กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์, profile picture
Uploaded byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
1,644 views

Add m3-2-chapter1

Downloaded 23 times
บทที่ 1 การใหเหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม (15 ชั่วโมง) 1.1 ความรูพื้นฐานเกี่ยวกับการใหเหตุผลทางเรขาคณิต (2 ชั่วโมง) 1.2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม (8 ชั่วโมง) 1.3 การสราง (5 ชั่วโมง) เนื้อหาในบทนี้จะกลาวถึงสมบัติทางเรขาคณิตบางประการพรอมทั้งฝกใหนักเรียนมีความสามารถ ในการใหเหตุผลทางเรขาคณิตซึ่งเปนทักษะพื้นฐานสําคัญของการเรียนคณิตศาสตร นักเรียนจะไดเรียนรู และฝกการใหเหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม รวมถึงการนําสมบัติตาง ๆ ของรูปสามเหลี่ยม และรูปสี่เหลี่ยมไปใชในการสรางทางเรขาคณิตเพิ่มเติมจากสาระที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ในตอนเริ่มตน ของบทเรียนนี้ไดทบทวนความรูโดยรวบรวมสาระสําคัญที่นักเรียนเคยทราบแลวเกี่ยวกับการใหเหตุผลทาง คณิตศาสตรและสมบัติเบื้องตนทางเรขาคณิต ทั้งนี้เพื่อใชเปนพื้นฐานในการเรียนสาระตอไป ในการใหเหตุผลทางเรขาคณิต ครูควรคํานึงถึงการสอดแทรกแนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับระบบการ พิสูจนใหนักเรียนมีความเขาใจซึ่งแสดงดวยแผนภาพไดดังนี้ คําอนิยาม ใชเปนคําพื้นฐานในการสื่อความหมายใหเขาใจตรงกันโดยไมตองกําหนด ความหมายของคํา เราใชคําอนิยามในการใหความหมายของคําที่เกี่ยวของกับเนื้อหาสาระในรูปบทนิยาม ซึ่งขอความในบทนิยามทุกบทนิยามสามารถเขียนใหเปนประโยคที่เชื่อมดวย “ก็ตอเมื่อ” สําหรับ สัจพจน เปนขอความที่ยอมรับวาเปนจริงโดยไมตองพิสูจน เราใชคําอนิยาม บทนิยาม สัจพจน อยางใดอยางหนึ่งหรือหลายอยางประกอบกันในการใหเหตุผลเพื่อพิสูจนขอความตาง ๆ วาเปนจริงหรือไมเปนจริง ขอความที่พิสูจนไดวาเปนจริงอาจนํามาสรุปเปนทฤษฎีบท เพื่อนําไปใชอางอิง ในการใหเหตุผลและสรางทฤษฎีบทใหมตอไปได ในการพิสูจนขอความหรือโจทยปญหาที่กําหนดให ครูอาจแนะนําใหนักเรียนดําเนินการเปน ขั้นตอนดังตอไปนี้ คําอนิยาม บทนิยาม สัจพจน สมบัติทางคณิตศาสตร ใหเหตุผล ทฤษฎีบท หรือ สมบัติใหมทางคณิตศาสตร
2 1. อานและทําความเขาใจขอความหรือโจทยปญหาที่กําหนดให โดยการพิจารณาวาโจทย กําหนดอะไรบางและตองการใหพิสูจนอะไร 2. วิเคราะหยอนกลับจากผลหรือสิ่งที่โจทยตองการใหพิสูจนไปหาเหตุหรือสิ่งที่โจทย กําหนดให โดยพิจารณาวาในแตละขั้นที่เปนผลยอย ๆ กอนผลสุดทายนั้นตองเกิดจากเหตุอันใดบาง และ จากเหตุนั้นตองอาศัยบทนิยาม สัจพจน ทฤษฎีบทหรือสมบัติทางคณิตศาสตรใดบางมาประกอบเพื่ออางอิง ไปสูผลยอย ๆ เหลานั้น ทําเชนนี้เรื่อย ๆ จนกวาผลยอย ๆ นั้นมาจากเหตุที่เปนสิ่งที่โจทยกําหนดให 3. เขียนแสดงการพิสูจนจากเหตุหรือสิ่งที่โจทยกําหนดใหผนวกกับเหตุผลตามที่วิเคราะหได ในขอ 2 มาเขียนตามลําดับเหตุและผลจนไดผลสุดทายเปนสิ่งที่โจทยตองการใหพิสูจน การวิเคราะหและลําดับขั้นการพิสูจนแสดงไดดวยแผนภาพ ดังนี้ การวิเคราะหยอนกลับ การเขียนแสดงการพิสูจน ใหเหตุผล สิ่งที่ตองการพิสูจน สิ่งที่กําหนดให บทนิยาม / สัจพจน / ทฤษฎีบท / สมบัติทางคณิตศาสตร วิเคราะหหา “เหตุ” ที่ทําใหเกิด “ผล” บทนิยาม / สัจพจน / ทฤษฎีบท / สมบัติทางคณิตศาสตร สิ่งที่กําหนดให สิ่งที่ตองการพิสูจน
3 สําหรับการสราง ครูควรฝกใหนักเรียนเขียนหรือจินตนาการรูปที่โจทยตองการใหสรางกอน แลว คิดวิเคราะหยอนกลับเพื่อกําหนดลําดับการสรางตามความจําเปนกอนหลัง ตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนดให แนวคิดในการใหเหตุผลและการสรางในสวนเฉลย เปนเพียงแนวคิดหนึ่งเทานั้น อีกทั้งการเฉลย สวนใหญจะเขียนไวอยางรวบรัด ครูไมควรใหนักเรียนเลียนแบบเขียนรวบรัดดังที่เสนอไว แตครูควรให นักเรียนไดเพิ่มเติมรายละเอียดการใหเหตุผล และขั้นตอนการสรางตามที่ควรจะเปน ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1. ใชสมบัติเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมในการใหเหตุผลได 2. สรางและใหเหตุผลเกี่ยวกับการสรางที่กําหนดใหได
4 แนวทางในการจัดการเรียนรู 1.1 ความรูพื้นฐานเกี่ยวกับการใหเหตุผลทางเรขาคณิต (2 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถพิสูจนขอความทางเรขาคณิตที่กําหนดใหได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการจัดกิจกรรมเพื่อทบทวนประโยคเงื่อนไข ครูอาจใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางขอความ ที่มีลักษณะเปนประโยคเงื่อนไขเชื่อมดวย ถา...แลว... อยางชัดเจน และขอความที่ไมปรากฏการเชื่อมดวย ถา...แลว... อยางชัดเจน แลวนํามาวิเคราะหแยกขอความสวนที่เปน เหตุ และ ผล เพื่อใหนักเรียนเห็นวา ในชีวิตประจําวันโดยเฉพาะอยางยิ่งในคณิตศาสตร เรามักพบขอความที่มีลักษณะเปนประโยคเงื่อนไข และจากประโยคเงื่อนไขดังกลาว เราสามารถนํามาใชในการเขียนบทกลับของประโยคเงื่อนไข รวมทั้ง การเขียนประโยคเงื่อนไขและบทกลับของประโยคเงื่อนไขใหเปนประโยคเดียวกันโดยใชคําวา ...ก็ตอเมื่อ... โดยใชกิจกรรม “ยังทําไดไหม” ตรวจสอบความรูและความเขาใจ 2. ในการวางพื้นฐานเกี่ยวกับการใหเหตุผลทางเรขาคณิต ครูควรแนะนําคําอนิยามทาง เรขาคณิตซึ่งไดแก จุด เสนตรงและระนาบ และยกตัวอยางบทนิยามที่มีการใชคําอนิยาม เชน บทนิยาม ของรังสี บทนิยามของเสนขนาน และชี้ใหเห็นวาทุกบทนิยามสามารถเขียนเปนประโยคที่เชื่อมดวย “ก็ตอเมื่อ” ครูอาจยกตัวอยางสัจพจนที่นักเรียนเคยทราบมาแลวเพิ่มเติมจากที่ใหไวในหนังสือเรียนอีกก็ได เชน เสนตรงที่แบงครึ่งมุมมุมหนึ่งมีเพียงเสนเดียว และเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนตรงที่จุดกําหนดใหมีเพียง เสนเดียว พรอมทั้งแนะนําการพิสูจนขอความทางเรขาคณิตซึ่งอาจตองอางอิงบทนิยามหรือสมบัติทาง เรขาคณิต ดังเชนตัวอยางที่ 1 อางอิงบทนิยามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน 3. ครูควรยกตัวอยางโจทยปญหาใหนักเรียนไดเห็นจริงวา ในการใหเหตุผลทางเรขาคณิตมีการ พิสูจนวาขอความที่กําหนดใหเปนจริง และบางขอความก็ใหพิสูจนวาไมเปนจริงซึ่งทําโดยยกตัวอยางคาน ดังตัวอยางที่ 2 ที่เสนอไว 4. สําหรับการทบทวนทฤษฎีบทในหัวขอนี้จะกลาวถึงทฤษฎีบทเบื้องตนที่ใชบอย ๆ เกี่ยวกับ เสนตรง เสนขนานและรูปสามเหลี่ยมกอน สําหรับทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะกลาวถึงในหัวขอตอไป ในการทบทวนความรูครูอาจใหนักเรียนชวยกันบอกสมบัติตาง ๆ เกี่ยวกับ เสนตรง เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม แลวจึงแนะนําสมบัติเหลานั้นในรูปทฤษฎีบทที่ใหนักเรียนยอมรับ โดยไมตองพิสูจน สําหรับตัวอยางที่ 3 เมื่อนักเรียนไดพิสูจนแลว ครูควรแนะนําวาขอความที่กําหนดใหนั้น เปนสมบัติทางเรขาคณิตอีกประการหนึ่งที่สามารถนําไปใชอางอิงในการใหเหตุผลได
5 5. กอนใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 1.1 ครูอาจนําแนวการพิสูจนที่ไดกลาวไวในบทนํามาอธิบาย ยกตัวอยางใหนักเรียนเห็นลําดับขั้นตอนการวิเคราะหเพื่อเขียนการพิสูจน อาจใชโจทยขอ 2 ใน แบบฝกหัดนี้เปนตัวอยางดังนี้ กําหนดให EF ตัด AB และ CD ที่จุด E และ จุด F ตามลําดับ และ AEX ∧ = DFY ∧ ตองการพิสูจนวา AB // CD ในการวิเคราะหยอนกลับ ครูใชการถามตอบจากสิ่งที่ตองการพิสูจน เชื่อมโยงไปสูสิ่งที่ กําหนดให อาจใชตัวอยางคําถาม เชน 1) โจทยตองการพิสูจนขอความใด [AB // CD] 2) มีเงื่อนไขใดบางที่ทําใหสรุปไดวา AB // CD และควรใชเงื่อนไขใด [เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมี ขนาดเทากัน หรือ เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาด เทากัน] 3) ถาจะพิสูจนวา AB // CD โดยใชเงื่อนไขเกี่ยวกับมุมแยงมีขนาดเทากันซึ่งจะตอง แสดงวามุมคูใดมีขนาดเทากัน [BE F ∧ = C F E ∧ หรือ AE F ∧ = DF E ∧ ] 4) ถาจะแสดงวา BEF ∧ = CFE ∧ สามารถนําขอมูลใดมาใช [ AE X ∧ = BE F ∧ , DFY ∧ = C F E ∧ เนื่องจากแตละคูเปนมุมตรงขามกันและ กําหนดให AE X ∧ = DFY ∧ ] A B C D E F Y X
6 การวิเคราะหยอนกลับขางตนแสดงไดดวยแผนภาพ ดังนี้ จากแผนภาพขางตน เขียนแสดงการพิสูจนจากสิ่งที่กําหนดใหไปสูสิ่งที่ตองการพิสูจนไดดังนี้ พิสูจน AEX ∧ = DFY ∧ (กําหนดให) เนื่องจาก AEX ∧ = BEF ∧ และ DFY ∧ = CFE ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน) จะได BEF ∧ = CFE ∧ (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรง คูนั้นขนานกัน) ครูควรฝกใหนักเรียนใชการวิเคราะหยอนกลับในการพิสูจนทางเรขาคณิต ซึ่งในระยะแรก ๆ ครูอาจใชคําถามนําเพื่อเปนแนวทางกอนหรืออาจใหนักเรียนชวยกันวิเคราะหบนกระดาน หลังจากนั้นจึงให นักเรียนฝกวิเคราะหดวยตนเอง AB // CD ทฤษฎีบท : เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมีขนาดเทากัน BEF ∧ = CFE ∧ ทฤษฎีบท : ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน AEX ∧ = BEF ∧ , DFY ∧ = CFE ∧ AEX ∧ = DFY ∧ สิ่งที่ตองการพิสูจน สิ่งที่กําหนดให ใหเหตุผล โดยใชบทนิยาม / สัจพจน / ทฤษฎีบท / สมบัติ
7 1.2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม (8 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถนําทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมและ สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานไปใชในการใหเหตุผลได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนทฤษฎีบทเกี่ยวกับเงื่อนไขที่ทําใหสรุปไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากัน ทุกประการซึ่งไดแก รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ด.ม.ด., ม.ด.ม., ม.ม.ด. และ ด.ด.ด. โดยไมแสดงการพิสูจน แตยกตัวอยางที่แสดงการนําทฤษฎีบทดังกลาวไปใชอางอิงในการใหเหตุผล เชน การพิสูจนวาจุดใด ๆ ที่อยูบนเสนแบงครึ่งมุมมุมหนึ่ง ยอมอยูหางจากแขนทั้งสองขางของมุมเปนระยะ เทากัน โดยใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่มีความสัมพันธกันแบบ ม.ม.ด. 2. นักเรียนเคยทราบสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมาบางแลว ในหัวขอนี้นักเรียนจะไดทราบ ถึงทฤษฎีบทที่เกี่ยวของกับรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว คือ การพิสูจนวา รูปสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มุมสองมุมมีขนาด เทากัน เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว โดยพิสูจนทฤษฎีบทที่กลาววา ดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง จะยาวเทากัน ก็ตอเมื่อ มุมที่อยูตรงขามดานทั้งสองนั้นมีขนาดเทากัน การพิสูจนทฤษฎีบทนี้ครูควรชี้ให นักเรียนสังเกตวา การพิสูจนขอความใด ๆ ที่เชื่อมดวย“ก็ตอเมื่อ” จะตองแยกพิสูจนเปนสองตอน ใหครูสังเกตวาเราจะไมพิสูจนทฤษฎีบทนี้โดยใชการแบงครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยม ทั้งนี้ เพราะในการสรางเสนแบงครึ่งมุมมีการพิสูจนที่อางอิงถึง ด.ด.ด. และการพิสูจนรูปสามเหลี่ยมเทากัน ทุกประการดวยความสัมพันธแบบ ด.ด.ด. ก็อางอิงมาจากสมบัติดังกลาวของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ซึ่งทํา ใหเกิดลักษณะการใหเหตุผลแบบวนกลับ ในหนังสือเรียนจึงพิสูจนทฤษฎีบทดังกลาวดวยการใช ความสัมพันธแบบ ด.ม.ด. และ ม.ม.ด. 3. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมีสาระสําคัญของ เนื้อหาที่ครูควรทราบเกี่ยวกับสาระที่นักเรียนเคยทราบมาบางแลว ดังนี้ บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู ทฤษฎีบท 1) ดานตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานยาวเทากัน 2) ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีดานตรงขามยาวเทากันสองคู แลวรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้นเปน รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน 3) มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมีขนาดเทากัน 4) ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมตรงขามที่มีขนาดเทากันสองคู แลวรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้น เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน
