Distribusi Seragam, Bernoulli, dan Binomial

Distribusi Seragam, Bernoulli, dan Binomial

• 1.
  TUGAS STATISTIKA MATEMATIKA 2 DistribusiPeluang Diskrit Khusus (Distribusi Seragam, Bernoulli, dan Binomial JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI PADANG
• 2.
  2 2014 DISTRIBUSI PELUANG DISKRITKHUSUS A. Distribusi Seragam (Uniform) Prinsip Dasar Distribusi uniform adalah disribusi diskrit yang paling sederhana yang variabel randomnya mempunyai nilai peluang sama dalam suatu percobaan. Ciri-ciri Setiap nilai variabel acak mempunyai probabilitas terjadi yang sama. Definisi Teorema Bukti :  Untuk rataan 𝜇 = 𝐸( 𝑥) = ∑ 𝑥 𝑖 𝑘 𝑖=1 𝑓( 𝑥 𝑖; 𝑘) = ∑ 𝑥 𝑖 𝑘 𝑘 𝑖=1 = ∑ 𝑥 𝑖 𝑘 𝑖=1 𝑘  Untuk variansi 𝜎2 = 𝐸(𝑥 𝑖 − 𝜇)2 = ∑( 𝑥 𝑖 − 𝜇)2 𝑓( 𝑥 𝑖; 𝑘) = ∑ (𝑥 𝑖 − 𝜇)2 𝑘 = ∑ (𝑥 𝑖 − 𝜇)2𝑘 𝑖=1 𝑘 𝑘 𝑖=1 𝑘 𝑖=1 Definisi 1. Suatu peubah acak X mempunyai distribusi uniform diskrit, dan dapat dinyatakan peubah acak uniform diskrit, jika dan hanya jika disrtibusi peluangnya diberikan dengan 𝑓( 𝑥; 𝑘) = 1 𝑘 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, …, 𝑥𝑘 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑖 ≠ 𝑗 Teorema 1. Rataan dan variansi distribusi uniform diskrit 𝑓( 𝑥; 𝑘) adalah 𝜇 = ∑ 𝑥 𝑖 𝑘 𝑖=1 𝑘 𝑑𝑎𝑛 𝜎2 = ∑ (𝑥 𝑖 − 𝜇)2𝑘 𝑖=1 𝑘
• 3.
  3 Jadi teorema 1.terbukti. Contoh 1. Seorang dipilih secara acak dari 5 mahasiswa untuk mengerjakan suatu tugas. Berapa peluang setiap mahasiswa yang terpilih? Jawab: Tiap mahasiswa berpeluang sama untuk terpilih yaitu 1/5. Maka distribusinya adalah dstribusi uniform. Sehingga peluang setiap mahasiswa yang terpilih adalah 𝑓( 𝑥; 5) = 1 5 , 𝑥 = 1,2,3,4, 𝑑𝑎𝑛 5 2. Bila sebuah dadu dilantunkan, tiap unsur ruang terok T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Berapa peluang setiap mahasiswa yang terpilih? Jawab: Tiap unsur muncul dengan peluang sama yaitu 1/6. Jadi distribusinya adalah distribusi uniform, maka 𝑓( 𝑥;6) = 1 6 , 𝑥 = 1,2, 3,4, 5,6. 3. Dari contoh 1. tentukan rata-rata dan variansinya. Jawab: Berdasarkan teorema 1. maka diperoleh 𝜇 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 5 = 15 5 = 3 𝜎2 = (1 − 3)2 + (2 − 3)2 + (3 − 3)2 + (4 − 3)2 + (5 − 3)2 5 = 10 5 = 2 4. Dari contoh 2. tentukan rata-rata dan variansinya. Jawab: Berdasarkan teorema 1. maka diperoleh 𝜇 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6 = 21 6 = 3,5
• 4.
