Bab vi konsep dasar teori diferensial

Dosen Pengasuh:
H.M. TAJUS SUBQI, S.E., M.M.
JURUSAN EKONOMI SYARIAH
INSTITUT ILMU KEISLAMAN ANNUQAYAH (INSTIKA)
GULUK-GULUK SUMENEP
1

PENERAPAN TEORI DIFERENSIAL
DALAM BISNIS DAN EKONOMI
B. PENERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI
1. Penerapan Teori Diferensial Biasa, diantaranya untuk
mencari : Laju Pertumbuhan (Fungsi Marjinal), Optimasi
(Nilai Maksimum dan Minimum), Elastisitas titik:
Analisis Fungsi dan Grafis.
2. Penerapan Diferensial Parsial, seperti menghitung
Price Elasticity of Demand, Cross Elasticity of Demand,
dan Income Elasticity of Demand, menghitung Optimasi
untuk dua variabel serta mencari Marginal Rate of
Technical Substitution.
21

3. Penerapan Diferensial Berantai, seperti dalam fungsi
produksi, menghitung Marginal Physical Product of Capital,
Marginal Physical Product of Labor, Marginal Revenue Product
of Capital dan Marginal Revenue Product of Labor.
Penerapan Teori Diferensial Biasa
1. Laju Pertumbuhan (Fungsi Marginal)
Fungsi Marginal merupakan turunan pertama dari fungsi-
fungsi total yang merupakan fungsi ekonomi.
Fungsi Marginal menggambarkan laju pertumbuhan suatu
variabel terikat akibat perubahan variabel bebasnya. Secara
umum jika diberikan fungsi total sebagai berikut: y = f (x),
maka diperolehlah fungsi Marginalnya dy/dx  laju perubahan
y akibat perubahan x sebanyak 1 unit.
22

Lebih jauh lagi 
Jika fungsi marginal itu hasilnya positif, dikatakan perubahan
searah; artinya jika x bertambah 1 unit maka y akan bertambah pula
atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y akan berkurang pula.
Jika fungsi marginal hasilnya negatif, maka dikatakan
perubahannya tidak searah, yang artinya jika x bertambah 1 unit,
maka y berkurang atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y
akan bertambah.
Contoh soal : Marginal Pendapatan (Marginal Revenue)
a. Fungsi permintan diberikan P = 3Q + 27,
di mana P: Price (harga) dan Q: Output.
Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya (Marginal
Revenue) dan berapa nilai marginal pendapatannya jika
perusahaan memproduksi 10 output, serta terangkan artinya.
23

Jawab :
fungsi total pendapatan (Total Revenue)
R = P . Q
R = (3Q + 27) . Q
R = 3Q2 + 27Q
Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue)
MR = dR/dQ = 6Q + 27
Jika perusahan berproduksi pada tingkat output Q = 10 ,
maka MR = dR/dQ = 6Q + 27
= 6(10) + 27
= 60 + 27 = 87
Artinya : untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit
akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 87, sebaliknya
untuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan
banyak menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 87
24

b. Fungsi Permintaan diberikan Q = 6 - 5P, dimana P: Price (harga) dan Q:
Penjualan. Bagaimanakah Fungsi marginal pendapatanya (Marginal
Revenue) dan berapakah nilai marginal pendapatanya jika perusahaan
memproduksi baru 1 penjualan ,serta terangkan artinya.
Jawab:
Karena fungsi permintaanya Q = 6 - 5P, dimana harus diubah dahulu
menjadi P = 6/5 –1/5Q Barulah mencari fungsi total pendapatan (Total
Revenue): R = P . Q
R = (6/5 – 1/5Q) Q
R = 6/5Q - 1/5Q2
Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue):
MR = dR/dQ = 6/5 - 2/5Q
Jika perusahaan berproduksi pada tingkat output Q = 1,
maka MR= dR/dQ = 6/5 - 2/5.(1) = 6/5 - 2/5 = 4/5
25

artinya : untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual
sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan
pendapatan sebesar 4/5, sebaliknya untuk setiap
penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan
menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 4/5
c. Fungsi Pendapatan Rata-rata (Average Revenue)
diberikan AR = 80 – 4 Q Bagaimanakah fungsi marginal
pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapakah nilai
marginal pendapatannya jika perusahaan memproduksi 7
output, serta terangkan artinya.
Jawab: ………………….
26