8 5) เสนทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานแบงครึ่งซึ่งกันและกันที่จุดตัดของ เสนทแยงมุม ขอ 1), 3) และ 5) เปนสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานซึ่งนักเรียนเคยเรียนมาแลว โดยยัง ไมมีการพิสูจน และจะพิสูจนใหเห็นจริงในบทเรียนนี้ ขอ 2) และขอ 4) เปนบทกลับของขอ 1) และขอ 3) ตามลําดับ ทําใหทราบเงื่อนไข เกี่ยวกับความยาวของดานและขนาดของมุมที่ทําใหรูปสี่เหลี่ยมเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน สําหรับทฤษฎีบท สวนของเสนตรงที่ปดหัวทายของสวนของเสนตรงที่ขนานกันและยาว เทากัน จะขนานกันและยาวเทากัน ทฤษฎีบทนี้ชวยใหเราทราบเงื่อนไขที่ทําใหรูปสี่เหลี่ยมเปนรูปสี่เหลี่ยม ดานขนานเพิ่มอีกหนึ่งเงื่อนไข คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่งขนานกันและยาวเทากัน เปน รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน และทฤษฎีบทที่กลาววา สวนของเสนตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของดานสองดาน ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะขนานกับดานที่สามและยาวเปนครึ่งหนึ่งของดานที่สาม ซึ่งเปนทฤษฎีบทที่มี ประโยชนในการนําไปใชอางอิงไดมาก ดังนั้นในการเรียนการสอน ครูจึงอาจทบทวนทฤษฎีบทขอ 1), 3) และ 5) โดยใหนักเรียน ชวยกันอธิบายขั้นตอนการพิสูจนดวยวาจาบนกระดานดํากอน แลวจึงพิสูจนทฤษฎีบท ขอ 2) และขอ 4) ตอเนื่องกันไป 4. สําหรับโจทยขอ 1, 3, 5 และ 7 ในแบบฝกหัด 1.2 ข เปนทฤษฎีบทที่นํามาเปนแบบฝกหัด ใหนักเรียนไดพิสูจนดวยตนเอง ครูอาจนําทฤษฎีบทเหลานี้มาสรุปเปนความรูรวมกันอีกครั้งก็ได และ แนะนําใหนักเรียนจดจําไวใชอางอิงในการใหเหตุผล และนําไปใชแกปญหาตอไป 5. สําหรับกิจกรรม “นารู” มีเจตนาใหไวเปนความรูและใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยง ที่นํา สมบัติทางเรขาคณิตไปใชในการสรางอุปกรณทุนแรงเพื่อใหมีความสะดวกตอการดํารงชีวิต 6. กิจกรรม “พิสูจนไดหรือไม” มีเจตนาใหเปนความรูเพิ่มเติม เพื่อเสริมทักษะในการให เหตุผลและใหเห็นการนําสมบัติดังกลาวไปใชในการพิสูจนเกี่ยวกับการแบงสวนของเสนตรงออกเปนสวน ๆ ที่เทากัน ซึ่งนักเรียนเคยสรางมาแลว แตยังไมมีการพิสูจน 1.3 การสราง (5 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถสรางรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมตามเงื่อนไขที่กําหนดใหได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนเพื่อตรวจสอบความรูและความเขาใจเกี่ยวกับการสรางที่ใชเครื่องมือเพียง 2 อยาง คือ สันตรงและวงเวียน และการสรางพื้นฐาน 6 อยางที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ครูอาจใหนักเรียน อธิบายการสรางดวยวาจาโดยพิจารณาจากรองรอยการสรางในแตละขอที่เสนอไวในหนังสือเรียน
9 2. กอนทํากิจกรรมการสรางเสนขนานผานจุด P ซึ่งอยูภายนอก AB ใหขนานกับ AB ครูอาจ ทบทวนหลักการและแนวคิดเกี่ยวกับการสรางที่สมบูรณซึ่งมี 4 ขั้นตอนและเคยแนะนําไวแลวในคูมือครู สาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 1 ดังนี้ 1) ขั้นวิเคราะห ครูควรแนะนําใหนักเรียนทําความเขาใจโจทย หาความสัมพันธ ระหวางสิ่งที่กําหนดใหและสิ่งที่ตองการสราง โดยการเขียนรูปที่ตองการอยางคราว ๆ กอน แลวจึงคิด ลําดับขั้นตอนการสรางกอนหลัง 2) ขั้นสราง ดําเนินการสรางตามที่คิดไวในขอ 1) ซึ่งในชั้นนี้สวนใหญจะใหเขียนวิธี สรางดวย ครูอาจตกลงกับนักเรียนใหเขียนการสรางพื้นฐาน 6 อยางโดยสังเขปและเขียนขั้นตอนการสราง อื่น ๆ โดยละเอียด 3) ขั้นพิสูจน ครูควรย้ําวาทุก ๆ การสรางควรมีการพิสูจนยืนยันวาการสรางนั้นถูกตอง และเปนจริงตามที่โจทยตองการ ยกเวนโจทยจะกําหนดวาไมตองพิสูจน 4) ขั้นอภิปรายผล ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาการสรางรูปที่โจทยตองการบางรูป สามารถสรางไดรูปแตกตางกัน และบางรูปก็ใชวิธีการสรางแตกตางกันไดดวย ดังนั้นครูอาจใหมีการ อภิปรายรวมกันในชั้นเรียนเพื่อใหนักเรียนไดทราบถึงแนวคิดที่แตกตางกัน และแนวคิดใดนาจะทําให การสรางมีประสิทธิภาพกวา 3. กิจกรรม “มีไดรูปเดียว” เปนกิจกรรมที่ตองการใหนักเรียนใชความรูเกี่ยวกับสมบัติของ รูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ และสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมาชวยวิเคราะหการสราง ในการทําแบบฝกหัดของกิจกรรมนี้ ครูอาจใหนักเรียนรวมกันอภิปรายถึงลําดับขั้นตอนการ สรางแตละขอ และแนวคิดที่แตกตางกัน สําหรับโจทยขอ 5 ครูอาจแนะนําใหนักเรียนสรางรูป ∆ DEF ที่มุมสองมุมมีขนาด p และ ขนาด q แลวใหนักเรียนใชขนาดของมุมที่สามของ ∆ DEF ซึ่งมีขนาด r มาสราง ∆ ABC ตามเงื่อนไข ในโจทย โดยสราง AC ยาว a หนวย สราง ACX ∧ = q สราง CAY ∧ = r และให CX ตัดกับ AY ที่จุด B จะได ABC ∧ = p และได ∆ ABC ตามตองการ ดังรูปการสรางตอไปนี้ F r p q r q Y X A Ca B
10 4. สําหรับกิจกรรม “มีไดหลายรูป” มีเจตนาใหนักเรียนเห็นวาการสรางรูปเรขาคณิตบางรูป ถาเงื่อนไขที่โจทยกําหนดมีไมเพียงพอที่จะทําใหไดรูปการสรางเปนรูปเดียวกัน หรือเปนรูปที่เทากัน ทุกประการ อาจทําใหรูปที่สรางมีไดมากกวา 1 รูป 5. กิจกรรม “สรางไดไมยาก” มีเจตนาใหนักเรียนไดเรียนรูเกี่ยวกับการสรางรูปสี่เหลี่ยมที่ตอง อาศัยสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว มาชวยในการวิเคราะห การสราง รวมถึงการสรางรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมตามเงื่อนไขในโจทย ครูอาจนําแบบฝกหัดบางขอ มาใหนักเรียนไดอภิปรายรวมกันอีกครั้งเพื่อดูแนวคิดของนักเรียนที่แตกตางกัน เชน แบบฝกหัดขอ 2 การสรางรูปสี่เหลี่ยมรูปวาวสามารถสรางได 3 แบบโดยใชความยาว a หรือ b หรือ c เปนความยาวของเสนทแยงมุมหนึ่งเสน ดังนี้ 6. กิจกรรม “แบงครึ่งมุม” มีเจตนาเพื่อเสริมความรูใหนักเรียนเห็นวาวิธีสรางเสนแบงครึ่งมุม อาจทําไดอีกวิธีหนึ่ง ครูอาจใหนักเรียนชวยกันพิสูจนหรืออาจใหนักเรียนเขียนการพิสูจนแลวนํามาแสดง บนปายนิเทศก็ได 7. สําหรับกิจกรรม “เขาหาไดอยางไร” มีเจตนาใหเปนความรูเพิ่มเติม เพื่อใหนักเรียนเห็น ตัวอยางที่ชาวกรีกโบราณเชื่อมโยงความรูเกี่ยวกับการสรางทางเรขาคณิตไปชวยในการหาคําตอบทาง พีชคณิต ครูอาจใหนักเรียนลองทํากิจกรรมตามที่ระบุไวในหนังสือเรียน เพื่อตรวจสอบความเขาใจและ เห็นความนาทึ่งของวิธีการนี้ a b c b b a c c c c b a a a b
11 คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “ยังทําไดไหม” 1. 1) ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา แลวรูปสามเหลี่ยมนั้นมีสวนสูงทั้ง สามเสนยาวเทากัน 2) ถาเสนทแยงมุมทั้งสองเสนของ ABCD ตัดกันเปนมุมฉากและแบงครึ่งซึ่งกันและกัน แลว ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่มีดานทั้งสี่ยาวเทากัน 2. 1) รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีสวนสูงทั้งสามเสนยาวเทากัน ก็ตอเมื่อ รูปสามเหลี่ยมนั้นเปน รูปสามเหลี่ยมดานเทา 2) ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่มีดานทั้งสี่ยาวเทากัน ก็ตอเมื่อ เสนทแยงมุมทั้งสองเสนของ ABCD ตัดกันเปนมุมฉากและแบงครึ่งซึ่งกันและกัน 3. 1) “ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน แลวดานตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมนั้น ยาวเทากันสองคู” และ “ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีดานตรงขามยาวเทากันสองคู แลว รูปสี่เหลี่ยมนั้นเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน” 2) “ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีขนาดของมุมเทากันสองมุม แลวรูปสามเหลี่ยมนั้นเปน รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว” และ “ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว แลว รูปสามเหลี่ยมนั้นมีขนาดของมุมเทากันสองมุม” คําตอบแบบฝกหัด 1.1 1. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก 1 ∧ = 4 ∧ (กําหนดให) 1 ∧ = 2 ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน) 2 1 4 3
12 จะได 4 ∧ = 2 ∧ (สมบัติของการเทากัน) เนื่องจาก 3 ∧ +4 ∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง) ดังนั้น 3 ∧ +2 ∧ = 180o (สมบัติของการเทากัน โดยแทน 4 ∧ ดวย 2 ∧ ) 2. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก AEX ∧ = DFY ∧ (กําหนดให) AEX ∧ = BEF ∧ และ DFY ∧ = CFE ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) ดังนั้น BEF ∧ = CFE ∧ (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยง มีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน) 3. แนวคิดในการพิสูจน 1) เนื่องจาก GEA ∧ = CFE ∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) A B C D E F Y X A B C D G H F E
13 และ CFE ∧ = DFH ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาด เทากัน) ดังนั้น GEA ∧ = DFH ∧ (สมบัติของการเทากัน) 2) เนื่องจาก GEB ∧ + GEA ∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง) ดังนั้น GEB ∧ + CFE ∧ = 180o (สมบัติของการเทากัน โดยแทน GEA ∧ ดวย CFE ∧ ) 4. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก ABE ∧ = DCB ∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยง มีขนาดเทากัน) และ BED ∧ = DCB ∧ + EDC ∧ (ถาตอดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเทากับผลบวกของขนาด ของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น) ดังนั้น BED ∧ = ABE ∧ + EDC ∧ (สมบัติของการเทากัน โดยแทน DCB ∧ ดวย ABE ∧ ) 5. แนวคิดในการพิสูจน 1) เนื่องจาก BMN ∧ = CNM ∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยง มีขนาดเทากัน) A B E C D N L C D M A B OE F P
14 และ CNM ∧ = EON ∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลว มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกัน ของเสนตัดมีขนาดเทากัน) ดังนั้น EON ∧ = BMN ∧ (สมบัติของการเทากัน) 2) เนื่องจาก AMN ∧ + BMN ∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง) จะได AMN ∧ + EON ∧ = 180o (สมบัติของการเทากัน โดยแทน BMN ∧ ดวย EON ∧ ) 3) ดังนั้น AB // EF (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหขนาด ของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด รวมกันเทากับ 180 องศา แลวเสนตรงคูนั้น ขนานกัน) คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ก 1. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก ∆ AMB ≅ ∆ CMD (ด.ม.ด.) จะได ABM ∧ = CDM ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) ดังนั้น AB // DC (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยงมี ขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน) A B D C M
15 2. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก AB = AC และ DB = DC (กําหนดให) และ AD = AD (AD เปนดานรวม) ดังนั้น ∆ ABD ≅ ∆ ACD (ด.ด.ด.) 3. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก ∆ AEB ≅ ∆ ADC (ม.ม.ด.) ดังนั้น AE = AD และ BE = CD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) A B C D E A B C D
16 4. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก A ∧ = B ∧ และ B ∧ = C ∧ (กําหนดให) จะได BC = AC และ AC = AB (ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมที่มีขนาดเทากันสองมุม แลวดานที่อยูตรงขามกับมุมคูที่มีขนาดเทากัน จะยาว เทากัน) ดังนั้น AB = AC = BC (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา 5. แนวคิดในการพิสูจน กําหนดให ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา มี AD, BE และ CF เปนเสนมัธยฐาน ตองการพิสูจนวา AD = BE = CF พิสูจน เนื่องจาก ∆ ABD ≅ ∆ CBF (ด.ม.ด.) ดังนั้น AD = CF (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) เนื่องจาก ∆ ACD ≅ ∆ BCE (ด.ม.ด.) A B C A B CD EF
17 ดังนั้น AD = BE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) นั่นคือ AD = BE = CF (สมบัติของการเทากัน) 6. แนวคิดในการพิสูจน ลาก EM และ CM เนื่องจาก ∆ EAM ≅ ∆ CBM (ด.ม.ด.) ดังนั้น EM = CM (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) จะได ∆ DEM ≅ ∆ DCM (ด.ด.ด.) ดังนั้น EDM ∧ = CDM ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ข 1. แนวคิดในการพิสูจน กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมี BD และAC เปนเสนทแยงมุมตัดกัน ที่จุด E ตองการพิสูจนวา DE = BE และ AE = CE พิสูจน เนื่องจาก ∆ DAE ≅ ∆ BCE (ม.ด.ม.) A M B C D E A D B C E
18 ดังนั้น DE = BE และ AE = CE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) 2. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก ∆ DOA ≅ ∆ COB (ด.ม.ด.) จะได AD = BC (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) และ ADC ∧ = BCD ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) ดังนั้น AD // BC (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยง มีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน) นั่นคือ ACBD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่ง ขนานกันและยาวเทากัน เปนรูปสี่เหลี่ยม ดานขนาน) 3. แนวคิดในการพิสูจน กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ตองการพิสูจนวา ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน A C BD O A B CD
19 พิสูจน เนื่องจาก A ∧ = B ∧ = C ∧ = D ∧ = 90o (มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแตละมุมมี ขนาดเทากับ 90 องศา) จะได A ∧ + D ∧ = 180o และ A ∧ + B ∧ = 180o (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น AB // CD และ BC // AD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกัน ของเสนตัด รวมกันเทากับ 180 องศา แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน) นั่นคือ ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยม ที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู) 4. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก ED // BF (ตางก็เปนสวนหนึ่งของดานตรงขามที่ขนานกันของ รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน) และ ED = BF (จุด E และจุด F เปนจุดกึ่งกลางของ AD และ BC ซึ่งมีความยาวเทากัน) ดังนั้น DFBE เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่ง ขนานกันและยาวเทากัน เปนรูปสี่เหลี่ยม ดานขนาน) D C BA E F
