных, причём в основном столбчатые.
Рассмотрим таблицу с результатами тестирования группы из 100 восьмиклас-
сников по математике.
Количество баллов 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Количество школьников 3 5 7 10 16 23 20 11 5
Понятно, что во второй строке стоят абсолютные частоты. Построим для них
столбчатую диаграмму (рис. 35).
Рис. 35
Из этой диаграммы хорошо видны результаты тестирования в целом, а также
есть возможность наглядно рассмотреть интересующие нас детали.
Чтобы сравнить между собой несколько наборов данных, полученных в сход-
ных ситуациях, для них удобно строить совместные диаграммы частот, как пра-
вило, относительных. Ещё раз обратимся к уже неоднократно рассмотренно-
му в этом параграфе примеру двух наборов чисел, характеризующих продажи
питьевой воды. По полученным ранее таблицам построим для них совместную
столбчатую диаграмму относительных частот (рис. 36).
С помощью совместной диаграммы удобно анализировать структуру продаж
в каждом из случаев и сравнивать эти случаи между собой по интересующим нас
показателям.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
5
10
15
20
25
набранных
баллов
Количество
школьников
O

185
Н
1 1 Закончите предложение.
а) Абсолютной частотой числа, входящего в набор, называется … .
б) Сумма всех абсолютных частот равна … .
в) Относительной частотой числа, входящего в набор, называется … .
г) Сумма всех относительных частот равна … .
2 Расскажите, приводя примеры, как по таблице абсолютных частот найти:
а) среднее; в) медиану;
б) размах; г) моду.
3 Расскажите, приводя примеры, как по таблице относительных частот найти:
а) среднее; в) медиану;
б) размах; г) моду.
4 Расскажите, приводя примеры, как находится медиана по таблице:
а) накопленных абсолютных частот;
б) накопленных относительных частот.
Рис. 36
0,2 0,33 0,5 0,6 1 1,5 2
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
Относительная
частота
Ёмкость
бутылки, л

186
5 Найдите по таблице частот среднее, размах, моду и медиану.
Количество баллов, набранных
на тестировании
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Что показывают полученные результаты?
6 Восстановите частоты в таблице, зная накопленные частоты.
Число 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Частота
Накопленная
частота
5 12 21 29 36 44 52 59 65 72
Найдите среднее, размах, моду и медиану.
Н
7 Найдите по таблице относительных частот среднее, размах, моду и медиану.
Число 2 2,4 2,5 2,9 3,2 3,3 3,5 3,7 4
частота
0,12 0,18 0,05 0,07 0,08 0,11 0,18 0,12 0,09
8 В лотерее 6000 билетов, на каждом из которых напечатаны 6 цифр. Вы-
игрыш зависит от количества совпавших цифр билета с цифрами, выпавшими
при розыгрыше. В таблице представлено распределение числа билетов в за-
висимости от количества совпавших при розыгрыше цифр. Найдите по табли-
це относительные частоты, накопленные относительные частоты, моду и ме-
диану количества совпавших цифр.
Количество совпавших
цифр в билете
0 1 2 3 4 5 6
Количество билетов 1312 2181 1525 518 364 80 20
9 Игральную кость подбросили 300 раз. В таблице представлено, сколько раз
выпало каждое возможное количество очков. Найдите по таблице среднее
количество очков за одно бросание, а также относительные частоты и накоп-
ленные относительные частоты.
Количество очков 1 2 3 4 5 6
Количество выпадений 52 45 58 60 34 51

187
10 В таблице представлены результаты продаж мужской обуви в некотором
магазине за один день. Найдите средний размер купленной обуви, медиану
и моду.
Размер
обуви
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
мужчин
3 16 23 24 27 12 21 41 30 16 17 4 2
11 Постройте по таблице столбчатую диаграмму.
Число 11 12 13 14 15 16 17
12 Восьмиклассники написали контрольную по математике. Постройте по табли-
це столбчатую диаграмму.
Отметка 1 2 3 4 5
Количество восьмиклассников 1 3 10 8 4
13 Составьте по диаграмме (рис. 37) таблицу.
1994 1998 2002 2006 2010
2
4
6
8
10
12
Количество золотых медалей,
завоеванных сборной России
Год проведения
зимних
Олимпийских
игрO
Рис. 37

188
П
14 Приведите пример набора чисел, где медиана является более удачной харак-
теристикой набора, чем среднее арифметическое, и приведите пример, где
наоборот.
15 Приведите пример набора чисел, где мода является более удачной характе-
ристикой набора, чем среднее арифметическое, и приведите пример, где
наоборот.
16 Приведите пример набора чисел, где мода является более удачной характе-
ристикой набора, чем медиана, и приведите пример, где наоборот.
17 В некоторой компании проанализировали окончания фамилий девушек-со-
трудниц в течение трёх последовательных лет. По представленной таблице
постройте совместную столбчатую диаграмму относительных частот и со-
вместную столбчатую диаграмму абсолютных частот.
Окончание «ова» «ева» «ина» «ко» «кая»
2008 г. 28 16 10 6 2
2009 г. 34 13 13 2 0
2010 г. 45 12 20 4 8
М
18 Как вы думаете, какой метод нахождения среднего даёт меньшую погреш-
ность — с помощью абсолютных или относительных частот? Обоснуйте свой
ответ.
6.3 Понятие об интервальном методе
В предыдущем параграфе мы работали с различ-
ными таблицами частот и убедились, что такая работа
может быть очень полезной и плодотворной. Одна-
ко встречаются такие наборы чисел, для которых та-
блицы частот почти бесполезны. Обратимся, скажем,
к примеру, рассмотренному в начале параграфа 6.1.
Измерив рост 10 мальчиков-восьмиклассников, полу-
чили следующий упорядоченный набор чисел:
153; 156; 158; 160; 160; 164; 168; 168; 170; 172.

189
Диаграмма абсолютных частот для него имеет следующий вид.
Рост мальчика 153 156 158 160 164 168 170 172
Абсолютная частота 1 1 1 2 1 2 1 1
Видно, что абсолютные частоты не несут почти никакой информации о рассма-
триваемом наборе чисел. Встречаются и такие наборы, где все абсолютные ча-
стоты равны единице.
В таких случаях для анализа данных применяют интервальный метод. Его суть
заключается в следующем. Найдя размах набора, его делят на несколько равных
частей (обычно от 5 до 12) и с полученным шагом, начиная с наименьшего числа
в наборе, определяют диапазоны (или интервалы) изменения чисел. Иногда, для
упрощения работы, длину шага округляют нужным образом или диапазоны от-
считывают не от наименьшего числа в наборе, а от удобного числа, ещё немно-
го меньшего (ясно, что оно не входит в набор). После этого определяют, сколь-
ко чисел исследуемого набора попало в каждый интервал (если число совпадает
с границей двух соседних интервалов, то его обычно включают в левый из них).
Эти числа называются абсолютными интервальными частотами. Деля абсолют-
ные интервальные частоты на количество чисел в наборе, мы получим относи-
тельные интервальные частоты.
Предположим, в результате описанной выше обработки некоторого набора,
содержащего 70 чисел, получена следующая таблица абсолютных интервальных
частот (для краткости, когда это не приводит к неясностям, может быть опущено
слово «интервальная», а иногда и слово «абсолютная»).
Интервал 1—3 3—5 5—7 7—9 9—11 11—13 13—15
Частота 20 16 13 9 5 4 3
Для наглядного представления информации, содержащейся в интервальной та-
блице частот, строят специальные фигуры, называемые гистограммами.
Гистограмма — это ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников,
основаниями которых являются рассматриваемые интервалы, а высотами —
абсолютные или относительные частоты.
Бывает, таким образом, гистограмма абсолютных частот и гистограмма от-
носительных частот. Ясно, что они отличаются одна от другой лишь масштабом
вдоль вертикальной оси.
Построим гистограмму абсолютных частот для приведённой выше таблицы
(понятно, что частоты, указанные в этой таблице, — абсолютные) (рис. 38).

190
1 3 5 7 9 11 13 15
5
10
15
20
O
Рис. 38
Для дальнейшей работы с таблицей интервальных частот применяют следу-
ющий приём: считают, что все числа, попавшие в каждый интервал, равны меж-
ду собой и равны числу, являющемуся серединой этого интервала. Конечно, это
предположение приведёт к тому, что все дальнейшие результаты будут полу-
чаться приближёнными. С первого взгляда, кажется, что этот метод очень гру-
бый и погрешность будет весьма большой. Однако массовое применение мето-
да на практике показало, что его погрешность не так велика — ведь в интервале
имеются числа, лежащие как левее, так и правее его середины, и погрешности
в среднем более или менее уравновешиваются.
Обычно строку середин интервалов добавляют к интервальной таблице выше
строки интервалов. Иногда строят новую таблицу.
Мы пойдём первым путём, причём добавим к приведённой выше таблице не
только строку середин интервалов сверху, но и строку относительных интерваль-
ных частот снизу.
Середина интервала 2 4 6 8 10 12 14
Интервал 1—3 3—5 5—7 7—9 9—11 11—13 13—15
частота
0,29 0,23 0,18 0,13 0,07 0,06 0,04
Найдём среднее, пользуясь относительными частотами:
2 0 29 4 0 23 6 0 18 8 0 13 10 0 07 12 0 06 14 0 04 5 6 6⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ≈, , , , , , , , .
Поскольку интервалы и их середины известны нам с точностью до целых, сред-
нее тоже было округлено до целых.

191
Н
а) Абсолютной интервальной частотой называется … .
б) Сумма всех абсолютных интервальных частот равна … .
в) Относительной интервальной частотой называется … .
г) Сумма всех относительных интервальных частот равна … .
д) Гистограммой называется … .
2 Расскажите, как по интервальной таблице относительных частот найти
среднее.
3 Расскажите, как по набору чисел и заданному количеству интервалов
строится интервальная таблица частот.
4 По данным таблицы постройте гистограмму количества землетрясений, про-
изошедших на Земле в период с 2000 по 2011 г.
Магнитуда землетрясения Количество землетрясений
0,1—0,99 259
1—1,99 7141
2—2,99 53 618
3—3,99 82 891
4—4,99 120 095
5—5,99 19 091
6—6,99 1719
7—7,99 163
8—8,99 5
Н
5 По данным тестирования был определён коэффициент интеллекта (IQ)
1000 человек. Результаты исследования приведены в таблице.
Величина IQ 0—40 40—80 80—120 120—160 160—200
Относительная частота 0 018, 0 09, 0 73, 0 15, 0 012,
По данным таблицы постройте гистограмму.

192
6 По данным таблицы распределения дубов по диаметру на высоте 1 м в неко-
тором подмосковном лесу найдите среднее значение их диаметра.
Диаметр, см 0—10 10—20 20—30 30—40 40—50 50—60 60—70
Частота 52 156 220 138 94 7 18
7 По данным таблицы распределения массы арбузов на бахче найдите сред-
нюю массу арбуза.
Масса арбуза, кг 0—5 5—10 10—15 15—20 20—25
Относительная частота 0,07 0,23 0,41 0,19 0,1
П
8 При измерении роста 40 девочек-восьмиклассниц были получены следу-
ющие результаты (в сантиметрах):
161; 159; 162; 165; 155; 159; 165; 161; 163; 158; 161; 169; 148; 158; 166; 158;
154; 163; 157; 163; 158; 150; 172; 156; 157; 155; 160; 163; 156; 157; 167; 166;
154; 157; 164; 153; 157; 158; 154; 158.
Начертите в тетради две такие же таблицы интервальных частот (с разным
шагом), заполните их и постройте с их помощью гистограммы абсолютных
частот.
Рост 148—154 154—160 160—166 166—172
Частота
Рост 148—152 152—156 156—160 160—164 164—168 168—172
Частота
Сравните полученные гистограммы. Какие выводы вы можете сделать?

