Allin 2

Allin 2

• 1.
  TUGAS INDIVIDU WORKSHOP NAMA : HAFIZHUL WAHYUDI NPM : 201013500304 KELAS : R 5 C
• 2.
  HIMPUNAN VEKTOR
• 3.
  Teorema Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor disebut : Tak bebas secara linier jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lainnya dalam S. Bebas secara linier jika dan hanya jika ada vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor- vektor lain dalam S.
• 8.
  Definisi. Jika Vadalah sembarang ruang vektor dan S = { v1, v2, …, vn} adalah suatu himpunan vector-vektor dalam V, maka S disebut suatu basis untuk V jika dua syarat berikut ini terpenuhi. •S bebas secara linear •S merentangkan V Suatu basis adalah generalisasi ruang vector dari suatu system koordinat dalam ruang berdimensi dua dan ruang berdimensi tiga. Teorema berikut akan membantu kita mengapa hal tersebut demikian
• 9.
  BTeorema 5.4.1. jikaS = { v1, v2, …, vn} adalah suatu basis untuk suatu ruang vector V, maka setiap vector v dalam V dapat dinyatakan dalam bentuk v = c1 v1 + c2 v2 + ...... + cn vn dalam tepat satu cara. Bukti karena S merentangkan V, maka dari definisi suatu himpunan rentang kita dapatkan bahwa setiap vector dalam V dapat dinyatakan dalam kombinasi linear dari vector-vektor dalam S. untuk melihat bahwa hanya ada satu cara untuk menyatakan suatu vector sebagai suatu linear dari vector- vektor dalam S, anggap bahwa suatu vector v dapat ditulis sebagai
• 10.
  v = c1v1 + c2 v2 + ...... + cn vn dapat juga sebagai v = k1 v1 + k2 v2 + ...... + kn vn dengan megurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama akan didapatkan 0 = (c1 - k1) v1 + (c2 – k2) v2 + …… + (cn – kn) vn Karena ruas kanan dari persamaan ini adalah suatu kombinasi linear dari vector-vektor dalam S, maka kebebasan linear dari S mengimplikasikan bahwa c1 - k1 = 0, c2 – k2 = 0, …… cn – kn = 0 yaitu c1 = k1, c2 = k2, …….. cn = kn, jadi kedua ekspresi untuk v adalah sama.
• 11.
  Jika S ={ v1, v2, …, vn} adalah suatu basis untuk suatu ruang vector V, dan v = c1 v1 + c2 v2 + ...... + cn vn adalah ekspresi untuk suatu vector v dalam bentuk S, maka skalar c1, c2, …, cn disebut koordinat v relative terhadap basis S. Vector (c1, c2, …, cn) dalam Rn yang tersusun dari koordinat-koordinat ini disebut koordinat dari vector v relative terhadap S. dinyatakan dengan (v)s = (c1, c2, …, cn)
• 12.
  Dimensi Definisi. Suatu ruang vector tak nol disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vector terhingga { v1, v2, …, vn} yang membentuk suatu basis. Jika tidak ada himpunan yang seperti itu, maka v disebut berdimensi tak hingga. Di samping itu, kita akan menganggap ruang vector nol sebagai berdimensi terhingga.
• 13.
  Teorema 5.4.2. jikaV adalah suatu ruang vector berdimensi terhingga dan { v1, v2, …, vn} adalah sembarang basis, maka : Setiap himpunan dengan lebih dari n vector adalah tak bebas secara linear Tidak ada himpunan dengan vector yang kurang dari n yang merentang V.
• 14.