Jawab:
Fungsi total pendapatan ( Total Revenue) :
TR = AR . Q
= (80 – 4 Q) Q
= 80 Q – 4 Q2
Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue) :
MR = dR/dQ = 80 - 8 Q
Jika perusahaan memproduksi pada tingkat output Q = 7, maka
MR = dR/dQ = 80 - 8(7)
= 80 – 56 = 24
Artinya: untuk setiap peningkatan output Q yang di jual sebanyak 1 unit
akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 24, sebaliknya
untuk setiap penurunan penjualan Q yang di jual sebanyak 1 unit akan
menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 24.
27

Contoh soal: Marginal Biaya (Marginal Cost)
d. Fungsi Total Biaya suatu perusahaan dinyatakan sebagai berikut:
C = Q3 - 4Q2 + 10Q + 75
Bagaimanakah fungsi marginal biayanya (Marginal cost) dan
berapakah nilai marginal biaya tersebut jika perusahaan memproduksi
2 penjualan, serta terangkan arti.
Jawab:
Fungsi total biaya (total biaya): C = Q3 - 4Q2 + 10Q + 75
Fungsi Marginal Biaya (marginal cost): C‟ = 3Q2 - 8Q + 10
Jika perusahaan berproduksi pada tingkat penjualan Q = 2,
maka MC = C‟= 3Q2 - 8Q + 10 = 3(2)2 - 8(2) + 10 = 12 – 16 + 10 = 6
Artinya: Untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak
1 unit akan menyebabkan adanya tambahan biaya sebesar 6, sebaliknya
untuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan
menyebabkan adanya pengurangan biaya sebesar 6. 28

2. Optimasi Satu Variabel (Nilai Ekstrim Maksimum atau Minimum)
Dalam masalah optimasi, ada dua pertanyaan yang senantiasa
diajukan. Misalkan untuk fungsi dengan satu variabel y= f(x),
permasalahannya:
a. Berapakah “x” yang akan memberikan “y” optimum? Jika itu telah
terjawab, maka pertanyaan selanjutnya baru bisa dijawab yaitu:
b. Berapakah “y” yang optimum tersebut?
Untuk menjawab pertanyaan pertama, langkah-langkahnya dijelaskan
dibawah ini:
Untuk fungsi yang mengandung satu variabel y= f(x)
29

Contoh: memaksimasi total pendapatan (total revenue)
a. Harga jual barang P = - 2Q + 16, tentukan berapa output yang
harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan
maksimum.
Jawab:
Fungsi total pendapatan: P = - 2Q + 16
R = P . Q = (- 2Q + 16) Q
R = - 2Q2 + 16Q
Langkah pertama mencari turunan pertama fungsi total
pendapatan kemudian dibuat = 0
R’ = - 4Q + 16 = 0
4Q = 16
Q = 4
30

Agar dijamin bahwa jika menjual sebanyak Q = 4 maka akan
diperoleh total pendapatan maksimum, maka lakukanlah langkah
kedua yaitu mencari turunan kedua fungsi total pendapatan:
R” = - 4 Ternyata  R” = - 4 < 0
Sehingga diperoleh nilai maksimum.
Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total
pendapatan maksimum yaitu sebanyak 4.
Total pendapatan maksimumnya:
R = - 2Q2 + 16Q
R = - 2(4)2 + 16(4)
R = 32
Jadi ketika menjual produk sebanyak 4, maka akan diperoleh total
pendapatan maksimum sebesar 32.
31

Contoh soal: Memaksimasi Marginal Pendapatan
(marginal revenue)
b. Harga jual barang P = 16 - 2Q, tentukan berapa output yang harus
diproduksi dan dijual agar diperoleh marginal pendapatan
maksimum. Berapakah marginal pendapatan maksimum tersebut?
Jawab:
Fungsi permintaan: P = 16 - 2Q
Fungsi total pendapatan: R = P . Q = (16 - 2Q) Q
= 16Q – 2Q2
Fungsi marginal pendapatan: MR = 16Q - 2Q2
Turunan pertama: MR’ = 16 - 4Q = 0
16 = 4Q  Q = 4
Turunan kedua: MR” = - 4 < 0
32

Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh
marginal pendapatan maksimum sebanyak 4.
Marginal pendapatan maksimumnya: MR = 16Q - 2Q2
= 16(4) - 2(4)2 = 48
Contoh Soal: Meminimumkan Total Biaya (Total Cost)
c. Biaya total dinyatakan dengan C(Cost) = 5Q2 - 1000Q + 85000
Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan total
biaya minimum? Berapakah total biaya minimum tersebut?
Jawab:
33