20 5. แนวคิดในการพิสูจน กําหนดให ∆ ABC มีจุด X เปนจุดกึ่งกลางของ AB และ XY // BC ตองการพิสูจนวา จุด Y เปนจุดกึ่งกลางของ AC พิสูจน เนื่องจาก ∆ AXY ∼ ∆ ABC (ถารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเทากันเปนคู ๆ สามคู แลวรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเปนรูปสามเหลี่ยม ที่คลายกัน) จะได AX AB = AY AC (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลาย) เนื่องจาก AX AB = 1 2 (จุด X เปนจุดกึ่งกลางของ AB) ดังนั้น AY AC = 1 2 (สมบัติของการเทากัน) AY = 1 2 AC (สมบัติการคูณไขวของอัตราสวน) นั่นคือ จุด Y เปนจุดกึ่งกลางของ AC 6. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก ∆ AED ≅ ∆ CFB (ม.ด.ม.) จะได AED ∧ = CFB ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) A C B D E F X Y A B C
21 เนื่องจาก AED ∧ + DEB ∧ = CFB ∧ + BFD ∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง) จะได DEB ∧ = BFD ∧ (สมบัติของการเทากัน) เนื่องจาก ADE ∧ + EDF ∧ = CBF ∧ + FBE ∧ (มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมีขนาดเทากัน) จะได EDF ∧ = FBE ∧ (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น BEDF เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมตรงขามที่มีขนาด เทากันสองคู แลวรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้นเปน รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน) 7. แนวคิดในการพิสูจน กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูนที่มี AC และ BD เปนเสนทแยงมุม ตัดกันที่จุด O ตองการพิสูจนวา AC BD⊥ พิสูจน เนื่องจาก ∆ AOD ≅ ∆ COB (ม.ม.ด.) จะได AO = OC (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) จะได ∆ AOB ≅ ∆ COB (ด.ด.ด.) AOB ∧ = COB ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) AOB ∧ + COB ∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง) จะได AOB ∧ = COB ∧ = 180 2 = 90o (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น AC BD⊥ CD A B O
22 8. แนวคิดในการพิสูจน ลาก AC จะได PQ // AC และ PQ = 1 2 AC (สวนของเสนตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของดานสอง ดานของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะขนานกับดานที่สามและ ยาวเปนครึ่งหนึ่งของดานที่สาม) ในทํานองเดียวกัน จะได SR // AC และ SR = 1 2 AC ดังนั้น PQ // SR และ PQ = SR (สมบัติของเสนขนานและสมบัติของการเทากัน) นั่นคือ PQRS เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่ง ขนานกันและยาวเทากัน เปนรูปสี่เหลี่ยม ดานขนาน) C PA B D Q R S
23 คําตอบกิจกรรม “พิสูจนไดหรือไม” 1. แนวคิดในการพิสูจน กรณีที่มีเสนตรงสามเสนขนานซึ่งกันและกัน กําหนดให เสนตรง 1 , 2 และ 3 ขนานซึ่งกันและกัน PQ เปนเสนตัด เสนตรง 1 , 2 และ 3 ที่จุด A , B และ C ตามลําดับ ทําให AB = BC และ RS เปนเสนตัดเสนตรง 1 , 2 และ 3 ที่จุด D , E และ F ตามลําดับ ตองการพิสูจนวา DE = EF พิสูจน ลาก XY ผานจุด E และใหขนานกับ PQ โดย XY ตัดเสนตรง 1 ที่จุด L และตัดเสนตรง 3 ที่จุด F เนื่องจาก ABEL เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มี ดานตรงขามขนานกันสองคู) ดังนั้น AB = LE (ดานตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานยาวเทากัน) ในทํานองเดียวกันจะไดวา BC = EK เนื่องจาก AB = BC (กําหนดให) ดังนั้น LE = EK (สมบัติของการเทากัน) 1 ∧ = 2 ∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาด เทากัน) 3 ∧ = 4 ∧ (มีเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน) จะได ∆ DEL ≅ ∆ FEK (ม.ด.ม.) นั่นคือ DE = EF (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) กรณีที่มีเสนตรงมากกวาสามเสนขนานซึ่งกันและกัน จะพิสูจนไดในทํานองเดียวกัน F D 1 A C P Q 3 B 2 Y S
24 2. แนวการสราง 1. สราง BAX ∧ และ ABY ∧ ใหเปนมุมแยงและมีขนาดเทากัน 2. ใชรัศมีที่ยาวเทากันตัด AX และ BY ใหได AC = CD = DE = BS = ST = TU 3. ลาก EB, DS, CT และ AU ให DS และ CT ตัด AB ที่จุด Q และจุด P ตามลําดับ จะได AP = PQ = QB A B C D E P Q X Y U T S
25 พิสูจน เนื่องจาก BAX ∧ = ABY ∧ (จากการสราง) จะได AX // BY (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยง มีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน) เนื่องจาก AC // TU และ AC = TU (จากการสราง) จะได AU // CT (สวนของเสนตรงที่ปดหัวทายของสวนของเสนตรงที่ ขนานกันและยาวเทากัน จะขนานกัน) ในทํานองเดียวกันสามารถพิสูจนไดวา CT // DS และ DS // EB ดังนั้น AU, CT, DS และ EB ขนานซึ่งกันและกัน (สมบัติของเสนขนาน) จะได AP = PQ = QB (ถาเสนตรงตั้งแตสามเสนขึ้นไปขนานซึ่งกันและกัน และมีเสนตรงเสนหนึ่งตัด ทําใหไดสวนตัดยาว เทากัน แลวเสนที่ขนานกันเหลานี้จะตัดเสนตัดอื่น ๆ ออกเปนสวน ๆ ไดยาวเทากันดวย) คําตอบกิจกรรม “มีไดรูปเดียว” 1. แนวการสราง 1. สราง AB ยาว a หนวย 2. สราง QAB ∧ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ XYZ ∧ 3. สราง AR แบงครึ่ง QAB ∧ 4. บน AR สราง AC ยาว b หนวย 5. ลาก BC จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ b aA B C Q R
26 2. แนวการสราง 1. สราง BA ยาว b หนวย 2. สราง ABD ∧ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ XYZ ∧ 3. สราง BR แบงครึ่ง ABC ∧ 4. บน BR สราง BE ยาว a หนวย 5. ลาก AE ตัด BD ที่จุด C จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ 3. แนวการสราง 1. สราง XY ใหยาวเทากับ AB + AC 2. สราง XYP ∧ ใหมีขนาดเทากับสองเทาของขนาดของ ABC ∧ 3. บน YP สราง YZ ใหยาวเทากับ BC 4. ลาก XZ จะได ∆ XYZ เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ a bA B CR E D X Y Z P
27 4. แนวการสราง 1. สราง RQ 2. บน RQ สราง QA ใหยาวเทากับ QR 3. ลาก AP จะได ∆ PAR เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วตามตองการ 5. ตัวอยางการสราง 1. ลาก XY และกําหนดจุด C บน XY 2. สราง XCS ∧ และ YCZ ∧ ใหมีขนาดเทากับ q และ p ตามลําดับ 3. บน CS สราง CA ยาว a หนวย 4. สราง CAR ∧ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ ACZ ∧ โดยให AR ตัด XY ที่จุด B จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ RQ P A X B A q p Z YC a S R
28 6. แนวการสราง 1. ลาก XY และกําหนดจุด A บน XY 2. สราง AZ ตั้งฉากกับ XY ที่จุด A 3. บน AZ สราง AR ยาว b หนวย 4. สราง RP ตั้งฉากกับ AZ ที่จุด R 5. สราง YAD ∧ ใหมีขนาดเทากับ k และ AD ตัด RP ที่จุด C (จะไดจุด C มีระยะหางจาก AY เทากับ b หนวย) 6. ใชจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ a หนวย เขียนสวนโคงตัด AY ที่จุด E 7. ใชจุด E เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ AE เขียนสวนโคงตัด AY ที่จุด B 8. ลาก BC จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ b R Z A E B Y P C D a k X
29 คําตอบกิจกรรม “มีไดหลายรูป” 1. สรางรูปตามเงื่อนไขขอ 1) ถึงขอ 3) ไดดังนี้ 4) เทากับพื้นที่ของ ∆ ABC เพราะมีความสูงเทากัน และมีฐาน AB รวมกัน 5) หลายรูปนับไมถวน และรูปสามเหลี่ยมเหลานั้นมีจุดยอดอยูบน XY ที่ขนานกับฐาน AB 2. ตัวอยางการสราง 1) สรางเพื่อแบงครึ่ง QR ที่จุด A ลาก PA จะได ∆ PQA และ ∆ PRA แตละรูปมีพื้นที่เปนครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของ ∆ PQR แนวคิดในการใหเหตุผล เนื่องจาก ∆ PQA และ ∆ PRA แตละรูปมีฐานยาวเทากับครึ่งหนึ่งของความยาวของฐาน ของ ∆ PQR และมีความสูงเทากัน ดังนั้น พื้นที่ของ ∆ PQA = พื้นที่ของ ∆ PRA = 1 2 พื้นที่ของ ∆ PQR 2) วิธีที่ 1 แบงครึ่งฐาน แลวลากเสนมัธยฐาน ดังตัวอยางขอ 1) วิธีที่ 2 แบงครึ่งสวนสูง แลวลากสวนของเสนตรงจากจุดแบงครึ่งที่ไดนั้นไปยังจุดปลาย ทั้งสองขางของฐาน AQ P R C D E F A B X Y
30 คําตอบกิจกรรม “สรางไดไมยาก” 1. ตัวอยางการสราง 1) 1. สราง AC ยาวนอยกวา 2a หนวย (เนื่องจากผลบวกของความยาวของดาน สองดานของรูปสามเหลี่ยมมากกวาความยาวของดานที่สาม) 2. ใชจุด A และจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ a หนวยเขียนสวนโคงตัดกันที่ จุด B ลาก AB และ CB 3. ใชจุด A และจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ b หนวย เขียนสวนโคงตัดกันที่ จุด D ซึ่งอยูอีกดานหนึ่งของ AC 4. ลาก AD และ CD จะได ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปวาวตามตองการ 2) หลายรูปนับไมถวน เพราะสามารถสราง AC ยาวนอยกวา 2a หนวย ไดมากมาย นับไมถวน A B C D
31 2. ตัวอยางการสราง 1. สราง AC ยาว c หนวย 2. ใชจุด A เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ b หนวย เขียนสวนโคง 3. ใชจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ a หนวย เขียนสวนโคงตัดสวนโคงในขอ 2 ที่จุด B และจุด D 4. ลาก AB, BC, AD และ DC จะได ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปวาวตามตองการ 3. ตัวอยางการสราง 1. สราง AB ใหยาวเทากับ PQ 2. สราง ABX ∧ และ BAY ∧ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ PQR ∧ และขนาดของ QPS ∧ ตามลําดับ 3. บน BX สราง BC ใหยาวเทากับ QR และบน AY สราง AD ใหยาวเทากับ PS 4. ลาก DC จะได ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่เทากันทุกประการกับ PQRS a D b B A C b a c D C A B Y X
32 แนวคิดในการใหเหตุผล ลาก QS และ BD จากการสราง AB = PQ, BC = QR, AD = PS ABC ∧ = PQR ∧ และ BAD ∧ = QPS ∧ เนื่องจาก ∆ ABD ≅ ∆ PQS (ด.ม.ด.) จะได ∆ BDC ≅ ∆ QSR (ด.ม.ด.) ดังนั้น CD = RS, BCD ∧ = QRS ∧ และ ADC ∧ = PSR ∧ นั่นคือ ABCD ≅ PQRS (รูปหลายเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ ดานคูที่สมนัยกัน และมุมคูที่สมนัยกันของ รูปสามเหลี่ยมทั้งสองนั้น มีขนาดเทากันเปนคู ๆ ) 4. สรางตามเงื่อนไขขอ 1) ถึงขอ 4) จะไดรูปการสรางดังนี้ 5) เทากัน เพราะ มีฐาน BD รวมกันและมีสวนสูงยาวเทากัน คือ จุดยอด C และจุดยอด E อยูบน CE ที่ขนานกับฐาน BD D C A B E X Y S R P Q D C A B Y X
33 6) เทากัน เพราะ เนื่องจาก พื้นที่ของ ABCD = พื้นที่ของ ∆ ABD + พื้นที่ของ ∆ DBC และ พื้นที่ของ ∆ ADE = พื้นที่ของ ∆ ABD + พื้นที่ของ ∆ DBE = พื้นที่ของ ∆ ABD + พื้นที่ของ ∆ DBC (จากขอ 5)) ดังนั้น พื้นที่ของ ∆ ADE = พื้นที่ของ ABCD (สมบัติของการเทากัน) 5. แนวการสราง 1. สราง DE ยาว b หนวย 2. สราง EX ใหตั้งฉากกับ DE ที่จุด E และบน EX สราง EC ยาว a หนวย 3. ลาก DC 4. สราง DY ใหตั้งฉากกับ DC ที่จุด D และบน DY สราง DP ยาวเทากับ DC 5. สราง CZ ใหตั้งฉากกับ DC ที่จุด C และบน CZ สราง CQ ยาวเทากับ DC 6. ลาก PQ จะได DCQP เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามตองการ Z C a b ED P Q Y X
34 แนวคิดในการใหเหตุผล เนื่องจาก ∆ DEC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี DEC ∧ เปนมุมฉาก DE = b หนวย และ EC = a หนวย (จากการสราง) จะได DC2 = a2 + b2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) จากการสราง จะได DCQP เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แตละดานยาวเทากับ DC ดังนั้น DCPQ มีพื้นที่เทากับ DC2 = a2 + b2 ตารางหนวย 6. แนวการสราง 1. สราง AB ยาว b หนวย 2. สราง BX ใหตั้งฉากกับ AB ที่จุด B และบน BX สราง BC ยาว a หนวย 3. ลาก AC 4. สราง AY ใหตั้งฉากกับ AC ที่จุด A และบน AY สราง AP ยาว c หนวย 5. ลาก PC 6. สราง PM และ CN ตั้งฉากกับ PC ที่จุด P และจุด C ตามลําดับ 7. บน PM และ CN สราง PQ และ CR ตามลําดับ ใหแตละสวนของเสนตรงยาว เทากับ PC P A B a b c C R Q M N X Y
35 8. ลาก QR จะได PCRQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามตองการ แนวคิดในการใหเหตุผล เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี ABC ∧ เปนมุมฉาก AB = b หนวย และ BC = a หนวย (จากการสราง) จะได AC2 = a2 + b2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) เนื่องจาก ∆ PAC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี PAC ∧ เปนมุมฉาก และ PA = c หนวย (จากการสราง) จะได PC2 = AC2 + PA2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) นั่นคือ PC2 = a2 + b2 + c2 (สมบัติของการเทากัน) จากการสราง จะได PCRQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แตละดานยาวเทากับ PC ดังนั้น PCRQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เทากับ PC2 = a2 + b2 + c2 ตารางหนวย คําตอบกิจกรรม “แบงครึ่งมุม” แนวคิดในการพิสูจน ∆ PYF ≅ ∆ QYE (ด.ม.ด.) YFP ∧ = YEQ ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) QOF ∧ = POE ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) QF = PE (สมบัติของการเทากัน) ZFQ P E X O Y
36 จะได ∆ QOF ≅ ∆ POE (ม.ม.ด.) OQ = OP (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) เนื่องจาก YO = YO (YO เปนดานรวม) จะได ∆ YQO ≅ ∆ YPO (ด.ด.ด.) ดังนั้น PYO ∧ = QYO ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ YO แบงครึ่งมุม XYZ ∧