  Bukti (a) anggapS’ = { w1, w2, …, wn} adalah sembarang himpunan m vector dalam V, dimana m > n. kita ingin menunjukkan bahwa S’ tak bebas secara linear. Karena S { v1, v2, …, vn} adalah suatu basis, maka setiap w, dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vector-vektor dalam S, misalkan w1 = a11v1 + a21v2 + … + an1vn w2 = a12v1 + a22v2 + … + an2vn wm= a1mv1 + a2mv2 + … + anmvn
• 15.
  untuk menunjukan bahwaS’ tak bebas secara linear, kita harus mencari scalar k1, k2, …km, yang tidak semuanya nol sedemikian sehingga k1 w1 + k2 w2 + … + km wm = 0 Dengan menggunakan persamaan dalam (6), kita dapat menulis ulang (7) sebagai (k1a11 + k2a12 + … + kma1m)v1 +(k1a21 + k2a22 + … + kma2m)v2 +(k1an1 + k2an2 + … + kmanm)vn=0
• 16.
  Jadi, dari kebebasanlinear S, masalah membuktikan bahwan S’ adalah suatu himpunan yang tak bebas secara linear berubah menjadi menunjukan bahwa ada scalar k1,k2 ,…..km, yang tidak semuanya nol, yang memenuhi Dasar-dasar Aljabar Linear a11k1 + a12k2 + … + a1mkm = 0 a21k1 + a22k2 + … + a2mkm = 0 : : : : an1k1 + an2k2 + … + ammkm = 0
• 17.
  Akan tetapi, (8) mempunyaiperubahan yang lebih banyak dari persamaannya, sehingga bukti ini menjadi lengkap karena Teorema 1.2.1 menjamin adanya penyelesaian yang tak rival.
• 18.
  TRANSFORMASI LINEAR Pada subbab ini kita akan memulai penelaahan fungsi berbentuk w = F(x). dimana perubahan bebas x adalah suatu vector dalam Rn dan perubahan tak bebas w adalah suatu vector dalam Rm. Kami akan berkonsentrasi pada bagian khusus dari fungsi-fungsi seperti itu yang disebut “transformasi linear” Transformasi linear merupakan dasar dalam telaah aljabar linear dan mempunyai banyak penerapan penting dalam fisika, teknik, ilmu- ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika.
• 19.
  FUNGSI-FUNGSI DARI RnKE R Ingat bahwa sebuah fungsi adalah suatu aturan f yang menghubungkan setiap unsure dalam himpunan A ke satu dan hanya satu unsur dalam himpunan B. Jika f menghubungkan unsure b dengan unsure a. maka kita tulis b = f(a) dan kita katakana bahwa b adalah bayangan dari a di bawah f atau bahwa f(a) adalah nilai dari f di a.
• 20.
  Himpunan A disebutdaerah asal dari f dan himpunan B disebut daerah kawan dari f. Himpunan bagian dari B yang terdiri dari semua nilai yang mungkin untuk f ketika a berubah-ubah dalam A disebut daerah hasil dari f. Untuk fungsi-fungsi yang paling umum . A dan B adalah himpunan bilangan real, di mana f disebut fungsi bernilai real dari suatu variable. Fungsi-fungsi umum lainnya terjadi ketika B adalah himpunan bilangan real dan A adalah himpunan vector dalam R2, R3, atau secara lebih umum, dalam Rn. Beberapa contoh ditunjukan dalam Tabel 1.
• 21.
  Rumus Contoh Klasifikasi Uraian f(x) f(x) = x2 Fungsi bernilai real Fungsi dari dari suatu variable R ke R real f(x,y) f(x,y)=x2 + y2 Fungsi bernilai real Fungsi dari dari dua variable R2 ke R real f(x,y, z) F(x,y, )= x2 + y2 + Fungsi bernilai real Fungsi R3 z2 dari tiga variable ke R real F(x1, x2,…. Xn F(x1, x2,…, xn)= Fungsi bernilai real Fungsi dari + + …. + dari n variable real Rn ke R
• 22.
  Dua fungsi f1dan f2 dianggap sama, ditulis f1 = f2, jika kedua fungsi tersebiut mempinyai daerah asal yang sama dan f1(a) = f2(a) untuk semua a dalam daerah asal tersebut.
• 23.
  TERIMA KASIH