193
9 По данным каждой из таблиц предыдущей задачи найдите средний рост вось-
миклассницы. Найдите также средний рост по данным начального набора чи-
сел. Сравните три полученные величины.
М
10 Имеется набор чисел:
4,3; 9,2; 10,2; 4,4; 4,7; 8,9; 4,3; 2,4; 4,8; 3,0;
10,1; 8,9; 4,2; 8,6; 3,1; 5,6; 3,1; 3,7; 5,6; 11,2;
4,7; 9,4; 9,8; 10,4; 6,2; 7,7; 10,5; 11,8; 9,2; 10,2;
4,6; 8,9; 11,2; 4,4; 7,7; 9,8; 9,7; 5,6; 1,6; 5,6;
3,4; 4,2; 9,9; 10,4; 6,7; 8,5; 10,4; 10,2; 4,0; 9,9;
4,8; 7,5; 7,9; 5,1; 3,8; 11,7; 5,9; 3,3; 7,7; 10,5.
Для заданного набора:
а) запишите упорядоченный набор;
б) найдите наименьшее и наибольшее число в наборе;
в) найдите размах;
г) взяв для дальнейшей работы количество интервалов равным 6, определи-
те шаг интервала;
д) постройте интервальную таблицу частот (абсолютных и относительных);
е) постройте гистограмму абсолютных частот;
ж) найдите среднее;
з) постройте таблицу накопленных относительных интервальных частот;
и) найдите медиану;
к) придумайте, как можно найти медиану по гистограмме.
Проект «Опрос общественного мнения с последующей обра-
боткой результатов»
Проведите среди учащихся вашего класса или вашей школы опрос на инте-
ресующую многих ребят тему. Подготовьте по результатам опроса ком-
пьютерную презентацию, включив в неё нужную, по вашему мнению, ин-
формацию: числовые характеристики, таблицы, диаграммы и т.д. Сделай-
те выводы по результатам обработки данных опроса.
Исследовательский проект «Среднее двух числовых наборов»
Имеется два числовых набора, причём среднее первого на-
бора больше среднего второго набора. При этом среднее этих двух чисел
равно среднему набора, полученного объединением первоначальных на-
боров в один. В каком из первоначальных наборов больше чисел?

СИТУАЦИЯ. Мониторинг среднего значения.
ВАША РОЛЬ. Исследователь.
ОПИСАНИЕ СИТУАЦИИ. Определяется среднее значение некоторой вели-
чины. При этом время от времени поступают новые результаты измерений,
и среднее значение приходится определять снова, с учётом как уже име-
ющихся результатов измерений, так и вновь поступивших.
ЗАДАНИЯ
1) Предположим, что среднее значение было определено по результатам
n измерений и равно a. Поступил результат ещё одного измерения, ко-
торый равен b. Обязательно ли для определения среднего значения ре-
зультатов n +1измерения нужно находить сумму n +1числа (n прежних
и одного нового) и делить её на n +1или можно найти его проще?
2) Придумайте, как определить среднее значение результатов n +1 изме-
рения, зная лишь три числа: n, a и b. Запишите соответствующую фор-
мулу.
3) Предположим, что среднее значение было определено по результатам
n измерений и равно a, а затем нашли среднее значение результатов m
новых измерений, и оно равно b. Придумайте, как определить среднее
значение результатов n m+ измерений, зная лишь четыре числа: n, a, m
и b. Запишите соответствующую формулу.

195
К главе I
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Рациональные алгебраические выражения
1 Определите, при каких значениях букв выражение не имеет смысла:
а)
5 7
6 4
x
x
+
−
; б)c
c
c
−
+
−
3
3
; в)
q
q
q
q
q
q+
+
+
+
+
+
+1
1
2
2
3
.
2 Определите, при каких значениях букв выражение имеет смысл:
а)
m n k
m
+ +
+8 17
; б)
ar rl
l
-
-
5
9 7
; в)
t
t
t
t
−
−
+
9
92
2
.
3 Запишите алгебраическое выражение, с помощью которого находится:
а) цена карандаша, если r карандашей стоит R рублей;
б) доля меди в её сплаве с оловом, если в образце сплава массой M кг масса
олова составляет m кг.
а)
1
5 3cp c p-
к знаменателю 5 3 2 2c p cp- ;
б)
h
h
+
−
2
3
к знаменателю h h−( ) +( )3 1
3
.
а)
a ab b
a b
2 2
4
2+ +
+( )
; в)
u v
u h uhv hv
3 3
2 25 5 5
−
+ +
;
б)
5 2
25 42 2
xy yz
x z
+
−
; г)
u v
tu tv t uv
3 3
2 23
+
+( ) −
.
а)
4 25
25 10 4 10
2 2
2
q R
pR pq q Rq
−
− + −
; б)
− +
− + −
2 4
4 42
x
x x
.
а)
8 85 5 5
4 4
gu v g uv
u vg u vg
−
+( ) − −( )
; б)
l l l l l l
l l l l
2
4 3 2
1 3 2 1 3
4 6
+( ) +( )+ +( ) +( )
+ + −
.
а)
k l m k l kl k m l m km lm klm
k l m k l kl k m
3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2
2− − + − + + − + +
− − − + + + ++ + + −l m km lm klm2 2 2 2
;

196
б)
a a b a b a
a a b a b a
15 12 3 9 6 7
15 8 3 9 6 7
2
2
+ + −
− − −
.
9 Найдите сумму и разность дробей:
а)
9
4
4 3
4 4 5
l m
lm l m- -
и
2
4
3 5
4 4 5
l m
lm l m- -
; б)
x y z
x y z
+ +
+ −
и
− − +
+ −
x y z
x y z
.
а)
z z
z z
2
3
−
+
и
z z
z z
2
4 2
+
−
; б)
i j k
ij k
+ +
+( )1
и
i j k
i j k
+ −
+( ) +( )1 1
.
а)
− −
− −
+
− −
+
20 7
56 16
3
7 2
a
d w
c p
d w
; д)
3 5
20 40
3 9
12 24
h m
d r
a v
d r
+
−
+
− −
− +
;
б)
5 7
8
10 4
53 2 6
m n
l s
a w
ls
+
−
+
; е)
6 4
3 7 4 5
c t
z
c t
z r
−
+
+
;
в)
2 3 3 2
2
p q
pq p q
p q
p q p q
−
+( )
+
+
+( )
; ж)
d
w
w
wd w d w2 22 25 3 5 3−
+
+
;
г)
9 3
12 8
14
12 8
y g
gl ly
y
gk ky
+
+
−
+
; з)
5 9
5 9
10 7
30 54
u v
dx tx
m j
dz tz
+
− −
+
−
+
.
а)
2
2 2 2 12
u u v
u u v uv u v u− − + +( ) +( )
+
+
; в)
a b
a a b ab
a b
a b
+
+ + +
−
+( )
−2 2
;
б)
5
2
27
14
7 3
1
7
15
343
9
49
5
2
11
7
7 42
p
p
p
p
p
p
−
−
+
+
−
−
+
+
; г)
2
48
5
36
6
5
1
39
5
62
z
z
z
z
z
z
−
−
+
−
−
−
+
+
.
а)
xyz
x y z
x y z x y z x y z
x y x y z
( )
+ +
+
+ + − −
+( ) + +( )
2 3 2 2 2 3 2
;
б)
k kl l
k kl l
k k l l l k l k l l
k k l
2 2
2 2
4 3 2 2 2 2 3
4 2
2 1 3 1 2+ +
− +
−
+ + −( )+ −( )+ +
+
( )
22 4+l
;
в)
ax by
a b x y
ay bx
a b x y
a b
a b
+
−( ) +( )
+
−
+( ) −( )
−
+
−
2 2
2 2
;
г)
1 1 1 2
2 2
2 2 2 4 3 4
2 2 3 3k l k l
kl l k l l k k l l
k l k l+
+
+
+
+( )+ − − + −
+( ) +( )
( )
.

197
а)
2 5
2 5
2 4 4 5 10 20 25
4 4
2 2 2
2 2
g s f
g s f
f f g fg g s fs gs s
f fg g
− −
+ −
−
+ − − + − + − +
− + −−25 2s
;
б)
1 1
1
1 2 2
4 4 4 4
8 4 4 8
4 4 4 4 8 8a b a b
a b a b
a b a b a b
+
+
+
− −
+( ) +( )
;
в)
u v w
u v w
u v u v u v w
u v w u v w u
+ −
+ +( )
−
+( ) + −( )− + +( )
+ +( ) + −( ) +2
2 2
2
2 2 1 1 6 6
22 2 2 2uv v w
u v w
u v w+ −( )
+
+ +
+ −( )
;
г)
1
2 2 2 2x y z t
t x y z xy tz
tx y t xz xy z tyz
x y z t
xt yz+ + +
−
+ + +( ) +( )
+ + +
+
+ + +
+
.
15 Найдите произведение дробей:
а)
7
4
3
2 3
m
a uc
z
и
a u
c m z
2
3 214
; б)
8 6
7 2
y p
f y
−
+
и
0 5
7 2
, y p
f y
+( )
−
.
16 Найдите частное дробей:
а)
5
4
2m
vx
и
5
4
12
2
m
vx
-
; б)
3
2
2 3
3
p x
r
и
3
5
2
2
p x
r
.
а) − −






⋅
2 4
9
4
9
3
3 2
2 3
3 2
e
s y
d s
e y
: ; в)
4
3
5
8
15
16
2 2 2
:
g
m
g t
m
× ;
б)
3
7
9
12
2 5
3 4
3 7
2 6
r p
q t
r p
q t
: ; г) −





 −






7
9
3
23
x
z y
: .
18 Выполните указанные действия:
а)
f g
f g
f g
f g
f fg g
f fg g
3 3
3 3
2 2
2 2
+
−
+
−
⋅
+ +
− +
: ; в)
cd
cd
cd d
cd d
c cd c d
c cd c d
+
−
−
+
⋅
− − +
+ + +
1
1
1
1
2
2
: ;
б)
a ab b
a a b ab b
a b
a b
3 2 3
3 2 2 3
7 6
2 5 6
3
3
− +
− − +
⋅
−
+
; г)
i j i j
i j i j
i
i j
+( ) + −( )
+( ) − −( ) +
3 3
3 3 2 23
: .
19 Выполните умножение и деление дробей:
а)
h z
h hz z
h hz z
h hz z
h hz z
h hz z
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
4
2 9 9
2 5 3
3 2
2 3
2
−
− +
⋅
− +
+ +
⋅
− −
− − 22
;
б)
u v
u uv u v v
u v uv u v
u v
u uv v
u u v v
6 6
3 2 2
3 2 2
2 2
2 2
4 2 22 2
2 2 2−
− + −
⋅
+ − −
−
⋅
+ −
+ + 44
;

198
в)
4 10 12 15 9
6 6 13 9 6
3 3 3 52 2
2 2
2n np ny py y
n np ny py y
np p ny py− + − +
+ + + +
⋅
+ + + ++
− − + −
2
2 5 2 8 3
2
2 2
y
np p ny py y
;
г)
ik jk k il jl kl im jm km
+ + + + + + + +
+ − + + − + + −
2
2
:
:
+ + − − − + + +
+ − + + − − − +
2
2
.
а) q
q
q
q
q q
q q
+
+
+
+ +
−












1 1
3
3
3 2
: ; в) u
u
u
u
u u u
u u
−
−
+
−
− + +
+ +












5
5
1 5 4
5 4
3 2
2
;
б)
i i
i i
i
i
i
i
i
i
2
2
2 3
21 1 1
+
−
+
+ −
+
−











: ; г)
s
s s s
s
s2 1
1
2
2
1
1
1+
−
+ +
+
−
+











.
а)
2
2 2 2
2
2
a c
a c
a c
a c
a c
a c
a
a c
+
+
−
−
+
−
−
+
+











;
б)
m
m
m
m
m
m
m
m
m m
m
+
−
+
+
+
−
+ −












1
1 1
1 2 2
;
в)
u
u
u
u
u
u
u u u u
u u u
2
2
3
3
2
4
2 3 4
2 3 51 1 1
2
1+
−
+
+
+
− + + +
+ + +





: ;
г)
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z z
+
−
−
+
−
+
+
−
− −






1
1
2
2
3
3
6 22 4
:
++
−( ) −( )
z
z z
6
2 23 2
.
а)
k k k
k k k
k k k
k k k
k k
k
3 2
3 2
3 2
3 2 2
1
1
1
1
2 1
1
− − −
− + −
−
+ − +
− + − +
+( )
+
= ;
б)
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
+
− +
−
+
+ +






+ −
+
−
+ −
−






=
1 1
1 1 4yy
y x x y
2
1−( ) + +( )
;
в)
w W
w w W wW W
w W
w W w wW W w W
+ −
+ + + +
−
− −
+( ) + + −( )
=
+
1
2
2 2 2
2 1
1
2 2 2 2
;
г)
m m n m n m n
m m n m n m n
m m n m n m n
m m n
6 5 3 2 2 3
6 5 3 2 2 3
6 5 3 2 2 3
6 5
+ + +
− + − +
− − + +
− +
:
−− + −
=
+
m n m n
n m
n m3 3 2 4
3 3
2 3
.