More Related Content

PDF
ข้อสอบตรรกศาตร์ม.4
byทับทิม เจริญตา
 
PDF
บทที่ 2 ปฏิกิริยาเคมี
byJariya Jaiyot
 
PDF
เทคโนDnaลายพิมพ์
byWichai Likitponrak
 
PDF
ใบงาน 3.1 3.2
byoraneehussem
 
PDF
ใบความรู้+แผนการสอน และใบกิจกรรม ประถม 4-6 เรื่อง วงจรไฟฟ้า+ป.5+273+dltvscip5...
byPrachoom Rangkasikorn
 
PDF
แบบจำลองอะตอม
byChanthawan Suwanhitathorn
 
PDF
หน่วยที่ 3-ระบบทางเทคโนโลยี
byJanchai Pokmoonphon
 
PPTX
โลก ดาราศาสตร์ อวกาศ ม.4 เล่ม 1_บทที่ 4 การลำดับเหตุการณ์ทางธรณีวิทยา
bysoysuwanyuennan
 
ข้อสอบตรรกศาตร์ม.4
byทับทิม เจริญตา
 
บทที่ 2 ปฏิกิริยาเคมี
byJariya Jaiyot
 
เทคโนDnaลายพิมพ์
byWichai Likitponrak
 
ใบงาน 3.1 3.2
byoraneehussem
 
ใบความรู้+แผนการสอน และใบกิจกรรม ประถม 4-6 เรื่อง วงจรไฟฟ้า+ป.5+273+dltvscip5...
byPrachoom Rangkasikorn
 
แบบจำลองอะตอม
byChanthawan Suwanhitathorn
 
หน่วยที่ 3-ระบบทางเทคโนโลยี
byJanchai Pokmoonphon
 
โลก ดาราศาสตร์ อวกาศ ม.4 เล่ม 1_บทที่ 4 การลำดับเหตุการณ์ทางธรณีวิทยา
bysoysuwanyuennan
 

What's hot

PDF
กสพท. ฟิสิกส์ 2559
byรวมข้อสอบ gat pat 9 วิชา
 
PDF
9.ดาวในท้องฟ้าgs กลุ่มดาว
byWichai Likitponrak
 
PDF
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 ใบความรู้
byjirupi
 
PDF
ข้อสอบกลางภาค ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2553 ชั้น ม.6
byNattapong Boonpong
 
PDF
Lessonplanbio5
byWichai Likitponrak
 
PPTX
รูปแบบการเรียนการสอนตามทฤษฎีคอนสตรัคติวิสต์
byMod DW
 
PDF
ศูนย์ควบคุมระบบประสาท
byสุรินทร์ ดีแก้วเกษ
 
DOC
แบบทดสอบกลางภาคเรียน วิทย์ 5 (ออกตามตัวชี้วัด)
bydnavaroj
 
DOC
ใบความรู้ที่ 02
bywitthawat silad
 
PDF
การหารพหุนาม
bykroojaja
 
PDF
ชุดการสอนที่ 3 มุมภายนอกกับมุมภายใน
byวิเชียร กีรติศักดิ์กุล
 
PDF
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
bymoohhack
 
DOC
แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ 6 การแพร่
byWann Rattiya
 
PDF
1แบบทดสอบระบบนิเวศ (ตอนที่ 1)
byสำเร็จ นางสีคุณ
 
PDF
แบบทดสอบระบบประสาท
byWichai Likitponrak
 
PDF
กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ม4
byเปเล่ เจ๋งงงจ้าดดด
 
PDF
ผลกระทบของเทคโนโลยีต่อสิ่งแวดล้อม
byNATTAWANKONGBURAN
 
PDF
ข้อสอบวิชาช่าง
bykrupeak
 
PDF
02 สัญลักษณ์นิวเคลียร์ของธาตุ
bykruannchem
 
PDF
ฮอร์โมนจากต่อมไร้ท่อและอวัยวะสำคัญ
bysukanya petin
 
กสพท. ฟิสิกส์ 2559
byรวมข้อสอบ gat pat 9 วิชา
 
9.ดาวในท้องฟ้าgs กลุ่มดาว
byWichai Likitponrak
 
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 ใบความรู้
byjirupi
 
ข้อสอบกลางภาค ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2553 ชั้น ม.6
byNattapong Boonpong
 
Lessonplanbio5
byWichai Likitponrak
 
รูปแบบการเรียนการสอนตามทฤษฎีคอนสตรัคติวิสต์
byMod DW
 
ศูนย์ควบคุมระบบประสาท
byสุรินทร์ ดีแก้วเกษ
 
แบบทดสอบกลางภาคเรียน วิทย์ 5 (ออกตามตัวชี้วัด)
bydnavaroj
 
ใบความรู้ที่ 02
bywitthawat silad
 
การหารพหุนาม
bykroojaja
 
ชุดการสอนที่ 3 มุมภายนอกกับมุมภายใน
byวิเชียร กีรติศักดิ์กุล
 
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
bymoohhack
 
แผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ 6 การแพร่
byWann Rattiya
 
1แบบทดสอบระบบนิเวศ (ตอนที่ 1)
byสำเร็จ นางสีคุณ
 
แบบทดสอบระบบประสาท
byWichai Likitponrak
 
กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ม4
byเปเล่ เจ๋งงงจ้าดดด
 
ผลกระทบของเทคโนโลยีต่อสิ่งแวดล้อม
byNATTAWANKONGBURAN
 
ข้อสอบวิชาช่าง
bykrupeak
 
02 สัญลักษณ์นิวเคลียร์ของธาตุ
bykruannchem
 
ฮอร์โมนจากต่อมไร้ท่อและอวัยวะสำคัญ
bysukanya petin
 

Similar to Add m3-2-chapter1

PDF
ทดสอบสมรรถนะคณิต
bypoomarin
 
PDF
ทดสอบสมรรถนะคณิต
bypoomarin
 
PDF
บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ
bysawed kodnara
 
PDF
Add m1-1-chapter1
byPreecha Yeednoi
 
PDF
Basic m2-2-chapter4
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Add m4-2-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Add m5-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
46497232 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์
byKrudodo Banjetjet
 
PDF
ความคล้าย
byRitthinarongron School
 
PDF
ตัวชี้วัดม.2
byYoon Yoon
 
PDF
Sk7 ma
byfamousjung
 
PDF
Sk7 ma
bySu Surut
 
PDF
สรุปเข้มฯ#7 คณิตศาสตร์
byPasit Suwanichkul
 
PDF
แผนการจัดการเรียนรู้ 6
bykanjana2536
 
PDF
Calculus
bylove_dsus2
 
PDF
Basic m2-1-chapter5
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
byธีรวุฒิ อภิปรัชญาฐิติ?
 
