Dinamika kisi kristal

Dinamika kisi kristal

• 1.
  DINAMIKA KISI KRISTAL (Getaran Dalam Zat Padat) Oleh : Ifatul Laili Sa’adah Wiwin Susiati Astuti Abdul Gani Maria Lourdes S. Amaral
• 2.
  A. Getaran Elastikdan Rapat Moda Getar • Padatan terdiri dari atom-atom yang diskrit. Atom tidaklah diam, tetapi berosilasi di sekitar titik setimbangnya sebagai akibat adanya energi termal. • Gelombang elastik : gelombang yang merambat mempunyai panjang gelombang yang jauh lebih besar dari pada jarak antar atomnya, sifat atomik dapat diabaikan dan padatan dapat dianggap sebagai medium kontinu.
• 3.
  • Misalnya gelombangsuara (bunyi) elastik longitudinal merambat dalam suatu bidang isotropik, menurut hukum Newton mempunyai persamaan gerak: • 휌퐴푑푥 휕2푢 푑푡2 = 푆 푥 + 푑푥 − 푆(푥) 퐴 • Dimana u adalah simpangan terhadap titik setimbang dan S adalah tekanan. • Rengangan dan tekanan S dihubungkan oleh hukum Hooke. 푆 = 푌푢 • Bagian terkecilnya adalah : Δ푆 = 푆 푥 + 푑푥 − 푆 = 휕푆 휕푥 푑푥 • sehingga persamaan gelombang 1 menjadi : 휕2푢 푑푥2 = 휌휕2푢 푌푑푡2
• 4.
  • Solusi berbentukpropagasi Gelombang bidang : 푈 = 퐴0푒푖(푘푥−휔푡) • Dimana masing-masing Ao, k, ω adalah amplitudo, bilangan gelombang, dan frekuensi radial gelombang. 휕2푢 푑푥2 = 휌휕2푢 푌푑푡2 • Disubsitusikan pada persamaan gelombang sehingga menjadi 휔 = 푉푠푘 dengan 푉푠 = 푌 푝 1/2  0 =vs k k Gb. Kurva dispersi gelombang elastik
• 5.
  푈 = 퐴0푒푖(푘푥)
• 6.
  • Karena rapatkeadaan tergantung pada hubungan dispersi 푑휔 푑푘 = 푣푠 maka 푔휔 = 퐿 휋 1 푣푠 • Bahasan tiga dimensi kubik dengan rusuk L memberikan syarat bahwa 푒푖(푘푥퐿+푘푦퐿+푘푧퐿) = 1 maka 푘푥 , 푘푦 , 푘푧 = 푛 2휋 퐿 , 푚 2휋 퐿 , 푙( 2휋 퐿 ) • ruang k menunjukkanbahwasebuahtitikmempunyai volume (2π/L)3 • Semuamodagetardengan vector gelombangantara k dan (k + dk) terletak dalam elemen volume 4πk2dk yang dibataskan oleh bola berjari-jari k dan (k + dk).
• 7.
  • Sehingga 푑푁= 4휋푘2푑푘 2휋/퐿 3 = 푉 푘2 2휋2 푑푘 dengan V=L3 • 푔휔 dihubungkan dengan dipersi linier maka : 푔휔 = 푉 2휋2 휔2 푣푠 3 • Dalam tiga dimensi nilai 푘 mengandung satu moda longitudinal dan dua moda transfersal sehingga hubungan dispersinya yaitu : 푔휔 = 푉 휔2 2휋2 1 푣퐿 3 + 1 푣푇 3 • Jika 푣퐿 = 푣푇 maka persamaannya adalah 푔휔 = 3푉 2휋2 휔2 푣푠 3
• 8.
  B. Kuantisasi EnergiGetaran dalam Zat Padat Hukum ekuipartisi menyatakan bahwa besaran fisis energi yang besarnya berbanding lurus dengan kuadrat jarak atau momentum, maka untuk setiap derajat kebebasan pada suhu T memiliki energi yang sama, yaitu ½ k0T, dengan k0 adalah konstanta Boltzmann. Hal ini berarti energi kinetik setiap atom gas memiliki energy ½ k0T. gas monoatomik memiliki 3 derajat kebebasan, sehingga pada suhu T energi dalam untuk gas sebanyak 1 kilomol adalah; 푈 = 푁퐴 3 2 푘0푇 = ( 3 2 )RT
• 9.
  • sehingga kapasitaspanas pada volume konstan 퐶푉 = 휕푈 휕푇 푉 = 3 2푅 CV= 12.47 J/0K kmol →He dan Ar pada suhu kamar. • Memiliki energi potensial atom dalam gerak harmoniknya,sehingga energi total system atom dalam Kristal menurut hukum ekipartisi:푈 = 푁퐴 3 2 푘표푇 + 3 2 푘표푇 = 3푅푇 sehingga 퐶푉 = 휕푈 휕푇 푉 = 3푅 • Menurut eksperimen menunjukkan bahwa nilai 퐶푉 menurun jika T menurun, dan T mendekati nol apabila T menuju 0 K.
• 10.