199
а)
−




 ⋅






− −
4
7
7
4
15 16
; в)
2 4
8 16
20 9
3 2
⋅
⋅
−
−
;
б) 2 5
5
2
5
7
,( ) ⋅






−
; г)
12
6 2
40
41 42
−
− −⋅
.
24 Найдите степень дроби:
а)
3
4
4






−
; б) −






−
5
3
3
; в) −






−
14
15
2
; г) −






−
1
2
6
.
а) e h u2 2 2 8
( )
−
; в) −( )− −
8 5 4 5 2
d x z ;
б) 2
10
tz( )−
; г) c e x z u− − − −
( )2 2 2 5 3 5
.
а)
5 2
10
7 8
5
− −
−
⋅
; б)
3 9
27 81
20 33
33 3
− −
−
⋅
⋅
; в)
7 49
49 7
25 52
35 60
− −
− −
⋅
⋅
; г)
3 5
225 45
14 14
6 2
− −
− −
⋅
⋅
.
27 Используя степени, запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:
а) 3,079; в) 50 094 58, ; д) 78 003 09, ;
б) 0,00006201; г) 70 000707, ; е) 8490 802, .
28 Запишите число, заданное с помощью суммы разрядных слагаемых:
а) 3 10 6 10 3 10 7 10 9 103 2 1 3⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − ;
б) 7 10 7 10 2 10 6 104 3 1 4⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − ;
в) 4 10 7 10 3 10 3 10 6 105 4 2 3⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − ;
г) 5 10 5 10 6 10 7 10 8 102 2 3 4⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − − .
29 Запишите в виде целого числа или десятичной дроби:
а) 7 2 10 4, ⋅ − ; в) 3 07 10 3, ⋅ − ;
б) 6 8244 10 2, ⋅ − ; г) 8 4 10 6, ⋅ − .
а) k k k k−( ) − +( )− − − −1 3 1 3
; б)
u v
u v u uv v
u v3 3
2 2
3 3− −−( )
−( ) + +( )
.
а)
h g h g
h g h g
h g h g−( ) −( )
−( ) −( )
−
−( ) −( )− − − −
− − − −
− − −1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 12
3 4
3 2
−−
− − − −
−( ) −( )
1
1 1 1 1
4h g h g
;

200
б)
ab
a
b
c
a
b
c
abc
da b c
da
bc
2 1 2 1
2
2 1
1 2 1
2
2
( ) + + + +





 + +
− − − − −
− − −
−
bb
a
b
a
a
c
b c
ab c
d
d bc
a
− − − −
− −
+ − +( ) −





 −
( )2 1
2
2
2 1 2 1 1
2
.
К главе II Понятие о функциях
1 а) Что такое функция?
б) Какая переменная называется зависимой, а какая независимой?
в) Что такое аргумент функции?
г) Что такое область определения функции и как её найти?
2 Укажите независимую и зависимую переменные, аргумент и область опре-
деления функции:
а) y
x
x
x
= + +
−
1 1
12
; в) h
t
t t t
=
+
− +
2
23 2
;
б) q
p p p
=
− +
1
4 46 4 2
; г) z
w
w
w
w
w
w
w
w
= −
+
+
+
+
+
−
+
+
1
1
2
2
3
3
.
3 На стройке в Нью-Йорке (США) первого в истории небоскрёба Эмпайр-
стейт-билдинг, высота которого 381 м (102 этажа), на протяжении 464 дней
трудились 3400 рабочих. Предполагая, что здание строилось равномерно,
запишите формулы, выражающие зависимость от времени t высоты здания,
а также доли выполненной работы. Постройте графики полученных зависи-
мостей на отрезке 0 500 t , если считать, что момент t = 0 соответствует
началу строительства и t измеряется в днях. Постройте также график зависи-
мости от времени количества уже полностью построенных этажей.
4 Функция задана формулой y
x
x x
x
x
x
x=
+ +
+
−
+
⋅
2
2
1
1
2
. Найдите её значение
для значения аргумента, равного1 1 2
1
2
4 3; ; ; ; ;- - .
5 Для функции, заданной формулой m
k
=
+11 3
17
, определите, при каком зна-
чении аргумента она принимает значение:
3
17
;
1
2
; -
53
136
;
14
17
; 6; 0,6.
6 Для функции y g x= ( ) запишите с помощью математических символов ут-
верждение: значение функции от аргумента, представляющего собой значе-
ние функции от аргумента x2, равно значению функции от аргумента, равно-
го величине, обратной значению функции от аргумента 2x.

201
7 Пусть m x x x( )= −2 , w x
x
( )=
+
1
1
. Найдите:
а) m w x( )( ); в) 2w
w x m x
w x m x
( )+ ( )
( )− ( )






;
б) w m x( )( ); г) m a w
x
x
m x−
−










− ( )
1
.
8 а) Что такое график функции?
б) Как с помощью графика найти значение функции при некотором значении
аргумента?
в) Как с помощью графика установить, при каких значениях аргумента функ-
ция принимает данное значение?
г) Как построить график функции, заданной формулой?
д) Как определить, что некоторая линия представляет собой график некото-
рой функции?
9 Даны функции: f
x
x
=
+
−
5 3
5 4
; g
x
x
=
+
−
5 2
5 5
; h
x
x
=
+
−
5 7
5 8
. Установите, графикам ка-
ких из этих функций принадлежат точки:
1
10
1; −





,
19
40
5
3
; −





, 7
38
31
;





, 7
38
31
;





,
2
17
2
;





,
1
3
11
10
; −





.
а) значение y, если значение x равно -4; -8; 2,5; 0;
б) значение x, если значение y равно 7; 3,5; -3; -6 5, ;
в) y −( )15, ; y −( )3 ; y 4 5,( );
г) значение x, при котором
y x( )= 0; y x( )=1; y x( )= 2 5, ;
д) наибольшее значение функ-
ции и значение аргумента, при
котором функция принимает
своё наибольшее значение;
е) наименьшее значение функ-
ции и значение аргумента, при
котором функция принимает
своё наименьшее значение;
ж) запишите все значения аргу-
мента, при которых функция
равна нулю;
з) при каких значениях аргумента
функция возрастает;
и) при каких значениях аргумента
функция убывает.
Рис. 39
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
x
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
y
o

202
11 Четырнадцатикратный олимпийский чемпион Майкл Фелпс совершает за-
плыв баттерфляем на дистанцию 200 м в 50-метровом бассейне. На графи-
ке, представленном на рис. 40, отмечено кратчайшее расстояние спортсме-
на от точки старта (измеренное вдоль бассейна) в зависимости от времени.
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Время, с
Расстояние от
линии старта, м
O
Рис. 40
а) Сколько секунд потребовалось спортсмену, чтобы проплыть 50 м? 100 м?
150 м? 200 м?
б) На сколько метров в секунду и во сколько раз изменилась скорость
спортсмена на 100-й секунде заплыва?
в) С какой максимальной и с какой минимальной скоростью плыл спорт-
смен?
г) С какой средней скоростью спортсмен проплыл эти 200 м? За какое вре-
мя он проплыл бы 1 км, плывя с этой скоростью?
д) На сколько секунд дольше спортсмен плыл вторые 100 м по сравнению
с первыми?
е) Какова должна быть скорость пловца, чтобы, плывя равномерно с этой
скоростью, побить мировой рекорд, установленный Майклом Фелпсом
в этом заплыве?
12 а) Что такое линейная функция?
б) Что такое угловой коэффициент и свободный член в уравнении, задающем
линейную функцию?
в) Что представляет собой график линейной функции?
г) Как построить график линейной функции, зная формулу, её задающую?
д) Как установить вид уравнения, задающего линейную функцию, имея её
график?

203
13 Для линейных функций запишите угловой коэффициент и свободный член.
Постройте их графики. Выясните, какие из них параллельны, а какие пересе-
каются. Для пересекающихся прямых определите координаты их точки пере-
сечения. Определите также, какие из пересекающихся прямых перпендику-
лярны.
а) y x= +1; е) y x=− ; л) y =−3;
б) y x= +3; ж) y x=− −2; м) y = 0;
в) y x= −2 5; з) y x=−
1
4
; н) y x=− −
1
2
1;
г) y x= 4 ; и) y x=− +
1
2
1; о) y x=−5 ;
д) y x= ; к) y = 2; п) y x= −2 5 .
14 Как по графику линейной функции установить знак или равенство нулю угло-
вого коэффициента k и свободного члена b?
15 Как по графикам двух линейных функций сравнить между собой их угловые
коэффициенты и свободные члены?
16 На рис. 41 изображены графики четырёх линейных функций. Запишите урав-
нение каждой из них.
1 x
1
y
O
Рис. 41
17 а) Что такое парабола?
б) Как выглядит график функции y x= 2?
в) Что называют вершиной параболы и её ветвями?
18 Постройте на одном рисунке графики функций y x= 2, y x=− 2 при-2 2 x .
19 Верно ли, что если a b , то и a b2 2 ? Обоснуйте свой ответ.

204
20 Что такое чётная функция? Как установить, что функция чётная? Как по гра-
фику функции выяснить ответ на этот вопрос? Выясните, какие из следующих
функций чётные:
а) y
x
x x
=
+ +
2
4 2 1
; в) y
x
x
=
3
;
б) y x x x= +( )3 2
; г) y x
x
= +
1
.
21 а) Что такое гипербола?
б) Как выглядят графики функций y
x
=
1
и y
x
=−
1
?
в) Что называют ветвями гиперболы?
г) Когда ветви гиперболы y
k
x
= лежат в I и III четвертях, а когда во II и IV?
22 Постройте на одном рисунке графики функций y
x
=
3
, y
x
=
1
3
, y
x
=−
3
,
y
x
=−
1
3
для -3 3 x .
23 Сравните величины
a
x
и
a
y
, если:
а) x y> >0 и a>0; д) x y> , x>0, y<0 и a>0;
б) x y< <0 и a>0; е) x y> , x>0, y<0 и a <0;
в) x y> >0 и a <0; ж)x y< , x <0, y>0 и a>0;
г) x y< <0 и a <0; з) x y< , x <0, y>0 и a <0.
24 Как по графику функции y
k
x
= определить знак числа k?
25 Как по графикам функций y
a
x
= и y
b
x
= сравнить между собой числа a и b?
26 Что такое нечётная функция? Как установить, что функция нечётная? Как по
графику функции выяснить ответ на этот вопрос? Выясните, какие из следу-
ющих функций нечётные:
а) y x x= +( )2 2 3
1 ; в) y
x
x
=
−4 1
;
б) y
x
x
=
10
11
; г) y
x
x x
x
x x
=
+( )
−
+( )3 2
3
5 3 2
.
К главе III Квадратные корни
1 а) Что называется квадратным корнем из данного числа?
б) Чем квадратный корень отличается от арифметического квадратного корня?

205
в) Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
г) Как определяется модуль числа с помощью арифметического квадратно-
го корня?
2 Решите уравнения:
а) x2 49= ; в) x2 11= ; д) x2 0= ; ж) x2 7=− ;
б) x x=10 ; г) x + =10 10; е) 4 4− =x ; з) x x2 = .
3 При каких значениях x и y имеет смысл выражение:
а) x y; б) x y- ; в) x y- 2 ; г) x y2 ?
а) 169; г) 0 0025, ; ж)
400
361
;
б) 16 2- ; д) 225 121- ; з) 1156 900- ;
в) 25 49× ; е)
0 065
0 000169
,
,
; и) 0 01 0 01, ,- .
5 Выполните возведение в степень:
а) 7
16






; б) −






7
2
4
; в) 2 5
4
⋅( ) .
а) 17 4 17 4+( ) −( ); в) 2 10 7 2 10 7
2 2
+ −( ) +( ) ;
б) 1600 576 1600 576−( ) +( ); г) 21 3 21 3
2 2
− +( ) −( ) .
7 Верно ли, что если 0 2 n m< , то n m< ?
8 Верно ли, что x x
a
>
1
при 0  x a< ?
9 Вычислите с точностью до десятых, не пользуясь таблицами и калькулято-
ром:
а) 5; б) 13; в) 120; г) 200.
10 С помощью калькулятора вычислите с точностью до стотысячных:
а) 2; б) 10; в) 5; г) 101.
11 С помощью калькулятора вычислите с точностью до тысячных:
а)
2
3
3
2
- ; б) 14
1
5
1
7
+






; в) 1123 12 63, ,× ; г)
21 20
21 20
+
−
.
а) 15 129; б) 1002 001; в) 0 7 118 3, ,× .

