Basis dan Dimensi

ALJABAR LINIER
Kelompok 16

BASIS, DIMENSI,
BASIS, DIMENSI,
dan TEOREMANYA
dan TEOREMANYA

Lizza Ulfa Fauziah (120210101002)
Amalia Warniasih Sasmito (120210101008)

Dimensi
De finis i :
Suatu ruang vektor V dikatakan
berdimensi n bila dapat
ditemukan suatu himpunan n
vektor-vektor ϵ V yang bebas
linier, sedangkan setiap
himpunan (n+1) vektor-vektor ϵ
V selalu bergantung linier.
Dengan kata lain, banyak
maksimum vektor-vektor ϵ V
yang bebas linier adalah n.

Teorema :
Setiap n vektor-vektor {u1,u2,……
un} yang bebas linier dari V ruang
vektor berdimensi n pasti
merupakan sistem pembentuk
dari V

Bukti :
Ambil vektor sembarang v ϵ V. Karena
dimensi V adalah n, menurut definisi
{u1,u2,……un} bergantung linier.
Sehingga pada persamaan
λ1u1+λ2u2+...+λnun+λn+1v=0 terdapat λi
yang tidak nol, dan haruslah λn+1 ≠0
karena bila demikian, persamaan
λ1u1+λ2u2+...+λnun+0v=0, berakibat
{u= −,……un− bergantung linier.
,u2 λ1 u } λ2 u − ... − λn u
v1
1
2
n
λn +1
Bertentanganλberarti : λn +1
n +1

= µ1u1 + µ 2u 2 + ... + µ n u n

Jadi, setiap v ϵ V kombinasi linier dari {u1,u2,……un
berarti {u1,u2,……un} sistem pembentuk

Catatan :
Suatu sistem pembentuk tidak
perlu bebas linier. Mudah
diterangkan bahwa bila {u1,u2,
……um} merupakan sistem
pembentuk yang bergantung
linier, sedang maksimum
vektor-vektor di antara u1,u2,
……un yang bebas linier adalah
{u1,u2,……up} juga sistem
pembentuk. Jadi dalam hal ini

Contoh
1. Tentukan dimensi dari ruang vektor yang
dibentuk: ,−2,3,1], q = [ 2,−4,5,2]
p = [1
a) u = [5,7,11,4], v = [10,14,22,8]
b)

Penyelesaian :
a) Kedua vektor pembentuk tidak
berkelipatan, jadi sistem pembentuk
bebas linier. Berarti dimensi = 2
b) v ≠ 0 vektor berkelipatan. Vektor u
Kedua
maupun
. Jadi baik {u} maupun {v}
merupakan sistem pembentuk yang
bebas linier. Jadi, dimensi = 1

Basis
De finis i :
Setiap sistem pembentuk yang bebas
linier disebut basis dari ruang vektor
tersebut. Dengan kata lain, setiap
himpunan n vektor {u1,u2,……un} yang
bebas linier dari ruang vektor berdimensi n
disebut basis dari ruang vektor tersebut.

Basis
Ca ta ta n :
1.Karena vektor-vektor ϵ V tak berhingga
banyaknya, kecuali ruang vektor yang
dibentuk oleh vektor nol sendiri, yaitu L{0},
dan misalnya dimensi V berhingga n,
maka kita dapat mencari banyak sekali
himpunan n vektor-vektor ϵ V yang bebas
linier. Sehingga kita dapat memilih banyak
basis untuk V
2.Dimensi dari ruang vektor Rn adalah n

Teorema :
Apabila { u1,u2,……un} basis dari ruang
vektor V berdimensi n, maka setiap vektor
v ϵ V dapat dinyatakan secara tunggal
sebagai kombinasi linier dari {u1,u2,……un},
misal v=k1u1+ k2u2 + ……knun dan n-tupel
skalar [k1,k2,……kn]disebut koordinat v
relatif terhadap basis { u1,u2,……un} .

Bukti : Misal v=k1u1+ k2u2 + ……+kmum dan juga
v=μ1u1+ μ 2u2 + …… +μmum ,maka
0 =(k1-μ1) u1+ (k2-μ2) u2 + ……(km-μm) um
Karena { u1,u2,……un} bebas linier, maka (k1μ1)=( k2-μ2) =…..=(km-μm)=0, berarti k1=μ1 ;
k2=μ2 ;…; km=μm

Contoh
Tentukan basis dari ruang
vektor yang dibentuk
oleh :
1.p = [3,2,7,11] dan q =
[2,5,8,9]
2.u = [2,1,6,3], dan v =
[6,3,18,9]