Jawab:
C = 5Q2 - 1000Q + 85000
C’= 10Q – 1000 = 0
10Q = 1000
Q = 100
C” = 10 > 0  Jadi total biaya minimum akan tercapai jika
berproduksi sebanyak 100 unit.
Total biaya minimumnya sebesar:
C = 5Q2 - 1000Q + 85000
C = 5(100)2 - 1000(100) + 85000
C = 35000
Jadi total biaya minimumnya sebesar: 35000
34

Contoh soal: Meminimasi Marginal Biaya (Marginal Cost)
d. Biaya total dinyatakan dengan:
C (Cost) = Q3 -90Q2 + 2800Q + 56500
Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan marginal
biaya minimum? Berapakah marginal biaya minimum
tersebut?
Jawab:
Fungsi total biaya: C = Q3 - 90Q2 + 2800Q + 56500
Fungsi marginal biaya: MC = 3Q2 - 180Q + 2800
Turunan pertama: MC’= 6Q – 180 = 0 6Q = 180 Q = 30
Turunan kedua: MC” = 6 > 0
35

Jadi output yang harus diproduksi agar diperoleh marginal
biaya minimum sebanyak 30.
Marginal biaya minimum:
MC = 3Q2 - 180Q + 2800
= 3(30)2 - 180(30) + 2800
= 100
Jadi marginal biaya minimum akan tercapai jika berproduksi
sebanyak 30 unit = 100
36

Contoh soal : Memaksimasi laba/keuntungan/profit
e. Diberikan fungsi permintaan dan fungsi biaya masing2 sbb:
P = 1000 - 2Q Dan C = Q3 - 59Q2 + 1315Q + 2000
Berapakah produk yang harus di produksi dan di jual sehingga
dapat di peroleh laba yang maksimum ? Berapakah laba
maksimum tersebut ?
Jawab:
Fungsi pendapatan: R = P . Q
R = (1000 - 2Q) . Q
R = 1000 Q - 2 Q2
Fungsi biaya: C = Q3 - 59Q2 +1315Q + 2000
Fungsi laba: Laba = Pendapatan – biaya
Laba = (1000Q - 2Q2) - (Q3 - 59Q2 + 1315Q + 2000)
Laba = - Q3 + 57Q2 - 315Q – 2000 37

Turunan pertama:  Laba’ = -3Q2 + 114Q - 315
= Q2 - 38Q + 105
= (Q - 3) (Q - 35) = 0
(Q1 = 3 Dan Q2 = 35)
Turunan kedua:  Laba” = - 6Q + 114
Untuk Q1 = 3, maka turunan kedua = - 6(3) + 114 = 96 > 0 Berarti
jika di produksi output sebanyak 3, maka labanya akan minimum.
Untuk Q2 = 35, maka turunan kedua = - 6(35) + 114 = - 96 < 0
Berarti jika di produksi output sebanyak 35, maka labanya akan
maksimum. Laba maksimumnya sebesar :
Laba = - Q3 + 57Q2 - 315Q - 2000
= - (35)3 + 57(35)2 - 315(35) - 2000 = 13925
Jadi dengan memproduksi dan menjual output sebanyak 35 akan di
peroleh laba maksimum sebanyak : 13925
38

Contoh soal:
Memaksimasi Penerimaan Pajak Salah satu sumber penerimaan
pemerintah adalah dengan penarikan pajak, misalnya pajak
penjualan yang di kenakan pemerintah terhadap setiap unit yang di
produksi dan di jual oleh pengusaha.
Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajak
tersebut. Untuk itu pemerintah harus menentukan berapa tarif pajak
yang akan di berlakukannya sehingga akan di peroleh pajak
maksimum.
Total pajak yang akan di terima perintah : T = t. Q*
di mana t = tarif pajak yang di kenakan pemerintah dan
Q*= Jumlah output yang diproduksi dan dijual
pengusaha sehingga di peroleh laba maksimum,
yang telah mempertimbangkan biaya pajak.
39

Dari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari
pemerintah:
Laba = pendapatan – (biaya + pajak)
= R – (C + T),
= R – C – T
= R – C – t Q ,
dimana ….
R: Pendapatan C: Biaya T: Pajak
Q: Tingkat output yang di produksi dan di jual oleh
pengusaha, yang memberikan laba maksimum setelah
mempertimbangkan adanya pajak penjualan dan pemerintah.
40

f. Total pendapatan dan total biaya di berikan sebagai berikut :
R = 15Q - 2Q2 dan C = 3Q
Berapakah tarif pajak yang sebaiknya di kenakan pemerintah
kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak
maksimum ? Berapakah total pajak maksimum yang di
peroleh ?
Jawab:
Dari sudut pandang pengusaha:
Laba = R – C – t Q
= (15 Q – 2 Q2)– 3Q – t Q
= -2 Q2 + 12Q – t Q
.
41