206
а) 323 208 484 5198 400+ ; б) 11123 12 78 120 11845992, , ,⋅ − ⋅ .
14 Найдите приближённые решения уравнений с точностью до десятитысячных:
а) x2 1
2
= ; б) x2 1111= , ; в) x2 1000= ; г) x2 1234= .
15 Докажите, что число 7 5- иррационально:
16 а) Как выглядит график функции y x= ?
б) Относительно какой прямой и какой части графика какой функции он сим-
метричен?
в) Какова область определения функции y x= ?
17 Постройте графики функций y x= , y x= 2 , y x=
1
2
, y x= 4 , y x=
1
4
на
отрезке 0 4 x , используя при этом точки x = 0
1
4
1
2
3
4
4; ; ; ; ...; .
18 Верно ли, что если n m< , то n m< ?
19 Верно ли, что если x y  0, то x y ?
20 Как сравнить числа a и b (предполагается что a  0 и b  0)?
21 Расположите в порядке возрастания числа:
22 55 107 70 197 5 6 17 133 67 298 0 69 299 3 11; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
73 134 3 30 2 74 215 291; ; ; ; ; .
22 В каком случае график функции y x= пересекается с прямой y s= ?
23 В каком случае график функции y x= пересекается с прямой y kx b= + ?
24 Решите графически уравнение:
а) x = 2; б) x
x
=
3
; в) x x= 4
1
2
- ; г) x x=
1
8
2.
25 Перечислите свойства арифметического квадратного корня.
а) 64 81× ; д) 0 0196 0 01, ,× ; и) 121 1 21× , ;
б)
121
144
; е)
0 81
0 04
,
,
; к) 2
34
81
;
в)
64
144
49
25
× ; ж)
4
121
100
9
169
144
× × ; л) 14
1
16
6
25
3× ;
г) 7 28× ; з)
5
8
45
98
× ; м) 0 013 5 2, ,× .

207
а)
104
26
; г)
10
33
5
264
: ; ж)
1 4
0 056
,
,
;
б) 143 65 55× × ; д)
2000
32 40×
; з)
385 624
240 240
;
в) 250 1502 2- ; е) −( ) −( )( )2 3
4 2
2
; и) 392 2942 2+ .
28 Упростите выражение x yz tp3 2 4 , если x <0, y>0, z <0, t <0.
а) 5 10 52x x+ + ; б) 4 20 252y y− + .
а) 0 081 107, × ; в) 14 4 10 5, ⋅ − ;
б) 2 3 4
2
+ −( ) ; г) 24 5
2
−( ) .
31 Запишите в виде произведения или частного радикалов:
а) -ab; б) xy z2 3 ; в) - -
t
p
5
3
.
32 а) Что значит внести множитель под знак корня? Как это можно сделать?
б) Что значит вынести множитель за знак корня? Как это можно сделать?
в) Как можно освободиться от иррациональности в знаменателе?
33 Вынесите множитель за знак радикала:
а) 612; б)
325
686
; в) x z3 2 , x>0, z <0; г) -
u
t
2
, u <0.
а) 6 7; б)
3
4
2
3
; в) -q 2, q <0; г) p p2 , p <0.
а) 1872 637 1053
2
3
+ − ; в) 147 12 756q q q− + ;
б) 17 5
56
5
0 63, ,+ + ; г)
125
144
7
156
845
4
245
64
− + .

208
36 Освободитесь от радикалов в знаменателе:
а)
1
11
; б)
1
8 5+
; в)
1
11 3-
; г)
1
1z -
; д)
1
2k +
.
37 Освободитесь от радикалов в знаменателе:
а)
1
5 7 8+ −
; б)
2 6 8
2 3 13
−
+ +
; в)
1
2 3 4 5+ + +
.
а) 13 2 42- ; б) 49 8 3- ; в) 2 3- .
а)
1
3 10
1
2 3 10
10 6 10 3 2 3 3
3 10 16 3 30+
+
+
−
+ − −( )
+( ) +( )
;
б)
1
2 2 3 5
2 2 3 5
2 3 10
2 2 3 5 2 5 6
16 2 6 15+ + +
+
+ + +
+
−
+ + +( ) +( )
+
;
в)
11 2
2 11
11 2 2 13 13 11
2 11 2 13 11 13
13 11
11 13
−
+
+
−( ) −( ) −( )
+( ) +( ) +( )
+
−
+
++
−
+
2 13
2 13
;
г)
2
3
2
2
3
2
2
5
2
2
5
2
14
45
2
15
75
4
2
5
2
4 8
−
+
+
−
+
−
− − +
−





 +
s
s
s
s
s s s s
s s ++






15
4
s
;
д)
3
3
3 3 3 3
3 3
xz
x z
x z xz xz x
x x z+ −
+
+ − + −
−( ) + −( )
;
е)
1 1 2 1 2 2
3 3k l k l
k l l k kl l k l l k
k l k l+
+
+
+
−( )+ + +( )− −
+( ) ( ) +( )( )
;
ж)
3 7
1 2 3 7
1 7
2 3 7 2 2
+
−( ) −( ) −( ) −( )
+
+ +
−( ) −( ) −( )
+
f f f f
f
f
+
+
−( ) −( ) −( ) −( )
+
+ +
−( ) −( ) −( )
3
1 7 2 7 3 7 7
2 7
3 1 7 1 1
f
f
f
f
.

209
К главе IV Квадратные уравнения
а) x x2 5= ; в)4 12x = ;
б) x x−( ) = −( )3 5 3
2
; г) 4 2 1 1
2
x +( ) = .
а) x x x x+( ) +( )= +( ) −( )1 3 1 7 ; в) 3 5 3 7 3 5 2 1x x x x+( ) +( )= +( ) −( );
б) x x x x−( ) −( )= −( ) −( )9 6 6 5 ; г) 2 9 21 2 9 15x x x x+( ) −( )= +( ) −( ).
а) 3 2 2 2
2
x x+( ) = +( ); в) 4 2 2 1
2
x x+( ) = +( );
б) 2 1 2 1
2
x x+( ) =− +( ); г) 2 2 2 2 1
2
x x+( )=− +( ) .
а) 3 2 2 3
2 2
x x+( ) = +( ) ; в) x x−( ) = −( )2 4 1
2 2
;
б) 4 1 3 6
2 2
x x+( ) = +( ) ; г) x x−( ) = −( )4 2 5
2 2
.
5 Решите уравнение в общем виде:
а) x px2 0+ = ; в) ax bx2 0+ = ;
б) x q2 0+ = ; г) ax c2 0+ = .
6 Выведите формулу корней для приведённого квадратного уравнения с чёт-
ным вторым коэффициентом x px c2 2 0+ + = : x p p ac1 2
2
, =− ± − .
а) x x2 4 3 3 0− + = ; в)3 3 6 02x x− − = ;
б) x x2 3 5 10 0− + = ; г) 2 5 5 15 02x x− + = .
а) x x2 34 288 0− + = ; в) 21 22 8 02x x− − = ;
б) x x2 36 320 0− + = ; г) 5 26 5 02x x− + = .
а) x x2 29 190 0− + = ; в)4 17 15 02x x− − = ;
б) x x2 33 270 0− + = ; г) 22 9 1 02x x− − = .
а) x x−( ) − −( ) =2 1 1
3 3
; в) 2 1 2 4 9
3 3
x x−( ) − −( ) = ;
б) x x+( ) − −( ) =2 2 16
3 3
; г) 2 7 2 3 28
3 3
x x+( ) − +( ) = .

210
11 При каких значениях a уравнение имеет единственный корень? Найдите этот
корень.
а)
x x
x a
2 4 3
0
− +
−
= ; в)
x x a
x
2
2
0
− +
+
= ;
б)
x x
x a
2 2
0
+ −
+
= ; г)
x ax
x
2 4
1
0
− +
−
= .
12 Выразите одно неизвестное через другое:
а) x xy y2 22 0+ − = ; в)3 4 02 2x xy y− + = ;
б) x xy y2 22 8 0+ − = ; г) 2 02 2x xy y− − = .
а) x y x−( ) + −( ) =4 2 0
2 2
; б) x y xy y2 25 4 2 1 0+ + + + = .
14 Уравнения x px q2 0+ + = и x qx p2 0+ + = имеют общий корень, причём
p q¹ . Найдите p q+ .
15 Найдите, если возможно, среднее арифметическое и среднее геометриче-
ское корней уравнения:
а) x x2 7 9 0− + = ; в)9 4 1 02x x− + = ;
б) x x2 4 6 0− + = ; г) 4 20 9 02x x− + = .
16 В уравнении 4 15 4 02 2x x c− + = определите c так, чтобы один из корней был
квадратом другого.
17 Сформулируйте условие, при котором корни квадратного уравнения
x px q2 0+ + = являются:
а) взаимно обратными числами; б) противоположными числами.
18 При каком значении a сумма квадратов корней уравнения x x a2 0+ + = рав-
на 3?
19 Разность корней уравнения x x c2 7 0− + = равна 5. Найдите корни уравнения
и коэффициент c.
20 Частное корней уравнения x bx2 3 0+ + = равно 27. Найдите корни уравнения
и коэффициент b.
21 Один из корней уравнения 3 12 02x x q+ + = равен -3. Найдите второй корень
уравнения и коэффициент q.
22 Один из корней уравнения 4 28 02x px+ + = равен 7. Найдите второй корень
уравнения и коэффициент p.
23 Докажите, что если D — дискриминант, а x1, x2 — корни квадратного урав-
нения, то D x x= −( )1 2
2
.

211
24 Сформулируйте условие, при котором корнем уравнения ax bx c2 0+ + =
будет любое действительное число.
а)
x x x
x x
3 2
2
5 4 20
3 10
+ − −
+ −
; в)
x x x
x x
3 2
2
4 9 36
7 12
− − +
− +
;
б)
x x x
x x
3 2
2
4 9 36
12
+ − −
+ −
; г)
x x x
x x
3 2
2
16 16
3 4
− − +
+ −
.
26 В турнире по футболу сыграно 66 матчей. Сколько команд участвовало в
турнире, если каждая команда сыграла с каждой ровно один матч?
27 Сумма квадратов двух последовательных нечётных чисел равна 394. Найдите
эти числа.
28 Диагональ квадрата больше его стороны на 3 см. Найдите длину стороны.
29 Найдите три последовательных чётных числа, таких, что сумма квадратов
первых двух чисел равна квадрату третьего числа.
30 За два года объём выпускаемой продукции предприятия увеличился вдвое.
Каков средний ежегодный прирост продукции?
К главе V Рациональные уравнения
а) x x4 29= ; в) x4 81= ;
б) x x4 25 0− = ; г)16 814x = .
а) x x3 2 2 0+ − = ; в) x x x4 33 2 0− + = ;
б) x x3 2 12 0+ − = ; г) x x x4 33 4 0− + = .
а) x x x3 22 2 0+ − − = ; в) x x x3 23 3 0− − + = ;
б) x x x3 2 4 4 0+ − − = ; г) x x x3 22 16 32 0− − + = .
4 Разложите на множители:
а) x x4 25 4 0+ + = ; в) 2 3 5 04 2x x+ − = ;
б) x x4 24 3 0− + = ; г) 4 12 04 2x x− − = .
5 Составьте биквадратное уравнение, корни которого равны:
а) ±1и ±3; б) ± 2 и ± 3.