Contoh
Jawab :
1.Kedua vektor yaitu p dan q tidak berkelipatan,
sehingga p dan q bebas linier. Jadi p dan q adalah
basis dari ruang vektor yang dibentuk. Atau dapat
dituliskan, basis dari ruang vektor yag dibentuk adalah
{p,q}
2.Kedua vektor berkelipatan (v=3u), sehingga
keduanya merupakan vektor yang saling bergantung
linier. Vektor u maupun v ≠0, jadi keduanya
merupakan sistem pembentuk yang bebas linier. Jadi
basis dari ruang vektor tersebut adalah {u} atau {v}

Contoh
1. Diketahui S {a=[1,1,1], b=[2,1,1],
c=[3,2,2]}. S membentuk ruang vektor
L(S)=L{a,b,c}. Tentukan basis dan dimensi
dari L(S)
p =[ 0,0], =[1,1,0], r =[1,1
2. Tentukan basis1,dan qdimensi dari ,1]
ruang
vektor yang dibentuk oleh

Jawaban
1. c=a+b sehingga {a,b,c} bergantung linier
{a,b} tidak berkelipatan sehingga bebas
linier
Jadi, dimensi dari L(S) adalah 2 dan basis
dari ,L(S)[1,1,0] + λ3 [1,1,1] = [ 0,0,0] atau :
λ1 [1,0 0] + λ2 adalah {a,b},atau{a,c}, atau {b,c}.
2. λ1 + λ2 + λ3 = 0
λ2 + λ3 = 0
λ3 = 0
jelas λ3 = λ2 = λ1 = 0, berarti bebas linier,
maka dimensinya adalah 3 dan basisnya adalah {p, q, r}

LATIHAN
1. Apakah himpunan vektor-vektor ini
merupakan basis ?
R3
a) [1,1,1], [1,− ,3]
2
b) [1,1,2], [1,2,5], [5,3,4]
c) [1,0,0], [1,1,0], [1,1,1]
2. Diketahui L dibentuk oleh p = [1,3,1], q =
[2,1,0], dan r = [4,x-2,2]. Tentukan nilai x
supaya L berdimensi 2.
3. Diketahui a = [1,2,1], b = [2,4,1], dan r =
[3,6,2]. Tentukan basis dan dimensinya

Jawab
R3
1. a) Bukan, karena dimensi
= 3, berarti
basis harus terdiri atas 3 vektor
b) kita selidiki apakah bebas linier.
λ1 [1,1,2] + λ2 [1,2,5] + λ3 [ 5,3,4] = [ 0,0,0], atau :

λ1 + λ2 + 5λ3 = 0 .........(1)
λ1 + 2λ2 + 3λ3 = 0 .........( 2)
2λ1 + 5λ2 + 4λ3 = 0 .........(3)
(1) − (2) : - λ2 + 2λ3 = 0...........(4)
(3) − (2 kali)(1) : 3λ2 − 6λ3 = 0...........(5)
(4) dan (5) ekivalen, berarti λ2 = 2λ3 sebarang.
boleh kita ambil λ3 ≠ 0, jadi terdapat λ yang ≠ 0.
berarti bergantung linier. maka ketiga vektor tersebut bukan basis R 3

Jawab
c) kita selidiki apakah bebas linier.

λ1 [1,0,0] + λ2 [1,1,0] + λ3 [1,1,1] = [ 0,0,0], atau :
λ1 + λ2 + 5λ3 = 0 .........(1)
λ2 + λ3 = 0 .........(2)
λ3 = 0 .........(3)
karena λ1 , λ2 , λ3 = 0.
berarti bebas linier. maka ketiga vektor tersebut basis R

3

2. supaya L berdimensi 2 maka {p,q,r}
bergantung linier. Maka r merupakan
[ 4, x − 2,2] = λ1[ 3,1] + λ 2,1,0], {p,q}
kombinasi1,linier2 [dari atau
4 = λ1 + 2λ2 .............(1)

x − 2 = 3λ1 + λ2 ........(2)
2 = λ1.......................(3)
Dari persamaan (3) dan (1) diperoleh λ1=2 , λ2=1, yang harus memenuhi
persamaan
(2) berarti x=9

3. c merupakan kombinasi linier dari
[ 3,6,2
{a,b} ] = [1,2,1] + [2,4,1]
karena {a,b,c} bergantung linier. {a,b}
tidak berkelipatan sehingga bebas
linier. Jadi, dimensinya adalah 2 dan
basisnya adalah {a,b} atau{a,c} atau
{b,c}.

Basis dan Dimensi

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Basis dan Dimensi

More from bagus222

Basis dan Dimensi