Turunan pertama: Laba‟ = - 4Q + 12 – t = 0
12 – t = 4Q
4Q = 12 - t
Q = 12 - t
4
Q* = 3 – ¼ t
Turunan ke dua: Laba = - 4 < 0 Jadi dengan memproduksi
sebanyak Q* = 3 – ¼ t, pengusaha akan memperoleh laba
maksimum
42

Dari sudut pandang pemerintah: Pajak: T = t (3 – ¼ t)
= 3t – 1/4 t2
Turunan pertama: T’ = 3 – ½ t = 0  – ½ t = -3
 t = -3 : -1/2  t = 6
Turunan ke dua : T” = -½
Jadi tarif pajak yang memberikan total pajak maksimum = 6
Karena Q* = 3 - ¼ t
= 3 – 1/4(6)
= 3 – 1,5
= 1,5
Maka total pajak maksimum: T = t . Q*
= 6 . 1,5 = 9
Jadi total pajak yang yang di terima pemerintah sebesar: 9
43

Contoh soal:
g. Fungsi penerimaan dan fungsi biaya suatu produk dinyatakan
sebagai berikut:
R = 360 Q – 10,5 Q2 Dan C = 100 Q – 4 Q2
 Berapakah produk harus dibuat dan dijual perusahaan agar di
peroleh laba maksimum?
 Berapakah laba maksimum tersebut?
 Jika pemerintah ingin memperoleh pajak penjualan yang
maksimum, berapakah tarif pajak yang harus di kenakan
pemerintah kepada perusahaan tersebut?
 Berapakah total pajak maksimum yang di dapat pemerintah?
 Berapakah laba maksimum yang di terima perusahaan setelah
di kenakan pajak ?
44

Jawab:
Dari sudut pandang pengusaha:
Laba = R – C – tQ
= (360Q – 10,5Q2)– (100 Q – 4 Q2) – tQ
= 360Q – 10,5Q2 – 100 Q + 4Q2 – tQ
= 260Q – 6,5Q2 – tQ
Turunan pertama  Laba’ = 260 – 13Q – t = 0
260 – t = 13Q
Q = (260 – t)/13
Q*= 20 – 1/13 t
Turunan ke dua  Laba” = - 13 < 0
Jadi dengan memproduksi sebanyak Q* = 20 – 1/13 t, pengusaha
akan memperoleh laba maksimum
45

Dari sudut pandang pemerintah:
Pajak: T = t Q*
= t (20 – 1/13 t)
= 20 t – 1/13 t2
Turunan pertama : T’ = 20 – 2/13 t = 0
20 = 2/13 t
t = 130
Turunan ke dua : T’’ = - 2/13
Jadi taruf pajak yang memberikan total pajak maksimum = 130
Karena Q* = 20 – 1/13t
= 20 – 1/13(130)
= 20 – 10 = 10
46

Maka Total pajak maksimum:
T = t . Q*
= 130 . 10 = 1300
Jadi total pajak yang di terima pemerintah sebesar 1300.
Laba maksimum yang di terima oleh pemerintah besarnya:
Laba = 260Q – 6,5Q2 – tQ
= 260 (10) – 6,5(10)2 – (130)(10)
= 2600 – 65 – 1300 = 1235
Jadi pemerintah menerima laba maksimum sebesar 1235
47

Elastisitas Titik: Analisis Fungsi dan Grafis.
Elastisitas mengukur derajat kepekaan variabel terikat akibat
adanya perubahan variabel bebasnya. Misal: y = f(x), maka
seberapa jauh perubahan y akibat perubahab x di sebut
“elastisitas y terhadap x”. Di tulis Eyx.
Analisis fungsi
Untuk menghitung besarnya elastisitas terhadap x, jika diketahui
fungsinya, digunakan Rumus: Eyx = y/y atau Eyx = y/ x
x/x y/x
untuk perubahan yang kecil rumusnya menjadi : Eyx=dy/dx
y/x
48

Bab vi konsep dasar teori diferensial

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Bab vi konsep dasar teori diferensial

More from Tajus Yamani

Recently uploaded

Bab vi konsep dasar teori diferensial