212
6 Выразите одно неизвестное через другое:
а) x xy y2 2 42 0+ − = ; в)5 6 04 2 2x x y y+ − = ;
б) x xy y2 2 43 4 0+ − = ; г) 3 2 5 04 2 2x x y y+ − = .
7 Дано уравнение x px q4 2 0+ + = . Найдите:
а) сумму корней; б) произведение корней.
Исследуйте все возможные случаи.
8 Сформулируйте условие, при котором биквадратное уравнение x px q4 2 0+ + =
имеет:
а) один корень; в) три корня;
б) два корня; г) четыре корня.
а) x x x x+( ) +( ) +( )=1 2 3 24; в) x x x x+( ) + +( )=3 3 2 1202 ;
б) x x x x+( ) +( ) +( )=1 3 2 242 ; г) x x x x2 3 1 2 120+( ) +( ) +( )= .
а)
18
3
5
2
4
1x x x+
=
−
−
−
; в)
27
4
8
3
20
5x x x+
=
+
+
+
;
б)
16
3
3
2
6
1x x x+
=
+
+
+
; г)
16
5
5
1
1
2x x x−
=
−
+
+
.
11 Существует ли такое значение x, при котором сумма дробей
x
x
−
+
1
2 1
и
x
x
+
+
3
2
равна их произведению?
12 Существует ли такое значение x, при котором разность дробей
x
x
+
−
38
2 1
и
x
x
+
−
1
3
равна их произведению?
а)
3
2 1
7
2 1
4 20
1 4 2
x
x
x
x
x
x−
+
+
=
−
−
; в)
2
5 10
1
3 6
8
5 202 2x
x
x x x−
−
−
+
=
−
;
б)
5
3
16
3
2 50
9 2
x
x
x
x
x
x−
−
+
=
−
−
; г)
2 1
6 3
2 1
14 7
8
12 32 2
x
x x
x
x x x
+
−
−
−
−
=
−
.
а)
x
x x
x
x x−
−
+
=
−
+
+
−4
1
1
2
1
3
4
; в)
2
2 1
3
3
1
3 2 1x x
x
x
x
x−
+
−
=
+
−
+
−
;
б)
4 6
2 1
9
1
9
2
x
x
x
x x x
−
+
−
+
=
+
−
+
; г)
2
1
2 2
3
1
1
1
3
x
x
x
x x x−
−
+
+
=
−
−
+
.

213
а)
2
3
4
7
12 2x x+
+
+
= ; в)
2
1
1
3
32 2x x+
−
+
= ;
б)
1
4
1
5
11
302 2x x+
+
+
= ; г)
5
1
4
3
1
62 2x x+
−
+
= .
а)
x
x
2 2
2
1 0
+





 − = ; в)
2 1
1
9 0
2
2
2
x
x
+
−





 − = ;
б)
5 2
2
2 5
2
02
2
2
x
x
x
x
−




 +
−
= ; г)
x
x
x
x
2
2
2
2
2
6
4
5
4
0
+
−





 −
−





 = .
а) 2
3
1
7
3
1
5 0
2
x
x
x
x
+
−





 −
+
−





+ = ; в) 4
1
5
1
1 02
2
2
x
x
x
x
+




 +
+




+ = ;
б)5
2
1
2
2
1
3 0
2
x
x
x
x
+
−





 +
+
−





− = ; г)
2
2
2
1 0
2 2 2−




 −
−




+ =
x
x
x
x
.
а)
4
16
1
8 16
10
16 4 642 2 3 2x x x x x x−
−
+ +
=
− − +
;
б)
6
1 4
4
25
27
4 20 52 2 3 2−
+
−
+
− − +x x x x x
;
в)
2
9
11 4
27 6 18 272 3 3 2x
x
x
x
x x x−
+
+
+
=
− + −
;
г)
1
8 32 64
9
64
6
163 2 3 2x x x
x
x x+ + +
=
−
−
−
.
19 Числитель дроби на 1 меньше знаменателя. Если из числителя и знаменателя
дроби вычесть 1, то дробь уменьшится на
1
12
. Найдите эту дробь.
20 Знаменатель обыкновенной дроби на 1 меньше её числителя. Если к числите-
лю прибавить 5, а к знаменателю 12, то полученная дробь будет втрое мень-
ше исходной. Найдите эту дробь.
21 Для перевозки 15 т яблок автобаза предоставила фермеру грузовик вмести-
мостью на полтонны меньше, чем предполагалось первоначально, поэтому
для перевозки яблок потребовался один дополнительный рейс. Какова вме-
стимость грузовика?

214
22 Два комбайнёра, работая совместно, могут выполнить задание за 6 ч. Пер-
вый комбайнёр, работая один, может выполнить задание на 5 ч быстрее, чем
второй комбайнёр. За какое время выполнит задание первый комбайнёр?
23 Рабочий должен изготовить 120 деталей к определённому сроку. Однако он
изготовлял в день на 2 детали и больше, чем предполагал, а поэтому выпол-
нил работу на 3 дня раньше срока. Сколько дней он работал?
24 Расстояние в 36 км один из двух лыжников прошёл на полчаса скорее, чем
другой. Скорость первого лыжника на 1 км/ч больше, чем второго. Найдите
скорость каждого.
25 Моторная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же
расстояние по течению, затратив на весь путь 14 ч. Найдите собственную
скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.
26 Расстояние в 210 км пароход проплывает по течению на 4 ч быстрее, чем
против течения. Найдите собственную скорость парохода, если скорость те-
чения реки 3 км/ч.
27 Из города A в город B, расстояние между которыми 120 км, выехали одно-
временно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости
второго, поэтому он прибыл в пункт B на 2 ч раньше. Найдите скорости вело-
сипедистов.
28 Расстояние в 400 км пассажирский поезд прошёл на 1 ч быстрее товарно-
го. Определите скорости поездов, если скорость пассажирского поезда на
20 км больше скорости товарного.
29 Сплав меди и алюминия содержит 22 кг алюминия. В него добавили 15 кг ме-
ди. Число, выражающее процентное содержание меди в новом сплаве, на
33 больше числа, выражающего процентное содержание меди в первона-
чальном сплаве. Сколько килограммов алюминия в сплаве?

215
К главе VI Элементы статистики
1 Найдите среднее, размах, медиану и моду набора чисел:
а) 5; 6; 7; 9; 9; 9;
б) 4; 1; 5; 7; 1; 5; 5; 1; 7; 5; 1;
в) 8; 2; 8; 3; 3; 10; 16; 10; 10; 16; 6; 17;
г) 0,2; 0,6; 0,6; 0,3; 0,4; 0,4; 0,9, 0,8; 0,1; 0,3; 0,4; 0,1; 0,7; 0,5; 0,9; 0,2.
2 Найдите по таблице среднее число фильмов, снимавшихся за год в России в
первом десятилетии XXI века. Найдите также размах и моду. Постройте по
данным таблицы столбчатую диаграмму.
Год 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
фильмов
65 66 95 120 110 153 205 255 231 216
3 К набору чисел добавили ещё три числа, но после этого медиана нового на-
бора осталась такой же. Могли ли все три эти числа быть больше медианы?
4 а) Имеется два набора чисел, у которых одинаковые средние. Эти наборы
объединили в один набор. Обязательно ли среднее нового набора равно
среднему каждого из первоначальных наборов?
б) Тот же вопрос для моды.
в) Тот же вопрос для медианы.
5 Найдите по таблице частот среднее, размах, моду и медиану.
Количество баллов, набранных
на тестировании
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Что показывают полученные результаты?
6 Приведите пример набора конкретных числовых данных, который гораздо
информативнее характеризуется медианой, чем средним арифметическим.
7 Для набора чисел вычислили среднее (оно равно 5), после чего одно из чисел
стёрли. Оставшиеся числа таковы: 6; 2; 2; 11; 4; 7. Можно ли определить, ка-
кое число стёрли? Если да, определите. Если нет, объясните почему и попро-
буйте установить хоть какую-нибудь информацию о стёртом числе.
8 а) Для набора чисел вычислили медиану (она равна 5), после чего одно из чи-
сел стёрли. Оставшиеся числа таковы: 6; 2; 2; 11; 4; 7. Можно ли опреде-
лить, какое число стёрли? Если да, определите. Если нет, объясните почему
и попробуйте установить хоть какую-нибудь информацию о стёртом числе.
б) Тот же вопрос, если медиана была равна 6.

9 В таблице приведены данные опроса восьмиклассников о времени, затра-
чиваемом на приготовление уроков. Найдите среднее время приготовления
уроков. Постройте гистограмму относительных частот.
Время, мин 0—30 30—60 60—90 90—120 120—150 150—180
школьников
42 133 231 118 94 32
10 Во время диспансеризации измерили вес 50 мальчиков – учащихся восьмого
класса и получили следующие данные (в кг):
51; 58; 47; 45; 52; 56; 52; 48; 62; 57; 56; 53; 46; 53; 49; 46; 59;
47; 45; 43; 44; 43; 50; 49; 50; 47; 54; 61; 48; 51; 42; 47; 61; 49;
46; 51; 45; 56; 43; 58; 47; 34; 50; 54; 53; 42; 43; 53; 57; 41.
Для полученного набора:
а) запишите упорядоченный набор;
б) найдите наименьший и наибольший вес;
в) найдите размах;
г) взяв для дальнейшей работы количество интервалов, равным 6, определи-
те шаг интервала;
д) постройте интервальную таблицу частот (абсолютных и относительных);
е) постройте гистограмму абсолютных частот;
ж) найдите средний вес мальчика среди обследованных;
з) постройте таблицу накопленных относительных интервальных частот;
и) найдите медиану.

217
ОТВЕТЫ
К параграфу 1.1
4. а)
4
5
; в)
19
10
; е) -
29
5
; з) 1.
5. а) -
1
3
; в) 0; е)
13
34
; з) 1.
9.
151
222
60
23
47
24
59
12
289
72
610 029
438 292
, , , , ,- - .
12. а) m ≠−1и n ≠−2 и k ≠−3; в) y ≠ − − −0 1 2 3; ; ; ; е) s ¹1 3 5 7; ; ; ; з) s ≠−2 1; .
13. а)
S
t
; в)
m k
m
-
; г)
V
H
; е)
S
t
S
T
- .
14. а)
a
x
b
y
+ ; в)
S
v u
S
v u−
+
+
.
15. а)
k k
k
N
t
2 2 2
4
+
⋅
+
; в)
3 2
6
+ q
w
S.
16.
S
x y
S
x y−
+ +
+
1
2
.
17.
1 2
1 2
+ +
+ +
A AB
B AB
.
3. а)
2
6
2 4x y
xyz
; в)
36
9
3s
jzt
t
; е)
2
3
3
2
2
dy
jy
; з)
36
27
2 3
2
k w
j
.
4. а)
1
1
2
2
− − +
−( )
a ab a b
a
; в)
6 6
10 8
2 2
3
l u lu
l lu
+
+
; г)
a a
a
3 2
3
2 1
1
+ −
+( )
; е)
24 21
6 9
2 2 5
2 2 2 2
g uz g z
g u z g z
−
+
.
5. а)
15 3
3
2x xy
x
-
; в)
5 3 4
3 4
x y s v
s v
−( )( )+
+
.
6. а) -
4
3 2 5 2b h v
; в)
z
g k
3
6 6
; е) -
8
5
akr; з)
1
7 5 2 4s w x
.
7. а)
ab
3
; в)
n
z
; е)
k
k
+
+
1
3
; з)
pq
p q
2
2+
.