  4 𝜎2 = (1 −3,5)2 + (2 − 3,5)2 + (3 − 3,5)2 + ⋯+ (5 − 3,5)2 5 = 35 12 = 2,92 B. Distribusi Bernoulli Prinsip Dasar Peubah acak bernoulli hanya mempunyai dua nilai yaitu 0 dan 1 dalam satu kali percobaan. nilai 0 dan 1 ini biasanya dikaitkan dengan “gagal” dan“sukses”. Peluang sukses dinyatakan dengan p dan gagal dengan 1 – p. Ciri-ciri 1. Percobaan terdiri atas 𝑛 usaha yang berulang. 2. Tiap usaha memberikan hasil yang dapat ditentukan sukses atau gagal. 3. Peluang sukses, dinyatakan dengan 𝑝, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya. 4. Tiap usaha,bebas dengan usaha yang lainnya. Definisi Teorema Bukti:  Untuk rataan 𝜇 = 𝐸( 𝑥) = ∑ 𝑥𝑓( 𝑥; 𝑝) = ∑ 𝑥𝑝 𝑥 1 𝑥=0 1 𝑥=0 𝑞1−𝑥 = 0. 𝑝0 𝑞1−0 + 1𝑝1 𝑞1−1 = 𝑝  Untuk variansi Diketahui bahwa 𝜎2 = 𝐸(𝑥𝑖 − 𝜇)2 = 𝐸(𝑥)2 − [𝐸( 𝑥)]2 Definisi 1. Suatu peubah acak X mempunyai distribusi bernoulli (X dikatakan peubah acak bernoulli) jika dan hanya jika distribusi peluangnya diberikan dengan 𝑓( 𝑥; 𝑝) = 𝑝 𝑥(1− 𝑝)1−𝑥 = 𝑝 𝑥( 𝑞)1−𝑥 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘𝑥 = 0, 1. Teorema 1. Distribusi bernoulli 𝑓( 𝑥; 𝑝) mempunyai rata-rata dan variansi 𝜇 = 𝑝 dan 𝜎2 = 𝑝𝑞
• 5.
  5 Dan 𝜇 =𝐸( 𝑥) = 𝑝, sekarang akan dicari 𝐸(𝑥2) sebagaiberikut 𝜇 = 𝐸( 𝑥2) = ∑ 𝑥2 1 𝑥=0 𝑓( 𝑥; 𝑝) = ∑ 𝑥2 1 𝑥=0 𝑝 𝑥 𝑞1−𝑥 = 02. 𝑝0 𝑞1−0 + 12 𝑝1 𝑞1−1 = 𝑝 Jadi 𝜎2 = 𝐸( 𝑥 𝑖 − 𝜇)2 = 𝐸( 𝑥)2 − [ 𝐸( 𝑥)]2 = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝(1 − 𝑝) = 𝑝𝑞. Jadi teorema 1. terbukti. Contoh 1. Sebuah mata uang dilempar satu kali, dicatat bahwa hasilnya yang muncul muka “M” dan belakang “B”. Berapa peluang yang muncul muka? Jawab: Ruang sampel dari masalah di atas adalah S = {M, B} dan dimisalkan kejadian muncul muka adalah A = {M}, dan dibelakang adalah C={B}. Sehingga peluang muncul muka adalah 𝑃( 𝑀) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑠) = 1 2 dalam hal ini sesuai dengan distribusi bernoulli yaitu 𝑓( 𝑥; 𝑝) = 𝑝 𝑥(1− 𝑝)1−𝑥 = 𝑝 𝑥( 𝑞)1−𝑥 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘𝑥 = 0, 1. Karena p = 0,5 sehingga 𝑓( 𝑥; 𝑝) = (0,5) 𝑥(0,5)1−𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 0, 1. Setelah dilakukan pelemparan ternyata mata uang yang muncul adalah muka ,berarti 𝑥 = 1 atau berhasil. Jadi 𝑓( 𝑥; 𝑝) = (0,5)1(0,5)1−1 = 0,5. 2. Dari contoh 1. tentukanlah rata- rata dan variansinya Jawab: Berdasarkan teorema 1. diperoleh 𝜇 = 𝑝 = 0,5 𝜎2 = 0,5 × 0,5 = 0,25
• 6.