PDF
71 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่6_ความน่าจะเป็น1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Final เตรียมสอบ
byTe'tee Pudcha
 
PDF
Add m1-1-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
ทดสอบสมรรถนะคณิต
bypoomarin
 
ทดสอบสมรรถนะคณิต
bypoomarin
 
บทที่ 5 ความเท่ากันทุกประการ
bysawed kodnara
 
Add m1-1-chapter1
byPreecha Yeednoi
 
Basic m2-2-chapter4
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Add m4-2-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Add m5-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
46497232 ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์
byKrudodo Banjetjet
 
ความคล้าย
byRitthinarongron School
 
ตัวชี้วัดม.2
byYoon Yoon
 
Sk7 ma
byfamousjung
 
Sk7 ma
bySu Surut
 
สรุปเข้มฯ#7 คณิตศาสตร์
byPasit Suwanichkul
 
แผนการจัดการเรียนรู้ 6
bykanjana2536
 
Calculus
bylove_dsus2
 
Basic m2-1-chapter5
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
byธีรวุฒิ อภิปรัชญาฐิติ?
 
71 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่6_ความน่าจะเป็น1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Final เตรียมสอบ
byTe'tee Pudcha
 
Add m1-1-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

PDF
Basic m2-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-2-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-2-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-2-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-1-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-1-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-1-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m5-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-2-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-2-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-1-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-1-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-1-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-1-chapter4
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m3-2-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m3-2-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m4-1-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m3-2-chapter4
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
PDF
Basic m3-2-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m2-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-2-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-2-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-2-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-1-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-1-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-1-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m5-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-2-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-2-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-1-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-2-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-1-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-1-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-1-chapter4
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m3-2-chapter2
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m3-2-link
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m4-1-chapter1
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m3-2-chapter4
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 
Basic m3-2-chapter3
byกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
 