218
8. а)
m
m n+
; в)
s
s
+1
2
; г)
q p
q
−( )2
2
2
; е)
( )f g
f fg g
+
− +
2
2 2
.
9. а)
x
x
−
+
3
3
; в) k l- ; г)
1
3
x y x y−( ) +( )
; е)
3
5 2
2 4
2
h j
x+( )
.
11. а) a b+ ; в)
a b
a b
−
+
; г)18 42- s; е)
x xy y
x y
2 2+ +
+
.
13. а)
3
5
+
−
a
a b
; б)
a b c
a b c
+ +
+ −
; в)
x y
x y
4 4
4 4
−
+
; г)
2 2
2
r s
r s
+ −
+
; д)
a b
a b
−
+
2
2
; е)
3 4t p
t p
−
+
; ж)
x
x
-3
;
з)
1
1
2 4
2 4
+
−
x y
x y
.
14. а)
a a
a
4 2
2
1
1
-
-
-
; б)
x y z
x y z
+ −
− +
; в)
1
3 2 2a b+
; г)
c
ab c- 2
; д)
pt q
pt q
+
−
; е)
1
4 4g j-
.
15. а)
1
2 2 2a b bc c a b c+ − + − +( )
; б) y z+ ; в)
xy z
xy z
+
−
; г)
b d
a c
-
-
;
д)
ab cd ab cd
ab cd
+ −( ) + +( )
−
1 1
; е)1.
3. а)15 3 3xy z ; в) 2 5 2cf ks v; е) 20 3k p; з) 2 2 4 4 2h u w y .
5. а) x x2 16−( ); в) rs r s−( ).
10. а)
− + +3 12 8
18
2 2
3 3
a ab b
a b
; в)
− + −56 7 8
56
4 6 4 5 2 6 5 2
4 6 5 2
a f a g j f g j
a f g j
;
е)
− + +40 12 15
120
6 6 5 11
6 11
f f u u
f u
; з)
- - -14 63 18
126
7 7
9
b c bc
bc
.
12. а)
7
3
2x
x y-
; в)
3 40 40 7 72 3 3 3 3 2 3e f g f m gs ms l t
g m
+ + + + −
+
;
е)
9 160 5 100 16 10
8 5
3 2c dh h hj dt jt
d j
+ − − − +
−
; з)
− + + +
+
20 36 4
9
3u lx mx m y
l m
.
14. а)
m mn n
m m n
2 2
2 2
− −
−( )
; в)
2
2 3 4
2 2
2 2
x xy y
x x y
+ +
−( ) −( )
; е) −
+
+( )
u v
u u v2
12
; з)
2 2
2 3
2
2
− +
− +( )
q q
q q q
.

219
15. а)
8
3 3
2
x
x x−( ) +( )
; в)
ac bc c ad bd d
a b c d c d
+ + − + +
+( ) −( ) +( )
2 2
; г)
1
2 3 2x x x+ +( )
;
е)
4 4 27
4 12 9 4 12 9
2
2 2
u u v
u uv v u uv v
+( )
− +( ) + +( )
.
16. а)
2 9
2
2
−
−( )
x
x x
; в)
2
31 2s s s+( ) +( ) +( )
; д)
− −
− +
1
3 3 2
t
t t
; е)
5 3
4
i j
ij
-
.
17. а)
y x
xy x y
−
+( )
; в)
u v u v
u v
−( ) + −( )
+( )
2 2 2
2
2
; д)
2
q p+
; е) −
+( ) +( ) +( )
4
1 2 3z z z
.
18. а)
1 5
30 6
+
−
a
a
; в)
1
9 7 2 1 4+( ) +( )w w
; г)
1
4 62k k-
; е)
1
1 3j j−( ) −( )
.
19. а)
3 16
5 2 3 1
2
3 3
−
−( ) −( )
l
l l
; в) −
+ +( )
+( ) +( )
3 6 7 3
1 3
2i i
i i i
.
20. а)
3
5a b-
; б) −
+
1
1 h
; в)
1
a b c+ −
; г)
1
2 2x y+
; д)
1
2r Rw r- -
.
21. а)
1
f g h+ +
; б) 2+x; в)
1
4 5x y-
; г)
1
2 2a b-
; д)
1
1i j+ −
; е)1.
22. а) 0; б)
a b b c
c d c d
+( ) −( )
+( ) −( )
; в)
1
2rs S+
; г)
1
2mn n+
; д)
1
4 4 15 2+ −d d
.
23. а) 0; б) x y z a b2 2 2 2 2+ + − − ; в) luv xyz- ;
г)
f g h j x
f x x g x h x j
+ + + −
−( ) −( ) −( ) −( )
; д)
1
1 12 2x x x x+ +−( ) +( )
;
е)
1
1 1 14 2 3 4 2 3 4+( ) − + − +( ) + + + +( )x x x x x x x x x
; ж)
b
b ac2 +
; з)
1
2 2n m-
.
3. а)
3 3y z
x
; в) -
10
9
3
3 2
m
h y
; е)
7 8
8
m d
p
-
; з)
2 3
3 7
j l
x v
+
−
.
6. а)
3
1
a
b-
; в) -
2
3
f
tz
; г)
l l
a c
−( )
−( )
1
4 7
2
2
; е)
k a b
m p
+( )2
2
.

220
7. а)
2
2
x y
x y
+
−
; в)
- -10 7
21 3
d t
s v
; г)
i
i2 1+( )
; е) -
4
2j
.
9. а)
y
x3
; в) ek; е)
4
7
2m
; з)
u z5 7
2
.
10. а)
4 4b
n
; в) -7; г) 7; е) -9 3g .
11. а)
1
b a-
; в)
1
4 7t-
; г) -
fp
lr
2
2
; е) -
3
2
j
z
.
12. а) x y2 ; в) q; е) 0; з)
m
M
4
4
.
13. а)
m
n
2
2
; в) f h g k+( ) −( )2 2 ; е)
d D
d D
+( ) −( )
−( ) +( )
1 1
1 1
; з)
- -u v
u v3 3
.
14. а)
m
n m n
2
+( )
; в)
h g h
g
3 2-
; д)
1 2
2
-q
q
; e)
2 9
2
2
−
−( )
x
x x
.
15. а)
a ab b
a ab b
2 2
2 2
− +
+ +
; в)
u v u v uv
u v u v uv
+( ) + −( )
−( ) − +( )
2
2
; д)
j i j
i i j
4 2 2
2 2 2
4
4
−
−( )
.
16. а)
3 2
2 3
2 3
2 3
h r
h r
+
+
; в)
f j
f j
+
−2
.
17. в)
6
3 32 2
mn
m mn n− +
; г)
1
1f -
; е)
1
p t+
.
18. а)
y x y
x x y
−( )
+( )
2
2 2
; в) u v+ ; г)
1
r s-
; е)
l ir
l
+
2
.
19. а)
a b
a b
+
−
5
5
; б)1; в)1; г)
p q r
p q r
+ −
− +
; д)
f g
f g
+ −
+ −
2 1
2 2
; е)1.
20. а)
x xy y
x xy y
2 2 2
2 2 2
+ +( )
− +( )
; б)
1
3 2
+
+
u
u
; в)1; г)1; д) -1; е)
d z
d z
−
+
.
21. а)
1
ax by+
; б) u u v v4 2 2 4 2
− +( ) ; в)
1
2 2 2
m n−( )
; г)
f g fg
f g fg
− +
+ −
; д)
1
2 2r s-
;
е)
n m
n m
3 2
3 2
2
3
−
+
.

221
1. а) 6 1y−( ); в) 0; е)1 2+z ; з)
h y
y
+
.
2. а)
1
a b-
; в)
1
v u-
; е) -1; з)
1
pqr
.
3. а)
x y
x
2 2+
; в)
d
d-1
; е)
8 15
12
2 2h g
g
-
; з)1.
4. а)
x
x-3
; в)
t
t
2
21+
; г)
h m
h m
+ −
+
1
; е)
1
j
.
5. а)
2
1 2
x
x+
; в)
1
1+m
; г)
7 6 4
5
2− −
+
l l
l
; е)
1 2
1
2 3 6
6
+ + +
−( )
j j j
j j
.
6. а)
1
2
m n+( )
; в)
w qw qw q
q w
3 22
2
+ + −
+
; г)
2 2 4 3
3
2 3t t t
t
+ − −
+
; з) −
+ +
2
1
2
2
s
s s
.
7. а)
6 8 4
5 2
2 2
2
b ab a
b b a
+ −( )
−( )
; в) − + +3 2 2 2x x ; г)
1
k
; е)
1
z
.
8. д), ж), г).
11. а)
b x
b x
−( )
+( )
2
2
; б)
f g h
f g h
+ −
− +
; в)
1 1
1
2
3
−( ) +( )
+
x x
x
; г)1; д)
a b c
bc
+ +( )2
2
;
е)
u w u v w u v w
u w u v w u v w
−( ) + −( ) + +( )
+( ) + +( ) + −( )
2
2
; ж)
1
6 5 2− +i i
; з)
1
14 2
u −( )
.
13. а) 23; б) 110; в) 527.
14. а) a b c+ + ; б)
x
x
-3
; в)
u v
u v
+
−
; г)
p q r s
p q r s
+ + −
− + +
.
3. а)
43
150
; в) 3; е)18; з) 2.
4. а) a-3; в) z-7; е) p24; з) n-175.
5. а) a-10; в) l12; е) w-70; з) p23.
7. а)
4
9
; в)10; г)1; е)
22
21
.
8. а) 73; в) 5 47- ; е)10 23- ; з)17.

222
9. а) a-1; в) c90; е) f18; з) h-11.
10. а)
1
2
; в) 27; г)1; е)19.
11. а) 32; в) 7 1- ; е)114; з)1214.
13. а) - -a b c9 6 3; в) h z12 12- ; г) a g k- - -28 21 35; е) - - -c t e x35 14 14 28.
16. а) a-15; в) c7; е) f143; з) h-100.
17. а) 3 3- ; в) 3 5- ; е) 3 210- ; з) 330.
18. а)
1
36
; в)
1
4
; е)1; з)
128
125
.
19. а) 2 10 +2 +4⋅ ⋅ ⋅− −1 2 310 10 ; б) 3 10 7 104 5⋅ + ⋅− − .
20. а) 9990 078, ; в) 3930 8006, ; е) 6043 08951, .
21. а) 6 74 105, × ; в) 4 202564262 103, × ; е) 6 9344 10 3, ⋅ − .
22. а) 0 000026, ; д) 0 0122, .
23. а)
ab
a b+
; в)
4
2 2
uv
v u-
; е)
h h
h
2
1
2
2
+( )
+
; з)
1
1
2
2
+
−
q
q
.
24. а)
a b
a b a b
3 3
2
−( ) +( )
; б)
x x
x x
2
1 3
2
2 4
+( )
+ +
; в)
1
1
2
2
− −
+( )
x x
x
; г)
2
1 2
s
s+
; д)
1
1
4 8
8
+ +
−
f f
f
;
е)
4 1
2
3
2 4
w
w w
−( )
−( )
.
25. а)
1
xy
; б)
3 4
3 4
2
2
+ +
− +
z z
z z
; в)
uv
uv
−
+
1
1
; г)
l m k
l m k
− −
− +
; д)
x x
x x
− −
− +
1
1
2
2
; е)
s
s
5
24 1−( )
.
5. s t t=12 0 4,   .
6. d
t
=
1500
5
.
7. c
m
m
m=
+500
0 150,   .
10. а) 0 2 2 4 10 1 04; ; ; ; ; , ;- - в) -7 0 1 2 9
35
8
; ; ; ; ; .
11. а) -1; в) -
11
9
; е)11; з) -
3
5
.
12. а)1; в)
5
2
; е) -17; з)
25
4
.

223
13. а) 4; в)
7
5
.
14. а) 3 и -3; в) 4 и -4.
15. а) x – любое число; в) x – любое число, кроме 1; е) x – любое число, кроме
0, 1 и -1; з) x – любое число, кроме 0, 1 и -1.
16. а) x – любое число, кроме 1 и -1; в) x – любое число, кроме
3
2
и -2;
е) x – любое число, кроме -1; з) x – любое число, кроме 0.
17. m
n n
=
−( )1
2
, n  2.
18. а) f 2 3( )= ; б) f f6 7( )= ( ); в) f f2 1( )= −( ); г) f f9 9 1( )+ −( )= .
19. а) 2; б) -5; в) -170; г) 250.
20. а) 3 2- a; б) 5 2- m; в) 3 8- c; г) - -3 2x.
21. а) − + +2 6 4 2x x ; б)10; в) 76 144 81 4− +x x ; г) 3 22x - ; д)
− + +
−( )
2 3 4
3 2
2
2
x x
x x
; е) 9;
ж)
81 216 192 10
27
3 4
4
+ − +x x x
x
; з) 2 3- x.
3. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет.
4. а) Нет; б) да; в) нет; г) да.
5. а) 2; 2; 3; б) 3,25, или 4, или 6,25, или 6,75; -1 25, , или 1, или 7,1; в) -1; 2,5; 2;
г) -2, или 2, или 4,5, или 5,5, или 7; 3, или 4,15, или 6, или 6,9; 0 или 7,25.
6. а) 5; 5; 8; б) 7; 4,5; -5, или 0, или 3,1, или 5,5; в) 9; г) 7; д) -2; е) 4,5.
7. а) -3 и 0; б) например, при -4; 2 или 6,54; в) например, при -2, -1 или -0 23, ;
г) при значениях аргумента, больших -1; д) при значениях аргумента, мень-
ших -1.
8. а) 5; б) 1; в) 80 км; г) 40 км/ч и 70 км/ч; д) 44 км/ч.
9. а) 240 км; б)
2
3
ч; в) грузовой через 5 ч, легковой через 3 ч; г) грузовой со
скоростью 48 км/ч, легковой – 80 км/ч; д) 1 ч; е) 80 км; ж)1
1
3
ч.
12. Не всякая.
13. б); в).
14. Если любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает линию не более чем в
одной точке. Если это так, то такая линия представляет собой график некото-
рой функции.