  6 Distribusi Binomial Sebuah acakbinomial dapat dipandang sebagai jumlah 𝑛 peubah acak Bernoulli, yakni banyaknya yang berhasil dalam 𝑛 usaha Bernoulli. Ciri-ciri 1. Percobaan terdiri atas 𝑛 usaha yang berulang. 2. Tiap usaha mempunyai kemungkinan hasil sukses atau gagal. 3. Antar percobaan saling bebas. 4. Peluang sukses antar percobaan sama. Definisi Teorema Bukti:  Untuk rataan Berdasarkan definisi 2. diatas maka diperoleh, 𝜇 = 𝐸( 𝑥) = ∑ 𝑥 𝑏( 𝑥; 𝑛, 𝑝) 𝑛 𝑥=0 Teorema 1. Rataan dan variabel dari distribusi Binomial adalah : 𝜇 = 𝑛𝜃 dan 𝜎2 = 𝑛𝜃(1 − 𝜃) Definisi 1. Banyaknya suksesacak 𝑋 dalam 𝑛 usaha suatu percobaan Binomial disebut suatu peubah acak Binomial. Definisi 2. Suatu peubah acak 𝑋 mempunyai distribusi Binomial ( 𝑋 dikatakan variabel random Binomial ) jika dan hanya jika distribusi peluangnya diberikan dengan 𝑏( 𝑥; 𝑛, 𝑝) = ( 𝑛 𝑥 ) 𝜃 𝑥(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥, untuk 𝑥 = 0, 1,2, …, 𝑛
• 7.
  7 = ∑ 𝑥( 𝑛 𝑥 ) 𝜃 𝑥(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=0 = ∑ 𝑥 𝑛! 𝑥! ( 𝑛 − 𝑥)! 𝜃 𝑥(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=1 = ∑ 𝑥𝑛! 𝑥(𝑥 − 1)! ( 𝑛 − 𝑥)! 𝜃 𝑥(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=1 = ∑ 𝑛! (𝑥 − 1)! ( 𝑛 − 𝑥)! 𝜃 𝑥(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=1 = ∑ 𝑛(𝑛 − 1)! (𝑥 − 1)! ( 𝑛 − 𝑥)! 𝜃 𝑥−1+1(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=1 = ∑ 𝜃𝑛(𝑛 − 1)! (𝑥 − 1)! ( 𝑛 − 𝑥)! 𝜃 𝑥−1(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=1 = 𝑛 𝜃 ∑ (𝑛 − 1)! (𝑥 − 1)! ( 𝑛 − 𝑥)! 𝜃 𝑥−1(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=1 = 𝑛 𝜃 ∑ ( 𝑛 − 1 𝑥 − 1 ) 𝜃 𝑥−1(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=1 Dari sini menurut definisi peluang, maka, ∑ ( 𝑛 − 1 𝑥 − 1 ) 𝜃 𝑥−1(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=1 = 1 Sehingga 𝜇 = 𝐸( 𝑥) = 𝑛 𝜃  Untuk variansi Dalam pembuktian akan dipergunakan teorema 2. Diketahui bahwa 𝜎2 = 𝐸( 𝑥2) − [ 𝐸( 𝑥)]2 Dan 𝜇 = 𝐸( 𝑥) = 𝑛 𝜃, sekarang akan dicari 𝐸( 𝑥2) sebagai berikut : 𝐸( 𝑥2) = 𝐸[ 𝑥(𝑥 − 1)] + 𝐸( 𝑥) Untuk mendapatkan 𝐸( 𝑥2) terlebih dahulu kita cari 𝐸[ 𝑥(𝑥 − 1)] sebagai berikut : 𝐸[ 𝑥(𝑥 − 1)] = ∑ 𝑥( 𝑥 − 1) ( 𝑛 𝑥 ) 𝜃 𝑥(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=0
• 8.