Add m3-2-chapter1

  • 1.
    บทที่ 1 การใหเหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม (15ชั่วโมง) 1.1 ความรูพื้นฐานเกี่ยวกับการใหเหตุผลทางเรขาคณิต (2 ชั่วโมง) 1.2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม (8 ชั่วโมง) 1.3 การสราง (5 ชั่วโมง) เนื้อหาในบทนี้จะกลาวถึงสมบัติทางเรขาคณิตบางประการพรอมทั้งฝกใหนักเรียนมีความสามารถ ในการใหเหตุผลทางเรขาคณิตซึ่งเปนทักษะพื้นฐานสําคัญของการเรียนคณิตศาสตร นักเรียนจะไดเรียนรู และฝกการใหเหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม รวมถึงการนําสมบัติตาง ๆ ของรูปสามเหลี่ยม และรูปสี่เหลี่ยมไปใชในการสรางทางเรขาคณิตเพิ่มเติมจากสาระที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ในตอนเริ่มตน ของบทเรียนนี้ไดทบทวนความรูโดยรวบรวมสาระสําคัญที่นักเรียนเคยทราบแลวเกี่ยวกับการใหเหตุผลทาง คณิตศาสตรและสมบัติเบื้องตนทางเรขาคณิต ทั้งนี้เพื่อใชเปนพื้นฐานในการเรียนสาระตอไป ในการใหเหตุผลทางเรขาคณิต ครูควรคํานึงถึงการสอดแทรกแนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับระบบการ พิสูจนใหนักเรียนมีความเขาใจซึ่งแสดงดวยแผนภาพไดดังนี้ คําอนิยาม ใชเปนคําพื้นฐานในการสื่อความหมายใหเขาใจตรงกันโดยไมตองกําหนด ความหมายของคํา เราใชคําอนิยามในการใหความหมายของคําที่เกี่ยวของกับเนื้อหาสาระในรูปบทนิยาม ซึ่งขอความในบทนิยามทุกบทนิยามสามารถเขียนใหเปนประโยคที่เชื่อมดวย “ก็ตอเมื่อ” สําหรับ สัจพจน เปนขอความที่ยอมรับวาเปนจริงโดยไมตองพิสูจน เราใชคําอนิยาม บทนิยาม สัจพจน อยางใดอยางหนึ่งหรือหลายอยางประกอบกันในการใหเหตุผลเพื่อพิสูจนขอความตาง ๆ วาเปนจริงหรือไมเปนจริง ขอความที่พิสูจนไดวาเปนจริงอาจนํามาสรุปเปนทฤษฎีบท เพื่อนําไปใชอางอิง ในการใหเหตุผลและสรางทฤษฎีบทใหมตอไปได ในการพิสูจนขอความหรือโจทยปญหาที่กําหนดให ครูอาจแนะนําใหนักเรียนดําเนินการเปน ขั้นตอนดังตอไปนี้ คําอนิยาม บทนิยาม สัจพจน สมบัติทางคณิตศาสตร ใหเหตุผล ทฤษฎีบท หรือ สมบัติใหมทางคณิตศาสตร
  • 2.
    2 1. อานและทําความเขาใจขอความหรือโจทยปญหาที่กําหนดให โดยการพิจารณาวาโจทย กําหนดอะไรบางและตองการใหพิสูจนอะไร 2.วิเคราะหยอนกลับจากผลหรือสิ่งที่โจทยตองการใหพิสูจนไปหาเหตุหรือสิ่งที่โจทย กําหนดให โดยพิจารณาวาในแตละขั้นที่เปนผลยอย ๆ กอนผลสุดทายนั้นตองเกิดจากเหตุอันใดบาง และ จากเหตุนั้นตองอาศัยบทนิยาม สัจพจน ทฤษฎีบทหรือสมบัติทางคณิตศาสตรใดบางมาประกอบเพื่ออางอิง ไปสูผลยอย ๆ เหลานั้น ทําเชนนี้เรื่อย ๆ จนกวาผลยอย ๆ นั้นมาจากเหตุที่เปนสิ่งที่โจทยกําหนดให 3. เขียนแสดงการพิสูจนจากเหตุหรือสิ่งที่โจทยกําหนดใหผนวกกับเหตุผลตามที่วิเคราะหได ในขอ 2 มาเขียนตามลําดับเหตุและผลจนไดผลสุดทายเปนสิ่งที่โจทยตองการใหพิสูจน การวิเคราะหและลําดับขั้นการพิสูจนแสดงไดดวยแผนภาพ ดังนี้ การวิเคราะหยอนกลับ การเขียนแสดงการพิสูจน ใหเหตุผล สิ่งที่ตองการพิสูจน สิ่งที่กําหนดให บทนิยาม / สัจพจน / ทฤษฎีบท / สมบัติทางคณิตศาสตร วิเคราะหหา “เหตุ” ที่ทําใหเกิด “ผล” บทนิยาม / สัจพจน / ทฤษฎีบท / สมบัติทางคณิตศาสตร สิ่งที่กําหนดให สิ่งที่ตองการพิสูจน
  • 3.
    3 สําหรับการสราง ครูควรฝกใหนักเรียนเขียนหรือจินตนาการรูปที่โจทยตองการใหสรางกอน แลว คิดวิเคราะหยอนกลับเพื่อกําหนดลําดับการสรางตามความจําเปนกอนหลังตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนดให แนวคิดในการใหเหตุผลและการสรางในสวนเฉลย เปนเพียงแนวคิดหนึ่งเทานั้น อีกทั้งการเฉลย สวนใหญจะเขียนไวอยางรวบรัด ครูไมควรใหนักเรียนเลียนแบบเขียนรวบรัดดังที่เสนอไว แตครูควรให นักเรียนไดเพิ่มเติมรายละเอียดการใหเหตุผล และขั้นตอนการสรางตามที่ควรจะเปน ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1. ใชสมบัติเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมในการใหเหตุผลได 2. สรางและใหเหตุผลเกี่ยวกับการสรางที่กําหนดใหได
  • 4.
    4 แนวทางในการจัดการเรียนรู 1.1 ความรูพื้นฐานเกี่ยวกับการใหเหตุผลทางเรขาคณิต (2ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถพิสูจนขอความทางเรขาคณิตที่กําหนดใหได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการจัดกิจกรรมเพื่อทบทวนประโยคเงื่อนไข ครูอาจใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางขอความ ที่มีลักษณะเปนประโยคเงื่อนไขเชื่อมดวย ถา...แลว... อยางชัดเจน และขอความที่ไมปรากฏการเชื่อมดวย ถา...แลว... อยางชัดเจน แลวนํามาวิเคราะหแยกขอความสวนที่เปน เหตุ และ ผล เพื่อใหนักเรียนเห็นวา ในชีวิตประจําวันโดยเฉพาะอยางยิ่งในคณิตศาสตร เรามักพบขอความที่มีลักษณะเปนประโยคเงื่อนไข และจากประโยคเงื่อนไขดังกลาว เราสามารถนํามาใชในการเขียนบทกลับของประโยคเงื่อนไข รวมทั้ง การเขียนประโยคเงื่อนไขและบทกลับของประโยคเงื่อนไขใหเปนประโยคเดียวกันโดยใชคําวา ...ก็ตอเมื่อ... โดยใชกิจกรรม “ยังทําไดไหม” ตรวจสอบความรูและความเขาใจ 2. ในการวางพื้นฐานเกี่ยวกับการใหเหตุผลทางเรขาคณิต ครูควรแนะนําคําอนิยามทาง เรขาคณิตซึ่งไดแก จุด เสนตรงและระนาบ และยกตัวอยางบทนิยามที่มีการใชคําอนิยาม เชน บทนิยาม ของรังสี บทนิยามของเสนขนาน และชี้ใหเห็นวาทุกบทนิยามสามารถเขียนเปนประโยคที่เชื่อมดวย “ก็ตอเมื่อ” ครูอาจยกตัวอยางสัจพจนที่นักเรียนเคยทราบมาแลวเพิ่มเติมจากที่ใหไวในหนังสือเรียนอีกก็ได เชน เสนตรงที่แบงครึ่งมุมมุมหนึ่งมีเพียงเสนเดียว และเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนตรงที่จุดกําหนดใหมีเพียง เสนเดียว พรอมทั้งแนะนําการพิสูจนขอความทางเรขาคณิตซึ่งอาจตองอางอิงบทนิยามหรือสมบัติทาง เรขาคณิต ดังเชนตัวอยางที่ 1 อางอิงบทนิยามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน 3. ครูควรยกตัวอยางโจทยปญหาใหนักเรียนไดเห็นจริงวา ในการใหเหตุผลทางเรขาคณิตมีการ พิสูจนวาขอความที่กําหนดใหเปนจริง และบางขอความก็ใหพิสูจนวาไมเปนจริงซึ่งทําโดยยกตัวอยางคาน ดังตัวอยางที่ 2 ที่เสนอไว 4. สําหรับการทบทวนทฤษฎีบทในหัวขอนี้จะกลาวถึงทฤษฎีบทเบื้องตนที่ใชบอย ๆ เกี่ยวกับ เสนตรง เสนขนานและรูปสามเหลี่ยมกอน สําหรับทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะกลาวถึงในหัวขอตอไป ในการทบทวนความรูครูอาจใหนักเรียนชวยกันบอกสมบัติตาง ๆ เกี่ยวกับ เสนตรง เสนขนานและรูปสามเหลี่ยม แลวจึงแนะนําสมบัติเหลานั้นในรูปทฤษฎีบทที่ใหนักเรียนยอมรับ โดยไมตองพิสูจน สําหรับตัวอยางที่ 3 เมื่อนักเรียนไดพิสูจนแลว ครูควรแนะนําวาขอความที่กําหนดใหนั้น เปนสมบัติทางเรขาคณิตอีกประการหนึ่งที่สามารถนําไปใชอางอิงในการใหเหตุผลได
  • 5.
    5 5. กอนใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 1.1ครูอาจนําแนวการพิสูจนที่ไดกลาวไวในบทนํามาอธิบาย ยกตัวอยางใหนักเรียนเห็นลําดับขั้นตอนการวิเคราะหเพื่อเขียนการพิสูจน อาจใชโจทยขอ 2 ใน แบบฝกหัดนี้เปนตัวอยางดังนี้ กําหนดให EF ตัด AB และ CD ที่จุด E และ จุด F ตามลําดับ และ AEX ∧ = DFY ∧ ตองการพิสูจนวา AB // CD ในการวิเคราะหยอนกลับ ครูใชการถามตอบจากสิ่งที่ตองการพิสูจน เชื่อมโยงไปสูสิ่งที่ กําหนดให อาจใชตัวอยางคําถาม เชน 1) โจทยตองการพิสูจนขอความใด [AB // CD] 2) มีเงื่อนไขใดบางที่ทําใหสรุปไดวา AB // CD และควรใชเงื่อนไขใด [เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมี ขนาดเทากัน หรือ เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาด เทากัน] 3) ถาจะพิสูจนวา AB // CD โดยใชเงื่อนไขเกี่ยวกับมุมแยงมีขนาดเทากันซึ่งจะตอง แสดงวามุมคูใดมีขนาดเทากัน [BE F ∧ = C F E ∧ หรือ AE F ∧ = DF E ∧ ] 4) ถาจะแสดงวา BEF ∧ = CFE ∧ สามารถนําขอมูลใดมาใช [ AE X ∧ = BE F ∧ , DFY ∧ = C F E ∧ เนื่องจากแตละคูเปนมุมตรงขามกันและ กําหนดให AE X ∧ = DFY ∧ ] A B C D E F Y X
  • 6.
    6 การวิเคราะหยอนกลับขางตนแสดงไดดวยแผนภาพ ดังนี้ จากแผนภาพขางตน เขียนแสดงการพิสูจนจากสิ่งที่กําหนดใหไปสูสิ่งที่ตองการพิสูจนไดดังนี้ พิสูจนAEX ∧ = DFY ∧ (กําหนดให) เนื่องจาก AEX ∧ = BEF ∧ และ DFY ∧ = CFE ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน) จะได BEF ∧ = CFE ∧ (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยงมีขนาดเทากัน แลวเสนตรง คูนั้นขนานกัน) ครูควรฝกใหนักเรียนใชการวิเคราะหยอนกลับในการพิสูจนทางเรขาคณิต ซึ่งในระยะแรก ๆ ครูอาจใชคําถามนําเพื่อเปนแนวทางกอนหรืออาจใหนักเรียนชวยกันวิเคราะหบนกระดาน หลังจากนั้นจึงให นักเรียนฝกวิเคราะหดวยตนเอง AB // CD ทฤษฎีบท : เมื่อเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง เสนตรงคูนั้นขนานกัน ก็ตอเมื่อ มุมแยงมีขนาดเทากัน BEF ∧ = CFE ∧ ทฤษฎีบท : ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน AEX ∧ = BEF ∧ , DFY ∧ = CFE ∧ AEX ∧ = DFY ∧ สิ่งที่ตองการพิสูจน สิ่งที่กําหนดให ใหเหตุผล โดยใชบทนิยาม / สัจพจน / ทฤษฎีบท / สมบัติ
  • 7.
    7 1.2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม (8ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถนําทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมและ สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานไปใชในการใหเหตุผลได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรทบทวนทฤษฎีบทเกี่ยวกับเงื่อนไขที่ทําใหสรุปไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากัน ทุกประการซึ่งไดแก รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ด.ม.ด., ม.ด.ม., ม.ม.ด. และ ด.ด.ด. โดยไมแสดงการพิสูจน แตยกตัวอยางที่แสดงการนําทฤษฎีบทดังกลาวไปใชอางอิงในการใหเหตุผล เชน การพิสูจนวาจุดใด ๆ ที่อยูบนเสนแบงครึ่งมุมมุมหนึ่ง ยอมอยูหางจากแขนทั้งสองขางของมุมเปนระยะ เทากัน โดยใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่มีความสัมพันธกันแบบ ม.ม.ด. 2. นักเรียนเคยทราบสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมาบางแลว ในหัวขอนี้นักเรียนจะไดทราบ ถึงทฤษฎีบทที่เกี่ยวของกับรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว คือ การพิสูจนวา รูปสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มุมสองมุมมีขนาด เทากัน เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว โดยพิสูจนทฤษฎีบทที่กลาววา ดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง จะยาวเทากัน ก็ตอเมื่อ มุมที่อยูตรงขามดานทั้งสองนั้นมีขนาดเทากัน การพิสูจนทฤษฎีบทนี้ครูควรชี้ให นักเรียนสังเกตวา การพิสูจนขอความใด ๆ ที่เชื่อมดวย“ก็ตอเมื่อ” จะตองแยกพิสูจนเปนสองตอน ใหครูสังเกตวาเราจะไมพิสูจนทฤษฎีบทนี้โดยใชการแบงครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยม ทั้งนี้ เพราะในการสรางเสนแบงครึ่งมุมมีการพิสูจนที่อางอิงถึง ด.ด.ด. และการพิสูจนรูปสามเหลี่ยมเทากัน ทุกประการดวยความสัมพันธแบบ ด.ด.ด. ก็อางอิงมาจากสมบัติดังกลาวของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ซึ่งทํา ใหเกิดลักษณะการใหเหตุผลแบบวนกลับ ในหนังสือเรียนจึงพิสูจนทฤษฎีบทดังกลาวดวยการใช ความสัมพันธแบบ ด.ม.ด. และ ม.ม.ด. 3. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมีสาระสําคัญของ เนื้อหาที่ครูควรทราบเกี่ยวกับสาระที่นักเรียนเคยทราบมาบางแลว ดังนี้ บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู ทฤษฎีบท 1) ดานตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานยาวเทากัน 2) ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีดานตรงขามยาวเทากันสองคู แลวรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้นเปน รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน 3) มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมีขนาดเทากัน 4) ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมตรงขามที่มีขนาดเทากันสองคู แลวรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้น เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน
  • 8.