224
6. б), г), д), ж).
7. а) k b=− =1 4; ; б) k b= =−11 13; ; в) k b=− =3 0; ; г) k b= =−0 6; .
8. а) Прямая, проходящая через точки 0 1; −( ) и 1 1;( ); в) прямая, проходящая че-
рез точки 0 3; −( ) и 1 0;( ); е) прямая, проходящая через точки 0 0;( ) и 1 3;( );
з) прямая, совпадающая с осью абсцисс.
10. а) Параллельны; б) совпадают; в) пересекаются; г) пересекаются;
д) совпадают; е) параллельны; ж) параллельны; з) пересекаются.
11. а) k b= <0 0; ; б) k b< <0 0; ; в) k b> <0 0; ; г) k b> =0 0; ; д) k b> <0 0; ;
е) k b= >0 0; ; ж) k b< >0 0; ; з) k b< =0 0; .
12. а) k k b b1 2 1 2= >; ; б) k k b b1 2 1 2> =; ; в) k k b b1 2 1 2= <; ; г) k k b b1 2 1 2< >; ;
д) k k b b1 2 1 2> >; ; е) k k b b1 2 1 2< <; ; ж) k k b b1 2 1 2> <; ; з) k k b b1 2 1 2< =; .
13. а) Нет; б) да; в) да; г) да.
14. б).
15. Нет.
19. а) Справедлива; б) y y= 1; в) x x= 1.
6. а) 196; в) 225; е) 144; з) 289.
7. а) -1 96, ; в) 0 01, ; е)108 16, ; з)11 6281, .
8. а)
4
9
; в)
1
81
; е)
100
9
; з)
49
4
.
9. в), г), е), ж), з).
10. а) 3 2 3 42 2, ,< ; в) 0 01 0 022 2, ,< ; е) 7 8 7 92 2, ,< ; з) 2 2 1 92 2, ,> .
11. а) y u y v( )< ( ); б) y u y v( )> ( ); в) y u y v( )> ( ); г) y u y v( )< ( ).
12. а), в), г), з).
13. Она является чётной.
14. При всех значениях аргумента эта функция принимает значение 0.
9. а)1; в)
1
2
; е)16; з)12.
10. а) -
1
2
; в) -3; е) -4; з) 9.

225
11. в), г), д), ж).
12. в).
13. а) y u y v( )> ( ); б) y u y v( )> ( ); в) y u y v( )< ( ); г) y u y v( )< ( ).
14. а) y x y x1 2( )> ( ); б) y x y x1 2( )> ( ); в) y x y x1 2( )> ( ); г) y x y x1 2( )< ( ).
16. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да, при k <0.
17. а) k k1 20 0> <, ; б) k k1 20 0< <, .
18. Нет.
19. а) k k2 1< ; б) k k2 1> .
21. а), г), д), ж).
22. Она является нечётной.
23. Графики функций y
x
=
4
и y
x
=
4
совпадают (рис. 42 а). График функции
y
x
=−
4
изображён на рис. 42 б.
а) б)
Рис. 42
24. Её осями симметрии являются прямые y x= и y x=− .
25. Прямая, совпадающая с осью абсцисс, из которой исключена точка 0 0;( ).
4. а) Два решения; б) не имеет решений; в) одно решение; г) два решения.
5. а) Нет; б) да; в) да; г) да; д) нет; е) да.
6. а), е), з).
1 x
1
y
1
x1
y
OO

226
7. а) 8; б) 14; в) 0,3; г) -4; д) 11; е) 1,1; ж) 8; з) 0,07.
8. а) 9; б) -10; в) 1; г) 3; д) 48; е) 0; ж) 14; з) 2,4.
9. а) 5; б) 21; в) 44; г) 6; д) -6; е)
2
25
; ж) 28; з)
8
5
.
10. а) 1; б) -3; в) 8.
11. а) a  0; б) b  0; в) c  0; г) x  0 и y  0.
12. а) 2 3< ; в) 7 3< ; е)
6
7
20
23
< ; з) 6 25 2
1
2
, = .
13. а) 2 и 3; б) 4 и 5; в) 7 и 8; г) 10 и 11; д) 14 и 15; е) 20 и 21.
14. а) x = 7 или x =−7; б) нет решений; в) x = 5 или x =− 5; г) x = 0 3, или
x =− 0 3, .
15. а) x =19; б) x = 49; в) z =169; г) y =−24.
16. а) 2; б) 3; в) 1; г) 2.
17. а) x = 0 или x =1; б) x = 0 или x =
1
25
; в) нет решений; г) x =1.
4. а)1 7, ; б) 2 6, ; в) 3,7; г) 9,4.
5. а)1 732, ; б) 2 646, ; в) 3,742; г) 9,434.
6. а) 7,94; б) 0,21; в) 2,82; г) 0,47.
7. а) 19; б) 37; в) 25; г) 4,2.
8. а) x = ≈20 4 5, или x =− ≈−20 4 5, ; б) x = ≈2 5 1 6, , или x =− ≈−2 5 1 6, , ;
в) x = ≈530 23 0, или x =− ≈−530 23 0, ; г) x = ≈8282 91 0, или
x =− ≈−8282 91 0, .
10. а), б), в), г), е).
12. Может.
6. а) 4; в) 0,3; е) 0,2; з) 0,12.
7. а)
2
3
; в)
4
5
; е) 20; з) 0,9.
8. а), г), д), ж), з).
9. а) 6 7< ; в) 0 4 0 3, ,> ; е) 77 9< ; з) 17 12> .
10. а) y u y v( )> ( ); б) y u y v( )< ( ); в) y u y v( )< ( ); г) y u y v( )< ( ).

227
11. а) 11, 4, 17 1, ; б) 21, 22, 5; в) 120, 12, 145; г) 4, 25, 52.
12. а) 16 4;( ); б) не пересекается; в) 196 14;( ); г) 0 0;( ).
13. а) Не пересекается; б) 1 1;( ); в) 0 0;( ) и 9 3;( ); г) 1 1;( ) и 4 2;( ).
14. а) x = 0 или x =1; б) нет решений; в) x =
9
4
; г) x = 4.
15. См. рис. 43: а) синий график; б) красный график; в) чёрный график.
1 x
1
y
y= –x
y=– –x
O
Рис. 43
3. а) 63; в) 0 09, ; е) 70; з) 44 1, .
4. а)
5
6
; в)
9
10
; е)
8
7
; з)
7
6
.
5. а)
35
54
; в)
216
385
; е)
21
4
; з)
52
15
.
6. а)135; в) 90; е) 0 3, ; з) 0 072, .
7. а)10; в) 7; е) 0 4, ; з)15.
8. а) 3; в)
1
2
; е)
13
3
; з)
1
3
.

228
9. а) 42; б) 7; в)110; г)
1
7
.
10. а) 2 3× ; в) 7 3× ; е) 7 10 14 5 35 2⋅ = ⋅ = ⋅ ; з) 11 13× .
11. а)
2
3
; в) например,
112
2
; е) например,
15
3
; з) 19
1 1
19
: :
g
g= .
12. а) 7; в) 21; д) 25.
13. а) 9 5, ; в) 4; е) 2 325 = ; з) 9 812 = .
14. а) 5 252 = ; в) 2 164 = .
15. а) n; в) 5 t ; е) - k ; з) j j+ 2.
16. а) x2; в) u4.
17. а) x-1; в) m2 2+ .
18. а) 80; б) 9000; в) 0 06, ; г) 0 007, .
19. а) 2 1- ; б)1 3+ ; в) 6 5- ; г) 3 7- .
20. а) 7 5× ; б) 7 ⋅ −a; в)
2
-c
; г)
-m
11
.
21. Всегда.
4. а) 2 7; в) 5 7; е) 5 6; з)
2
7
5.
5. а) 48; в) 184; е) 14; з)
81
50
.
6. а) 7 6; в) 5 2.
7. а) -2 a; в)13 8c m- .
8. а) - 5; в)12 7; е) 7 2; з) 5 5.
9. а) -3
2
5
; в)
5
2
; е)
9
2
; з) 11.
10. а) 14 2a ; б) - 5 2b ; в) 2 4c ; г) - 2 8d ; д) 14 6x ; е) 21 10y .
11. а)
7
7
; в) 15; е) 3 0 3, ; з)12 2.
12. а)
5
c
c; в)
p
q
q2 ; е)
2
4
3
2
k
k
; з)
m n
m n
m n
+
−
− .

229
13. а) 11 3- ; в) 3 2 2 3+ ; д) a x y- .
14. а) 5 2- ; в) 3 2 2+ ; е) 2 1−( ) s; з) − +( )3 2 11 1 .
15. а) 5 1- ; в) 2 3- ; е)
5
7
; з)
14
3
.
16. а)1+ a; в)
1
5 2a b+
; е)
1
m n+
; з) x x+ +2 .
17. а) -
n
m
; б)1; в)
z
z
−
+
1
1
; г)
h h+ + −1 1
2
; д)1+m; е) 2; ж)1; з)
1
1-k
.
18. а) a 5; б) − =b b3 3
2 2; в) c2 3; г) -3 7d d; д)
1
n
m; е) -
z
y
z
2
.
20. а)
1
4
2 6 2+ −( ); б)
1
23
3 4 2 16 3 6 6− − +( ); в)
1
2
5 6 7+ −( );
г) 2 2 3 11+ + .
21. а) 39; б) 4
56
3
10+ ; в)132; г)
3 3
2
p q p q
p q
+( ) +( )
−( )
.
22. а)
m n
m n m n
m n m n
+( )
−( ) +( )
≠
2
0 0, , ,  ; б) u v+ , u  0, v  0 и u v¹ ;
в)
a b ab
a b ab
+ −
+ −2
, a  0, b  0; г)
8 10 4
5 2
2
2
+ +
+
z z
z z
, − <
1
2
0 z или z>0.
23. а) 0; б) 7 2 10- ; в) 17; г)13 10 2+ .
24. а)1 3+ ; б) 2 3- ; в) 15 1- ; г) 5 3- ; д)1 2 6+ ; е) 2 2 3+ .
25. а) 5 2- ; б) 2 3 5 2+( ) −( ); в) 6; г) 0.
4. а)1и 2; в) 3 и -4; е) 0 25, и -2; з) -
2
3
и -
1
2
.
5. а) 0 и 2; в) 0 и -0 75, ; е) ± 3; з) 0.
6. а) 0 и1; в) 0 и 2 4, ; е) ±2 2; з) ± 2.
7. а)1; в) -1; е) 0 25, ; з) -2.
8. а) 0 и 0 4, ; в) 0 и15, ; е) 0 и ±3; з) ±2.
9. -42.
10. -4.

230
11.1.
12.1
2
3
.
13. а) 0 и1; в) 0; е) ±3; з) ± 6.
14. а) Нет корней; в)1и 5; е)1и -
1
3
; з) -2.
15. а) x x2 3 2 0− + = ; в) 2 1 02x x− − = .
16. а)1и 2; в)1и1
1
4
.
17. а) -3; в) ±3.
2. а)1; в) 4; е) ±10; з) ±2 7.
3. а) ±9 в) ±2 25, ; е) 0 и 6; з) нет корней.
4. а) 0 и 4; в) 0 и1; е) нет корней; з) 0 5, и -3 5, .
5. а) нет корней; в) -2 и -4; е) -1и 2; з)1и -6.
6. а) 6 и 8; в) нет корней; е) -2 и -9; з)1и -16.
7. а) -1и
3
4
; в)1и
1
2
; е) -2 и15, ; з) 2 и -2 75, .
8. а) 5; в)
1
3
; е) 2; з) корней нет;
9. а) -1и -5; в) 0 и 3.
10. а) Корней нет; в) ±1и ±3.
11. а) ±1; в) ни при каких.
12. а)1; в) -1.
2. а) 52, 2 корня; в) -104, корней нет; е) 0, 1 корень; з) -16, корней нет.
4. а) 2 и 4; в) 3 и 6; е) корней нет; з) 5 и -3.
5. а) 2 и15, ; в) -2 и -0 5, ; е) -5 и1
1
3
; з) корней нет.
6. а) 6 и -1; в) 5 и -1; е) 2 и 2,5; з) 2 и1
1
3
.