  8 = ∑ 𝑥(𝑥 − 1) 𝑛! 𝑥! ( 𝑛 − 𝑥)! 𝜃 𝑥(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=0 = ∑ 𝑥( 𝑥 − 1) 𝑛! 𝑥( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2)! ( 𝑛 − 𝑥)! 𝜃 𝑥(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=1 = ∑ 𝑛! (𝑥 − 2)! ( 𝑛 − 𝑥)! 𝜃 𝑥(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=1 = ∑ 𝑛( 𝑛 − 1)(𝑛 − 2)! (𝑥 − 2)! ( 𝑛 − 𝑥)! 𝜃 𝑥−2+2(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=1 = ∑ 𝑛( 𝑛 − 1)(𝑛 − 2)! (𝑥 − 2)! ( 𝑛 − 𝑥)! 𝜃2 𝜃 𝑥−2(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=1 = 𝑛(𝑛 − 1)𝜃2 ∑ ( 𝑛 − 2 𝑥 − 2 ) 𝜃 𝑥−2(1 − 𝜃)( 𝑛−2)−(𝑥−2) 𝑛 𝑥=1 = 𝑛(𝑛 − 1)𝜃2 ∑ ( 𝑦 𝑥 − 2 ) 𝜃 𝑥−2(1 − 𝜃) 𝑦−(𝑥−2) 𝑛−2 𝑦=0 Menurut definisi peluang menghasilkan ∑ ( 𝑦 𝑥 − 2 ) 𝜃 𝑥−2(1 − 𝜃) 𝑦−(𝑥−2) 𝑛−2 𝑦=0 = 1 Sehingga 𝐸[ 𝑥(𝑥 − 1)] = 𝑛(𝑛 − 1)𝜃2 Akibatnya 𝐸( 𝑥2) = 𝐸[ 𝑥(𝑥 − 1)] + 𝐸( 𝑥) = 𝑛( 𝑛 − 1) 𝜃2 + 𝑛 𝜃 Jadi, 𝜎2 = 𝐸( 𝑥2)− [ 𝐸( 𝑥)]2 = 𝑛( 𝑛 − 1) 𝜃2 + 𝑛 𝜃 − (𝑛 𝜃)2 = 𝑛2 𝜃2 − 𝑛𝜃2 + 𝑛𝜃 − 𝑛2 𝜃2 = 𝑛𝜃(1 − 𝜃) Jadi, teorema 1. terbukti. Teorema2. Jika 𝑋 mempunya distrbusi binomial dengan parameter 𝑛 dan 𝜃 dan 𝑌 = 𝑋 𝑛 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐸( 𝑦) = 𝜃 𝑑𝑎𝑛 𝜎 𝑦 2 = 𝜃(1 − 𝜃) 𝑛
• 9.