  C. Model Einteintentang 푪푽 zat padat Model Einstein tentang getaran kisi mengambil andaian sebagai berikut: • Atom Kristal merupakan osilator independen yang masing-masing memiliki frekuensi sama energy diskrit. 휀푛 = 푛ℏ휔 dengan n=0,1,2,3,.... • Sebaran energi osilator pada harga energy yang diperbolehkan mengikuti distribusi Boltzmann 푓 휀푛 = 푒−휀푛 푘표푇 Jika disubstitusikan dua persamaan diatas maka : 휀 = ℏ휔 푒ℏ휔 푘표푇−1
• 11.
  klasik kuantum ℇ 0 T Gb. Perbandingan energi kuantum rata-rata osilator dan energi klasik kristal untuk satu derajat kebebasan
• 12.
  • Apabila zatpadat sebanyak 1 kmol dan setiap atom mempunyi 3 derajat kebebasan maka energi totalnya 퐸 = 3푁퐴 ℇ=3ℏ휔푁퐸 퐴 푒ℏ휔퐸/푘0푇−1 dimana 휔퐸 adalah frekuensi einstein • Kapasitaspanaspada volume konstan퐶푉 = 휕퐸 휕푇 푉 = 3푅 휃퐸 푇 2 푒휃퐸 푇 푒휃퐸 푇−1 2 Dimana θE = (ħωE/ko) adalah suatu karakteristik Einstein. Ungkapan CV di atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut: • Pada suhu yang sangat tinggi, dimana T >>θE, bentuk 푒휃퐸/푇dapat diekspansikan dalam deret pangkat θE/T, sehingga menghasilkan 퐶푉≅ 3푅 seperti hasil teori klasik. • Pada suhu yang sangat rendah, dimana T <<θE, bentuk 푒휃퐸/푇 jauh lebih besar dari pada satu (1), sehingga퐶푉 ≅ 3푅 휃퐸 푇 2 푒−휃퐸/푇
• 13.
  • Fungsi initerus berkurang sehingga mendekati nol dengan cepat sekali, yakni secara eksponensial. Jadi CV 0 saat T  0. Hal ini sesuai dengan eksperimen. • Saat mendekati nol mutlak, penurunan CV model Einstein yang secara eksponensial di atas ternyata jauh lebih cepat daripada yang terjadi secara eksperimen, yakni CV ~ T3. Hal ini merupakan kelemahan yang mendasar model Einstein. • Kesimpulan yang dapat ditarik dari model Einstein adalah sebagai berikut: a. Pada suhu tinggi, osilator tereksitasi sempurna yang memerlukan energi rata-rata sebesar koT, sehingga 퐶푉 ≅ 3푅. b. Pada suhu rendah, osilator membeku (tidak berosilasi) dalam tingkat dasar sehingga CV = 0.
• 14.
  D. Model DebyeTentang Cv Zat Padat Debye memodelkan getaran kisi dengan mengambil anggapan sebagai berikut: 1. Atom Kristal merupakan osilator yang berkaitan erat satu sama lain, dengan daerah frekuensi ω = 0 sampai suatu frekuensi maksimum ωD yang ditentukan oleh jumlah moda getar yang diperkenankan. Dengan demikian pada Kristal terjadi gerakan kisi secara keseluruhan sehingga terdapat moda kisi bersama. 2. Gelombang suara dalam padatan merupakan contoh moda bersama. Oleh karena itu moda kisi mempunyai hubungan dispersi linier kontinu persamaan dan persamaan rapat kedaan yang sama dengan bahasan gelombang elastik.
• 15.
  • Setiap modusgetaran merupakan osilator harmonik tunggal ekivalen yang mempunyai energi rata-rata seperti osilator model eisntein. Oleh karena itu energi total getaran seluruh kisi adalah: • E = ε ω g ω dω = 3V 2π2vs 3 ω2 ℏω eℏω/koT dω • Frekuensi batas bawah tentunya adalah ω = 0. Sedangkan atas yang ditetapkan oleh Debye dengan batasan bahwa jumlah derajat kebebasan untuk keseluruhan padatan, sehingga: ωD • g ω dω = 3NA 0 • Dimana frekuensi atas ωD disebut frekuensi Debye.
• 16.
  • Hasil integrasidi atas, setelah mensubtitusikan persamaan 푔휔 = 3푉 2휋2 휔2 푣푠 3 memberikan nilai ωD = vs 6π2n 1/3 dimana n = NA / V adalah konsentrasi atom dalam padatan. • Energi total dapat dituliskan kembali menjadi: E = 3V 2π2vs 3 ωD ℏω 0 eℏω/koT dω Dan kapasitas panas pada volume konstan CV = 휕U 휕T V = 3V 2π2vs 3 ℏ3 koT2 ωD 0 ω4eℏω/koT (eℏω/koT−1)2 dω • Apabila x = (ħω/koT) dan suhu Debye didefinisikan sebagai θD = (ħω/koT), maka persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk CV = 9R T θD 3 θD/T 0 x4ex ex − 1 2 dx
• 17.
  • Ungkapan CVdi atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut: a. Pada suhu tinggi, T >>θD, di dapatkan CV ≅ 3R yang sesuai dengan hukum Dulong-Petit. Dalam keadaan demikian, setiap moda getar tereksitasi penuh, dan memiliki energi klasik rata-rata ε = koT. b. Pada suhu rendah, T <<θD, dengan menggunakan hubungan analitik ~ x4ex 0 ex−1 2 dx = 4 15 π2 didapatkan CV= 12π2 5 R T θD 3 Kebergantungan CV terhadap T3 ini sesuai dengan hasil pengamatan. Dalam keadaan demikian, hanya sedikit moda getar tereksitasi yakni moda getar yang memiliki energi kuantum ħω.
• 18.
  TERIMA KASIH