231
7. а) 2 и 6; в) 3 и 7; е) 2 и -1
3
8
; з) 5 и -0 25, .
8. а) 1 2± ; в)
5 17
2
±
; е) нет корней; з)
− ±3 41
8
.
9. а) 2; в) 3 и 2 3; е) -
1
3
; з) 3 и
- -1 3 3
3
.
10. а) ±6; в) ± 3.
11. а) -1; 2 и 3; в) ±1.
14. а) -3; в) 2.
15. а) -2; в) -
1
7
.
16. а)1; в)1
7
9
.
3. а) -3; в) -7; е) -2 5, ; з) -3 5, .
6. а) x x2 5 6 0− + = ; в) x x2 0− = ; е) x x2 11 24 0+ + = ; з) x x2 18 77 0− + = .
7. а) Нет корней; в) x x2 3 1 0− + = ; е) нет корней; з) 2 3 7 02x x+ − = .
8. а) 5 1 02x x− − = ; в) x x2 3 1 0− − = ; е) x x2 5 0− − = ; з) 7 3 2 02x x+ − = .
10. q <0.
11. а) Корней нет; в) 19; е) 0 25, ; з) корней нет.
12. а) 2 7 6 02x x− + = ; в) 25 45 232 02x x− − = ; е) 2 3 9 02x x+ − = ;
з) x x2 2 2 0− + = .
13. а) 2 и - -2 2; в) 5 и
4
3
5- .
14. а) x x2 3 1 0− + = .
15. а) -24; в)1
23
49
.
16. а) 95; в) 5
5
8
.
17. а) x x2 2 2 0− − = ; в) x x2 4 2 0− − = .
18. 3 17 16 02x x− + = .
19. p =−7, x2 2=− .
20. q =−7, x2 1= .

232
2. а) x x−( ) −( )1 7 ; в) x x+( ) −( )1 4 ; е) x x−( ) +( )3 5 ; з) x x+( ) +( )2 7 .
3. а) x x−( ) +( )1 3 2 ; в) x x+( ) −( )1 5 2 ; е) 2 3
2
x−( ) ; з) x x−( ) +( )2 2 1 .
4. а)
1
1a +
; в) 2-a; е)
b
b
+
−
3
6
; з)
6
5
b
b+
.
5. а)
a
a
−
+
5
10
; в)
5 3
2
a
a
-
-
; е)
3 1
7 5
b
b
-
-
; з)
6 13
2 9
b
b
-
-
.
6. b =−1, 3 2 1x x+( ) −( ).
7. а) x a x b−( ) −( ); в) x a x a+( ) +( )2 2 .
8. а) a b a b−( ) +( )2 ; в) p q p q−( ) +( )=2 3 8 0.
9. а) 3- a; в) a +1.
10. а)
2 3
1
−
+
a
b
; в)
4 1
1
a
b
-
-
.
1. 13 и 14.
3. 20%.
5. 16, 17 и 18.
7. 17.
9. 5 см.
11. 5 см и 12 см.
13. 12 и 3.
15. 12.
17.
2 1
2
29
−
≈ %.
2. а) ±1и -15, ; в)1и -2; е) 2 и -3; з) 2 и -2 5, .
3. а) 0; 2 и 3; в) 0; 2-5; е) ±1; з)1.
4. а) ±1и ± 6; в) корней нет; е) ±1; з) ± 2 и ±
1
2
.
5. а) − ±2 3; в) 0; -2; е) 0 и1; з) 0 и1.
6. а) x x4 2 1 0+ + = ; в) x x4 2 2 0+ − = .

233
7. а)
− ±3 2 3
3
; в)1и -4.
8. а) 2; 0 5, и -1; в) 2 и 6 5, .
9. а) 0;1и -3; в) ±1и 2.
10. а) 5; -6 и
− ±1 17
2
; в)1и -4.
11. а)1и -3; в) 0; -1и
− ±1 5
2
.
2. а) 26; в) ±1; е) -0 8, ; з) -2 и 4.
3. а) 0; в) -1; е) 0 и -0 25, ; з)1.
4. а) 2 и 0 5, ; в) 20 и 21; е) -3 и 0 5, ; з)
4
7
и -
1
3
.
5. а) -1; в)
2
3
; е) -1и 2; з) 1 и
1
2
.
6. а) -3 и 8; в) -1и 5 5, ; е) 7 и -3
1
3
; з)10 и -8.
7. а) -3 и
2
3
; в) -5; е) 9 и 10; з) 6.
8. а)1и -
2
3
; в)
1
3
и -
1
9
; е) 0 и
7
3
; з) ±2.
9. а) ±2; в) ±6.
10. а) 2; в) 2 и 0 4, .
11. а) 3 и 0 5, ; в) -1.
12. а) 3 и1
2
3
; в)1
3
7
.
13. а) Корней нет; в) 1; -2 и
3 17
2
±
.
14. а) 2; -7; в) 0; -2.
1.
3
4
.
3. 12 км/ч.
5. 40 км/ч.
7. 4 км/ч.

234
9. 60 км/ч.
11. 3 км/ч.
13. 5 ч и 7 ч 30 мин.
15. 40 пистолей или 60 пистолей.
4. а)
38
5
; 2; 8; 8; б) -
2
5
;10; 0;1; в)
17
4
; 5; 5; 5; г)1; 39; 0;18; д)
25
4
; 9; 7; 4,7 и 9;
е) 5 3, ; 7 6, ; 6; 6; ж) 5 39, ; 6 8, ; 6 05, ;1 9, ; з) »10 613, ;17 13, ;11 04, ; не существует.
5. а)
104
7
14 9» , °С; б) 16.
6. а)
313
7
44 7» , млн т; б) 13 млн т; в) 47 млн т; г) 49 млн т.
7. а)
91
12
7 6» , л; б) 3 л; в) 7,25 л.
8. а)
69
5
13 8= , см; б)
138
25
5 52= , года; в) 10 см, 5 см, 35 см.
9. а)
9
2
4 5= , буквы; б) 4 буквы; в) 4 буквы; г) 3 буквы.
10. Не более 5.
11. а) Да; б) да; в) да.
12. а) Да; б) да; в) да.
13. а) Да; б) да; в) да.
14. а) Нет; б) нет; в) да.
15. а) Да; б) нет; в) да.
16.
n +1
2
.
17.
n
2
и
n
2
1+ .
18. а) Да. Среднее равно 2 56, ; б) нет; в) нет.
5.
271
60
4 52» , ; 8; 6; 5.

235
6. Частоты: 5; 7; 9; 8; 7; 8; 8; 7; 6; 7.
469
72
6 51» , ; 9; 4;
13
2
6 5= , .
7. 3,053; 2; 2,4 и 3,5; 3,25.
8. Относительные частоты: 0,219; 0,364; 0,254; 0,086; 0,061; 0,013; 0,003.
Накопленные частоты: 1312; 3493; 5018; 5536; 5900; 5980; 6000.
Мода — 1 цифра, медиана — 1 цифра.
9.
86
25
3 44= , очка; относительные частоты — 0,173; 0,150; 0,193; 0,200; 0,113;
0,170; накопленные частоты — 52; 97; 155; 215; 249; 300.
10.
9597
236
40 66» , ; 41; 42.
11. См. рис. 44.
Рис. 44
12. См. рис. 45.
Рис. 45
11 12 13 14 15 16 17
5
10
15
20
Абсолютная
частота
Число
O
1
2
4
6
8
10
12
Отметка
2 3 4 5
восьмиклассников
O

236
13.
Год проведения зимних
Олимпийских игр
1994 1998 2002 2006 2010
Количество золотых медалей,
завоёванных сборной России
11 9 5 8 3
17. См. рис. 46 и 47.
2008 2009 2010 2008 2009 2010 2008 2009 2010 2008 2009 2010 2008 2009 2010
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
частота
Окончание
фамилии
и годова ева ина ко кая
Рис. 46
Рис. 47
2008 2009 2010 2008 2009 2010 2008 2009 2010 2008 2009 2010 2008 2009 2010
10
20
30
40
Окончание
фамилии
и годова ева ина ко кая
Абсолютная
частота
O

237
4. См. рис. 48.
Рис. 48
5. См. рис. 49.
Рис. 49
6.
3743
137
27 32» , см.
7.13 1, кг.
1 2 3 4 5 6 7 8
20000
40000
60000
80000
100000
120000
землетрясений
Магнитуда
землетрясенияO
40 80 120 160 200 IQ
0,2
0,4
0,6
0,8
Величина
частота
O

238
СОДЕРЖАНИЕ
Как работать с учебником . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
ГЛАВА I. Рациональные алгебраические выражения
1.1. Дробные алгебраические выражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Алгебраические дроби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5. Тождественные преобразования рациональных
алгебраических выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.6. Степень с целым показателем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
ГЛАВА II. Понятие о функциях
2.1. Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2. Графики функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3. Линейная функция и её график . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4. Функция y x= 2 и её график . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5. Функция y
k
x
= и её график . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
ГЛАВА III. Квадратные корни
3.1. Понятие о квадратном корне и об арифметическом квадратном корне . 100
3.2. Приближённое извлечение арифметических квадратных корней . . . . . 106
3.3. Функция y x= и её график . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4. Свойства арифметических квадратных корней . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5. Преобразование выражений, содержащих
арифметические квадратные корни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
ГЛАВА IV. Квадратные уравнения
4.1. Квадратные уравнения. Примеры решения квадратных уравнений . . . . 133
4.2. Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата . 138
4.3. Формула корней квадратного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.4. Теорема Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.5. Разложение выражения ax bx c2 + + на множители . . . . . . . . . . . . 152
4.6. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
ГЛАВА V. Рациональные уравнения
5.1. Целые рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.2. Дробные рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

239
ГЛАВА VI. Элементы статистики
6.1. Статистические характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2. Таблицы частот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.3. Понятие об интервальном методе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Задания для повторения
К главе I. Рациональные алгебраические выражения . . . . . . . . . . . . . . 195
К главе II. Понятие о функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
К главе III. Квадратные корни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
К главе IV. Квадратные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
К главе V. Рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
К главе VI. Элементы статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Ответы
К параграфу 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
К параграфу 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
К параграфу 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
К параграфу 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
К параграфу 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
К параграфу 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
К параграфу 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
К параграфу 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
К параграфу 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
К параграфу 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
К параграфу 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
К параграфу 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
К параграфу 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
К параграфу 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
К параграфу 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
К параграфу 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
К параграфу 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
К параграфу 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
К параграфу 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
К параграфу 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
К параграфу 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
К параграфу 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
К параграфу 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
К параграфу 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
К параграфу 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
К параграфу 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
К параграфу 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
К параграфу 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Рубин Александр Григорьевич
Чулков Павел Викторович
АЛГЕБРА
8 класс
Концепция оформления и художественное редактирование — Е.Д. Ковалевская
Подписано в печать 16.03.15. Формат 70´90/16.
Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Журнальная.
Объём 15 п. л. Тираж 4000 экз. Заказ №
Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2; 953005 – литература учебная
Издательство «Баласс». 109147 Москва, Марксистская ул., д. 5, стр. 1
Почтовый адрес: 111123 Москва, а/я 2, «Баласс»
Телефоны для справок: (495) 368-70-54, 672-23-12, 672-23-34
http://www.school2100.ru E-mail: izd@balass.su
Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат»
ОАО «Издательство "Высшая школа"»
214020 Смоленск, ул. Смольянинова, 1

8 a r ареиприаепрч

More Related Content

What's hot (17)

Similar to 8 a r ареиприаепрч (20)

8 a r ареиприаепрч