  9 Bukti :  Untukrataan 𝐸( 𝑦) 𝐸( 𝑦) = 𝐸 ( 𝑥 𝑛 ) = 1 𝑛 𝐸(𝑥) Berdasarkan teorema 1. maka diperoleh, 𝐸( 𝑦) = 1 𝑛 𝐸( 𝑥) = 1 𝑛 𝑛𝜃 = 𝜃  Untuk variansi 𝜎 𝑦 2 Diketahui bahwa 𝜎 𝑦 2 = 𝐸( 𝑦2) − [ 𝐸( 𝑦)]2 = 𝐸 [( 𝑥 𝑛 ) 2 ] − [𝐸 ( 𝑥 𝑛 )] 2 = 1 𝑛2 𝐸( 𝑥2) − [ 1 𝑛 𝐸( 𝑥)] 2 Berdasarkan teorema 1. maka diperoleh, 𝜎 𝑦 2 = 1 𝑛2 [ 𝑛( 𝑛 − 1) 𝜃2 + 𝑛 𝜃] − [ 1 𝑛 𝑛𝜃] 2 = 1 𝑛2 ( 𝑛2 𝜃2 − 𝑛𝜃2 + 𝑛 𝜃) − 𝜃2 = 𝜃2 − 𝜃2 𝑛 + 𝜃 𝑛 − 𝜃2 = 𝜃 − 𝜃2 𝑛 = 𝜃(1 − 𝜃) 𝑛 Jadi, teorema 2. terbukti. Bukti : 𝑀 𝑥( 𝑡) = ∑ 𝑒 𝑥𝑡 ( 𝑛 𝑥 ) 𝜃 𝑥(1 − 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=0 = ∑ ( 𝑛 𝑥 )( 𝑒 𝑡 𝜃) 𝑥(1− 𝜃) 𝑛−𝑥 𝑛 𝑥=0 Teorema 3. Fungsi pembangkit moment dari distribusi binomial diberikan dengan 𝑀 𝑥( 𝑡) = [1 + 𝜃(𝑒 𝑡 − 1)] 𝑛
• 10.
  10 = [1 +𝜃(𝑒 𝑡 − 1)] 𝑛 Jadi, teorema 3. terbukti. Contoh 1. Sebuah tes benar - salah terdiri dari 10 pertanyaan a. Berapa peluang untuk memperoleh semua jawaban adalah benar? Jawab: P(benar) = 1 2 P(salah) = 1 2 maka b(x;10, 1 2 ) = ( 10 𝑥 )( 1 2 ) 𝑥 ( 1 2 ) 10−𝑥 𝑃( 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟) = 𝑏 (10;10, 1 2 ) = ( 10 10 ) ( 1 2 ) 10 ( 1 2 ) 10−10 = 10! 10!(10 − 10)! ( 1 2 ) 10 = ( 1 2 ) 10 b. Berapa peluang untuk memperoleh 8 jawaban yang benar? Jawab: P(benar) = 1 2 P(salah) = 1 2 𝑃( 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟) = 𝑏 (8;10, 1 2 ) = ( 10 8 ) ( 1 2 ) 8 ( 1 2 ) 10−8 = 10! 8! (10 − 8)! ( 1 2 ) 10 = 10.9.8! 8! 2! ( 1 2 ) 10 = 45 ( 1 2 ) 10 2. Seorang pemain basket , melakukan tembakan sebanyak 10 kali dan peluang untuk masuk 0,3 tiap-tiap tembakan. Berapa peluang untuk memenangkan 6 kali tembakan. Jawab: Misalkan P(masuk) = 0,3 dan P(keluar) = 0,7
• 11.
  11 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑏( 𝑥;10,0,3)= ( 10 𝑥 )(0,3) 𝑥(0,7)10−𝑥 𝑏(6;10,0,3) = ( 10 6 ) (0,3)6(0,7)10−6 = 10! 6! 4! (0,3)6(0,7)4 = 10.9.8.7 4.3.2 (0,3)6(0,7)4 = 210 (0,3)6(0,7)4 3. Jika peluang menang dari kuda pacuan yang kita pilih =0,2 dan 𝑥 adalah nomor pilihan yang terdiri dari 20 pilihan. i. Berapa peluang jika nomor 4 yang terpilih Jawab: Misalkan P(x=nomorterpilih) =0,2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑃( 𝑥 = 4) = 𝑏(4;20;0,2) = ( 20 4 )(0,2)4(0,8)16 = 20! 4! 16! (0,2)4(0,8)16 = 20.19.18.17! 4.3.2 (0,2)4(0,8)16 ii. Hitunglah rata-rata dan variansinya Jawab: Dari teorema 1. diperoleh 𝜇 = 𝑛𝜃 = 20 × 0,2 = 4 dan 𝜎2 = 𝑛𝜃(1 − 𝜃) = 20 × 0,2 × 0,8 = 3,2