    8 5) เสนทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานแบงครึ่งซึ่งกันและกันที่จุดตัดของ เสนทแยงมุม ขอ 1),3) และ 5) เปนสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานซึ่งนักเรียนเคยเรียนมาแลว โดยยัง ไมมีการพิสูจน และจะพิสูจนใหเห็นจริงในบทเรียนนี้ ขอ 2) และขอ 4) เปนบทกลับของขอ 1) และขอ 3) ตามลําดับ ทําใหทราบเงื่อนไข เกี่ยวกับความยาวของดานและขนาดของมุมที่ทําใหรูปสี่เหลี่ยมเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน สําหรับทฤษฎีบท สวนของเสนตรงที่ปดหัวทายของสวนของเสนตรงที่ขนานกันและยาว เทากัน จะขนานกันและยาวเทากัน ทฤษฎีบทนี้ชวยใหเราทราบเงื่อนไขที่ทําใหรูปสี่เหลี่ยมเปนรูปสี่เหลี่ยม ดานขนานเพิ่มอีกหนึ่งเงื่อนไข คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่งขนานกันและยาวเทากัน เปน รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน และทฤษฎีบทที่กลาววา สวนของเสนตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของดานสองดาน ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะขนานกับดานที่สามและยาวเปนครึ่งหนึ่งของดานที่สาม ซึ่งเปนทฤษฎีบทที่มี ประโยชนในการนําไปใชอางอิงไดมาก ดังนั้นในการเรียนการสอน ครูจึงอาจทบทวนทฤษฎีบทขอ 1), 3) และ 5) โดยใหนักเรียน ชวยกันอธิบายขั้นตอนการพิสูจนดวยวาจาบนกระดานดํากอน แลวจึงพิสูจนทฤษฎีบท ขอ 2) และขอ 4) ตอเนื่องกันไป 4. สําหรับโจทยขอ 1, 3, 5 และ 7 ในแบบฝกหัด 1.2 ข เปนทฤษฎีบทที่นํามาเปนแบบฝกหัด ใหนักเรียนไดพิสูจนดวยตนเอง ครูอาจนําทฤษฎีบทเหลานี้มาสรุปเปนความรูรวมกันอีกครั้งก็ได และ แนะนําใหนักเรียนจดจําไวใชอางอิงในการใหเหตุผล และนําไปใชแกปญหาตอไป 5. สําหรับกิจกรรม “นารู” มีเจตนาใหไวเปนความรูและใหนักเรียนเห็นการเชื่อมโยง ที่นํา สมบัติทางเรขาคณิตไปใชในการสรางอุปกรณทุนแรงเพื่อใหมีความสะดวกตอการดํารงชีวิต 6. กิจกรรม “พิสูจนไดหรือไม” มีเจตนาใหเปนความรูเพิ่มเติม เพื่อเสริมทักษะในการให เหตุผลและใหเห็นการนําสมบัติดังกลาวไปใชในการพิสูจนเกี่ยวกับการแบงสวนของเสนตรงออกเปนสวน ๆ ที่เทากัน ซึ่งนักเรียนเคยสรางมาแลว แตยังไมมีการพิสูจน 1.3 การสราง (5 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถสรางรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมตามเงื่อนไขที่กําหนดใหได ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนเพื่อตรวจสอบความรูและความเขาใจเกี่ยวกับการสรางที่ใชเครื่องมือเพียง 2 อยาง คือ สันตรงและวงเวียน และการสรางพื้นฐาน 6 อยางที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ครูอาจใหนักเรียน อธิบายการสรางดวยวาจาโดยพิจารณาจากรองรอยการสรางในแตละขอที่เสนอไวในหนังสือเรียน
  • 9.
    9 2. กอนทํากิจกรรมการสรางเสนขนานผานจุด Pซึ่งอยูภายนอก AB ใหขนานกับ AB ครูอาจ ทบทวนหลักการและแนวคิดเกี่ยวกับการสรางที่สมบูรณซึ่งมี 4 ขั้นตอนและเคยแนะนําไวแลวในคูมือครู สาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 1 ดังนี้ 1) ขั้นวิเคราะห ครูควรแนะนําใหนักเรียนทําความเขาใจโจทย หาความสัมพันธ ระหวางสิ่งที่กําหนดใหและสิ่งที่ตองการสราง โดยการเขียนรูปที่ตองการอยางคราว ๆ กอน แลวจึงคิด ลําดับขั้นตอนการสรางกอนหลัง 2) ขั้นสราง ดําเนินการสรางตามที่คิดไวในขอ 1) ซึ่งในชั้นนี้สวนใหญจะใหเขียนวิธี สรางดวย ครูอาจตกลงกับนักเรียนใหเขียนการสรางพื้นฐาน 6 อยางโดยสังเขปและเขียนขั้นตอนการสราง อื่น ๆ โดยละเอียด 3) ขั้นพิสูจน ครูควรย้ําวาทุก ๆ การสรางควรมีการพิสูจนยืนยันวาการสรางนั้นถูกตอง และเปนจริงตามที่โจทยตองการ ยกเวนโจทยจะกําหนดวาไมตองพิสูจน 4) ขั้นอภิปรายผล ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาการสรางรูปที่โจทยตองการบางรูป สามารถสรางไดรูปแตกตางกัน และบางรูปก็ใชวิธีการสรางแตกตางกันไดดวย ดังนั้นครูอาจใหมีการ อภิปรายรวมกันในชั้นเรียนเพื่อใหนักเรียนไดทราบถึงแนวคิดที่แตกตางกัน และแนวคิดใดนาจะทําให การสรางมีประสิทธิภาพกวา 3. กิจกรรม “มีไดรูปเดียว” เปนกิจกรรมที่ตองการใหนักเรียนใชความรูเกี่ยวกับสมบัติของ รูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ และสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมาชวยวิเคราะหการสราง ในการทําแบบฝกหัดของกิจกรรมนี้ ครูอาจใหนักเรียนรวมกันอภิปรายถึงลําดับขั้นตอนการ สรางแตละขอ และแนวคิดที่แตกตางกัน สําหรับโจทยขอ 5 ครูอาจแนะนําใหนักเรียนสรางรูป ∆ DEF ที่มุมสองมุมมีขนาด p และ ขนาด q แลวใหนักเรียนใชขนาดของมุมที่สามของ ∆ DEF ซึ่งมีขนาด r มาสราง ∆ ABC ตามเงื่อนไข ในโจทย โดยสราง AC ยาว a หนวย สราง ACX ∧ = q สราง CAY ∧ = r และให CX ตัดกับ AY ที่จุด B จะได ABC ∧ = p และได ∆ ABC ตามตองการ ดังรูปการสรางตอไปนี้ F r p q r q Y X A Ca B
  • 10.
    10 4. สําหรับกิจกรรม “มีไดหลายรูป”มีเจตนาใหนักเรียนเห็นวาการสรางรูปเรขาคณิตบางรูป ถาเงื่อนไขที่โจทยกําหนดมีไมเพียงพอที่จะทําใหไดรูปการสรางเปนรูปเดียวกัน หรือเปนรูปที่เทากัน ทุกประการ อาจทําใหรูปที่สรางมีไดมากกวา 1 รูป 5. กิจกรรม “สรางไดไมยาก” มีเจตนาใหนักเรียนไดเรียนรูเกี่ยวกับการสรางรูปสี่เหลี่ยมที่ตอง อาศัยสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว มาชวยในการวิเคราะห การสราง รวมถึงการสรางรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมตามเงื่อนไขในโจทย ครูอาจนําแบบฝกหัดบางขอ มาใหนักเรียนไดอภิปรายรวมกันอีกครั้งเพื่อดูแนวคิดของนักเรียนที่แตกตางกัน เชน แบบฝกหัดขอ 2 การสรางรูปสี่เหลี่ยมรูปวาวสามารถสรางได 3 แบบโดยใชความยาว a หรือ b หรือ c เปนความยาวของเสนทแยงมุมหนึ่งเสน ดังนี้ 6. กิจกรรม “แบงครึ่งมุม” มีเจตนาเพื่อเสริมความรูใหนักเรียนเห็นวาวิธีสรางเสนแบงครึ่งมุม อาจทําไดอีกวิธีหนึ่ง ครูอาจใหนักเรียนชวยกันพิสูจนหรืออาจใหนักเรียนเขียนการพิสูจนแลวนํามาแสดง บนปายนิเทศก็ได 7. สําหรับกิจกรรม “เขาหาไดอยางไร” มีเจตนาใหเปนความรูเพิ่มเติม เพื่อใหนักเรียนเห็น ตัวอยางที่ชาวกรีกโบราณเชื่อมโยงความรูเกี่ยวกับการสรางทางเรขาคณิตไปชวยในการหาคําตอบทาง พีชคณิต ครูอาจใหนักเรียนลองทํากิจกรรมตามที่ระบุไวในหนังสือเรียน เพื่อตรวจสอบความเขาใจและ เห็นความนาทึ่งของวิธีการนี้ a b c b b a c c c c b a a a b
  • 11.
    11 คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “ยังทําไดไหม” 1. 1) ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเปนรูปสามเหลี่ยมดานเทาแลวรูปสามเหลี่ยมนั้นมีสวนสูงทั้ง สามเสนยาวเทากัน 2) ถาเสนทแยงมุมทั้งสองเสนของ ABCD ตัดกันเปนมุมฉากและแบงครึ่งซึ่งกันและกัน แลว ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่มีดานทั้งสี่ยาวเทากัน 2. 1) รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีสวนสูงทั้งสามเสนยาวเทากัน ก็ตอเมื่อ รูปสามเหลี่ยมนั้นเปน รูปสามเหลี่ยมดานเทา 2) ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่มีดานทั้งสี่ยาวเทากัน ก็ตอเมื่อ เสนทแยงมุมทั้งสองเสนของ ABCD ตัดกันเปนมุมฉากและแบงครึ่งซึ่งกันและกัน 3. 1) “ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน แลวดานตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมนั้น ยาวเทากันสองคู” และ “ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีดานตรงขามยาวเทากันสองคู แลว รูปสี่เหลี่ยมนั้นเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน” 2) “ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีขนาดของมุมเทากันสองมุม แลวรูปสามเหลี่ยมนั้นเปน รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว” และ “ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว แลว รูปสามเหลี่ยมนั้นมีขนาดของมุมเทากันสองมุม” คําตอบแบบฝกหัด 1.1 1. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก 1 ∧ = 4 ∧ (กําหนดให) 1 ∧ = 2 ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน) 2 1 4 3
  • 12.
    12 จะได 4 ∧ = 2 ∧ (สมบัติของการเทากัน) เนื่องจาก3 ∧ +4 ∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง) ดังนั้น 3 ∧ +2 ∧ = 180o (สมบัติของการเทากัน โดยแทน 4 ∧ ดวย 2 ∧ ) 2. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก AEX ∧ = DFY ∧ (กําหนดให) AEX ∧ = BEF ∧ และ DFY ∧ = CFE ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) ดังนั้น BEF ∧ = CFE ∧ (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยง มีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน) 3. แนวคิดในการพิสูจน 1) เนื่องจาก GEA ∧ = CFE ∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบน ขางเดียวกันของเสนตัดมีขนาดเทากัน) A B C D E F Y X A B C D G H F E
  • 13.
    13 และ CFE ∧ = DFH ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกันแลวมุมตรงขามมีขนาด เทากัน) ดังนั้น GEA ∧ = DFH ∧ (สมบัติของการเทากัน) 2) เนื่องจาก GEB ∧ + GEA ∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง) ดังนั้น GEB ∧ + CFE ∧ = 180o (สมบัติของการเทากัน โดยแทน GEA ∧ ดวย CFE ∧ ) 4. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก ABE ∧ = DCB ∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยง มีขนาดเทากัน) และ BED ∧ = DCB ∧ + EDC ∧ (ถาตอดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเทากับผลบวกของขนาด ของมุมภายในที่ไมใชมุมประชิดของมุมภายนอกนั้น) ดังนั้น BED ∧ = ABE ∧ + EDC ∧ (สมบัติของการเทากัน โดยแทน DCB ∧ ดวย ABE ∧ ) 5. แนวคิดในการพิสูจน 1) เนื่องจาก BMN ∧ = CNM ∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยง มีขนาดเทากัน) A B E C D N L C D M A B OE F P
  • 14.
    14 และ CNM ∧ = EON ∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัดแลว มุมภายนอกและมุมภายในที่อยูตรงขามบนขางเดียวกัน ของเสนตัดมีขนาดเทากัน) ดังนั้น EON ∧ = BMN ∧ (สมบัติของการเทากัน) 2) เนื่องจาก AMN ∧ + BMN ∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง) จะได AMN ∧ + EON ∧ = 180o (สมบัติของการเทากัน โดยแทน BMN ∧ ดวย EON ∧ ) 3) ดังนั้น AB // EF (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหขนาด ของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกันของเสนตัด รวมกันเทากับ 180 องศา แลวเสนตรงคูนั้น ขนานกัน) คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ก 1. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก ∆ AMB ≅ ∆ CMD (ด.ม.ด.) จะได ABM ∧ = CDM ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) ดังนั้น AB // DC (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยงมี ขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน) A B D C M
  • 15.
    15 2. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก AB= AC และ DB = DC (กําหนดให) และ AD = AD (AD เปนดานรวม) ดังนั้น ∆ ABD ≅ ∆ ACD (ด.ด.ด.) 3. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก ∆ AEB ≅ ∆ ADC (ม.ม.ด.) ดังนั้น AE = AD และ BE = CD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) A B C D E A B C D
  • 16.
    16 4. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก A ∧ =B ∧ และ B ∧ = C ∧ (กําหนดให) จะได BC = AC และ AC = AB (ถารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมที่มีขนาดเทากันสองมุม แลวดานที่อยูตรงขามกับมุมคูที่มีขนาดเทากัน จะยาว เทากัน) ดังนั้น AB = AC = BC (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา 5. แนวคิดในการพิสูจน กําหนดให ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา มี AD, BE และ CF เปนเสนมัธยฐาน ตองการพิสูจนวา AD = BE = CF พิสูจน เนื่องจาก ∆ ABD ≅ ∆ CBF (ด.ม.ด.) ดังนั้น AD = CF (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) เนื่องจาก ∆ ACD ≅ ∆ BCE (ด.ม.ด.) A B C A B CD EF
  • 17.
    17 ดังนั้น AD =BE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) นั่นคือ AD = BE = CF (สมบัติของการเทากัน) 6. แนวคิดในการพิสูจน ลาก EM และ CM เนื่องจาก ∆ EAM ≅ ∆ CBM (ด.ม.ด.) ดังนั้น EM = CM (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) จะได ∆ DEM ≅ ∆ DCM (ด.ด.ด.) ดังนั้น EDM ∧ = CDM ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ข 1. แนวคิดในการพิสูจน กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมี BD และAC เปนเสนทแยงมุมตัดกัน ที่จุด E ตองการพิสูจนวา DE = BE และ AE = CE พิสูจน เนื่องจาก ∆ DAE ≅ ∆ BCE (ม.ด.ม.) A M B C D E A D B C E
  • 18.
    18 ดังนั้น DE =BE และ AE = CE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) 2. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก ∆ DOA ≅ ∆ COB (ด.ม.ด.) จะได AD = BC (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) และ ADC ∧ = BCD ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) ดังนั้น AD // BC (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยง มีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน) นั่นคือ ACBD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่ง ขนานกันและยาวเทากัน เปนรูปสี่เหลี่ยม ดานขนาน) 3. แนวคิดในการพิสูจน กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ตองการพิสูจนวา ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน A C BD O A B CD
  • 19.
    19 พิสูจน เนื่องจาก A ∧ = B ∧ =C ∧ = D ∧ = 90o (มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแตละมุมมี ขนาดเทากับ 90 องศา) จะได A ∧ + D ∧ = 180o และ A ∧ + B ∧ = 180o (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น AB // CD และ BC // AD (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหขนาดของมุมภายในที่อยูบนขางเดียวกัน ของเสนตัด รวมกันเทากับ 180 องศา แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน) นั่นคือ ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยม ที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู) 4. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก ED // BF (ตางก็เปนสวนหนึ่งของดานตรงขามที่ขนานกันของ รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน) และ ED = BF (จุด E และจุด F เปนจุดกึ่งกลางของ AD และ BC ซึ่งมีความยาวเทากัน) ดังนั้น DFBE เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่ง ขนานกันและยาวเทากัน เปนรูปสี่เหลี่ยม ดานขนาน) D C BA E F
  • 20.
    20 5. แนวคิดในการพิสูจน กําหนดให ∆ABC มีจุด X เปนจุดกึ่งกลางของ AB และ XY // BC ตองการพิสูจนวา จุด Y เปนจุดกึ่งกลางของ AC พิสูจน เนื่องจาก ∆ AXY ∼ ∆ ABC (ถารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเทากันเปนคู ๆ สามคู แลวรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเปนรูปสามเหลี่ยม ที่คลายกัน) จะได AX AB = AY AC (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลาย) เนื่องจาก AX AB = 1 2 (จุด X เปนจุดกึ่งกลางของ AB) ดังนั้น AY AC = 1 2 (สมบัติของการเทากัน) AY = 1 2 AC (สมบัติการคูณไขวของอัตราสวน) นั่นคือ จุด Y เปนจุดกึ่งกลางของ AC 6. แนวคิดในการพิสูจน เนื่องจาก ∆ AED ≅ ∆ CFB (ม.ด.ม.) จะได AED ∧ = CFB ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) A C B D E F X Y A B C
  • 21.
    21 เนื่องจาก AED ∧ + DEB ∧ =CFB ∧ + BFD ∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง) จะได DEB ∧ = BFD ∧ (สมบัติของการเทากัน) เนื่องจาก ADE ∧ + EDF ∧ = CBF ∧ + FBE ∧ (มุมตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานมีขนาดเทากัน) จะได EDF ∧ = FBE ∧ (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น BEDF เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (ถารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมตรงขามที่มีขนาด เทากันสองคู แลวรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้นเปน รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน) 7. แนวคิดในการพิสูจน กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูนที่มี AC และ BD เปนเสนทแยงมุม ตัดกันที่จุด O ตองการพิสูจนวา AC BD⊥ พิสูจน เนื่องจาก ∆ AOD ≅ ∆ COB (ม.ม.ด.) จะได AO = OC (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) จะได ∆ AOB ≅ ∆ COB (ด.ด.ด.) AOB ∧ = COB ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) AOB ∧ + COB ∧ = 180o (ขนาดของมุมตรง) จะได AOB ∧ = COB ∧ = 180 2 = 90o (สมบัติของการเทากัน) ดังนั้น AC BD⊥ CD A B O
  • 22.
    22 8. แนวคิดในการพิสูจน ลาก AC จะไดPQ // AC และ PQ = 1 2 AC (สวนของเสนตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของดานสอง ดานของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะขนานกับดานที่สามและ ยาวเปนครึ่งหนึ่งของดานที่สาม) ในทํานองเดียวกัน จะได SR // AC และ SR = 1 2 AC ดังนั้น PQ // SR และ PQ = SR (สมบัติของเสนขนานและสมบัติของการเทากัน) นั่นคือ PQRS เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานที่อยูตรงขามกันคูหนึ่ง ขนานกันและยาวเทากัน เปนรูปสี่เหลี่ยม ดานขนาน) C PA B D Q R S
  • 23.
    23 คําตอบกิจกรรม “พิสูจนไดหรือไม” 1. แนวคิดในการพิสูจน กรณีที่มีเสนตรงสามเสนขนานซึ่งกันและกัน กําหนดใหเสนตรง 1 , 2 และ 3 ขนานซึ่งกันและกัน PQ เปนเสนตัด เสนตรง 1 , 2 และ 3 ที่จุด A , B และ C ตามลําดับ ทําให AB = BC และ RS เปนเสนตัดเสนตรง 1 , 2 และ 3 ที่จุด D , E และ F ตามลําดับ ตองการพิสูจนวา DE = EF พิสูจน ลาก XY ผานจุด E และใหขนานกับ PQ โดย XY ตัดเสนตรง 1 ที่จุด L และตัดเสนตรง 3 ที่จุด F เนื่องจาก ABEL เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มี ดานตรงขามขนานกันสองคู) ดังนั้น AB = LE (ดานตรงขามของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานยาวเทากัน) ในทํานองเดียวกันจะไดวา BC = EK เนื่องจาก AB = BC (กําหนดให) ดังนั้น LE = EK (สมบัติของการเทากัน) 1 ∧ = 2 ∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกันและมีเสนตัด แลวมุมแยงมีขนาด เทากัน) 3 ∧ = 4 ∧ (มีเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขามมีขนาดเทากัน) จะได ∆ DEL ≅ ∆ FEK (ม.ด.ม.) นั่นคือ DE = EF (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) กรณีที่มีเสนตรงมากกวาสามเสนขนานซึ่งกันและกัน จะพิสูจนไดในทํานองเดียวกัน F D 1 A C P Q 3 B 2 Y S
  • 24.
    24 2. แนวการสราง 1. สรางBAX ∧ และ ABY ∧ ใหเปนมุมแยงและมีขนาดเทากัน 2. ใชรัศมีที่ยาวเทากันตัด AX และ BY ใหได AC = CD = DE = BS = ST = TU 3. ลาก EB, DS, CT และ AU ให DS และ CT ตัด AB ที่จุด Q และจุด P ตามลําดับ จะได AP = PQ = QB A B C D E P Q X Y U T S
  • 25.
    25 พิสูจน เนื่องจาก BAX ∧ = ABY ∧ (จากการสราง) จะไดAX // BY (ถาเสนตรงเสนหนึ่งตัดเสนตรงคูหนึ่ง ทําใหมุมแยง มีขนาดเทากัน แลวเสนตรงคูนั้นขนานกัน) เนื่องจาก AC // TU และ AC = TU (จากการสราง) จะได AU // CT (สวนของเสนตรงที่ปดหัวทายของสวนของเสนตรงที่ ขนานกันและยาวเทากัน จะขนานกัน) ในทํานองเดียวกันสามารถพิสูจนไดวา CT // DS และ DS // EB ดังนั้น AU, CT, DS และ EB ขนานซึ่งกันและกัน (สมบัติของเสนขนาน) จะได AP = PQ = QB (ถาเสนตรงตั้งแตสามเสนขึ้นไปขนานซึ่งกันและกัน และมีเสนตรงเสนหนึ่งตัด ทําใหไดสวนตัดยาว เทากัน แลวเสนที่ขนานกันเหลานี้จะตัดเสนตัดอื่น ๆ ออกเปนสวน ๆ ไดยาวเทากันดวย) คําตอบกิจกรรม “มีไดรูปเดียว” 1. แนวการสราง 1. สราง AB ยาว a หนวย 2. สราง QAB ∧ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ XYZ ∧ 3. สราง AR แบงครึ่ง QAB ∧ 4. บน AR สราง AC ยาว b หนวย 5. ลาก BC จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ b aA B C Q R
  • 26.
    26 2. แนวการสราง 1. สรางBA ยาว b หนวย 2. สราง ABD ∧ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ XYZ ∧ 3. สราง BR แบงครึ่ง ABC ∧ 4. บน BR สราง BE ยาว a หนวย 5. ลาก AE ตัด BD ที่จุด C จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ 3. แนวการสราง 1. สราง XY ใหยาวเทากับ AB + AC 2. สราง XYP ∧ ใหมีขนาดเทากับสองเทาของขนาดของ ABC ∧ 3. บน YP สราง YZ ใหยาวเทากับ BC 4. ลาก XZ จะได ∆ XYZ เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ a bA B CR E D X Y Z P
  • 27.
    27 4. แนวการสราง 1. สรางRQ 2. บน RQ สราง QA ใหยาวเทากับ QR 3. ลาก AP จะได ∆ PAR เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วตามตองการ 5. ตัวอยางการสราง 1. ลาก XY และกําหนดจุด C บน XY 2. สราง XCS ∧ และ YCZ ∧ ใหมีขนาดเทากับ q และ p ตามลําดับ 3. บน CS สราง CA ยาว a หนวย 4. สราง CAR ∧ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ ACZ ∧ โดยให AR ตัด XY ที่จุด B จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ RQ P A X B A q p Z YC a S R
  • 28.
    28 6. แนวการสราง 1. ลากXY และกําหนดจุด A บน XY 2. สราง AZ ตั้งฉากกับ XY ที่จุด A 3. บน AZ สราง AR ยาว b หนวย 4. สราง RP ตั้งฉากกับ AZ ที่จุด R 5. สราง YAD ∧ ใหมีขนาดเทากับ k และ AD ตัด RP ที่จุด C (จะไดจุด C มีระยะหางจาก AY เทากับ b หนวย) 6. ใชจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ a หนวย เขียนสวนโคงตัด AY ที่จุด E 7. ใชจุด E เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ AE เขียนสวนโคงตัด AY ที่จุด B 8. ลาก BC จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมตามตองการ b R Z A E B Y P C D a k X
  • 29.
    29 คําตอบกิจกรรม “มีไดหลายรูป” 1. สรางรูปตามเงื่อนไขขอ1) ถึงขอ 3) ไดดังนี้ 4) เทากับพื้นที่ของ ∆ ABC เพราะมีความสูงเทากัน และมีฐาน AB รวมกัน 5) หลายรูปนับไมถวน และรูปสามเหลี่ยมเหลานั้นมีจุดยอดอยูบน XY ที่ขนานกับฐาน AB 2. ตัวอยางการสราง 1) สรางเพื่อแบงครึ่ง QR ที่จุด A ลาก PA จะได ∆ PQA และ ∆ PRA แตละรูปมีพื้นที่เปนครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของ ∆ PQR แนวคิดในการใหเหตุผล เนื่องจาก ∆ PQA และ ∆ PRA แตละรูปมีฐานยาวเทากับครึ่งหนึ่งของความยาวของฐาน ของ ∆ PQR และมีความสูงเทากัน ดังนั้น พื้นที่ของ ∆ PQA = พื้นที่ของ ∆ PRA = 1 2 พื้นที่ของ ∆ PQR 2) วิธีที่ 1 แบงครึ่งฐาน แลวลากเสนมัธยฐาน ดังตัวอยางขอ 1) วิธีที่ 2 แบงครึ่งสวนสูง แลวลากสวนของเสนตรงจากจุดแบงครึ่งที่ไดนั้นไปยังจุดปลาย ทั้งสองขางของฐาน AQ P R C D E F A B X Y
  • 30.
    30 คําตอบกิจกรรม “สรางไดไมยาก” 1. ตัวอยางการสราง 1) 1.สราง AC ยาวนอยกวา 2a หนวย (เนื่องจากผลบวกของความยาวของดาน สองดานของรูปสามเหลี่ยมมากกวาความยาวของดานที่สาม) 2. ใชจุด A และจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ a หนวยเขียนสวนโคงตัดกันที่ จุด B ลาก AB และ CB 3. ใชจุด A และจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ b หนวย เขียนสวนโคงตัดกันที่ จุด D ซึ่งอยูอีกดานหนึ่งของ AC 4. ลาก AD และ CD จะได ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปวาวตามตองการ 2) หลายรูปนับไมถวน เพราะสามารถสราง AC ยาวนอยกวา 2a หนวย ไดมากมาย นับไมถวน A B C D
  • 31.
    31 2. ตัวอยางการสราง 1. สรางAC ยาว c หนวย 2. ใชจุด A เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ b หนวย เขียนสวนโคง 3. ใชจุด C เปนจุดศูนยกลางรัศมีเทากับ a หนวย เขียนสวนโคงตัดสวนโคงในขอ 2 ที่จุด B และจุด D 4. ลาก AB, BC, AD และ DC จะได ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมรูปวาวตามตองการ 3. ตัวอยางการสราง 1. สราง AB ใหยาวเทากับ PQ 2. สราง ABX ∧ และ BAY ∧ ใหมีขนาดเทากับขนาดของ PQR ∧ และขนาดของ QPS ∧ ตามลําดับ 3. บน BX สราง BC ใหยาวเทากับ QR และบน AY สราง AD ใหยาวเทากับ PS 4. ลาก DC จะได ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่เทากันทุกประการกับ PQRS a D b B A C b a c D C A B Y X
  • 32.
    32 แนวคิดในการใหเหตุผล ลาก QS และBD จากการสราง AB = PQ, BC = QR, AD = PS ABC ∧ = PQR ∧ และ BAD ∧ = QPS ∧ เนื่องจาก ∆ ABD ≅ ∆ PQS (ด.ม.ด.) จะได ∆ BDC ≅ ∆ QSR (ด.ม.ด.) ดังนั้น CD = RS, BCD ∧ = QRS ∧ และ ADC ∧ = PSR ∧ นั่นคือ ABCD ≅ PQRS (รูปหลายเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ ดานคูที่สมนัยกัน และมุมคูที่สมนัยกันของ รูปสามเหลี่ยมทั้งสองนั้น มีขนาดเทากันเปนคู ๆ ) 4. สรางตามเงื่อนไขขอ 1) ถึงขอ 4) จะไดรูปการสรางดังนี้ 5) เทากัน เพราะ มีฐาน BD รวมกันและมีสวนสูงยาวเทากัน คือ จุดยอด C และจุดยอด E อยูบน CE ที่ขนานกับฐาน BD D C A B E X Y S R P Q D C A B Y X
  • 33.
    33 6) เทากัน เพราะ เนื่องจากพื้นที่ของ ABCD = พื้นที่ของ ∆ ABD + พื้นที่ของ ∆ DBC และ พื้นที่ของ ∆ ADE = พื้นที่ของ ∆ ABD + พื้นที่ของ ∆ DBE = พื้นที่ของ ∆ ABD + พื้นที่ของ ∆ DBC (จากขอ 5)) ดังนั้น พื้นที่ของ ∆ ADE = พื้นที่ของ ABCD (สมบัติของการเทากัน) 5. แนวการสราง 1. สราง DE ยาว b หนวย 2. สราง EX ใหตั้งฉากกับ DE ที่จุด E และบน EX สราง EC ยาว a หนวย 3. ลาก DC 4. สราง DY ใหตั้งฉากกับ DC ที่จุด D และบน DY สราง DP ยาวเทากับ DC 5. สราง CZ ใหตั้งฉากกับ DC ที่จุด C และบน CZ สราง CQ ยาวเทากับ DC 6. ลาก PQ จะได DCQP เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามตองการ Z C a b ED P Q Y X
  • 34.
    34 แนวคิดในการใหเหตุผล เนื่องจาก ∆ DECเปนรูปสามเหลี่ยมที่มี DEC ∧ เปนมุมฉาก DE = b หนวย และ EC = a หนวย (จากการสราง) จะได DC2 = a2 + b2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) จากการสราง จะได DCQP เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แตละดานยาวเทากับ DC ดังนั้น DCPQ มีพื้นที่เทากับ DC2 = a2 + b2 ตารางหนวย 6. แนวการสราง 1. สราง AB ยาว b หนวย 2. สราง BX ใหตั้งฉากกับ AB ที่จุด B และบน BX สราง BC ยาว a หนวย 3. ลาก AC 4. สราง AY ใหตั้งฉากกับ AC ที่จุด A และบน AY สราง AP ยาว c หนวย 5. ลาก PC 6. สราง PM และ CN ตั้งฉากกับ PC ที่จุด P และจุด C ตามลําดับ 7. บน PM และ CN สราง PQ และ CR ตามลําดับ ใหแตละสวนของเสนตรงยาว เทากับ PC P A B a b c C R Q M N X Y
  • 35.
    35 8. ลาก QR จะไดPCRQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามตองการ แนวคิดในการใหเหตุผล เนื่องจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี ABC ∧ เปนมุมฉาก AB = b หนวย และ BC = a หนวย (จากการสราง) จะได AC2 = a2 + b2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) เนื่องจาก ∆ PAC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี PAC ∧ เปนมุมฉาก และ PA = c หนวย (จากการสราง) จะได PC2 = AC2 + PA2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) นั่นคือ PC2 = a2 + b2 + c2 (สมบัติของการเทากัน) จากการสราง จะได PCRQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แตละดานยาวเทากับ PC ดังนั้น PCRQ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เทากับ PC2 = a2 + b2 + c2 ตารางหนวย คําตอบกิจกรรม “แบงครึ่งมุม” แนวคิดในการพิสูจน ∆ PYF ≅ ∆ QYE (ด.ม.ด.) YFP ∧ = YEQ ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) QOF ∧ = POE ∧ (ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) QF = PE (สมบัติของการเทากัน) ZFQ P E X O Y
  • 36.
    36 จะได ∆ QOF≅ ∆ POE (ม.ม.ด.) OQ = OP (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) เนื่องจาก YO = YO (YO เปนดานรวม) จะได ∆ YQO ≅ ∆ YPO (ด.ด.ด.) ดังนั้น PYO ∧ = QYO ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ YO แบงครึ่งมุม XYZ ∧